Số Betti thứ hai của các đại số Lie lũy linh kiểu Jordan

TẠP CHÍ KHOA HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE

Tập 16, Số 12 (2019): 877-890 
ISSN:
1859-3100 

Vol. 16, No. 12 (2019): 877-890
Website:

Bài báo nghiên cứu*

SỐ BETTI THỨ HAI CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE LŨY LINH KIỂU JORDAN
Cao Trần Tứ Hải1, Dương Minh Thành2*
1

Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
*
Tác giả liên hệ: Dương Minh Thành – Email:
Ngày nhận bài: 15-7-2019; ngày nhận bài sửa: 25-7-2019; ngày duyệt đăng: 15-8-2019
2

TÓM TẮT
Trong bài báo này, chúng tôi tính toán số Betti thứ hai của các đại số Lie lũy linh kiểu
Jordan được ra trong Duong, Pinczon và Ushirobira (2012) thông qua cách tính tích superPoisson trên đại số các dạng đa tuyến tính phản xứng của chúng.
Từ khóa: đại số Lie toàn phương; đối đồng điều; tích super-Poisson

Mở đầu
Đại số Lie toàn phương là một đối tượng đại số xuất hiện trong thời gian gần đây và
đã được nghiên cứu ở nhiều khía cạnh khác nhau. Xét về mặt cấu trúc, một đại số Lie toàn
phương là kiểu tổng quát của đại số Lie nửa đơn, ở đó dạng Killing sẽ tổng quát thành
dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến và không suy biến. Khi tồn tại một dạng song
tuyến tính như thế, mọi đại số Lie toàn phương đều có thể tách thành tổng trực tiếp trực
giao của các ideal không suy biến hoặc là tổng trực tiếp trực giao của một ideal tâm không
suy biến và một ideal có tâm đẳng cự toàn bộ (Bordemann, 1997; Favre, & Santharoubane,
1987; Pinczon, & Ushirobira, 2007). Xét về mặt xây dựng, một đại số Lie toàn phương
không tầm thường có thể coi như là một mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương khác
có số chiều nhỏ hơn bởi những đạo hàm phản xứng (Kac, 1985; Medina, & Revoy, 1985),
hoặc được xây dựng từ một mở rộng T* của một đại số Lie bởi một đối chu trình cyclic
(trong trường hợp giải được chẵn chiều) trong Bordemann (1997). Những ứng dụng trong
vật lí của các đại số Lie toàn phương độc giả có thể xem trong Figueroa-O’Farrill và
Stanciu (1996).
Một trong những bài toán lí thú khi nghiên cứu một đại số Lie nói chung và đại số
Lie toàn phương nói riêng là mô tả được các nhóm đối đồng điều của nó. Santharoubane
(1983) đã mô tả được đối đồng điều của đại số Lie Heisenberg 2 n  1 chiều h2n +1 . Gần
đây trong Pouseele (2005), tác giả đã đưa ra một phương pháp khác để mô tả đối đồng điều
Cite this article as: Cao Tran Tu Hai, & Duong Minh Thanh (2019). The second Betti number of nilpotent
Jordan-type Lie algebras. Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 16(12), 877-890.

877


Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM

Tập 16, Số 12 (2019): 877-890

của một số đại số Lie chứa đại số Lie Heisenberg sao cho đại số Lie Heisenberg này là một

ideal đối chiều 1 của nó. Trong trường hợp g là một đại số Lie toàn phương, bài toán mô
tả nhóm đối đồng điều hệ số trong  của g có liên quan mật thiết đến tích super-Poisson
trong bài báo Pinczon et al. (2007). Cách tiếp cận này mở ra một hướng đi trong việc tìm
kiếm những họ đại số Lie thích hợp với cách tính thông qua tích super-Poisson và từ đó
giúp cung cấp nhiều thông tin cho bài toán nghiên cứu đại số Lie toàn phương. Mục tiêu
của chúng tôi trong bài báo này là tính được số Betti thứ hai của họ các đại số Lie lũy linh
kiểu Jordan được đưa ra trong Duong et al. (2012).
Bài báo được chia làm 3 mục: Mục đầu tiên nhắc lại một số khái niệm cơ bản và
kết quả về đối đồng điều của đại số Lie toàn phương; Mục 2 và Mục 3 trình bày kết quả
mô tả số Betti thứ hai của họ các đại số Lie lũy linh kiểu Jordan; được tính bằng phương
pháp dựa trên tích super-Poisson.
Các không gian vectơ được xét trong bài báo này là hữu hạn chiều và trên trường số
phức  .
1.
Đối đồng điều của một đại số Lie toàn phương
Cho g là một đại số Lie, V là một không gian vectơ và r : g  End(V ) là một
biểu diễn của g trong V . Với k ³ 0 , kí hiệu C k (g,V ) là không gian các ánh xạ k -tuyến
tính phản xứng từ g ´ g ´ ... ´ g vào V nếu k ³ 1 và C 0 (g,V ) = V . Toán tử đối bờ

dk : C k (g,V )  C k +1(g,V ) được định nghĩa như sau:

(

k

)

,..., X )
dk f (X 0,..., Xk ) = å (-1)i r(Xi ) f (X 0,..., X
i

k
i =0

k

(

,..., X
,..., X
+ å (-1)i + j f éêX j , X j ùú , X 0,..., X
i
j
k
ë
û
i
)

 để chỉ X không có trong
với mọi f Î C k (g,V ) , X 0 ,... , X k Î g , ở đây kí hiệu X
i
i
công thức. Ta nói rằng f Î C k (g,V ) là một k -đối chu trình nếu

0 và f là một k -

đối bờ nếu có g Î C k -1(g,V ) sao cho f = dk -1g . Kí hiệu Z k ( g,V ) là tập hợp các k -đối
chu trình và B k (g,V ) là tập hợp các k -đối bờ, tức là Z k (g,V ) = Kerdk và

B k (g,V ) = Im dk -1 . Không gian thương Z k (g,V ) / B k (g,V ) được kí hiệu là H k (g,V )
và được gọi là nhóm đối đồng điều thứ k của g hệ số trong V .
Một trong những trường hợp đáng chú ý nhất của đối đồng điều đại số Lie là khi V
một chiều, tức là V =  (hoặc  ). Khi đó C 0 (g, ) =  , C k (g, ) là không gian các

878


Tp chớ Khoa hc Trng HSP TPHCM

Cao Trn T Hi v tgk

( )

ỏnh x k -tuyn tớnh phn xng t g g ... g vo , tc l C k (g, ) = Lk g*

) ồ (-1)i + j f (ộờởX j , X j ựỳỷ , X 0,..., X i ,..., X j ,..., Xk ).

(

v dk f X 0 ,..., X k =

k

Trong trng

i
hp ny, vic mụ t nhúm i ng iu H k (g, ) cng nh tớnh toỏn s Betti

bk (g) = dim H k (g, ) l bi toỏn m chỳng tụi quan tõm.
Cho mt khụng gian vect phc V hu hn chiu c trang b mt dng song
tuyn tớnh i xng B (ta cũn gi (V , B) l mt khụng gian vect ton phng). Pinczon

( )

et al. (2007) ó gii thiu khỏi nim tớch super-Poisson trờn khụng gian L V * cha cỏc
dng a tuyn tớnh phn xng trờn V nh sau:
n

{W, W '} = (-1)k +1 ồ iX (W) iX (W ') , "W ẻ Lk (V * ) v W ' ẻ L (V * )
j =1

õy,

{X }

n

j

j =1

j

j

l mt c s trc chun ca V . i vi mt i s Lie ton phng

(g, B) 3-dng liờn kt vi g xỏc nh bi I (X ,Y , Z ) = B ([X ,Y ], Z ) , "X,Y , Z ẻ g.

Pinczon v Ushirobira ó chng minh c {I , I } = 0 v dW = - {I , W} . Nh kt qu
ny, vic mụ t cỏc nhúm i ng iu H k (g, ) cú th thụng qua tớnh toỏn cỏc tớch
super-Poisson.
2.
Kt qu chớnh
Cho cỏc khi Jordan ly linh
ổ0
ỗỗ
ỗỗ 0
ỗỗ
ỗ
J 1 = (0 ), J n = ỗỗ
ỗỗ
ỗỗ 0
ỗỗ
ỗỗố 0

1

0



0

1

0

0

0



0

0 ửữ
ữ
0 ữữữ
ữữ
ữữữ , n 2 ,
ữữ
1 ữữữ
ữữ
0 ữữứ

v khụng gian vect q = 2n vi mt c s chớnh tc {X1,..., Xn ,Y1 ,...,Yn } . Xột ỏnh x

ổJ n
ỗ
tuyn tớnh C : q q vi ma trn i vi c s chớnh tc l C = ỗỗ
ỗỗố 0

0 ửữ
ữữ . Khi ú,
-J nt ữữứ

C ẻ o(2n ) . Gi j2n = q X 0 Y0 l mt m rng ca q bi C vi tớch Lie c xỏc
nh bi [Y0, X ] = C (X ) , [X,Y ] = B(C (X ),Y )X0 , "X ,Y ẻ q , [X 0 , j2n ] = 0 . nh ngha

879


Tp chớ Khoa hc Trng HSP TPHCM

Tp 16, S 12 (2019): 877-890

dng song tuyn tớnh B c xỏc nh bi B (X i ,Y j ) = dij vi i, j = 0, n . Khi ú B l
mt dng song tuyn tớnh i xng bt bin, khụng suy bin v j2n cựng vi B tr thnh
mt i s Lie ton phng. Vỡ vi n = 1 , j2 l i s Lie giao hoỏn 4 chiu. õy l
trng hp tm thng nờn trong trng hp ny ta ch xột n 2 .
Ta xột tip khụng gian vect

q = 2n +1

vi mt c s chớnh tc

{X1,..., Xn ,T ,Y1 ,...,Yn } . nh ngha ỏnh x tuyn tớnh C : q q vi ma trn i vi c
ổJ n +1 M ửữ
ỗ
ữữ , trong ú M l ma trn (n + 1) n cú tt c cỏc s hng
s chớnh tc C = ỗỗ
ỗỗố 0

-J nt ữữứ
bng khụng ngoi tr mn +1,n = -1 . Khi ú C ẻ o(2n + 1) . Gi j2n+1 = q X 0 Y0
l m rng ca q bi C vi tớch Lie c xỏc nh nh sau:

[Y0 , X ] = C (X ) , [X ,Y ] = B (C (X ),Y )X 0 , "X ,Y ẻ q , ộởX 0, j2n +1 ựỷ = 0 .
V dng song tuyn tớnh c xỏc nh bi B (X i ,Y j ) = dij vi i, j = 0, n , B (T ,T ) = 1 .
Cỏc i s Lie j2n , j2n+1 nh trờn c gi l i s Lie ly linh kiu Jordan (xem
Duong et al. (2012)). Kt qu chớnh ca bi bỏo ny l nh lớ sau:
nh lớ.
Vi cỏc kớ hiu nh trờn, s Betti th hai ca cỏc i s Lie ly linh kiu Jordan
c cho bi cụng thc:
ộn ự
(i) b2 ( j4 ) = 8, b2 ( j2n ) = n + 2 ờ ỳ + 2 vi n 3.
ờ ỳ
ở2ỷ
ộn ự
(ii) b2 ( j3 ) = 3, b2 ( j2n +1 ) = n + 2 ờ ỳ + 2 vi n 2.
ờ2ỳ
ở ỷ
3.
Chng minh kt qu chớnh
3.1. i ng iu th hai ca j4 ( n = 2 )
i vi

j4 , ta cú cỏc tớch Lie khỏc khụng nh sau: ộờY0,Y1
ở

ự = -Y ,
ỳỷ
2

[Y0,Y1 ] = C (Y1 ) = -Y2 , [X2,Y1 ] = X0 . Dng song tuyn tớnh xỏc nh bi
B (X i ,Y j ) = dij

vi i, j = 0,2 . Gi

{a, b, a1, a2, b1, b2 } l c s i ngu ca

{X0,Y0 , X1, X2,Y1 ,Y2 } v V = span {a1, a2 } , W = span {b1, b2 } . D dng kim tra
c 3-dng liờn kt vi j4 c xỏc nh bi I = b a2 b1. Ta cú

B 2 ( j4 ) = span {iX (I ) : X ẻ j4 } = span {a2 b1, b a2, b b1 } v
dim B 2 ( j4 ) = 3.
880


Tp chớ Khoa hc Trng HSP TPHCM

Cao Trn T Hi v tgk

Ta tớnh toỏn {I ,.} trờn cỏc hng t trc tip ta suy ra
ỡù[ a a ],[ a b ],[b a ],[b b ],[a a ], ỹ
ù
ù
2
1
1
2
1
2 ù

ù
H ( j4 ) = span ùớ
ý v do ú b2 ( j4 ) = 8.
ùù[b b ],[a b + a b ],[a b - a b ]ù
ù
1
2
2
2
1
1
ù
ợù
ỵ
3.2. i ng iu th hai ca j2n vi n > 2
2

Ta cú cỏc tớch Lie khỏc khụng nh sau: ộờY0, X 2 ựỳ = X1 , ...., ộờY0, Xn ựỳ = Xn -1 ,
ở
ỷ
ở
ỷ
ộY ,Y ự = -Y ,
ộY ,Y ự = -Y ,
....,
[X2,Y1 ] = X0 , [X3,Y2 ] = X0 , ....,
ờở 0 1 ỳỷ
ờở 0 n -1 ỳỷ
2
n

[Xn -1,Yn -2 ] = X0 , [Xn ,Yn -1 ] = X0 . Dng song tuyn tớnh xỏc nh bi
Gi

B (X i ,Y j ) = dij .

{a, b, a1,..., an , b1,..., bn } l c s i ngu ca {X 0,Y0 , X1,..., Xn ,Y1 ,...,Yn } v

V = span {a1,..., an } , W = span {b1,..., bn } . D dng kim tra c 3-dng liờn kt
ổn -1
ử
vi j2n c xỏc nh bi I = b ỗỗỗồ ai +1 bi ữữữ. Ta cú
ữứ
ỗố i =1
ỡ
ỹù
ùn -1
B 2 ( j2n ) = span {iX (I ) : X ẻ j2n } = span ùớồ ai +1 bi , b ai +1, b bi : i = 1, n - 1ùý
ù
ùỵù
ù i =1
ợ
v dim B 2 ( j2n ) = 2n - 1. Khụng gian C 2 ( j2n , ) c phõn tớch thnh tng trc tip cỏc
khụng gian cỏc 2-dng: a (V W ) , b (V W ) , 2 (V ) , 2 (W) , V W , a b .
Sau õy ta tớnh toỏn toỏn t {I ,.} trờn cỏc hng t trc tip ny.
(1)Trờn a (V W ) , ta cú ker {I , a (V W )} = {0} .
(2)Trờn b (V W ) , tớnh toỏn trc tip ta c dim ker {I , b (V W )} = 2n.
(3) Trờn 2 (V ) , ta cú

{I , an -1 an } = 0 , {I , ai an } = b ai +1 an vi 1 Ê i < n - 1 ,

{I , ai

{I , ai

ai +1 } = b ai ai +2 vi 1 Ê i < n - 1 ,

a j } = b ai +1 a j + b ai a j +1 vi 1 Ê i < j - 1, j Ê n - 1 .

Do ú an -1 an ẻ ker {I , 2 (V )} . Chỳ ý rng mi w ẻ ker {I , 2 (V )} u cú dng

w=

n -1

ồ

2Êi +1< j Ên -1

n -2

n -2

i =1

j =1

aij .ai aj + ồ bi .ai ai +1 + ồ c j .aj an + d.an -1 an ẻ ker {I , 2 (V )} .

n -2

n -2

i =1

j =1

Gi s w = ồ bi .ai ai +1 + ồ c j .aj an ẻ ker {I , 2 (V )} sao cho cỏc bi khụng ng

881


Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM

Tập 16, Số 12 (2019): 877-890

n -2

n -2

i =1

j =1

thời bằng không. Ta có {I , w} = å bi .b ai  ai +2 + å c j .b  aj +1  an = 0 . Gọi i0 là
chỉ số sao cho bi0 ¹ 0 (không mất tính tổng quát, ta có thể chọn bi0 = 1 ). Để triệt tiêu

{I , ai

0

 ai0 +1 } = b  ai0  ai0 + 2 ta phải có i0 + 2 = n, ci0 -1 = -bi0 nên

w = an -2  an -1 - an -3  an hay an - 3  an - an -2  an -1 Î ker {I , 2 (V )} .
n-1

å

Giả sử w =

n-2

n-2

i=1

j =1

aij .ai  aj + åbi .ai  ai+1 + åcj .aj  an Î ker {I, 2 (V)} sao cho

2£i +1
các a ij không đồng thời bằng không. Ta có
n -1

{I , w} =

å

2£i +1< j £n -1

(

aij . b  ai +1  a j + b  ai  a j +1

n -2

n -2

i =1

j =1

)

+å bi .b ai  ai +2 + å c j .b  a j +1  an = 0.

Gọi i0 là số nhỏ nhất sao cho tồn tại j0 > i0 + 1 để ai0 j0 ¹ 0 (không mất tính tổng
quát, ta có thể chọn ai0 j0 = 1 ). Nếu j0 < n - 1 , để triệt tiêu ai0 j0 b  ai0  a j0 +1 phải có

ai0 -1, j0 +1 = -ai0, j0 ¹ 0 , mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của i0 . Do đó j0 = n - 1 . Nếu
i0 = 1 thì {I , ai0  a j0 } = {I , a1  an -1 } = b  a2  an -1 + b  a1  an . Theo cách tính

{I , w } , ta không thể triệt tiêu b  a1  an , vô lí, do đó i0 > 1. Do

{I , ai

0

 a j0 } = b  ai0 +1  a j 0 + b  ai0  an

nên ci0 -1 = -ai0 j0 , ai1 j1 = -ai0 j0 với i1 = i0 + 1, j1 = j0 - 1 . Ta lại có

{I , ai

1

 a j1 } = b  ai1 +1  a j1 + b  ai1  a j1 +1

nên ai2 j2 = -ai1 j1

với i2 = i1 + 1, j2 = j1 - 1 . Tiếp tục quá trình này ta được

ais js = -ais -1 js -1 với is = is -1 + 1 = i0 + s, js = js -1 - 1 = n - s - 1 sao cho js = is + 2
hoặc js = is + 3 .
Nếu js = is + 2 thì {I , ais  a js } = b  ais +1  ais +2 + b  ais  ais + 3 . Từ cách tính

{I , w } trên, ta không thể triệt tiêu b  ais +1  ais +2 , do đó trường hợp này không xảy ra.
Nếu js = is + 3 thì {I , ais  a js } = b  ais +1  ai2 + 3 + b  ais  ai2 + 4 . Khi đó để
triệt tiêu b  ais +1  ai2 + 3 , ta cần chọn bis +1 = -ais js . Nên ta cần chọn i0 > 1, s ³ 0 sao

én ù
cho i0 + s + 3 = n - s - 1 hay i0 = n - 2l với 2 £ l £ ê ú - 1 .
ëê 2 ûú
882


Tp chớ Khoa hc Trng HSP TPHCM

Cao Trn T Hi v tgk

ỡù k
ộ n ựỹ
ù
Do ú ker I , 2 (V ) == span ùớồ (-1)i an -2k +i an -i +1 : k = 1, 2,..., ờ ỳùý .
ờ 2 ỳù
ùù i =1
ở ỷù
ợ
ỵ
2
2
(4) Trờn (W) , tng t nh trong tớnh toỏn trờn (V ) , ta cú

{

}

ỹ
ùỡ k
ộ n ựù
ker {I , 2 (W)} = span ớùồ (-1)i bi b2k -i +1 : k = 1,2,..., ờ ỳýù .
ù
ờở 2 ỳỷùùỵ
ù
ợ i =1
(5) Trờn V W , vi i = 1, n - 1 , j = 2, n ta cú

{I , ai

{I , a

n

bj

} = -b a

n

b j } = b ai +1 b j - b ai b j -1 ,

{

}

b j -1, I , ai b1 = b ai +1 b1 , {I , an b1 } = 0 .

Do ú an b1 ẻ ker {I ,V W} . Gi s

n-1

n

i =1

j =2

ồbi.ai b1 + ồcj.an bj ẻ ker {I,V W}

sao cho cỏc bi khụng ng thi bng khụng. Ta cú
n -1

n

i =1

j =2

{I , w} = ồ bi .b ai +1 b1 - ồ c j .b an bj -1 = 0 .
i0

Gi

{I , ai
tiờu

0

l

s

nh

nht

sao

cho

bi0 ạ 0 .

Nu

i0 < n - 1 ,

do

b1 } = b ai0 +1 b1 ta khụng th trit tiờu c nờn i0 = n - 1 . Khi ú trit

{I , ai

0

b1 } = b an b1 ,

ta

ch

cn

chn

c2 = bn-1

do

ú

an -1 b1 + an b2 ẻ ker {I ,V V } . Gi s

ồ

w=

i =1,n -1,
j =2,n

n -1

n

i =1

j =2

a ij.ai b j2 + ồ bi .ai b1 + ồ c j.an b j ẻ ker {I ,V W}

sao cho cỏc a ij khụng ng thi bng khụng. Ta cú

{I , w} = ồ
i =1,n -1,
j =2,n

(

aij . b ai +1 b j - b ai b j -1

n -1

m

i =1

j =2

)

+ồ bi .b ai +1 b1 - ồ c j .b an b j -1 = 0.

Gi i0 l s nh nht sao cho tn ti j0 ai0 j0 ạ 0 (khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú
th chn ai0 j0 = 1 ). Nu j 0 > 2 , trit tiờu -ai0 j0 b ai0 b j0 -1 phi cú

ai0 -1, j0 -1 = ai0, j0 ạ 0 , mõu thun vi tớnh nh nht ca i0 . Do ú j0 = 2 . Nu i0 = 1 thỡ

{I , ai

0

b j0 } = {I , a1 b2 } = b a2 b2 - b a1 b1 ,

883


Tp chớ Khoa hc Trng HSP TPHCM

Tp 16, S 12 (2019): 877-890

khi ú ta khụng th trit tiờu -b a1 b1 , vụ lớ. Nờn i0 > 1. Do

{I , ai

0

b j0 } = b ai0 +1 b j 0 - b ai0 b1

nờn bi0 -1 = ai0 j0 , ai1 j1 = ai0 j0 vi i1 = i0 + 1, j1 = j0 + 1 . Ta li cú

{I , ai

1

b j1 } = b ai1 +1 b j1 - b ai1 b j1 -1

nờn ai2 j2 = ai1 j1 vi i2 = i1 + 1, j2 = j1 + 1 . Tip tc quỏ trỡnh ny n lỳc no ú, ta c

ais js = ais -1 js-1 vi is = is -1 + 1 = i0 + s, js = js -1 + 1 = s + 2 sao cho i0 + s = n - 1
hoc s + 3 = n .
Nu i0 + s Ê n - 1 v s + 2 = n thỡ

{I , ai

s

b js } = b ais +1 bn - b ai0 bn -1 ,

ta khụng th trit tiờu b ais +1 bn nờn trng hp ny khụng xy ra.
Nu i0 + s = n - 1 v s + 2 < n thỡ

{I , ai

s

b js } = b an b js - b an -1 b js -1 .

trit tiờu b an b js cn chn c js +1 = ais js . Do ú cú w ẻ ker {I ,V W} ta phi
cú i0 > 1 , s 0 , sao cho i0 + s = n - 1 v s + 2 < n . iu ny tng ng vi

1 < i0 Ê n - 1 . Ta ch cn chn i0 = 2,..., n - 1 . Do ú
ỡa b + a b + .... + a b ,....,
ù
ùỹù
ù 1
1
2
2
n
n
ùý
ker {I ,V W} = span ù
ớ
ù
a
b1 + an -1 b2 + an b 3 , an -1 b1 + an b2 , an b1 ùù
ù
ù n -2
ợ
ỵù

n
n
1
n
2
ùỡ
ùỹ
hay ker {I ,V W} = span ù
ớồ ai bi ,ồ ai +1 bi ,ồ ai +2 bi ,...., an b1 ùý .
ùùợ i =1
ùùỵ
i =1
i =1
ổn -1
ử
(6) Trờn a b , ta cú {I , a b } = b ỗỗỗồ ai +1 bi ữữữ thuc {I , (V W)} .
ữứ
ỗố i =1
ng thi, ta tớnh c
n
n
ỡ
ỹù
ù
ù
ớI , a b - ồ (n + 1 - i )ai bi ùý = 0 nờn a b - ồ (n + 1 - i )ai bi ẻ ker {I ,.}
ù
ùỵù
i =1
i =1

ù
ợ
T tt c cỏc iu tớnh toỏn trờn, ta suy ra kt qu v cỏc 2-i chu trỡnh v i ng
iu nh sau.

{

}

{

}

Z 2 ( j2n ) = b (V W ) ker I , 2 (V ) ker I , (W) ker {I ,V W}
n

a b - ồ (n + 1 - i )ai bi

.

i =1

884


Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM

Cao Trần Tứ Hải và tgk

énù

én ù
én ù
Do đó dim Z 2 ( j2n ) = 2n + 2 ê ú + n + 1 = 3n + 2 ê ú + 1 . Vậy b2 ( j2n) =n +2ê ú +2.
ê 2ú
êë 2 úû
êë 2 úû
ë û
3.3. Đối đồng điều thứ hai của j3 ( n = 1 )
Ta có các tích Lie khác không như sau: éëêY0, Tùúû = X1 , éêY0 ,Y1 ùú = -T , êéT ,Y1
ë
û
ë

ù
úû = X 0 .

Dạng song tuyến tính xác định bởi B (X i ,Y j ) = dij với i, j = 0, 2 , B (T ,T ) = 1 . Gọi

{a, b, a , g, b } là cở sở đối ngẫu của {X ,Y
1

1

0

0

}

, X1 ,T ,Y1 . Dễ dàng kiểm tra được 3-dạng

liên kết với j3 được xác định bởi I = b  g  b1.
Khi đó B 2 ( j3 ) = span {g  b1, b  b1, b  g } và dim B 2 ( j3 ) = 3. Tính toán ta
được H 2 ( j3 ) = span {[b  a1 ],[b1  a ],[b  a - b1  a1 ]} và b2 ( j3 ) = 3 .
3.4. Đối đồng điều thứ hai của j2n+1 với n ³ 2
Ta có các tích Lie éêY0, X 2 ùú = X1 ,...,
ë
û
éY ,Y ù = -Y , éY ,Y ù = -T , [X ,Y ] = X ,
2 1
0
êë 0 n úû
êë 0 n -1 úû
n

éY , X ù = X , éY ,Y ù = -Y ,...,
êë 0 1 ûú
n -1
2
ëê 0 n ûú

[X3,Y2 ] = X0 ,..., [Xn -1,Yn -2 ] = X0 ,

[Xn ,Yn -1 ] = X0 . Dạng song tuyến tính xác định bởi
B (T ,T ) = 1 .

Gọi

{a, b, a1,..., an , g, b1,..., bn }

B (X i ,Y j ) = dij với i, j = 0, n ,

là

cở

sở

đối

ngẫu

của

{X0,Y0 , X1,..., Xn ,T ,Y1 ,...,Yn } và V = span {a1,..., an } , W = span {b1,..., bn } . Dễ
dàng kiểm tra được 3-dạng liên kết với j2n+1 được xác định bởi: I = b  W . Ta có

B 2 ( j2n +1 ) = span {W, b  ai +1, b  b j , b  g : i = 1, n - 1, j = 1, n }
và dim B 2 ( j2n +1 ) = 2n + 1 . C 2 ( j2n +1 ) được phân tích thành tổng trực tiếp các không gian
các 2-dạng:

a  (V ÅW ) , b  (V ÅW ) , a  g , b  g , 2 (V ) , 2 (W) ,

((V Å g ÅW ) W ) \ (2W ) , g V ,

ab .

Sau đây ta tính toán toán tử {I ,.} trên các hạng tử trực tiếp này.
(1) Trên a  (V ÅW ) , ker {I , a  (V ÅW )} = {0} .
(2) Trên b  (V ÅW ) , dim ker {I , b  (V ÅW )} = 2n.

n -1

(3) Trên a  g , ta có {I , a  g } = g  å ai +1  bi - a  b  bn .
i =1

885


Tp chớ Khoa hc Trng HSP TPHCM

Tp 16, S 12 (2019): 877-890

{

}

(4) Trờn b g , ta cú {I , b g } = 0 . V trờn 2 (V ) , ta cú ker I , 2 (V ) = {0} .
(5) Trờn 2 (W ) , tng t nh trong tớnh toỏn i ng iu ca j2n , ta cú
ỡù k
ộ n ựỹù
ker I , 2 (W ) = span ùớồ (-1)i bn -2k +i bn -i +1 : k = 1, 2,ẳ, ờ ỳùý .
ờ 2 ỳù
ù
ù
ở ỷù
ợ i =1
ỵ

{

}

) (

(

)

(6) Trờn (V g W ) W \ 2W , vi i = 1, n - 1, j = 2, n ta cú

{I , ai b j } = b ai +1 b j - b ai b j -1,
{I , an b j } = b g b j - b an b j -1,
{I , ai b1 } = b ai +1 b1, {I , an b1 } = b g b1.
Nờn {I ,V W } è (b V W ) (b g W ).

{I , g bi } = -b bn bi - b g bi -1 , i = 2, n - 1,
{I , g bn } = -b g bn -1, {I , g b1 } = -b bn b1.
Nờn {I , g W } è (b bn W ) (b g W ). Gi s
n -1

n

i =1

j =2

w = ồi =1,n -1, aij ai b j + ồ bi ai b1 + ồ c j an b j + d .an b1
j =2,n

ồ

+

1
n -1

n

i =2

j =3

aij bi b j + ồ biÂbi bi +1 + ồ c j b1 b j + d Âb1 b2

n -1

{(

) (

)}

+ồ xi g bi + y g bn + z g b1 ẻ ker I , (V g W ) W \ 2W .
i =2

n -1

Ta cú {I , w } = ồi =1,n -1, aij b ai +1 b j - b ai b j -1 + ồ bi b ai +1 b1

(

)

j =2,n

n

(

)

+ồ c j b g b j - b an b j -1 + d .b g b1
j =2

ồ

-

1
(

aij b bi -1 b j + b bi b j -1

n -1

n

i =2

j =3

)

-ồ biÂb bi -1 bi +1 - ồ c j b b1 b j -1

886

i =1


Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM

Cao Trần Tứ Hải và tgk

n -1

-å xi (b  bn  bi + b  g  bi -1 ) - y.b  g  bn -1 - z b  bn  b1 = 0.
i =2

Để triệt tiêu b  g  bn ta phải có cn = 0 . Ta có

{I , cn .an  bn } = cn (b  g  bn - b  an  bn -1 ).
Để triệt tiêu b  an  bn -1 ta phải có cn = an -1,n -1 . Ta có

{I , an -1,n -1.an -1  bn -1 } = an -1,n -1 (b  an  bn -1 - b  an -1  bn -2 ).
Tiếp tục triệt tiêu b  an -1  bn -2 , ta có an -1,n -1 = an -2,n -2 . Tiếp tục quá trình triệt
tiêu này, ta được 0 = cn = an -1,n -1 = an -2,n -2 = an -3,n -3 = ¼ = a2,2 = b1. Để triệt tiêu

b  g  bn -1 ta phải có y = cn -1 . Ta có

{I , cn -1.an  bn -1 } = cn -1 (b  g  bn -1 - b  an  bn -2 ).
Để triệt tiêu b  an  bn -2 ta phải có cn -1 = an -1,n -2 . Ta có

{I , an -1,n -2 .an -1  bn -2 } = an -1,n -2 (b  an  bn -2 - b  an -1  bn -3 ).
Lập luận tương tự như trên ta được

y = cn -1 = an -1,n -2 = an -2,n -3 = an -3,n -4 = ¼ = a 3,2 = b2 .
0 = x n -1 = cn -2 = an -1,n -3 = an -2,n -4 = an -3,n -5 = ¼ = a 4,2 = b3 .
Chú ý rằng để triệt tiêu b  a1  b1 , ta phải có a1,2 = 0 . Giả sử k > 1 sao cho

x n -k ¹ 0 . Để triệt tiêu {I , x n -k .g  bn -k } = -x n -k (b  bn  bn -k + b  g  bn -k -1 ), ta
phải có:
(a) xn -k = cn -k -1 . Ta có

{I , cn -k -1.an  bn -k -1 } = cn -k -1 (b  g  bn -k -1 - b  an  bn -k -2 ).
Để triệt tiêu b  an  bn -k -2 ta phải có cn -k -1 = x n -1,n -k -1 , từ đó dẫn tới

x n -k = cn -k -1 = an -1,n -k -1 = an -2,n -k -2 = an -3,n -k -3 = ¼ = ak ,2 = bk -1
(b) x n -k = an¢ -k +1,n . Ta có

{I , an¢ -k +1,n .bn -k +1,n  bn } = -an¢ -k +1,n (b  bn -k  bn + b  bn -k +1  bn -1 ).
Để triệt tiêu b  bn -k +1  bn -1 ta phải có an¢ -k +1,n = -an¢ -k +2,n -1 , từ đó suy ra

xn -k = an¢ -k +1,n = -an¢ -k +2,n -1 = an¢ -k +3,n -2 = ¼ = (-1)l an¢ -k +1+l ,n -l ,
trong đó n - k + 1 + l + 3 = n - l hoặc n - k + 1 + l + 2 = n - l .
887

Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM

Tập 16, Số 12 (2019): 877-890

 Nếu n - k + 1 + l + 3 = n - l , ta viết lại k = 2l + 4 , đặt n - k + 1 + l = m , ta có

{I , am¢ ,m +3 .bm  bm + 3 } = -am¢ ,m + 3 (b  bm -1  bm + 3 + b  bm  bm +2 ).
Nên am¢ ,m + 3 = -bm¢ +1 và {I , bm¢ +1 .bm +1  bm + 2 } = -bm¢ b  bm  bm + 2 . Đến đây ta
triệt tiêu được tất cả nên trường hợp k chẵn này nhận.
 Nếu n - k + 1 + l + 2 = n - l , ta viết lại k = 2l + 3 , đặt n - k + 1 + l = m , ta có

{I , am¢ ,m +2 .bm  bm +2 } = -am¢ ,m +2 (b  bm -1  bm +2 + b  bm  bm +1 ).
Đến đây ta không thể triệt tiêu b  bm  bm +1 . Do đó trường hợp k lẻ không xảy ra.
Cụ thể hơn, ta tìm những 2-dạng triệt tiêu qua tác động của toán tử {I ,.} bằng cách xét hai
trường hợp của n .

{(

) (

(i) Nếu n chẵn, n = 2p : ker I , (V Å g Å W )  W \ 2W
n -1

n -3

i =1

i =1

)}

= span{g  bn + å ai +1  bi , g  bn -2 + å ai +3  bi - bn -1  bn ,
¼, g  b2 + a2 p  b1 - b3  b2p + b4  b2 p -1 +¼ + (-1)(p -2) bp -2  bp -1}.

{(

) (

Do đó dimker I , (V Å g Å W )  W \ 2W
(ii) Nếu n lẻ, n = 2p + 1 :

)} = p.

{(

) (

ker I , (V Å g Å W )  W \ 2W

n -1

n -3

i =1

i =1

)}

= span{g  bn + å ai +1  bi , g  bn -2 + å ai +3  bi + bn  bn -1,

¼, g  b3 + a2 p  b1 + a2 p +1  b2 - b4  b2 p +1 + b5  b2 p -¼ + (-1)p +3 bp +2  bp +3,

g  b1 - b2  b2 p +1 + b3  b2 p - b4  b2 p -1 + ¼ + (-1)p -1 bp -2  bp -1}.

{(

) (

Do đó dimker I , (V Å g Å W )  W \ 2W

{(

)} = p + 1. Nói chung cả hai trường
) (

hợp của n ta đều nhận đươc dimker I , (V Å g ÅW ) W \ 2W

é

ù

ë

û

)} = êê n +2 1úú .

(7) Trên g  V , {I , g  ai } = -b  bn  ai + b  g  ai +1 với i = 1, n - 1 và

{I , g  an } = -b  bn  an

nên {I , g  V } Ì (b  bn  V ) Å (b  g  V ). Giả sử

n -1

w = å ai g  ai + b.g  an Î ker {I , g V } .
i =1

888


Tp chớ Khoa hc Trng HSP TPHCM

Cao Trn T Hi v tgk

n -1

Ta cú {I , w} = ồ ai (b bn ai + b g ai +1 ) - b.b bn an = 0. Do ú b = 0
i =1

dn n ai = 0 . Vỡ vy ker {I , g V } = {0} .
ổn -1
ửữ
Trờn a b , ta cú {I , a b } = b ỗỗỗồ ai +1 bi ữữ ẻ
ữữứ
ỗố i =1
n
ùỡ
ùỹ
ta tớnh c ùớI , a b - ồ (n + 1 - i )ai bi ùý = 0 nờn

ùù
ùù
i =1
ợ
ỵ

(8)

{I , (V W )}. ng thi,

n

a b - ồ (n + 1 - i )ai bi ẻ ker {I ,.} .
i =1

T ú ta cú kt qu nh sau:

{

}

Z 2 ( j2n ) = b (V W ) b g ker I , 2 (W )

(

) (

n

)

(V g W ) W \ 2W a b - ồ (n + 1 - i )ai bi .
i =1

ộn ự
ộ n + 1ự
ộ ự ộ
ự
ỳ + 2 v b ( j
ờ n ỳ + ờ n + 1ỳ + 1.
=
Do ú dimZ 2 ( j2n ) = 2n + ờ ỳ + + ờ
)
2 2n +1
ờ ỳ
ờ 2 ỳ
ờ2ỳ ờ 2 ỳ
ở2ỷ
ở
ỷ
ở ỷ ở
ỷ

Tuyờn b v quyn li: Cỏc tỏc gi xỏc nhn hon ton khụng cú xung t v quyn li.

TI LIU THAM KHO
Bordemann, M. (1997). Nondegenerate invariant bilinear forms on nonassociative algebras.
Acta. Math. Uni. Comenianac, 66(2), 151-201.
Duong, M. T., Pinczon, G. & Ushirobira, R. (2012). A new invariant of quadratic Lie algebras. Alg.
and Rep. Theory, 15(6), 1163-1203.

Favre, G., & Santharoubane, L. J. (1987). Symmetric, invariant, non-degenerate bilinear form on a
Lie algebra. J. Algebra, 105, 451-464.
Figueroa-OFarrill, J. M., & Stanciu, S. (1996). On the structure of symmetric self-dual Lie
algebras. J. Math. Phys, 37, 4121-4134.
Kac, V. (1985). Infinite-dimensional Lie algebras. Cambrigde University Press, New York.
Medina, A., & Revoy, P. (1985). Algốbres de Lie et produit scalaire invariant. Ann. Sci. ẫc. Norm.
Sup., 4ốme sộr. 18, 553-561.
Pinczon, G., & Ushirobira, R. (2007). New Applications of Graded Lie Algebras to Lie Algebras,
Generalized Lie Algebras, and Cohomology. J. Lie Theory, 17, 633-667.
Pouseele, H. (2005). On the cohomology of extensions by a Heisenberg Lie algebra. Bull. Austral.
Math. Soc., 71, 459-470
Santharoubane, L. J. (1983). Cohomology of Heisenberg Lie algebras. Proc. Amer. Math. Soc., 87,
23-28.

889


Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM

Tập 16, Số 12 (2019): 877-890

THE SECOND BETTI NUMBER OF NILPOTENT JORDAN-TYPE LIE ALGEBRAS
Cao Tran Tu Hai1, Duong Minh Thanh2*
1

Le Quy Don High School for the Gifted, Ninh Thuan Province
2
Ho Chi Minh City Unversity of Education
*
Corresponding author: Duong Minh Thanh – Email:

Received: July 15, 2019; Revised: July 25, 2019; Accepted: August 15, 2019

ABSTRACT
In this paper, we calculate the second Betti number of nilpotent Jordan-type Lie algebras in
Duong, Pinczon and Ushirobira (2012) through computing super-Poisson brackets on their
algebra of multi – skew symmetric forms.
Keywords: Quadratic Lie algebras; Cohomology; super-Poisson bracket

890