Một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy học hàm số và đóng góp của công nghệ

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 44-52
This paper is available online at

DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0164

MỘT CÁCH TIẾP CẬN MÔ HÌNH HÓA VỀ DẠY HỌC HÀM SỐ
VÀ ĐÓNG GÓP CỦA CÔNG NGHỆ
Trần Kiêm Minh
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
Tóm tắt. Nghiên cứu này đề cập đến dạy học hàm số ở phổ thông và đóng góp của công
nghệ. Chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận hàm số thông qua mô hình hóa hàm các quan hệ
phụ thuộc trong những hệ vật lí. Sau đó, chúng tôi phân tích tiềm năng của cách tiếp cận
này đối với việc dạy và học hàm số trong môi trường phần mềm Casyopée tích hợp đồng
thời hình học động và đại số máy tính. Kết quả nghiên cứu bước đầu cho thấy cách tiếp cận
hàm số đề xuất ở trên có thể được sử dụng để thúc đẩy việc hiểu của học sinh về hàm số
như là mô hình của mối quan hệ đồng biến thiên phụ thuộc giữa hai đại lượng trong các hệ
vật lí.
Từ khóa: Hàm số, sự đồng biến thiên, chu trình mô hình hóa hàm, công nghệ, Casyopée.

1.

Mở đầu

Hàm số là một khái niệm cơ bản và quan trọng của toán học. Các phân tích về mặt tri thức
luận và lịch sử [6, 12] cho thấy khái niệm hàm số xuất hiện trong lịch sử từ nhu cầu thực tế và
trong các ngữ cảnh ứng dụng. Quá trình hình thành khái niệm hàm số trong lịch sử cho thấy có hai
khía cạnh cơ bản trong quan niệm về hàm số: khía cạnh tương ứng và khía cạnh đồng biến thiên.
Khía cạnh tương ứng thường xuất hiện trong các định nghĩa mang tính hình thức, trong khi đó khía
cạnh đồng biến thiên xuất hiện sớm trong các ý tưởng hình thành khái niệm hàm số và thường ở
dạng ngầm ẩn. Theo Comin (2005, [2]), khái niệm hàm số được hình thành dựa trên ý tưởng về

các mối quan hệ phụ thuộc và học sinh chỉ có thể đạt được nghĩa đúng về khái niệm này thông qua
việc nghiên cứu các mối quan hệ phụ thuộc hàm giữa các đại lượng.
Nhiều nghiên cứu về dạy học hàm số đã cho thấy học sinh thường gặp khó khăn liên quan
đến các khía cạnh khác nhau của khái niệm này, đặc biệt trong việc hiểu khái niệm hàm số được
thể hiện trong các kiểu biểu đạt (registers of semiotic representation, theo nghĩa của Duval [3])
khác nhau (hình học, đại số, đồ thị, số học, ngôn ngữ. . . ). Gần đây, nhiều nhà nghiên cứu giáo dục
toán đã quan tâm đặc biệt đến tiềm năng hỗ trợ của các công cụ công nghệ mới đối với việc dạy và
học hàm số [1, 4, 5, 7]. Việc sử dụng các công cụ công nghệ mới, đặc biệt là các phần mềm hình
học động, cho phép học sinh khám phá các trải nghiệm về quan hệ đồng biến thiên phụ thuộc giữa
các đại lượng hình học (như độ dài, diện tích. . . ). Tuy nhiên, các môi trường phần mềm này không
hỗ trợ học sinh sử dụng các kí hiệu đại số cũng như làm việc trên các mô hình đại số của các quan
hệ phụ thuộc hàm này.
Ngày nhận bài: 15/3/2015. Ngày nhận đăng: 10/10/2015.
Liên hệ: Trần Kiêm Minh, e-mail:

44


Một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy học hàm số và đóng góp của công nghệ

Dựa trên quan niệm "đồng biến thiên" về hàm số [8] đã đề xuất một cách tiếp cận xem hàm
số như là “mô hình của các quan hệ phụ thuộc” giữa các đại lượng trong một lĩnh vực ứng dụng.
Cách tiếp cận này chứa đựng tiềm năng khai thác sự hỗ trợ của các công cụ công nghệ mới, đặc
biệt là các môi trường phần mềm tích hợp cả hình học động và đại số máy tính. Những môi trường
phần mềm này cho phép kết nối các kiểu biểu đạt khác nhau của một quan hệ phụ thuộc hàm.
Trong bài báo này, chúng tôi mô tả một cách tiếp cận xem hàm số như là mô hình của các
quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng đề xuất trong [8] và vận dụng cách tiếp cận này vào phân
tích một tình huống học tập hàm số trong môi trường phần mềm Casyopée. Trong phần tiếp theo
của bài báo, chúng tôi phân tích một số khía cạnh lí thuyết chủ yếu liên quan đến cách tiếp cận
này. Sau đó, chúng tôi trình bày phương pháp nghiên cứu và mô tả các kết quả thực nghiệm bước

đầu về vận dụng cách tiếp cận này vào dạy học hàm số ở bậc phổ thông.

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Nền tảng lí thuyết

2.1.1. Nghiên cứu về dạy học hàm số
Từ khía cạnh «quy trình-đối tượng» đến quan niệm «đồng biến thiên»
Từ đầu những năm 1990, hầu hết các nghiên cứu liên quan đến dạy học hàm số dựa trên sự
phân biệt hai quan niệm chủ đạo mà học sinh chấp nhận khi học hàm số: quan niệm “quy trình” và
quan niệm “đối tượng” (Sfard, 1991, [10]). Quan niệm quy trình (process view) về hàm số được
đặc trưng bởi sự tập trung chú ý đến kết quả của các hoạt động tính toán sau một dãy các phép tính,
trong khi quan niệm đối tượng (object view) dựa trên sự khái quát hóa các quan hệ phụ thuộc giữa
các cặp giá trị vào-ra (imput-output) của các đại lượng. Sau đó, một số tiếp cận được phát triển để
mô tả các quan niệm định hướng đối tượng về hàm số đặc biệt nhấn mạnh khía cạnh “đồng biến
thiên” của hàm số (Thompson, 1994, [13]). Điểm mấu chốt của một quan niệm đồng biến thiên
phụ thuộc liên quan đến việc hiểu cách thức trong đó các biến (biến độc lập) và giá trị hàm (biến
phụ thuộc) thay đổi cũng như sự kết hợp giữa các thay đổi này. Điều này kéo theo sự thay đổi trong
cách hiểu một biểu thức từ cách nhìn giá trị vào - giá trị ra có tính đơn lẻ đến cách nhìn động hơn.
Tuy nhiên, quan niệm động về biến thiên này dường như chưa rõ ràng đối với học sinh và vì vậy
đòi hỏi cần thiết phải có các tình huống học tập có thể mang lại cho học sinh cơ hội để suy nghĩ
về bản chất đồng biến thiên phụ thuộc của hàm số trong việc mô hình hóa các sự kiện động.
Việc hiểu khái niệm biến
Một khó khăn đặc biệt trong việc hiểu khái niệm hàm số là hiểu khái niệm về biến.
Thompson (1994, [13]) chỉ ra rằng hình ảnh nổi bậc được gợi lên bởi từ “hàm số” ở học sinh
liên quan đến hai biểu thức rời nhau được liên kết bởi dấu “=”. Với mục đích chỉ ra khó khăn của
học sinh để phát triển việc hiểu cấu trúc của biểu thức hình thức của các quan hệ hàm và vai trò của
các kí hiệu đặc biệt trong đó, tác giả mô tả một ví dụ về công thức tính tổng Sn = 12 + 22 + ...+ n2

n(n + 1)(2n + 1)
được đưa ra bởi một học sinh như là câu trả lời. Học sinh đó viết : f (x) =
và
6
không có học sinh nào tìm thấy chỗ sai trong công thức này vì dường như nó khớp với hình ảnh
về hàm số của học sinh. Ở đây học sinh quan niệm hàm số bao gồm hai thành phần phân biệt mà
không có liên quan gì với nhau và với các đối tượng hay đại lượng hiện tại.
Tình huống học tập mà chúng tôi xây dựng trong nghiên cứu này một phần hướng đến việc
giúp học sinh hiểu hơn về khái niệm biến. Chẳng hạn, việc mô hình hóa tự động với phần mềm
Casyopée giúp học sinh tập trung vào việc thành lập các thành phần của một hàm số (biến, giá trị
hàm) hơn là vào việc tính toán công thức đại số của hàm số.

45


Trần Kiêm Minh

Vai trò của biểu tượng hàm số
Nhiều nghiên cứu giáo dục toán đều có chung thừa nhận rằng vấn đề biểu tượng hình thức
(symbolism) về hàm số là một khó khăn chủ yếu đối với học sinh. Cách nhìn của học sinh về các
biểu thức hình thức có thể đơn thuần chỉ là một tương ứng các giá trị vào - ra. Slavit (1997, [11])
chỉ ra vai trò then chốt của biểu tượng được xem xét trong các dạng khác nhau như đồ thị hay
phương trình trong sự phát triển của khái niệm hàm số và gợi ý về sự cần thiết đối với việc khảo
sát quan niệm về hàm số của học sinh trong các ngữ cảnh khác nhau chẳng hạn như ngữ cảnh hình
học hay ứng dụng. Thậm chí khi học sinh đạt được những thành thạo cơ bản về biểu tượng hình
thức đại số, việc kết hợp sự thành thạo này với việc hiểu cấu trúc của công thức đại số của một
hàm số cũng là quan trọng và đặc biệt được hướng đến khi hàm số đó xuất phát từ ngữ cảnh ứng
dụng. Tình huống học tập đưa ra ở phần sau sẽ cho thấy Casyopée có thể hỗ trợ làm tương thích
dạng biểu tượng hình thức và thao tác động các đối tượng toán học cũng như quan hệ phụ thuộc
giữa chúng như thế nào.

2.1.2. Chu trình mô hình hóa hàm – một cách tiếp cận hàm số trong môi trường công nghệ
Lagrange & Artigue (2009, [5]) đề xuất một bảng phân bậc hoạt động để phân loại và kết
nối các hoạt động về hàm số trong môi trường công nghệ. Bảng phân bậc hoạt động này gồm hai
thành phần: cấp độ biểu diễn các quan hệ phụ thuộc và kiểu hoạt động với các quan hệ phụ thuộc.
Dựa trên bảng phân bậc hoạt động này, Minh (2012b, [8]) đề xuất một chu trình mô hình hóa hàm
nhằm tiếp cận các hàm số. Chu trình này cho phép xem xét các bước trong qua trình xây dựng một
mô hình toán học để nghiên cứu một quan hệ phụ thuộc hàm trong một hệ vật lí.

(1) Mô hình hóa tình huống bằng
một hình động
(2) Chọn biến, giá trị hàm để
biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc
(3) Mô hình hóa bởi một hàm số
(4) Lí giải và kiểm chứng mô
hình

Hình 1. Chu trình mô hình hóa hàm
Hệ vật lí là ngữ cảnh thực tế của tình huống. Bước chuyển từ Hệ vật lí sang cấp độ Hình
học được đặc trưng bởi việc dựng một hình hình học động minh họa tình huống. Hình học là cấp
độ ở đó học sinh có thể di chuyển các đối tượng, quan sát sự biến đổi của các hình hình học nhờ
sự hỗ trợ của công nghệ, và nhận thức các quan hệ phụ thuộc hình học giữa các đối tượng của Hệ
vật lí. Đại lượng là cấp độ ở đó học sinh có thể sử dụng công nghệ để lượng hóa các quan sát và
khám phá, thể hiện qua việc thiết lập các tính toán và biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc giữa các
đại lượng hình học bằng một công thức tiền đại số. Hàm số là cấp độ biểu diễn một quan hệ phụ
thuộc hàm bởi một hàm số cho bởi một công thức đại số. Đây là cấp độ cho các biến đổi đại số và
chứng minh toán học. Bước (4) trong chu trình minh họa việc trở lại trong Hệ vật lí để lí giải và
kiểm chứng tính thích đáng của mô hình toán học.
Chúng tôi xem xét chu trình mô hình hóa hàm này như một khung lí thuyết về cách tiếp cận
hàm số trong môi trường học tập có sự hỗ trợ của công nghệ. Cách tiếp cận hàm số như vậy cho

46


Một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy học hàm số và đóng góp của công nghệ

phép kết nối một quan hệ phụ thuộc hàm trong các lĩnh vực ứng dụng với phạm vi đại số thông
qua việc mô hình hóa hàm (mô hình hóa một quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng trong lĩnh vực
ứng dụng bởi một hàm số toán học). Khung lí thuyết này là cơ sở để chúng tôi thiết kế các tình
huống học tập về hàm số trong môi trường phần mềm Casyopée và phân tích các kết quả quan sát
thực nghiệm ở lớp học.

2.2.

Phương pháp nghiên cứu

2.2.1. Môi trường phần mềm Casyopée
Casyopée (Có thể tải Casyopée tại là phần
mềm nguồn mở được thiết kế cho việc dạy và học hàm số ở phổ thông. Casyopée có hai cửa
sổ chính: cửa sổ đại số và cửa sổ hình học. Cửa sổ hình học cung cấp các đặc trưng chủ yếu của
một phần mềm hình học động như khởi tạo và cơ hoạt các đối tượng hình học.

Hình 2. Cửa sổ hình học, cửa sổ đại số và dạng hàm số được xuất của Casyopée
Đặc biệt, trong cửa sổ hình học có một chức năng gọi là «tính toán hình học», cho phép hỗ
trợ việc mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc hình học giữa các đại lượng như: tạo các «phép
tính hình học» hình thức biểu diễn một đại lượng hình học hoặc số đo của đại lượng đó, chọn một
đại lượng làm giá trị hàm và một đại lượng làm biến để khảo sát mối quan hệ phụ thuộc hàm giữa
chúng, tính toán tự động và xuất vào cửa sổ đại số một hàm số mô hình hóa quan hệ phụ thuộc
hàm này. Chú ý rằng, với một đại lượng được chọn làm giá trị hàm cho trước, Casyopée cho phép
học sinh có thể chọn nhiều đại lượng làm biến khác nhau để khảo sát các mối quan hệ phụ thuộc.
Nếu đó là một mối quan hệ phụ thuộc hàm, Casyopée cho phép tự động xuất ra một công thức

đại số mô tả quan hệ phụ thuộc đó. Ngược lại, nếu đó không phải là một quan hệ phụ thuộc hàm,
Casyopée đưa ra phản hồi để học sinh có thể điều chỉnh cách chọn biến cho thích hợp.
Cửa sổ đại số được liên kết với của sổ hình học, và học sinh có thể chuyển đổi qua lại giữa
hai cửa sổ một cách dễ dàng. Cửa sổ đại số cung cấp các công cụ để học sinh có thể làm việc trên
các hàm số trong ba hệ thống biểu đạt khác nhau là : biểu tượng (biểu thức đại số), đồ thị, số học
47


Trần Kiêm Minh

(bảng giá trị). Với một hàm số được xuất vào của sổ đại số, học sinh có thể thao tác, biến đổi trên
biểu thức của hàm số bằng cách khai triển, tính đạo hàm. . . Học sinh cũng có thể khám phá đồ thị
của hàm số hoặc hiển thị một bảng giá trị của hàm số đó.

2.2.2. Tổ chức thực nghiệm
Các tình huống thực nghiệm trong nghiên cứu này nhằm hỗ trợ học sinh tiếp cận hàm số
thông qua việc mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng trong một tình huống
thực tế. Một phần của thực nghiệm được thực hiện trên đối tượng là học sinh lớp 12/6 của trường
Trung học phổ thông Trần Hưng Đạo, Thành phố Huế, trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ (Ngô
Thị Nhật Anh, 2013, [9]). Chúng tôi tổ chức thành các nhóm hai học sinh làm việc trên cùng một
máy tính xách tay có cài sẵn phần mềm Casyopée. Kịch bản thực nghiệm bao gồm:
Quan sát lớp học
- Phần 1 (3 buổi): Mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc trong các tình huống đơn giản;
- Phần 2 (2 buổi): Mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc trong các tình huống phức tạp
hơn (làm việc với tham số);
- Phần 3 (1 buổi): Học sinh làm việc tự do hơn để giải quyết vấn đề.
Bảng hỏi: Sau thời gian quan sát thực nghiệm ở lớp, chúng tôi có một bảng câu hỏi để học
sinh trả lời cá nhân. Mục đích là để tìm hiểu những khó khăn của học sinh và tiềm năng hỗ trợ của
phần mềm này trong việc học khái niệm hàm số.
Phỏng vấn nửa cấu trúc: Để tìm hiểu sâu hơn khả năng hiểu của học sinh về hàm số và các

khái niệm liên quan (biến, giá trị hàm) khi làm việc trong môi trường Casyopée, chúng tôi thực
hiện một buổi phỏng vấn nửa cấu trúc vào cuối quá trình thực nghiệm.
Dữ liệu thu thập được bao gồm bài làm của học sinh, tập tin bài làm của học sinh, các tập
tin video ghi lại thao tác của học sinh trên màn hình máy tính, bảng hỏi và tập tin âm thanh ghi lại
cuộc phỏng vấn.

2.2.3. Tình huống học tập minh họa
Sau đây chúng tôi giới thiệu một tình huống minh họa cho cách tiếp cận đề cập ở trên. Tình
huống này là tình huống được thực nghiệm trong buổi thứ ba của phần quan sát lớp học.
Tình huống: Một cái hàng rào có
chiều cao AQ = 1dam (1dam =
10m) song song với bức tường
của một tòa nhà và cách bức
tường một khoảng cách cũng là
1dam. Người ta muốn làm một
cái thang MN có chiều dài ngắn
nhất, dựng từ vị trí M trên mặt
đất, bắc qua hàng rào AQ tại A
và dựa vào bức tường tòa nhà tại
N. Hỏi cần phải đặt cái thang ở
vị trí nào trên mặt đất?
Hình 3. Chu trình mô hình hóa hàm của tình huống
Ở đây Hệ vật lí là ngữ cảnh của tình huống. Học sinh được mong đợi dựng một hình động
với Casyopée để mô hình hóa tình huống. Việc dựng điểm M di động trên tia [Qx) có thể là một
48


Một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy học hàm số và đóng góp của công nghệ

khó khăn đối với hầu hết học sinh vì nó đòi hỏi phân biệt được điểm tự do trong mặt phẳng và trên

đường thẳng (trường hợp M trùng Q thì không thể dựng được hình). Sau khi dựng được hình, học
sinh có thể di chuyển điểm M trên tia [Qx) để kiểm tra cách dựng và quan sát sự thay đổi độ dài
của đoạn MN.
Tiếp theo, học sinh có thể khảo sát mối quan hệ phụ thuộc giữa điểm M và độ dài đoạn
MN bằng cách tạo ra các phép tính độ dài như OM, QM, MN. . . Casyopée cho phép chọn một đại
lượng liên quan đến vị trí điểm M làm biến, chẳng hạn như OM, QM... và MN hoặc MN2 làm giá
trị hàm để mô hình hóa. Nếu đó là một quan hệ phụ thuộc hàm, Casyopée hỗ trợ xuất vào cửa sổ
đại số một hàm số mô tả quan hệ phụ thuộc này. Chẳng hạn, nếu học sinh chọn biến là OM và giá
trị hàm là MN2 thì hàm số được xuất ra là:
f : OM → M N 2
x4 − 2x3 + 2x2
f (x) =
.
x2 − 2x + 1
Nếu học sinh chọn biến là QM và giá trị hàm là MN2 thì hàm số xuất ra đơn giản hơn:
g : QM → M N 2

g(x) = x2 + 2x +

1
2
+ 2 + 2.
x x

Trong cửa sổ đại số, học sinh có thể làm việc với biểu thức đại số của hàm số (khai triển,
lấy đạo hàm. . . ) hoặc khám phá đồ thị hàm số trước khi tiến hành giải bài toán chính xác. Kết quả
bài toán là điểm đặt vị trí cái thang cách bức tường 2dam.
Tất nhiên, bài toán này có thể được giải bằng phương pháp hình học đơn thuần bằng cách sử
dụng tính chất các tam giác đồng dạng. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi muốn nhấn mạnh tiềm năng hỗ
trợ của các môi trường phần mềm tích hợp cả hình học động và đại số như Casyopée khi tiếp cận

khái niệm hàm số. Cụ thể hơn, Casyopée cho phép quan sát sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng
trong một hình động, chọn một đại lượng làm biến và một đại lượng làm giá trị hàm để khảo sát
mối quan hệ phụ thuộc hàm giữa chúng. Nếu đó không phải là mối quan hệ hàm thì Casyopée cung
cấp phản hồi để học sinh lựa chọn biến khác thích hợp hơn. Ngoài ra, học sinh còn có thể khám
phá hàm số thiết lập được trong các kiểu biểu diễn khác nhau như đại số, đồ thị, số học (bảng giá
trị). Chúng tôi cho rằng cách tiếp cận hàm số với Casyopée như vậy chứa đựng tiềm năng giúp học
sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm như biến (biến độc lập), giá trị hàm (biến phụ thuộc),
tập xác định, biểu thức hình thức của hàm số. . .

2.3.

Phân tích kết quả thực nghiệm

Chúng tôi mô tả lại kết quả quan sát lớp học về tình huống này theo bốn bước: (1) xây dựng
một mô hình hình học động, (2) mô hình hóa hàm (chọn biến và giá trị hàm), (3) làm việc trên mô
hình đại số của tình huống, (4) khả năng hiểu của học sinh về tình huống sau khi làm việc với mô
hình đại số.
Xây dựng mô hình hình học động:
Quan sát thực nghiệm cho thấy phần lớn học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc dựng hình
động với phần mềm Casyopée. Học sinh vẫn còn khó khăn khi thao tác với các chức năng dựng
hình của phần mềm, đặc biệt là vấn đề ngôn ngữ hiện thị (tiếng Anh) vì phần mềm chưa được Việt
hóa. Việc dựng điểm M tự do trên tia [Qx) cũng không dễ đối với một số học sinh. Tuy nhiên, phản
hồi của môi trường phần mềm (hình bị biến dạng) khi di chuyển điểm M giúp học sinh điều chỉnh
cách dựng đúng.
49


Trần Kiêm Minh

Mô hình hóa hàm:

Việc mô hình hóa hàm với Casyopée được thể hiện qua các bước sau: tạo ra các phép tính
hình học với Casyopée, chọn một đại lượng làm biến, chọn một đại lượng làm giá trị hàm và cuối
cùng Casyopée hỗ trợ xuất ra biểu thức hàm số. Việc Casyopée tính toán tự động và xuất ra công
thức hàm số là ý định của các nhà phát triển Casyopée, nhằm mục đích giúp học sinh giảm bớt
các tính toán phức tạp, thay vào đó học sinh tập trung vào các bước như lựa chọn biến, chọn giá trị
hàm thích hợp, khảo sát mối quan hệ phụ thuộc hàm giữa chúng và kết hợp chúng để tạo nên hàm
số. Đây là những yếu tố cơ bản giúp học sinh hiểu đúng bản chất của các khái niệm liên quan đến
hàm số.
Quan sát thực nghiệm cho thấy việc chọn biến và giá trị hàm được học sinh thực hiện khá
dễ dàng. Một số học sinh thực hiện nhiều lựa chọn khác nhau cho giá trị biến như OM, ON, QM.
Trong trường hợp này, nếu chọn giá trị hàm là khoảng cách MN thì hàm số mà Casyopée xuất ra
là hàm vô tỷ và tương đối phức tạp cho học sinh. Phản hồi này của phần mềm đã giúp cho một số
học sinh thay đổi cách chọn giá trị hàm là MN2, và hàm số xuất ra là hàm hữu tỉ đơn giản hơn.

Hình 4. Cách chọn biến và giá trị hàm
của các cặp học sinh Trường – Hiếu (trái) và Hiền – Trí (phải)
Làm việc trên mô hình đại số:
Sau khi mô hình hóa bởi một hàm số với Casyopée, hầu hết học sinh ít khám phá đồ thị
hàm số về điểm cực tiểu mà chủ yếu làm việc trên biểu thức đại số của hàm số. Điều này có thể do
thể chế dạy học hàm số hiện tại dành nhiều ưu tiên đối với dạng biểu diễn đại số của hàm số. Học
sinh sử dụng đạo hàm để tìm ra điểm cực tiểu, tuy nhiên các chứng minh đại số nói chung chưa
hoàn chỉnh.

Hình 5. Chứng minh của các cặp học sinh Trường – Hiếu (trái) và Hiền –Trí (phải)
50


Một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy học hàm số và đóng góp của công nghệ

Khả năng hiểu của học sinh về tình huống và các vấn đề liên quan đến hàm số:

Nhìn chung sau khi làm việc với môi trường phần mềm Casyopée, học sinh hiểu được tốt
hơn ý nghĩa của tình huống học tập đưa ra. Việc chọn biến, chọn giá trị hàm, khảo sát mối quan
hệ hàm giữa các đại lượng, làm việc trên mô hình đại số của bài toán trong môi trường Casyopée
giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất và ý nghĩa của khái niệm hàm số và các khái niệm liên
quan như biến, giá trị hàm. . . Bảng 1 dưới đây là một minh chứng cho khẳng định đó.
Các học sinh cho thấy những hiểu biết có ý nghĩa hơn về các khái niệm biến, giá trị hàm và
hàm số như: biến là một giá trị thay đổi; giá trị hàm là một đại lượng biến thiên phụ thuộc, biến
phụ thuộc thay đổi theo biến độc lập; hàm số bao gồm các thành phần lập nên gồm biến độc lập,
biến phụ thuộc, tập xác định, đồ thị. . .
Học sinh

3.

Khái niệm «biến»
(biến độc lập)

Trí – Hiền

Giá trị thay đổi

Trường –
Hiếu

Biến là một giá trị
thay đổi

Hảo – Lợi

Biến là một giá trị
có thể thay đổi

Khái niệm «giá trị
hàm» (biến phụ
thuộc)
Biến phụ thuộc
thay đổi theo biến
độc lập
Có một giá trị thay
đổi và phụ thuộc
Có thể tăng hoặc
giảm phụ thuộc vào
biến

Khái niệm «hàm số»
Hàm số là một biểu thức gồm
biến độc lập, biến phụ thuộc, tập
xác định, đồ thị. . .
Gồm biến độc lập, biến phụ
thuộc, tập xác định, đồ thị
Gồm biến độc lập, biến phụ
thuộc, tập xác định, đồ thị. . .

Kết luận

Trong bài báo này, chúng tôi đã mô tả một cách tiếp cận xem hàm số như là mô hình của
các quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng. Sau đó, chúng tôi phân tích tiềm năng của của cách tiếp
cận này trong môi trường phần mềm Casyopée tích hợp đồng thời hình học động và đại số. Tình
huống học tập ở trên nằm trong chuỗi các tình huống học tập với phần mềm Casyopée mà chúng
tôi đã thiết kế và bước đầu thực nghiệm trong lớp học. Kết quả bước đầu cho thấy việc vận dụng
cách tiếp cận mô hình hóa về hàm số đề xuất bởi Minh (2012b, [8]) vào môi trường phần mềm

Casyopée có thể giúp học sinh hiểu hơn ý nghĩa của khái niệm hàm số cũng như các khái niệm
liên quan. Chẳng hạn, trải nghiệm với các quan hệ đồng biến thiên phụ thuộc giữa hai đại lượng,
phân biệt được một quan hệ phụ thuộc hàm từ các quan hệ đồng biến thiên giữa các đại lượng là
quan trọng và có ý nghĩa cho việc hiểu các khái niệm biến độc lập, biến phụ thuộc, hàm số. Ngoài
ra, quá trình mô hình hóa hàm với sự hỗ trợ của Casyopée và việc khám phá một hàm số trong các
kiểu biểu diễn khác nhau (hình học, đại số, đồ thị, bảng giá trị) để giải bài toán đặt ra cũng giúp
học sinh hiểu hơn khái niệm hàm số cũng như cấu trúc của công thức đại số của một hàm số, được
lập nên từ mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng trong một ngữ cảnh ứng dụng.
Lời cảm ơn. Nghiên cứu này được tài trợ một phần bởi Quỹ phát triển khoa học và công
nghệ quốc gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số VI1.99-2012.16.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

Arzarello, F., Robutti, O., 2004. Approaching functions through motion experiments.
Educational Studies in Mathematics, Special Issue CD Rom.
51


Trần Kiêm Minh

[2]
[3]
[4]
[5]

[6]
[7]
[8]
[9]
[10]

[11]
[12]
[13]

Comin, E., 2005. Variables et fonctions, du collège au lycée: méprise didactique ou
quiproquo interinstitutionnel. Petit x, 67, 33 - 61.
Duval, R., 2000. Basic issues for research in mathematics education. In T. Nakahara, M.
Koyama (Eds.), Proceedings of the 24th Conference of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 55–69). Hiroshima University.
Falcade, R., Laborde, C., Mariotti, M. A., 2007. Approaching functions: Cabri tools as
instruments of semiotic mediation. Educational Studies in Mathematics, 66(3), 317-333.
Lagrange, J.-B., Artigue, M., 2009. Students’ activities about functions at upper secondary
level: a grid for designing a digital environment and analysing uses. In M. Tzekaki, M.
Kaldrimidou, C. Sakonidis (Eds.), Proceedings of the 33rd Conference of the International
Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 465-472). Thessaloniki,
Greece: PME.
Minh, T. K., 2011. Apprentissage des fonctions au lycée avec un environnement logiciel:
situations d’apprentissage et genèse instrumentale des élèves. Thèse de doctorat, Université
Paris Diderot. Available at />Minh, T. K., 2012. Fonctions dans un environnement numérique d’apprentissage: étude
des apprentissages des élèves sur deux ans. Canadian Journal of Science, Mathematics and
Technology Education, 12(3), 233-258.
Minh, T. K., 2012. Une approche expérimentale des fonctions avec le logiciel Casyopée. Petit
x, 88, 49-74.
Ngô Thị Nhật Anh, 2013. Một cách tiếp cận hàm đối với đại số và đóng góp của công nghệ.
Luận văn Thạc sĩ khoa học giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế.
Sfard, A., 1991. On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes
and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1–36.
Slavit, D., 1997. An alternate route to the reification of function. Educational Studies in
Mathematics, 33(2), 259-281.
Youschkevitch, A. P., 1976. The concept of function up to the middle of the 19th century.

Archive for History of Exact Sciences, 16(1), 37-85.
Thompson, P. W., 1994. Students, functions, and the undergraduate curriculum. In E.
Dubinsky, A. H. Schoenfeld, J. J. Kaput (Eds.), Research in collegiate mathematics
education, I: Issues in mathematics education (Vol. 4, pp. 21 – 44). Providence, RI: American
Mathematical Society.
ABSTRACT
A modelling approach to the teaching and learning
of functions and the contribution of technology

This research refers to the teaching and learning of functions at the upper secondary level
and the contribution of technology. We proposed an approach to functions through the functional
modelling of dependencies in physical systems. We then analyzed the potential for the use of
this approach in the teaching and learning of functions in the Casyopée learning environment
integrating dynamic geometry and computer algebra. Initial results suggest that this approach to
functions can be used to promote students’ understanding of functions as models of covariation
between two magnitudes in physical systems.
Keywords: Function, covariation, functional modelling cycle, technology, Casyopée.

52