120 đề vào 10 chuyên hòa bình 2015 2016

SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN TOÁN
(DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN)
Ngày thi: 07 tháng 6 năm 2015
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I (2,0 điểm)
1) Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A 
b) B 

4
8
15


3  5 1 5
5
22

2 1 

2 2

2 1

2) Rút gọn biểu thức:
C

a2  a
a2  a

 a 1
a  a 1 a  a 1

Câu II (2,0 điểm)
1) Giải phương trình:

1
1
1
1



3x  1 2 x  4 9 x  2 5  4 x

x  y  z

2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: 

3
3
2

x  y  z

Câu III (2,0 điểm)
Một vận động viên A chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi cách nhau 6km với vận tốc 10km/h rồi chạy
xuống dốc với vận tốc 15km/h. Vận động viên B chạy từ chân đồi lên đỉnh đồi với vận tốc
12km/h và gặp vận động viên A đang chạy xuống. Hỏi điểm hai người gặp nhau cách đỉnh đồi
bao nhiêu ki-lô-mét, biết rằng B chạy sau A là 15 phút.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN, M
khác A, N khác B). Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K.
1) Chứng minh rằng: IK vuông góc với AB.
2) Chứng minh rằng:AK.AN+BK.BM=AB2
3) Tìm vị trí của dây MN để diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia
hết cho 12.
 x  0, y  0, z  0
1
1
1
.Chứng minh rằng:


1
x  y 1 y  z 1 z  x 1
 xyz  1

2) Cho 

-------- Hết --------

SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN)
(Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)

Câu I (2,0 điểm)
Phần
ý
1
4
8
15
A


3  5 1 5
5



Điểm
0,5đ

4(3  5) 8(1  5) 15 5



 3 5  2 2 5 3 5  5
4
4
5

B

22

2 1 

 (

2  1  1) 2  (


2 1 1 1 
2
2

Nội dung

C
C

2 2

2 1

2  1  1) 2

2 1

a2  a
a2  a

 a 1
a  a 1 a  a 1
a ( a )3  1
a  a 1

0,5đ



a ( a )3  1
a  a 1

(DK : a  0)

0,5đ

 a 1

 a ( a  1)  a ( a  1)  a  1

0,5đ

 a  a  a  a  a 1
 ( a  1) 2

Câu II (2,0 điểm)
Phần
Nội dung
ý
1
1
1
1
1
1
2
5
: ĐK: x  , x  2, x  , x 



3x  1 2 x  4 9 x  2 5  4 x
3
9
4
5x  3
5x  3
Ta có pt:

(3x  1)(2 x  4) (9 x  2)(5  4 x)

Điểm

0,25đ
0,25đ


2

3
3


x
x




5
5
 2

2
6 x  12 x  2 x  4  36 x  45 x  8 x  10
(3x  1)(2 x  4)  (9 x  2)(5  4 x)
3

 x   5 (TM )

6
  x  (TM )


7

 x  1 (TM )

6
Vậy phương trình đã có có 3 nghiệm phân biệt như trên.

0,5đ

Ta có: x3  y3  ( x  y)2  ( x  y)( x 2  xy  y 2  x  y)  0

0,25đ

Vì x, y nguyên dương nên x+y  0, ta có: x2  xy  y 2  x  y  0

 2( x 2  xy  y 2  x  y )  0

0,25đ

 ( x  y )2  ( x  1)2  (y 1)2  2
Vì x, y nguyên nên có 3 trường hợp:
x  y  0

+ Trường hợp 1: ( x  1)2  1  x  y  2, z  4
( y  1)2  1


0,25đ

x 1  0


+ Trường hợp 2: ( x  y ) 2  1  x  1, y  2, z  3
( y  1) 2  1

 y 1  0

+ Trường hợp 3: ( x  y ) 2  1  x  2, y  1, z  3
(x  1) 2  1

Vậy hệ có 3 nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4)
Câu III (2,0 điểm)
Phần
Nội dung
ý
Gọi điểm 2 vận động viên gặp nhau cách đỉnh đồi x km (x>0)
1
6 x
Thời gian B đã chạy là
. Đổi 15p = (giờ)
4
12
6 3
Thời gian A đã chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi là
 (giờ)
10 5
x
Thời gian A đã chạy từ đỉnh đồi đến chỗ gặp nhau là
.
15
1 6 x x 3

 
Ta có phương trình 
4 12
15 5
Giải phương trình được x= 1(km) . KL
Câu IV (3,0 điểm)
Phần
Nội dung

0,25đ
Điểm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Điểm


ý

Ta thấy AN BI ,BM AI , nên K là trực tâm tam giác IAB. Do đó IK AB
Vì AEK∽ ANB ∽ nên AK. AN =AE .AB
Tương tự vì BEK∽ BMA ∽ nên BK .BM =BE. BA
Vậy AK.AN+BK.BM=AE.AB+BE.BA=AB2
Chỉ ra sđ MN=60o nên tính được AIB=60o , do đó điểm I thuộc cung chứa góc 60o dựng trên
3
đoạn AB.
Diện tích tam giác IAB lớn nhất khi IE lớn nhất (IE là đường cao của tam giác IAB), khi đó I

nằm chính giữa cung chứa góc 60o dựng trên đoạn AB tương ứng với MN song song với AB.
Câu V (1,0 điểm)
Phần
Nội dung
ý
Ta có: p+(p+2)=2(p+1)
1
Vì p lẻ nên ( p  1) 2  2( p  1) 4 (1)
1
2

Vì p, (p+1), (p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 3, mà p và (p+2)
nguyên tố nên ( p  1) 3 (2)

1,0đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

Điểm
0,25đ
0,25đ

Từ (1) và (2) suy ra  p  ( p  2) 12 (đpcm)
2

0,25đ

 x  a3

 x, y, z  0
a, b, c  0
Đặt  y  b3 , vì 
 
 xyz  1
abc  1
 z  c3

Ta có
x  y  1  a3  b3  1  (a  b)(a 2  ab  b2 )  1  (a  b)ab  1  ab(a  b  c) 

Do đó
1
c

x  y 1 a  b  c
Tương tự ta có

abc
c

0,25đ


1
a

y  z 1 a  b  c

1
b

z  x 1 a  b  c
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm.
* Chú ý: Các lời giải đúng khác đều được xem xét cho điểm tương ứng.