Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp lặp Landweber

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

CHỈNH HÓA BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP LANDWEBER
Phạm Hoàng Quân*, Phan Trung Hiếu
Lê Minh Triết, Nguyễn Quang Huy†
1. Mở đầu
Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt nhằm xác định phân bố
nhiệt độ tại thời điểm ban đầu t = 0 từ phân bố nhiệt độ đo được tại thời điểm sau
đó, chẳng hạn tại t = 1. Bài toán này còn có thể coi như một bài toán điều khiển:
bài toán điều khiển phân bố nhiệt độ ban đầu (t = 0) để có thể nhận được phân bố
nhiệt độ như ý muốn tại thời điểm t = 1. Đây là một bài toán không chỉnh theo
nghĩa là nó không luôn luôn tồn tại nghiệm và ngay cả khi nghiệm của bài toán
tồn tại thì nó lại không phụ thuộc liên tục theo dữ kiện. Bài toán này được rất
nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát. Chúng ta có thể tham khảo [1], trong đó
ngoài các tài liệu trích dẫn phong phú, tác giả còn cho ta một cái nhìn tổng quan
về các phương pháp khảo sát cũng như chỉ ra những vấn đề còn bỏ ngỏ của bài
toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt. Cụ thể, trong [2], các tác giả đưa ra
nghiệm chỉnh hóa như là tổ hợp tuyến tính một số hữu hạn các hàm riêng của
toán tử -  và trong [3], tác giả chỉnh hóa bài toán trong trường hợp tổng quát
như là một phương trình vi phân trong không gian Hilbert trừu tượng. Để ý rằng
miền phân bố nhiệt khảo sát trong [2] và [3] là các miền bị chặn.
Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương
trình nhiệt trên . Bài toán sẽ được chuyển về một phương trình tích phân loại
tích chập và được chỉnh hóa bằng phương pháp lặp Landweber cũng như đưa ra
đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác. Cụ thể, chúng tôi
chứng minh rằng nếu sai số giữa dữ kiện chính xác và dữ kiện nhận được do đo
đạc là  thì sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa có bậc là

1

khi   0.

 1 
ln 

  
*
†

TS, Đại Học Sài Gòn.
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM.

10


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Hoàng Quân và các tác giả

2. Phương trình tích phân và chỉnh hóa
2.1. Bài toán thuận
Xét phương trình nhiệt

 2 u u

,
x 2 t

( x, t )  



(1)

với điều kiện

u(x,0) = v(x)

x .

(2)

Bài toán thuận cho phương trình nhiệt được khảo sát là nhằm xác định
u(x,t) thỏa hệ thống (1) - (2) với v(x) là hàm liên tục, bị chặn cho trước.
Ta dễ dàng tìm được nghiệm của bài toán là

  x    2 
1
u ( x, t )  
exp 
 v ( )d  .
4t 
 2  t



(3)

2.2. Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt
Xét phương trình nhiệt

 2u u

,
x 2 t

( x, t )  



(4)

với các điều kiện

u(x,0) = v(x)

x

(5)

u(x,1) = g(x)

x .

(6)

Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt được khảo sát là nhằm xác
định ẩn hàm v sao cho hệ thống (4) - (5) - (6) có một nghiệm u với g là dữ kiện

cho trước.
Từ (3), thay t = 1, kết hợp với (6), ta có

11


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

1
2 

Số 18 năm 2009



 ( x   )2 
 v( )exp  4  d  g ( x) .


(7)

Đây là một phương trình tích phân loại tích chập theo v ( ) và cũng là một
bài toán không chỉnh. Thật vậy, ta đặt

 x2 
K ( x)   exp   .
 4

(8)

Ta có, với mọi x 

( K  v)( x ) 

1
2



 v( ) K ( x   )d 


1
2 



 ( x   )2 
v
(

)
exp

 d

4



và (7) được viết lại thành

( K  v)( x)  g ( x) .

(9)

Từ (8), ta có

1
Kˆ ( ) 
2



 K ( x)e

 ix

dx  2 e 

2

(10)



và lấy biến đổi Fourier hai vế của (9), ta nhận được đẳng thức

Kˆ ( )vˆ( )  gˆ ( ) .
Xét phương trình

P (vˆ )  gˆ
trong đó

P : L2 ( )  L2 ( )

(11)

ˆ ˆ.
vˆ  P(vˆ)  Kv
Phương trình P (vˆ )  gˆ là không chỉnh vì không thỏa tính tồn tại. Thật vậy,
lấy

gˆ
gˆ  Kˆ , khi đó vˆ   1 L2 ( ) .
Kˆ
12


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Hoàng Quân và các tác giả

2.3. Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp lặp
Landweber
Bây giờ, gọi vex là nghiệm chính xác cần tìm của (9) ứng với dữ kiện chính
xác g ex ở vế phải và gọi g là dữ kiện bị nhiễu nhận được do đo đạc, ta được kết
quả sau
Định lí. Giả sử vex  L2 ( ) và g  gex

2

  với . 2 là chuẩn trong

L2 ( ) . Khi đó, tồn tại nghiệm xấp xỉ ổn định v của (9) sao cho v  vex

2

0

khi   0 . Hơn nữa, nếu vex  H 1 ( ) ,   (0,1) thì

v  vex 
2

C
 1 
ln 

  

với C là hằng số thỏa

C  4 max 1, E1 , E2  ,
trong đó E1 , E2 là các hằng số dương sao cho vˆex

2

 E1 ,  vˆex  E2 ,
2

với  ( x)  x .
Chứng minh. Từ (11), ta có

P 2 : L2 ( )  L2 ( )
trong đó
2

ˆ ˆ )  P( K  v)  Kˆ K  v  KKv
ˆ ˆ ˆ  K vˆ .
P 2 (vˆ)  P  P(vˆ )   P( Kv
Ta có dãy lặp theo phương pháp lặp Landweber :

vˆ 0  0 và vˆ m  ( I 

1 2 m1 1 ˆ
1 2 m1 1 ˆ
P )vˆ 
Kgˆ  (1 
K )vˆ 
Kgˆ .(12)
2
2
2
2

Bằng cách quy nạp theo m, ta thấy rằng vˆ m có dạng như sau

13

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

k

1 ˆ m 1 
1 2
vˆ 
Kgˆ   1 
K  , với m = 1, 2,… .
2
2

k 0 
m

(13)

Từ (13), ứng với dữ kiện đo, ta có
k

1 ˆ m1 
1 2
vˆ 
Kgˆ   1 
K  , với m = 1, 2,… ,
2
2


k 0 
m


(14)

và ứng với dữ kiện chính xác, ta có
k

vˆexm 

1 ˆ m1 
1 2
Kgˆ ex  1 
K  , với m = 1, 2,… .
2
2

k 0 

(15)

Ta có

vm  vex

 vˆm  vˆex

2

Trước tiên, ta chứng minh vˆm  vˆexm

2

2

 vˆm  vˆexm  vˆexm  vˆex .
2

(16)

2

 0 khi   0 .

Từ (14) và (15), ta có
k

m 1
1 ˆ
1 2

vˆ  vˆ 
K ( gˆ   gˆ ex ) 1 
K  , với m = 1, 2,… .
2
2

k 0 

m


m
ex

(17)

Hơn nữa, chú ý đến (10), ta có

0

1
K ( )
2





2



2
2
1
2 e 2  e 2  1
2

với mọi  

,

suy ra

0 1

2
1
K ( )  1 .
2





(18)

Từ (17) và (18), ta có

vˆm  vˆexm 
14

1
2

k

2 e

 2

m 1
1 2
1

ˆ
ˆ
( g  g ex )   1 
K  
m gˆ   gˆ ex .
2

2


k 0 


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Hoàng Quân và các tác giả

Vậy
2

vˆm  vˆexm 

1 2

2
m gˆ   gˆ ex .
2

(19)

Hơn nữa, vì ( gˆ   gˆ ex )  L2 ( ) nên (vˆm  vˆexm )  L2 ( ) .

(20)

Từ (19) và (20), ta có

vˆm  vˆexm

2



1
m g  g ex
2

2



1
m .
2

Bây giờ, ta sẽ chọn m( ) sao cho m( )  và

(21)

1
m( )  0 (khi
2

  0 ).
Ta chọn m( ) sao cho

1
1
. Vậy ta chọn
m( ) 
2


 2 
m( )  

  

(22)

 2 
 là số nguyên lớn nhất không vượt quá
  

trong đó 

2
.


Khi đó
 0

m( )   và 0  vˆm ( )  vˆexm ( )

2



1
1
m( ) 
 .
2


Vậy

vˆm  vˆexm

2

 0 khi   0 .

Tiếp theo, ta chứng minh vˆexm  vˆex

2

(23)

 0 khi m   .

Ta có

15


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

m

m

1 2
1 2


1

1

K
1


1

K 
k



m 1
1 2

2
2



 .
K  


1 
2
2
1
1
2

k 0 
1  (1 
K )

K
2
2

(24)

Từ (15) kết hợp với (24), ta có
m

1 2

1  1 
K 
1 ˆ ˆ
2
m

  vˆ 1  (1  1 K 2 ) m  ,
vˆex 
K ( Kvˆex )
ex 

1 2
2
2



K
2

(25)

1 2 m
1 2 m

vˆexm  vˆex  vˆex  1  (1 
K )   vˆex  vˆex (1 
K ) .
2
2



(26)

suy ra

Từ (26) và (18), ta có
m
ex

vˆ  vˆex

2

1 2

 vˆex  1 
K 

 2


m 2

 vˆex

2

và
m
ex

vˆ  vˆex

2

1 2

 (vˆex ) 1 
K 
 2


2m

2

 0 khi m   .

Vì vˆex  L2 ( ) nên theo Định lí hội tụ bị chặn, ta có

 vˆ

m
ex

 vˆex   L2 ( )

(27)

và

vˆexm  vˆex  0 khi m   .
2

Từ (16), (23), (28), ta được

vm  vex  0 khi   0 .
2

16

(28)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Hoàng Quân và các tác giả

Đặt v  vm . Như vậy, ta đã chứng minh được

v  vex

2

 0 khi   0 .

Bây giờ, với giả thiết vex  H 1 ( ) và  ( x)  x , ta có

vex  L2 ( ) ,
suy ra

vex  L2 ( ) .
Hơn nữa, ta có

vex ( )  ivˆex ( ),
suy ra
2

2

2

2

vex ( )  ivˆex ( )  vˆex ( )   ( )vˆex ( ) .
Vậy

vˆex  L2 ( ) .

Từ (27) và (26), ta có
m
ex

vˆ  vˆex

2
2

2



  vˆex ( ) 1  e2
D

2m

2
2
2
1


  vˆex ( )  1 
K ( )  d    vˆex ( ) 1  e 2
 2

2

2







2m

d 





2



vˆex ( ) 1  e2

2





2m

d

2m

d

(29)

\D

trong đó

D   :  2  r2  với mọi r  0 , r sẽ được chọn sau .
2

2

Với mọi   D , ta có  2  r2 , suy ra 1  e 2  1  e 2 r , cho nên

17


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

2

Số 18 năm 2009



 2
 vˆex ( ) 1  e

2



2m

2



2

d   vˆex ( ) 1  e 2 r

D



2m

d .

D

Hơn nữa, ta có
2



2

2 r
 vˆex ( ) 1  e 



2m



2

d  1  e 2 r



2m

D

2



2

2 r

 vˆex ( ) d  1  e 



2m

2

vˆex .
2

D

Vậy
2



2
 vˆex ( ) 1  e

2



2m



2

d  1  e 2 r



2m

2

vˆex .

(30)

2

D

Mặt khác, từ (10) và (18), ta có



0  1  e 2

2



2m

 1,

(31)
suy ra
2



vˆex ( ) 1  e 2





2

2m

d 



\D



2

\D

1

r2

2

 ()vˆex () d 



(32)

\D

Hơn nữa, với mọi   D thì  2 ( )   2  r2 , suy ra

vˆex () d 

2

vˆex ( ) d .

\D

1
1

, cho nên
 2 r2

2
2

1
1
ˆ
ˆ

v

(

)
v
(

)
d


ex
ex 2 . (33)
r2 
r2

Từ (32) và (33), ta được



2



vˆex ( ) 1  e 2

2m

2





2m

d 

\D

2
1
ˆ

v
ex 2 .
r2

Từ (29), (30), (34), ta được

vˆexm  vˆex
suy ra
18

2
2



2

 1  e 2 r

vˆex

2
2



2
1
 vˆex 2 ,
2
r

(34)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

vˆexm  vˆex

2

Phạm Hoàng Quân và các tác giả



2

 1  e 2 r



m

vˆex 
2

1
 vˆex .
2
r

(35)

Từ (16), (21), (35), ta được

vm  vex

2

2

1
m  1  e 2 r
2





2
1
m  1  e 2 r
2







m

vˆex 
2

m



E1 

 1
2
 C1 
m  1  e 2 r
 2





1
 vˆex
r

2

1
E2
r
1

r 

m



(36)

với C1 là hằng số thỏa

C1  max 1, E1 , E2  .
Hơn nữa, ta có
m
e 2 r
 1  
 1 
2 
2

 1  e 2 r   1  e 2 r
2





m

m  .

(37)

m 

(38)

Theo bất đẳng thức Bernoulli, ta có
2


e 2 r
1


2 r2
 1 e

m

2


me 2 r

1


2
1  e 2 r


.

Từ (37) và (38), ta được



2

1  e 2 r



m



1
2 r2

me
1
2
1  e 2 r



1
2

1  me 2 r

m 

.

(39)

Từ (36) và (39), ta được

vm  vex

 1
1
1
 C1 
m 
2 

2
r
2
1  me  r
 2


.


(40)

19


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

1

m( )  0 (khi
2

Với cách chọn m( ) như (22) thì m( )  và

  0 ), ta sẽ chọn r sao cho r   và
2

Ta chọn r sao cho e 2 r 

2

1  m( )e 2 r

 0 (khi   0 ).

ln( m( ))
1
, suy ra r 
, khi đó
2
m( )

 0

r   và

1

1

2

1  m( )e 2 r



 0
1
 0.
1  m( )

 2
 

Như vậy, từ (40), với cách chọn m( )  


ln( m( ))
, ta
 , r 
2


được

vm ( )  vex



1

2
 C1   


2
1  m( )
ln( m( )) 


(41)

với C1 là hằng số thỏa

C1  max 1, E1 , E2  .
Bây giờ, ta chứng minh với   (0,1) thì vm ( )  vex

2

C



,

 1 
ln 

  

với C  4max 1, E1 , E2  .

Vì   (0,1) nên 0    1, suy ra

 1  1
,
ln 


  
suy ra

20

1
 1 . Ta dễ dàng có

(42)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Hoàng Quân và các tác giả

 1 
 ln 
    1,



vì vậy, ta được

1

 

với   (0,1) .

(43)

 1 
ln 

  
Vì 0    2  1 nên

2
2

. Ta dễ dàng có

2  1

 2 
1
2
2


1  
  m( ) .


2 

  

(44)

Từ (42) và (44), ta có

 1 
ln 
  m( ) ,
  
suy ra

 1 
ln 
  m( )  m( )  1 ,
  
vì vậy, ta được

1
 1 
ln 

  



 2 
1

với   (0,1) và với m( )  
.
m( )  1
  

(45)

Từ (44), ta có

 1 
ln( m( ))  ln 
,



suy ra

21


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

1  1 
,
ln( m( ))  ln 
2   
vì vậy, ta được

2

ln( m( ))

2
 1 
ln 

  

 2
 

với   (0,1) và m( )  


.


(46)

Từ (41), (43), (45), (46), ta được





1
1
2

C


m ( )
v  vex  C1 


,

2
1
1
1
1








 ln

ln 
ln 
ln 
















  


trong đó

C  4C1  4max 1, E1 , E2  .
Như vậy, ta đã chứng minh được v  vex

2



C

với   (0,1) .

 1 
ln 


  

Định lí đã được chứng minh.
2.4. Ví dụ minh họa
Ta xét một ví dụ cụ thể minh họa cho các tính toán lý thuyết ở mục 3.
Xét phương trình nhiệt

 2u u

,
x 2 t
với các điều kiện

u(x,0) = v(x)

22

x

( x, t )  




Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Hoàng Quân và các tác giả

x .

u(x,1) = g(x)
Xét dữ kiện chính xác

2

1 5x
g ex ( x ) 
e ,
5
thì
1

1

2

 1  2 x  2  1 5   2

g ex 2    e 5 dx   
4
,

5

5
10
2






và nghiệm chính xác tương ứng là
2

vex ( x )  e  x ,
suy ra

1
vˆex ( ) 
2

e


2

4

 x 2  ix

e



Xét dữ kiện bị nhiễu g ( x )  (1 

g  gex

2



4

1 4
dx 
e .
2

10
 ) g ex ( x) , ta có


10
10
10

 g ex  4  gex 2  4  4
 .



10
2

Khi đó, nghiệm chỉnh hoá là

1

v ( x ) 
2



 vˆ ( )e

i x



d ,



trong đó
k

2

m 1
2
1 ˆ
1
1  (1  e 2 ) m


,
vˆ ( )  vˆ ( ) 
K ( ) gˆ  ( ) 1 

K ( )   gˆ  ( )
2
2
2

2 e 
k 0 
m






với
23


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

 2 
2
Kˆ ( )  2 e , m = 
,




1
gˆ  ( ) 
2

2



g



( x )e

 i x



1  4 10  54
dx 
 e
.
1 
 
2

Ta tính được sai số và đánh giá sai số cho bởi bảng sau

v  vex 
2

m

vˆ

10 1

k

7

1 ˆ 6 
1 2
Kgˆ    1 
K 
2
2

k 0 

102

1 ˆ 24 
1 2
Kgˆ    1 
K 
2
2

k 0 

k

25

k

79

1 ˆ 78 
1 2
Kgˆ    1 
K 
2
2

k 0 

k

250

1 ˆ 249 
1 2
Kgˆ    1 
K 
2
2

k 0 

k

792

1 ˆ 791 
1 2
Kgˆ    1 
K 
2
2

k 0 

250662

1 ˆ 250661 
1 2
Kgˆ   1 
K 
2
2



k 0

2.50662
8.10150

1 ˆ 2.506628.10
Kgˆ 

2
k 0



10 3

104
10 5

10

10

10

300

150

1

C
 1 
ln 

  

24

2

2

4.1735

0.008484

2.9511

0.007992

2.4096

0.007623

2.0867

0.007356

1.8664

0.007172

1.3198

0.006813

0.2410

0.006729

k

1


K 
1 
 2


trong đó

v  vex

v  vex

 vˆ  vˆex , C  2 2 4 2 .
2


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Hoàng Quân và các tác giả

Hình vẽ biến đổi Fourier của nghiệm chính xác và biến đổi Fourier của

nghiệm chỉnh hóa.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Dang Dinh Ang (1990), On the backward parabolic equation: A critical
survey of some current methods, Numerical Analysis and Mathematical
Modelling, Warsaw, 509-515.
[2] Dang Dinh Ang and Dang Dinh Hai (1990), On the backward heat
equation, Annales, Polomici Mathematici, LII, 29-32.
[3] Dang Dinh Ang (1985), Stabilized approximate solutions of the inverse
time problem for a parabolic evolution, J. Math. Anal. Appl, 1, 148-155.
[4] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân,
Phạm Hoàng Quân (2007), Biến đổi tích phân, NXBGD.

25


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

[5] Andreas Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of
Inverse Problems, Springer.
[6] Nguyễn Cam, Phạm Hoàng Quân (1998), Chỉnh hóa một bài toán ngược
thời gian cho phương trình nhiệt, Tạp chí Phát triển Khoa học & Công
nghệ, Tập 1, số 5.
[7] P.H.Quan, T.N.Lien, D.D.Trong (2005), A discrete form of the backward
heat problem on the plane, International Journal of evolution equations,
Volume 1, Number 3, September.
[8] Pham Hoang Quan, Nguyen Dung (2005), A backward nonlinear heat
equation: regularization with error estimates, Applicable Analysis,

Vol.84, No.4, April.

Tóm tắt
Chúng tôi khảo sát một bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt.
Bài toán được quy về việc khảo sát một phương trình tích phân loại tích chập và
được chỉnh hóa bằng phương pháp lặp Landweber với các đánh giá sai số.
Abstract
Regularization of an inverse time problem for the heat equation with
Landweber method
We consider an inverse time problem for the heat equation. The problem is
formulated as an integral equation of the convolution type and is regularized via
the Landweber method with error estimates.

26