103 đề vào 10 chuyên bình phước 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học: 2015-2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi môn: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ
Câu 1.

 1
  ( a  1)2
3 a 5
P 

 1 Với a  0, a  1.
 .
 a 1 a a  a  a 1   4 a




1) Rút gọn: P
2) Đặt Q  (a  a  1).P . Chứng minh Q  1
Câu 2. Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m2  0

(1) Tìm m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn

( x1  m)2  x2  m  2 (2)
Câu 3. 1) Giải pt ( x  1) 2( x 2  4)  x 2  x  2 (1)
 1
x

 x 2  xy  2 y 2
(1)

2) Giải hpt  x
y

2
( x  3  y )(1  x  3 x )  3 (2)

Câu 4 Giải pt trên tập số nguyên x 2015  y( y  1)( y  2)( y  3)  1 (1)
Câu 5. Cho tam giác ABC nhọn

 AB  AC  nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi H là trực

tâm của tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC.
1) Chứng minh rằng: AH  2.OM
2) Dựng hình bình hành AHIO . Gọi J là tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng:
OI .OJ  R2
3) Gọi N là giao điểm của AH và đường tròn tâm O (N khác A). Gọi D là điểm bất kỳ trên cung nhỏ NC
của đường tròn tâm O (D kác N và C ). Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K là giao điểm của AC và

HE. Chứng minh rằng: ACH  ADK.
Câu 6. 1) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: (1  a)(1  b)  1  ab

2) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  b  ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
P

 (1  a2 )(1  b2 )
2
2
a  2a b  2b


( vế phải của pt (1) ta thường hay gặp trong các bài toán giải hệ pt ta cần chú ý)

Câu
1

SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN BÌNH PHƯỚC 2015-2016
Nội dung

2) Đặt Q  (a  a  1).P . Chứng minh Q  1
Ta có: Q  (a  a  1).P 

a  a 1

a  a 1

( a  1)2

 1  1, a  0; a  1.
a

a
a
(Cách khác: có thể tách ra rồi sử dụng bđt côsi và xét thấy dấu bằng không xảy ra suy ra Q  1 )
2



Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m2  0



(1) Tìm m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn

( x1  m)2  x2  m  2 (2)
1
Pt (1) có hai nghiệm   '  0  m   . Khi đó theo vi-ét ta có: x1  x2  2m  2; x1x2  m2
2
Vì x1 là nghiệm của pt (1) nên x12  2(m  1) x1  m2 thay vào (2) ta được 2 x1  x2  m  2
m  0
Từ vi-ét và giả thiết, ta có m(3m  2)  m  
1 (thỏa mãn)
m  

2
m  0
Vậy 
1 thỏa mãn ycbt.
m  

2

2

3

1) Giải pt ( x  1) 2( x 2  4)  x 2  x  2 (1)
ĐK: x  R
 x  1


2
Pt (1)  ( x  1)  2( x  4)  ( x  2)  0    x  2  x  1



  x  2
Vậy pt có cnghiệm x  1
 1
x

 x 2  xy  2 y 2
(1)

2) Giải hpt  x
y

2
( x  3  y )(1  x  3 x )  3 (2)
( vế phải của pt (1) ta thường hay gặp trong các bài toán giải hệ pt ta cần chú ý)
x  0
ĐK:  

(*)
y  0


1
Từ pt (1) suy ra ( y  x )  x  2 y 

y x


y  x

  0   x  2 y  1  0

y x


+) Với y  x thay vào (2) ta được

( x  3  x )(1  x 2  3x )  3  1  x 2  3x  x  3  x  ( x  3  1)( x  1)  0
( nhân hai vế pt với

x  3  x ) ( Ta cũng có thể đặt t  x  3  x rồi bình phương hai vế )


 x  3  1  x  2 (L )


x


1
x  1 y  1


+) Vì x  0; y  0 nên x  2 y 

1
y x

 0 vô nghiệm

Vậy nghiệm của hpt là:  x; y   1;1 .
4

Giải pt trên tập số nguyên x 2015  y( y  1)( y  2)( y  3)  1 (1)
ĐK: y(y  1)(y  2)(y  3)  0
Pt (1)  x 2015  1  ( y2  3y  1)2  1
Đặt: y2  3y  1  a (a  Z )
Vì x nguyên nên x 2015  1 nguyên, suy ra

a2  1  k 2 (k  Z )  a2  k 2  1  (a  k )(a  k )  1  k  0
y  0  x  1
2
 y  3  x  1

y  3y  1  1
( thỏa mãn)
 ( y2  3y  1)2  1   2

 y  3y  1  1  y  1  x  1

 y  2  x  1
Vậy pt có 4 nghiệm nguyên  x; y  : 1;0  , 1; 1 , 1; 2  , 1; 3 .

( Ta thường hay gặp chứng minh biểu thức dưới dấu căn cộng 1 là số chính phương)
6

1) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: (1  a)(1  b)  1  ab
Ta chứng minh bằng phép biến đổi tương đương
2) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  b  ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
P

 (1  a2 )(1  b2 )
2
2
a  2a b  2b
1 1
4
( Ta cần sử dụng hai bđt phụ sau (1  x)(1  y)  1  xy và  
nhưng phải chứng minh
x y xy
hai bđt này mới được điểm tối đa)
4
4
4
 1  ab 
 1  ab 
 ab  1
Cách1: P 

a 2  2a  b 2  2b
(a  b)2  2ab  2(a  b)
a2 b2

 4
ab ab  7ab
1 1 7ab
7 7ab

 

 1  3.3 4. . 
1  
2 2 16 16 
16 16
8
4
8
a b
 8
Mặt khác: từ giả thiết, ta có: ab  a  b  2 ab  ab  4
7 7.4 21
21
 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
Do đó P  
khi a  b  2
4 8
4
4
Bình luận: nếu không có bđt phụ thứ nhất, ta phải nghĩ đến sdụng bđt Bu-nhia-copxki cho biểu thức

dưới dấu căn. Còn tổng hai biểu thức nghịch đảo thì quá rõ, sau đó dùng ppháp dồn biến)
Cách 2:
1
1
1
1
1
1
P

 (1  a2 )(1  b2 ) 

 1  ab 

 a  b 1
2
2
2
2
a(a  2) b(b  2)
a  2a b  2b
a  2a b  2b
 1
a a2  1
b b  2  29
7

 
 


  ( a  b) 
8
 a(a  2) 16 32   b(b  2) 16 32  32


 3.3 1.

1 1
1 1 29
7 13 29
.  3.3 1. .  (a  b)    (a  b)
16 32
16 32 32
8 8 32

(a  b)2
 ab  4
4
13 29
13 29
21
Do đó P   (a  b)   .4 
8 32
8 32
4
21
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
tại a  b  2
4
Cách 3:

Ta có a  b  ab  (a  1)(b  1)  1
Đặt a  1  x  a  x  1; b  1  y  b  y  1; x.y  1

Mặt khác: từ giả thiết, ta có: a  b  ab 

Khi đó P 

1
2



1
2

 1  ab 

1
1

 a  b 1
a(a  2) b(b  2)

a  2a b  2b
1
1


 x y3
( x  1)( x  3) ( y  1)( y  3)

5

Cho tam giác ABC nhọn

 AB  AC  nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi H là trực tâm

của tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC.
1) Chứng minh rằng: AH  2.OM
2) Dựng hình bình hành AHIO . Gọi J là tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh
rằng: OI .OJ  R2
3) Gọi N là giao điểm của AH và đường tròn tâm O (N khác A). Gọi D là điểm bất kỳ trên cung nhỏ
NC của đường tròn tâm O (D kác N và C ). Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K là giao điểm của
AC và HE. Chứng minh rằng: ACH  ADK.
Quá trình làm và đánh máy không tránh khỏi sai sót, độc giả tự chỉnh sửa!
Tiếp tục cập nhật!