Bài giảng Toán 2: Chương 1 - ĐH Bách khoa TP. HCM

Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng

TOÁN 2
Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 1
/>

CHƢƠNG 1:

SỐ PHỨC
Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 2
/>

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
1. Dạng đại số của số phức:
a/ Định nghĩa:
Dạng đại số của số phức là: z a i b
Ở đây :
a : được gọi là phần thực của số phức z ,

ký hiệu là Re z
b : được gọi là phần ảo của số phức z ,
ký hiệu là Im z
i : được gọi là đơn vị ảo với i 2
1
Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 3
/>

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
Tập hợp số phức ta ký hiệu là C hay còn gọi là
mặt phẳng phức.
y

Ở đây :
Trục Ox : được gọi là trục thực
Trục Oy : được gọi là trục ảo

z

b

O

x

a

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt
phẳng phức.
Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là
môđun của số phức z và ký hiệu là z hoặc mod z
Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 4
/>

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
z

a

ib

được gọi là số phức liên hợp của z

b/ Các phép toán:
Cho hai số phức
z1

z1
z1 z 2
x

z1

a1

ib1

z2

a2

ib

z2

z2

a1
a1
a1 a 2

a1

a2

b1

b2

a2

ib1

2

i b1
x

a2

b1 b 2

b2

ib2
i a1 b 2

a 2 b1

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 5
/>

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
Ở đây : Ta nhân tương tự như trong trường hợp số
phức với chú ý i 2
1

Dễ nhận thấy
và

1
z

z

a

1
a

thì

ib

ib

a

a

ib

ib

a

a

a

2

z. z

b

2

a

2

CuuDuongThanCong.com

2

ib

b

i
a

2

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2

b

b

2

Slide 6
/>

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
z1

a1

ib1

a1

ib1

a2

ib

2

z2

a2

ib

a1

ib1

a2

ib

2

a1 a 2
2

a2

2

b1 b 2
2

a 2 b1

i

a1 b 2

2

b2

2

a2

( ĐK: z

2

0

b2

)

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 7
/>

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng
minh các công thức sau:

Toán 2

z

z

a

z

z

z1

z2

ib

a

z1

z2

z 1. z

2

ib

z1

ib

a

ib

2 a

2 ib

2 Re

z

2 i Im z

z2

z1

z2

z1. z 2

z1

z1

z2

z2

CuuDuongThanCong.com

a

Chương 1: SỐ PHỨC

Slide 8
/>

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số
1

z

3i

1

i

Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp 1
z

1
1

3i
i

1
1

i

4

i

2 i

1

ta được

i

i

2

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 9

/>

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
3
VD2: Cho f z
z
2 i
a/ Tính f i
b/ Giải phương trình f
Giải:

z

z

2

2

i z

2i

0

a/ Dễ dàng tính được f i 0
b/ z i là 1 nghiệm của phương trình
nên ta phân tích được
f z

z

i

z

2

2z

2

0

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 10
/>

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
Nhận xét :
Phương trình
ở đây

z

'

2z

1

Kết luận :
Phương trình
z

2

i

2

,

có 2 nghiệm là

CuuDuongThanCong.com

i

có 3 nghiệm là

0
z

1

i

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2

1

2

f z
i

0

Slide 11
/>

2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
2. Dạng lƣợng giác của số phức:
a/ Định nghĩa:
Cho số phức z a i b , z 0
Gọi r là khoảng cách từ
gốc toạ độ O tới z
và

y
z

b

r
O

x

a

là góc hợp giữa hướng dương của trục thực với
bán kính vectơ của điểm z .
Khi đó ta có :
z

a

ib

r cos

i sin

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 12
/>

2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
i sin

Biểu thức z r cos
được gọi là
dạng lượng giác của số phức z
Ở đây :
2
2
r
z
a
b
chính là mođun của số phức z
được gọi là acgumen của số phức z , ký hiệu arg

Ta có :

tg

b

b

arctg

a

Chú ý : chọn

a

sao cho

b

và

sin

cùng dấu

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

z

Slide 13
/>

2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
VD : Số phức
Ta có:

z

z

1

r

i

1
1

tg

2

2

1

2
5

hoặc

1

1

4

4

5

Ta chọn

4

Vậy

z

1

i

2

cos

5
4

i sin

5
4

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 14
/>

2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
b/ Các phép toán:
Cho hai số phức

z1

r1

z2

z1
z2

r1
r2

cos

z2

r2 cos

k 2π

2

r1 . r2 cos

x

r1 cos

r2
1

z1 z 2

z1

1

1

1

i sin

2

, k

2

Z

i sin

2

2

i sin

1

i sin

1

1

2

2

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

,z2

0

Slide 15
/>

2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
Từ các phép toán này ta có thể chứng minh được

các công thức sau:
r

cos

k

i sin

r

k

cos k

i sin k
k

(1)

Z

Công thức (1) được gọi là công thức Moivre
e

i

cos

i sin

(2)

Công thức (2) được gọi là công thức Euler
Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 16
/>

2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
Vậy số phức
Biểu thức
phức z

z

z

VD : Tính
Ta có :

r

re

1

1

cos

i sin

i

được gọi là dạng mũ của số

i

8

i

i

2 cos

π
4

1

re

i

8

2

4

cos 2 π

i sin

π
4

i sin 2 π

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

2

4

Slide 17
/>

3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
3. Khai căn của số phức:
Ta giải phương trình z n
Giả sử

α

r cos

Ta đặt z ρ
Khi đó ta có
z

n

ρ

n

ρ

n

nθ

i sin

cos θ

cos n θ

với

r cos

ρ

k 2π

θ

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

C

α

C

i sin θ

i sin n θ

r

z

n

i sin

r

k 2π

, k

n
/>
Z
Slide 18


3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
Vậy nghiệm của phương trình
zk

n

r

cos

k 2π

z

i sin

n

ở đây k 0 , 1 , ... , n
phương trình.

là

n

k 2π

( )

n
1

là ta có đủ nghiệm của

Vậy phương trình z n
có đúng n nghiệm cho
bởi công thức (*) với k 0 , 1 , ... , n
1 và chúng
được gọi là các căn bậc n của số phức
Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 19
/>

3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
3

1

Ta có :

1

VD: Tìm
vậy

3

1

cos

0

cos 0

i sin

i sin 0

0

k 2π

cos

i sin

k 2π

3

với
Vậy

3

1

là

ε0
ε1
ε2

cos
cos

cos

0

i sin

2π

3

k

0

0 , 1, 2

1
2π

1

3

3

2

4π

4π

1

3

2

i sin

i sin

3
Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

3

i

2
3

i

2
Slide 20

/>

4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
4. Định lý cơ bản của đại số:
a/ Định lý:
Phương trình bậc n, n Z
anx

n

a n 1x

n 1

...

a1x

a0

0

an

0

có đúng n nghiệm kể cả nghiệm thực, nghiệm
phức và nghiệm bội của nó.
VD: Phương trình bậc 5
3
2
x 1 . x
1
0 có đúng 5 nghiệm
là x 1 (nghiệm bội 3) và x
i
Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 21
/>

4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
b/ Định lý 2:
Cho phương trình bậc n với hệ số thực
f x

anx

ở đây

n

a n 1x

ai
an

Nếu
thì x

x

n 1

,

...

i

a1x

a0

0

0 , 1 , 2 , ...

,n

0

là nghiệm của phương trình
cũng là nghiệm của phương trình này.

α

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 22
/>

4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
VD : Giải phương trình

z

4

4z

3

11 z

2

14 z

10

0

Biết phương trình này có 1 nghiệm là

Nhận xét :
vậy
Ta có :

z1

z2

z

1

1
z1

z

1

cũng là nghiệm của phương trình
z2

z
z

1
2

i

z

2z

2

1

i

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

i

là nghiệm của phương trình

i

i

z1

Slide 23
/>

4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
Chia đa thức ta được
z

4

4z

3

11 z

2

14 z

10

Ta đi giải phương trình
'

1

5

4

4i

z

z

2

2

2z

2

5

0

2z

2

2z

z1

1

i

z3

1

2 i

1

2 i

0

Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

5

2

vậy phương trình này có 2 nghiệm là
Kết luận :
4
3
2
z
4
z
11
z
14 z 10
Phương trình
có 4 nghiệm là

z

Slide 24
/>

PHẦN BÀI TẬP CHƢƠNG 1:

SỐ PHỨC
Chương 1: SỐ PHỨC

Toán 2
CuuDuongThanCong.com

Slide 25
/>