Về một phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Nguyễn Văn Ý

VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN
u tt 


(u x   f (u ))  u t  F ( x, t )
x

LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET THUẦN NHẤT
Nguyễn Văn Ý*
1. Mở đầu
Trong bài này, chúng tôi xét bài toán biên và ban đầu cho phương trình
sóng phi tuyến
utt 


(u x   f (u ))  ut  F ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,
x

(1.1)

u (0, t )  u(1, t )  0,

(1.2)

u ( x, 0)  u0 ( x), ut ( x, 0)  u1 ( x),

(1.3)

trong đó  ,   0 là hai hằng số cho trước và f , F , u0 , u1 là các hàm cho trước
thỏa các giả thiết nào đó mà ta sẽ đặt sau.
Phương trình (1.1) viết lại dưới dạng
utt 


 ( x, t )   ut  F ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,
x

(1.4)

trong đó,

 ( x, t )  u x   f (u ).

(1.5)

Trường hợp    ( x, t )   (u x , u xt ) đã có rất nhiều công trình nghiên cứu.
Khởi đầu với trường hợp    (u x )   uxt ,   0,

  C 2 ( ),  (0)  0,

     0, bài toán (1.2) – (1.4) đã được xét bởi Greenberg, MacCamy, Mizel

[10]. Đây là mô hình toán học mô tả dao động dọc của một thanh đàn hồi nhớt
phi tuyến, u ( x, t ) là độ dịch chuyển so với vị trí cân bằng. Từ khi xuất hiện công
trình [10], đã có rất nhiều công trình công bố liên quan đến bài toán này, chẳng
hạn như: Greenberg [11], Greenberg, MacCamy [12], Dafermos [6], Andrews
[2], Clements [4].

*

ThS, Trường THPT chuyên Hùng Vương – Bình Dương

63


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

Về mặt hình thức phương trình (1.1) có dạng
(1.6)

utt  uxx  g ( x, t , u, ux , ut ),

trong đó g ( x, t, u, ux , ut )  F ( x, t )   f (u )u x   ut , tuy nhiên về mặt ý nghĩa thì có
những điểm khác biệt riêng.
Trong [9], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của phương trình

uxx  utt  21ut   2u   u 3  b, với   0 bé.

(1.7)

Trong bài báo của Caughey và Ellison [5], đã hợp nhất các xấp xỉ trong các
trường hợp trước đây để bàn về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm cận của
nghiệm cổ điển cho một hệ động lực phi tuyến liên tục.
Bài này gồm 2 phần. Trong phần 1, với các điều kiện   0,   0,
u0  H 01  H 2 ,

u1  H 01 ,

F,

F
 L (0, ; L2 ),
x

F (0, t )  F (1, t )  0, t  0,

và

f  C 2 ( ) thỏa f (0)  0, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm

yếu u của bài toán (1.1) – (1.3). Trong phần 2, với các giả thiết thích hợp chúng
tôi nghiên cứu sự khai triển tiệm cận của nghiệm u  u( ) theo tham số bé  .
2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Chúng ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng. Ta kí hiệu:
p

L  Lp (), H m  H m ()  W m ,2 (), W m , p  W m , p ( ),
  (0,1), QT    (0, T ), T  0.

Ta dùng kí hiệu ,  để chỉ tích vô hướng trong L2 hay cặp tích đối ngẫu
của một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không gian hàm.
Kí hiệu ||  || để chỉ chuẩn trong L2 và kí hiệu ||  ||X dùng để chỉ chuẩn trong một
không gian Banach X . Gọi X  là không gian đối ngẫu của X . Ta kí hiệu
Lp (0, T ; X ) , 1  p   là không gian Banach các hàm đo được u : (0, T )  X , sao
cho

u

64

Lp (0,T ; X )

T
   u (t )
0

1 p

p
X


dt 


 , nếu 1  p  ,


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Nguyễn Văn Ý

và
u

L (0,T ; X )

 ess sup u ( t )
0 t T

nếu p  .

X

Ta kí hiệu u(t ), ut (t )  u (t ), utt (t )  u(t ), ux (t )  u(t ), u xx (t )  u(t ) để lần
lượt chỉ u ( x, t ),

 2u
u
u 2
u
( x, t ),
( x, t ).
( x, t ), 2 ( x, t ),
t
t
x
x 2

Bây giờ ta đặt
1

a (u , v)   u x ( x)vx ( x)dx .

(2.1)

0

Khi đó trên H 01 hai chuẩn v

H1

và vx  a (v, v )  v

H 01

là tương đương.

Chúng ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. Phép nhúng H 1 C 0 () là compact và
v

C0 ()

 2 v

Bổ đề 2.2. Phép nhúng H 01

H1

, v  H 1.

(2.2)

C 0 ( ) là compact và v  H 01 , ta có

 v C0 ()  vx ,

 1
v H1  vx  v

 2

H1

.

(2.3)

Bổ đề 2.3. Dạng song tuyến tính a(, ) được định nghĩa trong (2.1) là liên
tục trên H 01  H 01 và cưỡng bức trên H 01 .
Việc chứng minh các bổ đề 2.1 và 2.2 không có gì khó khăn, ta có thể bỏ
qua.
Ta thành lập các giả thiết sau đây:
  0,   0,

( H1 )

u0  H 01  H 2 , u1  H 01 ,

(H2 )

F,

F
 L  0, ; L2  thỏa F (0, t )  F (1, t )  0, t  0,

x

( H3 )

65


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

f  C 2 ( ) và f (0)  0.

(H4 )

Bài toán (1.1) – (1.3) được viết lại
u  u   u  f ( x, t , u , u x ), 0  x  1, 0  t  T ,

u (0, t )  u(1, t )  0,
u ( x,0)  u ( x ), u( x, 0)  u ( x ),
0
1


(2.4)

f ( x, t, u, u x )  F ( x, t )   f (u )u x .

(2.5)

trong đó

Với M  0, T  0, ta đặt:





K i  K i ( M , f )  sup f ( i ) (u ) : u  M 2 (i  1, 2),

(2.6)



1
2

1
2
W ( M , T )  {v  L (0, T ; H 0  H ) : v  L (0, T ; H 0 ), v  L (QT ),

v L (0,T ; H 1 H 2 ) , v L (0,T ;H 1 ) , v L2 ( Q )  M },

0
0
T


2
W1 ( M , T )  v  W ( M , T ) : v  L (0, T ; L ).

(2.7)

Ta liên kết bài toán (2.4) với một dãy qui nạp tuyến tính xác định như sau:
Trước hết chọn số hạng đầu u0  W1 ( M , T ). Giả sử rằng
um1 W1 ( M , T ).

(2.8)

Ta tìm um W1 (M , T ) thỏa bài toán biến phân tuyến tính
 um ( t ), v  a ( um ( t ), v )    um ( t ), v    Fm (t ), v v  H 01,

(2.9)

um (0)  u0 , u m (0)  u1 ,

(2.10)

Fm ( t )  f ( x, t , um 1 (t ), um 1 ( t ))  F ( x, t )   f (um 1 (t ))um 1 (t ).

(2.11)

trong đó

Sự tồn tại của u m được cho bởi định lí sau
Định lí 2.4. Giả sử ( H1 )  ( H 4 ) là đúng. Khi đó, tồn tại các hằng số dương
M , T và một dãy qui nạp tuyến tính {um }  W1 ( M , T ) xác định bởi (2.9) – (2.11).

66

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Nguyễn Văn Ý

Chứng minh. Việc chứng minh định lí bao gồm nhiều bước.
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin (xem trong Lions [8])
Xét một cơ sở {w j } của H 01, w j  2 sin( j x), j  1, 2,... được lập từ các hàm
riêng của toán tử Laplace   

2
:
x 2

w j   j2 w j ,  j  j , w j  H 01  H 2 , j  1, 2,...,

(2.12)

Đặt
k
(k )
um( k ) (t )   cmj
(t ) w j ,

(2.13)

j 1

trong đó cmj( k ) (t ) thỏa các hệ phương trình vi phân tuyến tính sau:
 um( k ) ( t ), w j   a ( um( k ) ( t ), w j )    u m( k ) ( t ), w j    Fm ( t ), w j , 1  j  k , (2.14)

um( k ) (0)  u0 k , um( k ) (0)  u1k ,

(2.15)

trong đó
k
(k )
u0 k    mj
w j  u0 mạnh trong H 01  H 2 ,

(2.16)

j 1
k

u1k    mj( k ) w j  u1 mạnh trong H 01.

(2.17)

j 1

Từ giả thiết um1  W1 (M , T ) ta suy ra hệ phương trình (2.14), (2.15) có duy
nhất nghiệm um( k ) (t ) trong khoảng 0  t  T .
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm.
Bổ đề 2.5. Với các giả thiết ( H1 )  ( H 4 ) là đúng. Khi đó tồn tại các hằng số
dương M và T độc lập với k , m sao cho
S m( k ) (t )  M 2 , 0  t  T ,

(2.18)

trong đó

67


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

t
 (k )
2
(k )
(k )
(k )
S
(
t
)

X
(
t
)

Y
(
t
)


 m
m
m
0 um ( s) ds,

t

2
2
(k )
(k )
(k )
(k )
(k )

X
(
t
)

u
(
t
)

a
(
u
(

t
),
u
(
t
))

2

 m
m
m
m
0 um ( s) ds,

t

2
2
Ym( k ) (t )  a (um( k ) (t ), um( k ) (t ))  um( k ) (t )  2  um( k ) ( s ) ds.

0

(2.19)

Chứng minh. Bổ đề 2.5 được chứng minh qua nhiều bước với đánh giá tiên
nghiệm khá dài dòng.
Các hằng số dương M và T trên đây được chọn như sau:
Đầu tiên ta chọn M  0 , độc lập với k , m sao cho
Sm( k ) (0)  u1k

2

 a (u0k , u0k )  a (u1k , u1k )  u0 k

2



M2
2

(2.20)

với mọi k , m. Sau đó chọn T  0 đủ nhỏ sao cho
M2
 D1 ( M , T )  M 2 exp((8  3 2 )T ),
2

(2.21)

trong đó
D1 ( M , T ) 

20
T F
3

2
L (0,T ; L2 )

 T F

2
L (0,T ;L2 )

 20

  2 M 2T  K12  ( K1  2 MK 2 ) 2  . (2.22)
3



Vậy ta có
um( k )  W ( M , T ) m, k .

(2.23)

Từ (2.23) ta có thể trích ra từ dãy {um( k ) } một dãy con {um( k ) } sao cho:
i

68

um( ki )  um trong L (0, T ; H 01  H 2 ) yếu*,

(2.24)

um( ki )  um trong L (0, T ; H 01 ) yếu*,

(2.25)

um( ki )  um trong L2 (QT ) yếu,

(2.26)

um  W ( M , T ).

(2.27)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Nguyễn Văn Ý

Qua giới hạn trong (2.14), (2.15) bởi (2.23) – (2.27), ta có u m thỏa (2.9),
(2.10) trong L2 (0, T ) yếu.
Mặt khác, ta suy ra từ (2.9) rằng
um  um   um  f ( x, t , um 1 , um 1 )  L (0, T ; L2 ).

(2.28)

Do đó um W1 (M , T ). Vậy định lí 2.4 được chứng minh xong
Chú ý rằng
W1 (T )  v  L (0, T ; H 01 ) : v  L (0, T ; L2 ) .

(2.29)

là một không gian Banach đối với chuẩn:
v W (T )  v x
1

L (0,T ;L2 )

 v

L (0,T ; L2 )

.

(2.30)

Định lí 2.6. Giả sử ( H1 )  ( H 4 ) là đúng. Khi đó tồn tại các hằng số
M  0, T  0 sao cho bài toán (2.4) có duy nhất nghiệm yếu u  W1 (M , T ).

Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính um  được xác định bởi (2.9) – (2.11) hội
tụ mạnh về u trong không gian W1 (T ).
Hơn nữa, ta cũng có đánh giá sai số
um  u W ( T )  CkT m m,

(2.31)

1

trong đó kT  2 ( K1  MK 2 2)T  1, và C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào
T , u0 , u1 và kT .

Chứng minh.
a) Sự tồn tại nghiệm. Ta sẽ chứng minh {um } là một dãy Cauchy trong
W1 (T ).

Đặt vm  u m 1  um . Khi đó vm thỏa bài toán biến phân sau:

vm , v  a (vm , v)    vm , v   Fm 1 (t )  Fm (t ), v v  H 01 ,
 

vm (0)  vm (0)  0.

(2.32)

Ta lấy v  vm trong (2.32)1 rồi sau đó tích phân theo t, ta được
69


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

vm

W1 (T )

 kT vm 1

Số 18 năm 2009

W1 ( T )

với mọi m.

(2.33)

kT m

m, p.
W1 (T )
1  kT

(2.34)

Do đó
um  p  um

W1 (T )

 u1  u0

Từ (2.34) ta suy ra {um } là dãy Cauchy trong W1 (T ). Do đó tồn tại u  W1 (T )
sao cho
um  u mạnh trong W1 (T ).

(2.35)

Ta chú ý rằng um W1 (M , T ) , khi đó có thể lấy từ {um } một dãy con {um }
j

sao cho

(2.39)

um j  u trong L (0, T ; H 01  H 2 ) yếu*,

(2.36)

u m j  u trong L (0, T ; H 01 ) yếu*,

(2.37)

um j  u trong L2 (QT ) yếu,

(2.38)

u  W (M , T ).

Ta chú ý rằng
Fm j  f ( x, t , u, u x )

L (0,T ; L2 )

  ( K1  MK 2 2) um j 1  u

.
W1 ( T )

(2.40)

Từ (2.35) và (2.40) ta thu được
Fm j (t )  f ( x, t , u, u x ) mạnh trong L (0, T ; L2 ) .

(2.41)

Khi đó qua giới hạn trong (2.9), (2.10), (2.11) khi m  m j  , ta thu được
từ (2.36) – (2.38) và (2.41) rằng
 u( t ), v   a ( u (t ), v )    u (t ), v    f ( x , t, u, u x ), v  , v  H 01

(2.42)

và các điều kiện đầu
u(0)  u0 , u (0)  u1.

Mặt khác, từ (2.39) và (2.42) ta có

70

(2.43)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Nguyễn Văn Ý

u  u xx  u  f ( x, t , u, u x )  L (0, T ; L2 ).

(2.44)

Vậy ta thu được
(2.45)

u  W1 (M , T ).



Sự tồn tại nghiệm được chứng minh hoàn tất.

b) Sự duy nhất nghiệm. Giả sử u1 , u2 là hai nghiệm yếu của bài toán (2.4)
sao cho
(2.46)

ui W1 ( M , T ), i  1, 2.

Khi đó u(t )  u1 (t )  u2 (t ) thỏa bài toán biến phân sau:
 u( t ), v   a ( u (t ), v )    u (t ), v   F1 ( t )  F2 ( t ), v , v  H 01 ,

(2.47)

và các điều kiện đầu
u (0)  u (0)  0,

(2.48)

trong đó
Fi ( t )  f ( x, t , ui , uix )(i  1, 2).

(2.49)

Lấy v  u trong (2.47) rồi tích phân theo t, ta được
t
2

 (t )  u (t )  a (u (t ), u (t ))   ( K1  MK 2 2)   ( s )ds, t  [0, T ]. (2.50)
0

2

2

Áp dụng bổ đề Gronwall ta thu được u (t )  ux (t )  0, có nghĩa u1  u2 .
Vậy định lí 2.6 được chứng minh hoàn tất.
3. Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé  .
3.1. Dáng điệu của nghiệm khi   0 .
Ta xét bài toán nhiễu (Q  ) dưới đây theo một tham số bé  , 0    * , với
*  0 là một số cố định

71


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009



utt  x  u x   f (u )   ut  F ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,

u (0, t )  u (1, t )  0,
u ( x, 0)  u ( x), u ( x, 0)  u ( x).
0
t
1



(Q  )

với u0 , u1 , F , f thỏa các giả thiết ( H 2 )  ( H 4 ). Khi đó theo định lí 2.6, bài toán
(Q  ) có duy nhất nghiệm yếu phụ thuộc vào  , kí hiệu là u . Ta có thể chứng

minh rằng giới hạn u0 trong các không gian hàm thích hợp của họ u khi
  0 , là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (Q 0 ) tương ứng với   0 thỏa
u0  W1 ( M , T ).

Hơn nữa, ta có định lí sau.
Định lí 3.1. Giả sử các giả thiết ( H 2 )  ( H 4 ) là đúng. Khi đó tồn tại các
hằng số M  0, T  0 sao cho, với mọi  , với 0    * , bài toán (Q  ) có duy
nhất nghiệm yếu u  W1 ( M , T ) thỏa mãn
i) Bài toán (Q 0 ) tương ứng với   0 có duy nhất nghiệm yếu u0  W1 ( M , T ).
ii) Nghiệm yếu u của bài toán (Q  ) hội tụ mạnh về u0 trong không gian
W1 (T ) khi   0 .

Hơn nữa, ta có đánh giá
u  u0

W1 (T )

 C1 ,

(3.1)

trong đó C1 là hằng số chỉ phụ thuộc vào M , T , *.
3.2. Khai triển tiệm cận theo tham số  đến cấp N  1.
Ta định nghĩa một số kí hiệu sau:
Với mỗi đa chỉ số   (1 ,...,  N ) 

N



và x  ( x1 ,..., xN ) 

N

  1  ...   N ,  !  1 !... N !, x  x11 ...xNN .

Trước hết ta sử dụng bổ đề sau
Bổ đề 3.2. Cho m, N  , x  ( x1 ,..., xN ) 
72

N

,   . Khi đó

, ta đặt

(3.2.)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Nguyễn Văn Ý

m

mN
 N
i

x


Pk[ m ] ( x) k ,

 i 
k m
 i 1


(3.3)

trong đó hệ số Pk[ m ] ( x), m  k  mN phụ thuộc vào x  ( x1 ,..., xN ) được xác định
bởi công thức
m! 
 [m ]
 Pk ( x )  ( m )  ! x , m  k  mN ,
Ak


N
 A( m )    N :   m, i  k  .



k

i



i 1


(3.4)

Việc chứng minh bổ đề 3.2 được nghiệm lại từ các phép tính đại số thông
thường nên chúng tôi bỏ qua chi tiết.
Bây giờ, chúng tôi giả thiết thêm
f  C N  2 ( ).

(H5 )

Ta cũng xét các hàm ui , i  1, 2,..., N trong đó ui  W1 ( M , T ), (với M  0,
T  0 được chọn thích hợp), là nghiệm của bài toán sau:

ui  ui  Fi , 0  x  1, 0  t  T ,

ui (0, t )  ui (1, t )  0,
u ( x,0)  u ( x,0)  0, i  1,..., N ,
i
 i

(Q i )


  i 1 (m)
 
f (u0 ) Pi [ m ] (u )  , i  1,..., N ,
 Fi  ui 1  



x  m1 m !


u  (u ,..., u ).

1
N

(3.5)

trong đó

Giả sử u  W1 ( M , T ) là nghiệm yếu của bài toán (Q  ). Khi đó
N

v  u    i ui  u  h

(3.6)

i 0

thỏa bài toán

73


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009



v  v   v   x  f (v  h )  f (h )   E ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,

v (0, t )  v (1, t )  0,
v ( x,0)  v( x, 0)  0,



(3.7)

trong đó
N

E ( x, t )   h    f (h )  f (u0 )     i Fi .
x
i 1

(3.8)

Khi đó ta thu được đánh giá sau.
Bổ đề 3.3. Giả sử N  1, và ( H 2 )  ( H 3 ), ( H 5 ) là đúng. Khi đó
E

L (0,T ; L2 )

 C N  N 1 ,   (0, * ).

(3.9)

Chứng minh. Việc chứng minh bổ đề 3.3 được trình bày chi tiết trong [14].
Ta cũng có kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán (Q  )
theo  đến cấp N  1 như sau:
Định lí 3.4. Giả sử các giả thiết ( H 2 )  ( H 3 ), ( H 5 ) là đúng. Khi đó tồn tại
các hằng số M  0, T  0 sao cho,   [0, * ], bài toán (Q  ) có duy nhất nghiệm
yếu u  W1 ( M , T ) và thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 theo  như sau
N

|| u    iui ||W1 (T )  K T  N 1 .
i 0

74

 (3.10)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Nguyễn Văn Ý

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. G. Andrews (1980), On the existence of solutions to the equation
utt  u xxt   (u x ) x , J. Differential Equations 35, 200 – 231.
[2]. H. Brézis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie Applications, Masson
Paris.
[3]. J. Clements (1975), On the existence and uniqueness of solutions of the
equation utt 



 i (u xi )   N ut  f , Canad. Math. Bull. 18, 181 – 187.
xi

[4]. J. M. Greenberg, R.C. MacCamy, V. J. Mizel (1968), On the existence,
uniqueness and stability of solutions of the equation
 (ux )uxx  uxtx  0utt , J. Math. Mech. 17, 707 – 728.
[5]. J. M. Greenberg (1969), On the existence, uniqueness and stability of
solutions of the equation 0 X tt  E ( X x ) X xx   X xtx , J. Math. Anal.
Appl. 25, 575 – 591.
[6]. J. M. Greenberg, R.C. MacCamy (1970), On the exponential stability
of solutions of E (ux )uxx  u xtx   utt , J. Math. Anal. Appl. 31, 406 –
417.
[7]. J.L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux
limites non-linéaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris.
[8]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1992), On the
quasilinear wave equation utt  u  f (u , u )  0 associated with a mixed
nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 19 (7), 613 – 623.
[9]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm
(2002), Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated
with the Kirchhoff – Carrier operator, J. Math. Anal. Appl. 267 (1),
116 – 134.
[10]. Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc
(2005), On the nonlinear wave equation with the mixed

75


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

nonhomogeneous condition: Linear approximation and asymptotic
expansion of solution, Demonstratio Math. 38 (2), 365 – 386.
[11]. Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2009), On nonlinear
boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J.
Math. 37 (2 – 3), 141 – 178.
[12]. Lê Thị Phương Ngọc, Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Nguyễn
Thành Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed
nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic
expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods &
Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11), 5799 – 5819.
[13]. Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Alain Phạm Ngọc Định,
Nguyễn Thành Long, The regularity and exponential decay of solution
for a linear wave equation associated with two-point boundary
conditions, Nonlinear Analysis Series B: Real World Applications (to
appear)
[14]. Nguyễn Văn Ý (2008), Phương trình sóng phi tuyến bị nhiễu: Xấp xỉ
tuyến tính và dáng điệu tiệm cận của nghiệm, Luận văn Thạc sĩ, Đại
học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, 59 trang.

Tóm tắt
Trong bài này, chúng tôi xét bài toán biên và ban đầu cho phương trình
sóng phi tuyến

(1)



 utt  x (u x   f (u ))  ut  F ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,


 u (0, t )  u (1, t )  0,
 u ( x, 0)  u ( x), u ( x, 0)  u ( x),
0
t
1



trong đó  ,   0 là hai hằng số cho trước và f , F , u0 , u1 là các hàm cho trước.
Chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán, và thu
được khai triển tiệm cận của nghiệm u  u( ) theo tham số bé  .

76


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Nguyễn Văn Ý

Abstract
On a nonlinear wave equation utt 


(u x   f (u ))  u t  F ( x, t )
x

associated with the pure dirichlet non-homogeneous conditions
In this paper, we consider the initial and boundary problem for the
nonlinear wave equation

(1)



 utt  x (u x   f (u ))  ut  F ( x, t ), 0  x  1, 0  t  T ,

 u (0, t )  u (1, t )  0,
 u ( x, 0)  u ( x), u ( x, 0)  u ( x),
0
t
1



where  ,   0 are two given constants and f , F , u0 , u1 are given functions.
We prove the existence and uniqueness of weak solution to the problem, and
obtain an asymptotic expansion of the solution u  u( ) in accordance with the
small parameter .

77