Khảo sát quan hệ M-Φ trên tiết diện dầm bê tông cốt thép khi sử dụng các mô hình vật liệu khác nhau

KHOA H“C & C«NG NGHª

Khảo sát quan hệ M-Φ trên tiết diện dầm bê tông
cốt thép khi sử dụng các mô hình vật liệu khác nhau
Investigating the M-Φ relation in section of reinforced concrete beams
using various material models
Trần Trung Hiếu, Lê Anh Tuấn, Lê Thanh Tuấn, Đặng Vũ Hiệp

Tóm tắt
Khả năng dẻo cần được dự báo và phân tích khi thiết
kế cho cấu kiện chịu uốn bê tông cốt thép. Để dự báo
độ dẻo, người ta thường sử dụng quan hệ mô menđộ cong (M-Φ). Bài báo sử dụng phương pháp chia
thớ để xây dựng quan hệ M-Φ có xem xét ảnh hưởng
của hiệu ứng kiềm chế cho bê tông vùng nén. Bốn
mô hình ứng xử vật liệu bê tông và hai mô hình vật
liệu thép được sử dụng để thiết lập đường cong quan
hệ M-Φ. Sau đó kết quả phân tích được so sánh với
kết quả thực nghiệm [1]. Kết quả chỉ ra rằng các giá
trị phân tích theo mô hình “Thép Raynor, Lehman
và Stanton _ Bê tông EN1992” là gần nhất so với kết
quả thực nghiệm.
Từ khóa: phương pháp thớ, dầm bê tông cốt thép, quan hệ
mô men-độ cong, độ dẻo

Abstract
The ductility capacity should be estimated and analyzed
for design of reinforced concrete flexural members. To
estimate the ductility capacity, it is usually used the
moment- curvature relationship (M-Φ). This paper uses
the fiber method to establish M-Φ relationship taking into
considering the confinement effect of compressed zone in

concrete. Four models of material behavior for concrete and
two models of steel bar are used to generate the curvature
of M-Φ relationship. Then, the analytical results are
compared with the test results [1]. The results show that
the analytical values obtained using “Steel Raynor, Lehman
and Stanton _ Concrete EN1992” model are the closest to
the experimental values.
Keywords: fiber method, RC beams, moment- curvature
relationship, ductility ratio

ThS. Trần Trung Hiếu
Khoa Xây dựng
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội
Email:
TS. Lê Anh Tuấn
Viện Kĩ thuật Công Trình Đặc biệt
Học viện Kỹ thuật Quân sự
Email:
ThS. Lê Thanh Tuấn
Khoa Xây dựng
Đại học Xây dựng Miền tây
Email:
TS. Đặng Vũ Hiệp
Khoa Xây dựng
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội
Email:

44

1. Đặt vấn đề

Phân tích sự làm việc của kết cấu bê tông cốt thép khi xem xét tính
phi tuyến vật liệu cho một ứng xử thực tế hơn đặc biệt là khi kết cấu nằm
trong vùng động đất. Đối với kết cấu nằm trong vùng có động đất, yêu cầu
chịu được biến dạng lớn ngoài đàn hồi là hết sức quan trọng, nói cách khác
cần thiết kế kết cấu có ứng xử dẻo. Để đánh giá độ dẻo người ta thường
thiết lập quan hệ mô men-độ cong (M-Φ) ở thời điểm cốt thép chảy dẻo và
thời điểm biến dạng bê tông vùng nén đạt giá trị cực hạn. Xây dựng đường
cong quan hệ M-Φ của cấu kiện chịu uốn cần biết mối quan hệ ứng suấtbiến dạng cho cả cốt thép và bê tông.
Bài báo trình bày một cách thiết lập quan hệ M-Φ cho dầm bê tông
cốt thép chịu uốn bằng cách sử dụng phương pháp chia thớ [7, 8]. Một
chương trình phân tích ứng xử dầm bê tông cốt thép chịu tải trọng tĩnh có
tên H2b được viết trên ngôn ngữ lập trình MATLAB. Kết quả thu được là
các đường cong quan hệ M- Φ cho dầm khi sử dụng các mô hình vật liệu
khác nhau sẽ được kiểm chứng với kết quả thực nghiệm trên hai dầm U1
và U2 [1].
2. Các mô hình vật liệu
Bảng 1 thể hiện các biểu thức toán học của các mô hình vật liệu
được lựa chọn. Mô hình vật liệu cho bê tông là các mô hình bê tông (EN
1992-1-1: 2004 [2]), (Kent và Park (1971) [3]), (Hognestad (1951) [4] và Tsai
(1988) [5]). Mô hình vật liệu thép xem xét mô hình cốt thép đàn-dẻo lý tưởng
(EN1992-1-1: 2004 [2]) và mô hình kể đến giai đoạn củng cố của cốt thép
(Raynor, Lehman và Stanton (2002) [6]).
Trong đó:
n – số mũ;

εc – Biến dạng của bê tông khi chịu nén;
εco – Biến dạng của bê tông khi chịu nén tương ứng với ứng suất lớn
nhất fc’;

εcu – Biến dạng bê tông vùng nén đạt trạng thái cực hạn;

εc2u – Biến dạng bê tông vùng nén đạt trạng thái cực hạn 0;
ε50u – biết dạng của bê tông khi chịu nén tương ứng với 50% ứng suất

lớn nhất fc’ khi bê tông vùng nén không bị kiềm chế;

εs – Biến dạng của thép;
εv – Biến dạng cốt thép bắt đầu trạng thái chảy;
εuk – biến dạng đặc trưng của cốt thép;
εud = 0.9 εuk- biến dạng thiết kế cốt thép;
εsh – Biến dạng cốt thép cuối giai đoạn chảy dẻo;
εu – Biến dạng cực hạn cốt thép;

fc – Ứng suất bê tông tại vùng chịu nén;
fc’ – Ứng suất bê tông tại vùng chịu nén có giá trị lớn nhất tương ứng
với;
fs – Ứng suất của vật liệu thép;
fv – Ứng suất trạng thái chảy dẻo;
ft – Cường độ chiu kéo cốt thép;
fvk – Cường độ chảy dẻo của đặc trưng cốt thép;
fu – Ứng suất trạng thái cực hạn của thép;

T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG


Bảng 1. Biểu thức toán học cho các mô hình vật liệu khác nhau
Mô Hình

Biểu thức toán học

Đường cong Ứng suất-biến dạng

Khi biến dạng tỷ đối của bê tông vùng nén:

0 ≤ εc ≤ εco
Tiêu chuẩn
Châu Âu
EN 1992-1-1:
2004 (EC) [2]

f c=

f c'

  ε n 
1 − 1 − c  
  εco  



(1)

Khi biến dạng tỷ đối của bê tông vùng nén:

ε co ≤ ε c ≤ ε cu

f c = f c'

(2)

Khi biến dạng tỷ đối của bê tông vùng nén:

0 ≤ εc ≤ εco
 2ε  ε  2 
=
f c f c'  c −  c  
 ε co  ε co  
Kent & Park
(1971) [3]

Khi biến dạng tỷ đối của bê tông vùng nén:

ε co ≤ ε c ≤ ε cu
f c = f c' 1 − zc ( ε c −ε co ) 
Với

Bê tông

(3)

Z=

(4)

0.5
ε 50u −ε co

Khi biến dạng tỷ đối của bê tông vùng nén:

0 ≤ εc ≤ εco
 2ε  ε  2 

=
f c f c'  c −  c  
 ε co  ε co  
Hognestad (1951)
[4]

(5)

Khi biến dạng tỷ đối của bê tông vùng nén:

ε c ≥ ε co
f c = f c' + (ε c − ε o ) ×

0.85 f c' − f c'
0.003 − ε o

(6)

Phương trình viết về mối quan hệ ứng suất –
biến dạng của bê tông không bị kiềm chế nở
ngang như sau:

y=

Tsai (1988) [5]

mx
n 
xn


1+  m −
x
+

n −1 
n −1


(7)

'

Trong đó: y = f c / f c

x=
εc / εco

x khi y=1

m= 1+
=
n

– tỷ số của biến dạng bê tông của

17.9
f c' ( Mpa )

f c' ( Mpa )
− 1.85 > 1

6.68

(8)
(9)

S¬ 28 - 2017

45


KHOA H“C & C«NG NGHª

Nhánh thứ nhất là nhánh nghiêng ở trên có giới
hạn biến dạng εud và ứng suất lớn nhất kfyk/γs tại
Tiêu chuẩn
εuk, trong đó k=(ft/fy)k. Nhánh thứ hai nằm ngang,
EN1992-1-1: 2004 không cần phải kiểm tra biến dạng giới hạn.
[2]
Trong bài báo này tác giả sử dụng mô hình cốt
thép có nhánh nằm ngang để tính toán (cốt thép
đàn-dẻo lý tưởng).
Cốt thép

Khi biến dạng tỷ đối của cốt thép:

f s = Es ε s
Raynor, Lehman
và Stanton (2002)
[6]

(10)

Khi biến dạng tỷ đối của cốt thép:

fs = f y

(11)

Khi biến dạng tỷ đối của cốt thép:

εs < ε y
ε y ≤ ε s < ε sh
ε sh ≤ ε y < ε u

2
 ε −ε
 ε s − ε sh  
s
sh
−
f s = f y + ( fu − f y )  2
  (12)
 ε u − ε sh  ε u − ε sh  

Bảng 2. So sánh giá trị Mô men cực hạn và độ cong tương ứng
Mô hình

Dầm

Mu (kNm)

Mu (kNm)

ϕu (x10-5)

ϕu (x10-5)

U1

16.55

-

14.915

-

U2

-

24.29

-

12.503

Thép Raynor, Lehman và Stanton_ Bê
tông EN1992

U1

16.15

-

15.21

-

U2

-

25.32

-

10.6

Thép Raynor, Lehman và Stanton_ Bê
tông Hognestad

U1

16.21

-

15.21

-

U2

-

25.41

-

10.07

Thép Raynor, Lehman và Stanton_ Bê
tông Kent và Park

U1

16.14

-

14.93

U2

-

25.12

-

9.15

Thép Raynor, Lehman và Stanton_ Bê
tông TSAI

U1

16.3

-

14.49

-

U2

-

25.15

-

8.8

Thép lý tưởng EN1992_ Bê tông
EN1992

U1

15.45

-

17.65

-

U2

-

29.77

-

9.49

Thép lý tưởng EN1992_ Bê tông
Hognestad

U1

15.32

-

16.84

-

U2

-

25.07

-

10.2

Thép lý tưởng EN1992_ Bê tông Kent
và Park

U1

15.34

-

15.57

-

U2

-

25.11

-

9.23

U1

15.28

-

15.09

-

U2

-

24.97

-

8.87

Thực nghiệm [1]

Thép lý tưởng EN1992_ Bê tông TSAI
Ec – Mô đun đàn hồi tiếp tuyến bê tông;

Es – Mô dun đàn hồi của thép;

Z – tham số Ứng suất – Biến dạng của bê tông không bị
kiềm chế nở hông.
3. Xây dựng đường cong M-Φ bằng phương pháp chia
thớ
3.1. Phương pháp chia thớ
Phương pháp chia thớ mặt cắt hay mô hình dạng thớ rời
rạc là phân tích mặt cắt của phần tử dầm thành nhiều thớ.
Các thớ này chạy dọc phần tử và làm việc theo ứng suất dọc
trục. Người ta đơn giản hóa bằng cách chia các thớ thành
các hình chữ nhật và giả thiết rằng, biến dạng mỗi lớp là

46

phân bố đều và bằng biến dạng tại tâm của thớ. Khi biến
dạng ở từng lớp bằng nhau, ứng suất của bê tông trên từng
lớp đó bằng nhau. Lực tại mỗi thớ có thể xác định bằng cách
nhân ứng suất với diện tích của lớp và momen là tích của
hợp lực thớ với khoảng cách từ trọng tâm lớp đến trục tham
chiếu. Bằng việc sử dụng phương pháp chia thớ mặt cắt,
quan hệ momen - độ cong của mặt cắt có thể được xác định
chính xác hơn dựa trên giả thiết về mối quan hệ ứng suất
biến dạng của vật liệu mô hình chia thớ và biểu đồ phân bố
biến dạng của mặt cắt. Sự thay đổi ứng suất theo chiều cao
dầm theo các quy luật bậc cao cũng như khả năng nứt của
bê tông khi chịu kéo lớn làm cho việc tính toán sự làm việc
của mặt cắt dầm theo phương pháp giải tích tốn nhiều thời
gian, nhất là cho các mặt cắt có cấu tạo phức tạp.

T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG


Hình 1. Ứng suất và biến dạng trên tiết diện ngang dầm bê tông cốt thép tiết
diện chữ nhật [7,8]

Hình 3. So sánh giá trị M-Φ lý thuyết với kết quả
thực nghiệm dầm U1

Hình 4. So sánh giá trị M-Φ lý thuyết với kết quả
thực nghiệm dầm U2

Hình 2. Sơ đồ khối chi tiết [7,8]

S¬ 28 - 2017

47


KHOA H“C & C«NG NGHª
3.2. Thủ tục tính toán
Hình 2 mô tả các bước tính toán chi tiết để thiết lập mối
quan hệ M-Φ bằng phương pháp chia thớ. Biến dạng nén
εc của bê tông được giả thiết trước với bước thay đổi bằng
0.0001 cho đến khi đạt giá trị cực hạn bằng 0.0035.
Về mặt định lượng, các ứng xử kết cấu được mô tả bởi
một mối quan hệ giữa momen và độ cong tương ứng. Độ
cứng của tiết diện dầm là độ dốc đường cong tương ứng với
từng giai đoạn làm việc.
Kết hợp các quy luật về vật liệu (đường cong ứng suất và

biến dạng) cho cả bê tông và cốt thép và các phương trình
hình học cho phép xác định sự phân bố ứng suất trong mặt
cắt ngang và nội lực (momen uốn) cho từng giai đoạn ứng
xử. Đối với ứng suất nén lớn nhất của bê tông (xác định phụ
thuộc mức tải trọng) khi không biết chiều cao vùng nén x có
thể được xác định bằng cách cân bằng giữa nội lực và ứng
suất. Sau đó các momen uốn tương ứng với các mức tải sẽ
được xác định bằng cách viết phương trình cân bằng đi qua
trục trung hòa.
4. So sánh kết quả lý thuyết và thực nghiệm
Trong mục này sẽ trình bày quan hệ M-Φ thu được từ
phương pháp chia thớ khi sử dụng các mô hình vật liệu khác
nhau và so sánh với kết quả thực nghiệm trong tài liệu [1]. Hai
dầm U1 và U2 [1] với kích thước tiết diện 150mm x 200mm
x 2100mm, nhịp thông thủy 1800mm, cốt đai ϕ8, khoảng
cách giữa các cốt đai 125mm, chiều dày lớp bê tông bảo vệ
không được cho trong [1], bài báo này chúng tôi chọn lớp
bê tông bảo vệ bằng 25mm cho cả hai dầm. Thép chịu kéo

trong dầm U1 là 2ϕ12, dầm U2 là 2ϕ16. Cường độ bê tông
fck=42.54Mpa, cường độ chảy dẻo thép ϕ12 và ϕ16 lấy từ kết
quả thí nghiệm lần lượt là fy=400.85Mpa và fy=409.55Mpa.
Hình 3 và 4 thể hiện đường cong quan hệ M-Φ giữa
kết quả thực nghiệm dầm U1, U2 và kết quả tính toán lý
thuyết. Đường cong M-Φ từ tính toán lý thuyết sử dụng kết
hợp bốn mô hình vật liệu bê tông và hai mô hình vật liệu thép.
Bảng 2 đưa ra kết quả so sánh giá trị mô men cực hạn và
độ cong tương ứng cho các trường hợp. Kết quả chỉ ra rằng
các mô hình vật liệu lựa chọn tương đối phù hợp với kết quả
thực nghiệm. Mô hình “Thép Raynor, Lehman và Stanton _

Bê tông Hognestad” và “Thép Raynor, Lehman và Stanton
_ Bê tông EN1992” cho kết quả phù hợp nhất với kết quả
thực nghiệm. Trong khi đó mô hình “Thép lý tưởng EN1992_
Bê tông Kent và Park” và “Thép lý tưởng EN1992_ Bê tông
Hognestad” cho kết quả kém phù hợp nhất.
5. Kết luận
Bài báo áp dụng phương pháp chia thớ để thiết lập quan
hệ M-Φ cho tiết diện dầm bê tông cốt thép. Các mô hình vật
liệu bê tông và cốt thép được lựa chọn để xây dựng đường
cong lý thuyết M-Φ. Các kết quả lý thuyết được kiểm chứng
với kết quả thực nghiệm trên hai dầm U1, U2 [1]. Kết quả chỉ
ra rằng với dầm bê tông cốt thép thông thường, khi phân tích
ứng xử của dầm sau giai đoạn đàn hồi áp dụng mô hình cốt
thép của Raynor, Lehman và Stanton, mô hình bê tông của
Hognestad hoặc EN1992 cho kết quả sát với thực nghiệm
hơn./.

Tài liệu tham khảo
1. M Srikanth, G Rajesh Kumar và S Giri, Moment curvature of
reinforced concrete beams using various confinement models
and experimental validation, Asian Journal of Civil Engineering
(Building and Housing), 8(3), 247-265, 2007.
2. RS Narayanan và AW Beeby, Designers’ Guide to EN 1992-1-1
and EN 1992-1-2. Eurocode 2: Design of Concrete Structures:
General Rules and Rules for Buildings and Structural Fire
Design, Thomas Telford London, UK, 2005.
3. Dudley Charles Kent và Robert Park, Flexural members with
confined concrete, Journal of the Structural Division, 1971.
4. Eivind Hognestad, Study of combined bending and axial load in
reinforced concrete members, University of Illinois at Urbana

48

Champaign, College of Engineering, Engineering Experiment
Station, 1951.
5. Wan T Tsai, Uniaxial compressional stress-strain relation of
concrete, Journal of Structural Engineering, 114(9), 2133-2136,
1988.
6. Dan J Raynor, Dawn E Lehman và John F Stanton, Bond-slip
response of reinforcing bars grouted in ducts, ACI Structural
Journal, 99(5), 568-576, 2002.
7. Liviu Crainic và Mihai Munteanu, Seismic Performance of
Concrete Buildings: Structures and Infrastructures Book Series,
9, CRC Press, 2012.
8. T.H. Tran, A.T.Le và A.Q.Vu, A research on m- f relationships
for section of reinforced concrete beam by fiber method, Asian
Concrete Federation, 2015.

T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG