Hàm Gamma P-adic và các đồng dư thức liên quan đến hệ số Newton

Mỵ Vinh Quang và tgk

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

_____________________________________________________________________________________________________________

HÀM GAMMA P-ADIC
VÀ CÁC ĐỒNG DƯ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HỆ SỐ NEWTON
MỴ VINH QUANG*, PHAN DUY NHẤT**

TÓM TẮT
Trong bài báo, chúng tôi chứng minh một đồng dư thức của hàm gamma p-adic dưới
đây:

⎡ x( x 2 -1) r p
1⎤
5r
p ∑
(1)
Γ p ( p x) ≡ Γ p ( p ) ⎢1 +
⎥ (mod p )
3
k =1,( k , p ) =1 k ⎥
⎢⎣
⎦
trong đó: Γ p : Z p → C p là hàm gamma p-adic; p là số nguyên tố, p > 5 ; r ≥ 1 ;
x∈Zp.
r

r

r x

Từ đó, chúng tôi suy ra được một số đồng dư thức trong số học liên quan đến hệ số
Newton.
Từ khóa: hàm gamma p-adic, đồng dư thức, hệ số Newton.
ABSTRACT
P-adic gamma function and congruences related to the Newton coefficients
In the paper, we prove a congruence of the p-adic gamma function follows:

⎡ x( x 2 -1) r p
1⎤
5r
p ∑
(1)
Γ p ( p x) ≡ Γ p ( p ) ⎢1 +
⎥ (mod p )
3
k =1,( k , p ) =1 k ⎥
⎢⎣
⎦
Where: Γ p : Z p → C p is the p-adic gamma function; p is a prime, p > 5 ; r ≥ 1 ;
x∈Zp.
r

r

r x

Since then, we deduce some congruences in arithmetic relating to the Newton
coefficients.

Keywords: p-adic gamma function, congruence, Newton coefficient.

1.

Giới thiệu

⎛ 2 p − 1⎞
Đồng dư thức ⎜
⎟ ≡ 1 (mod p) được chứng minh khá đơn giản. Năm 1819,
⎝ p −1 ⎠
Babbage đã chứng minh một đồng dư thức mạnh hơn, với số nguyên tố p ≥ 3 thì

*
**

PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM
ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM

3


Số 36 năm 2012

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

_____________________________________________________________________________________________________________

⎛ 2p −1⎞
⎛2p−1⎞
2

3
(mod
p
).
Năm
1862,
Wolstenholme
đã
chứng
minh
≡
1
⎜
⎟
⎜
⎟ ≡1 (mod p )
⎝ p −1 ⎠
⎝ p −1 ⎠
⎛ np + p − 1⎞
với mọi số nguyên tố p ≥ 5 . Năm 1899, J. Glaisher với kết quả ⎜
⎟ ≡ 1 (mod
⎝ p −1
⎠
⎛ np ⎞ ⎛ n ⎞
p 3 ) và năm 1990, D.F. Bailey với kết quả ⎜ ⎟ ≡ ⎜ ⎟ (mod p 3 ) cho mọi số nguyên
⎝ rp ⎠ ⎝ r ⎠
tố p ≥ 5 .
Khi giải tích p-adic ra đời đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới. Tương tự hàm
gamma trong giải tích phức, ta có hàm gamma p-adic trong giải tích p-adic với tính
chất sau:

Γ p (n) = (−1) n

n −1

∏

i

i =1,( i , p ) =1

ta thấy được mối liên hệ giữa hàm gamma p-adic và hệ số của nhị thức Newton như
sau:

Γ p ( np + p )
⎛ np + p − 1⎞
⎜
⎟=
⎝ p −1
⎠ Γ p ( np )Γ p ( p )
khi đó có thể viết lại đồng dư thức của J. Glaisher như sau:

Γ p (np + p )
Γ p (np )Γ p ( p )

≡ 1 (mod p 3 )

Từ đây, tạo động lực cho chúng ta nghiên cứu những đồng dư thức của hàm
gamma p-adic. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ chứng minh đồng dư thức (1) và sử
dụng kết quả này để suy ra một số đồng dư thức số học liên quan đến hệ số Newton.

2.
Các kết quả được sử dụng trong bài báo
2.1. Hàm gamma p-adic
Trường số thực R không đóng đại số, bao đóng đại số của R là trường số phức C.
Làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối

p

ta được trường Q p , Q p đầy đủ nhưng

không đóng đại số. Kí hiệu bao đóng đại số của Q p là Q p . Giá trị tuyệt đối trên Q p
được xác định như sau:
Với mọi a ∈ Q p thì a phải là phần tử đại số trên Q p , do đó tồn tại đa thức

Irr ( a, Q, x ) ∈ Q p [x] có dạng Irr ( a, Q, x ) = x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 bất khả quy
trên Q p , nhận a làm nghiệm.

4


Mỵ Vinh Quang và tgk

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

_____________________________________________________________________________________________________________

Ta chứng minh được a p =

n

a0

là giá trị tuyệt đối trên Q p . Trường Q p đóng

p

đại số nhưng nó lại không đầy đủ theo

p

vừa xây dựng. Nếu tiếp tục làm đầy đủ Q p
∧

theo

p

thì ta sẽ được trường số phức p-adic. Kí hiệu C p = Q p . Trường số phức p-

adic C p đóng đại số, đầy đủ và đóng vai trò tương tự như trường số phức C trong giải
tích phức.
Mệnh đề 2.1.

{

}

Tập hợp Z p = a ∈ Q p : a p ≤ 1 cùng phép toán cộng và phép toán nhân trong

Q p tạo thành một vành gọi là vành các số nguyên p-adic.

Định nghĩa 2.2.
Dãy a1 , a2 , a3 ,..., an ,... trong C p được gọi là một dãy nội suy p-adic nếu tồn tại
duy nhất một hàm số liên tục f : Z p → C p sao cho f (n) = an

∀n ∈ N .

Định lí 2.3.
n −1

Cho p là một số nguyên tố. Khi đó dãy {an } với an = (−1) n ∏ ' i là một dãy nội
i =1

suy p-adic. Trong đó

∏ ' là tích lấy theo tất cả các i nguyên tố với p.

Từ định nghĩa của dãy nội suy p-adic tồn tại duy nhất hàm Γ p : Z p → C p liên tục
trên Z p thỏa
n −1

Γ p (n) = (−1) n ∏ ' i
i =1

Hàm Γ p được xác định như trên gọi là hàm gamma p-adic.
2.2. Một số đồng dư thức
pr

Chúng ta kí hiệu

∑ ' thay cho ∑

k =1,( k , p ) =1

Định lí 2.1.
Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 5. Chúng ta có các đồng dư thức sau:
(i)
(ii)

1

∑' k

2s

∑' k

≡ 0 (mod p r ) nếu (p-1) không chia hết 2s.

1
2 s +1

≡ 0 (mod p 2r ) nếu (p-1) không chia hết 2(s + 1).

5


Số 36 năm 2012

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

_____________________________________________________________________________________________________________

1
pr
(iii) ∑ ' ≡ −
k
2
(iv)

1

1

∑' k

1

2

1

∑ ' km ≡ − 2 ∑ ' k

k
2

(mod p 4r ).
(mod p 4r ).

Chứng minh:
(i) Vì (p-1) không chia hết 2s nên tồn tại k0 thỏa p không chia hết k02 s − 1 và k0 .
Nếu k chạy qua một hệ thặng dư thu gọn theo (mod p r ) thì k0 k cũng chạy qua một hệ
thặng dư thu gọn theo (mod p r ). Khi đó:

1
1
1
1
≡ ∑ ' 2 s (mod p r )
' 2s = ∑ '
2 ∑
2s
k0
k
k
( k0 k )
Suy ra (1 −

1
1
) ' 2 s ≡ 0 (mod p r ). Do đó
2 ∑
k0
k

1

∑k

2s

≡ 0 (mod p r ).



(ii) Ta có:

∑' k

1
2 s +1

= ∑'

1
1
=
−
'
∑
( p r − k ) 2 s +1
k 2 s +1

1
p r 2 s +1
(1 − )
k

⎞

1 ⎛
p r p 2 r p 3r
= −∑ ' 2 s +1 ⎜1 +
+ 2 + 3 + ... ⎟
k
k
k
k
⎝
⎠
pr ⎞
1 ⎛
≡ −∑ ' 2 s +1 ⎜1 +
⎟
k
k ⎠
⎝

2 s +1

2 s +1

(mod p 2 r )

pr ⎞
1 ⎛
1
(2
1)
+

+
s
⎜
⎟
k 2 s +1 ⎝
k ⎠
1
1
= −∑ ' 2 s +1 − (2 s + 1) p r ∑ ' 2 s + 2
k
k
Do (p – 1) không chia hết 2(s + 1), theo (i) ta có:
≡ −∑ '

∑' k
Suy ra

1
2s+2

∑' k

(mod p 2 r )

≡ 0 (mod p r )

1
2 s +1

≡ −∑ '

1
2 s +1

(mod p 2r ). Vậy

k
(iii) Ta có khai triển Maclaurin
1
= 1 + x + x 2 + ...
1− x

6

(mod p 2 r )

∑' k

1
2 s +1

≡ 0 (mod p 2r ).




Mỵ Vinh Quang và tgk

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

_____________________________________________________________________________________________________________

1
p r p 2 r p 3r p 4 r
= 1+
+ 2 + 3 + 4 + ...
Suy ra
pr
k
k
k
k
1−
k
Từ đó ta có :
1
1
1 1
∑ ' k = ∑ ' p r − k = −∑ ' k p r
1−
k
1
1
1
1
≡ −∑ ' − p r ∑ ' 2 − p 2 r ∑ ' 3 − p 3r ∑ ' 4 (mod p 4r )
k
k
k
k

1

∑' k

Thay s = 2 vào (i), ta được

4

≡ 0 (mod p r ).
1

∑' k

Tương tự thay s = 1 vào (ii), ta được
Suy ra

1

1

1

∑ ' k ≡ −∑ ' k − p ∑ ' k

Vậy 2∑ '

r

3

≡ 0 (mod p 2r ).

(mod p 4r ).

2

1
1
≡ − p r ∑ ' 2 (mod p 4r ).
k
k

1
pr
Do (2, p ) = 1 , suy ra ∑ ' ≡ −
k
2
(iv) Ta có:
4r

1

∑' k

(mod p 4r )

2

2

1⎞
1
1
⎛
⎜ ∑ ' ⎟ = ∑ ' 2 + 2∑ '
k⎠
k
⎝
k < m km
Thay s = 0 vào (ii), ta được

1

∑' k ≡ 0

(mod p 2r ).

2

1⎞
⎛
Suy ra ⎜ ∑ ' ⎟ ≡ 0 (mod p 4r )
k⎠
⎝
Do đó
2∑ '
k

1
1
≡ −∑ ' 2
km
k

(mod p 4r )

Do (2, p 4 r ) = 1 , suy ra

1

1

1

∑ ' km ≡ − 2 ∑ ' k

k
2

(mod p 4r )



7


Số 36 năm 2012

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

_____________________________________________________________________________________________________________

3.
Kết quả chính
Định lí 3.1.
Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 5, x ∈ Z p , r ≥ 1 thì

⎡ x( x 2 -1) r
1⎤
p ∑ ' ⎥ (mod p 5r )
Γ p ( p x) ≡ Γ p ( p ) ⎢1 +
3
k⎦
⎣
Chứng minh:
Trước tiên ta chứng minh
r

r x

Γ p ( p r (n + 1) )
Γ p ( p )Γ p ( p n )
r

r

≡ 1 + n(n + 1) p r ∑ '

1
(mod p 5 r )
k

Ta có:

Γ p ( p r (n + 1) )
Γ p ( p r )Γ p ( p r n )

≡ ∏'

pr + k
pr n
= ∏ '(1 +
)
k
k

1
1
≡ 1+np r ∑ ' + n 2 p 2 r ∑ '
+ n3 p 3r t3 + n 4 p 4 r t4 (mod p5 r )
k
k < m km
pr

Trong đó

∏ ' kí hiệu thay cho ∏

k =1,( k , p ) =1

Từ (i) và (ii) của định lí 2.1, ta có

, t3 =

1

∑ ' klm , t

k
1

1

∑' k ∑' k ≡ 0
2

4

=

∑

k
(mod p 3r ).

Mặt khác ta có :

1

1

1

1

∑' k ∑' k = ∑' k + ∑ ' k m
2

Do đó

3

1

∑'k m ≡ 0

k ≠m

2

k ≠m

2

và

1

∑' k

3

≡ 0 (mod p 2r ).

(mod p 2r ).

Suy ra

3t3 = 3 ∑ '
k
1
1
1
1
= ∑ ' ∑ ' − ∑ ' 2 ≡ 0 (mod p 2r )
klm k < m km
k k ≠m k m

Hay t3 ≡ 0 (mod p 2 r ).
Từ định lí 2.1 ta có:

1

∑' k

3

≡ 0 (mod p 2r ) và

Mặt khác ta có:
8

1

∑' k

4

≡ 0 (mod p r )

'

1
.
klmh


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

Mỵ Vinh Quang và tgk

_____________________________________________________________________________________________________________

1

1

1

∑' k ∑' k = ∑' k
3

4

+ ∑'
k ≠m

1

∑ ' k m ≡ 0 (mod

Suy ra

3

k ≠m

1
.
k 3m

p r ).

Ta lại có:

1

1

∑ ' km ∑ ' k

k
2

= ∑'
k ≠m

1

∑ ' k lm ≡ 0

Suy ra

2

1
1
+ ∑' 2 .
3
k m
k lm
(mod p r ).

Ta có:

4t4 = ∑ '

1
1
1
'
− ∑' 2 .
∑
k k k lm

Hay t4 ≡ 0 (mod p r ).
Từ (iii) và (iv) của định lí 2.1, ta có:

pr ∑ '
k
1
pr
≡−
km
2

1

∑' k

2

≡ ∑'

1
(mod p 4r ).
k

Suy ra

Γ p ( p r (n + 1) )

1
1
1
≡ 1+np r ∑ ' + n 2 p r ∑ ' = 1 + n(n + 1) p r ∑ ' (mod p 5r ).
Γ p ( p )Γ p ( p n )
k
k
k
r

r

Đặt

f ( x) =

Γ p ( p r x)
Γ p ( pr )x

.

Từ đó ta có:

Γ p ( p r (n + 1) )
f ( n + 1)
.
=
f ( n)
Γ p ( p r )Γ p ( p r n )
Theo chứng minh trên ta có:

f (n + 1)
1
≡ 1 + n(n + 1) p r ∑ ' (mod p 5r ).
f ( n)
k
Từ đó ta suy ra được

9


Số 36 năm 2012

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

_____________________________________________________________________________________________________________

n −1

f ( n) = ∏
k =1

f ( k + 1) n −1 ⎡
1⎤
≡ ∏ ⎢1 + i (i + 1) p r ∑ ' ⎥
f (k )
k⎦
i =1 ⎣

1 n −1
n(n 2 − 1) r
1
≡ 1+p r ∑ ' .∑ i (i + 1) = 1 +
p ∑'
(mod p 5 r ).
k i =1
3
k
⎡ n(n 2 − 1) r
1⎤
Vậy Γ p ( p n) ≡ Γ p ( p ) ⎢1 +
p ∑ ' ⎥ (mod p 5r ).
3
k⎦
⎣
Như vậy ta đã chứng minh định lí đúng với mọi số tự nhiên n.
r

r n

Do N trù mật trong Z p nên mọi x ∈ Z p , tồn tại

{ xn } ⊂ N : xn → x .

Vì hàm

gamma p-adic Γ p liên tục trên Z p nên

⎡
xn ( xn2 − 1) r
1 ⎞⎤
r
r xn ⎛
p ∑ ' ⎟⎥
⎢Γ p ( p xn ) − Γ p ( p ) ⎜1 +
3
k ⎠⎦
⎝
⎣
⎡
x( x 2 − 1) r
1 ⎞⎤
r
r x⎛
p ∑ ' ⎟⎥
→ ⎢Γ p ( p x) − Γ p ( p ) ⎜1 +
3
k ⎠⎦
⎝

⎣

khi n → ∞.

Do đó tồn tại n0 , sao cho:

⎡ x( x 2 − 1) r
1⎤
p ∑' ⎥
∀n > n0 ⇒ Γ p ( p x) − Γ p ( p ) ⎢1 +
3
k⎦ p
⎣
r

r x

⎡ x ( x 2 − 1) r
1⎤
= Γ p ( p r xn ) − Γ p ( p r ) xn ⎢1 + n n
p ∑ ' ⎥ ≤ p −5 r .
3
k⎦ p
⎣
Suy ra

⎡ x( x 2 − 1) r
1⎤
Γ p ( p r x) − Γ p ( p r ) x ⎢1 +
p ∑ ' ⎥ ≡ 0 (mod p 5r ).

3
k⎦
⎣
Định lí được chứng minh.
Nhận xét: Theo (ii) của định lí 2.1, ta có:
1

∑' k ≡ 0

(mod p 2r ).

Suy ra

c=

1
p2r

1

∑' k ∈ Z

p

.

Khi đó định lí 3.1 được viết lại như sau:

10

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

Mỵ Vinh Quang và tgk

_____________________________________________________________________________________________________________

⎡ x( x 2 − 1) 3r ⎤
p c ⎥ (mod p5r ).
Γ p ( p x) ≡ Γ p ( p ) ⎢1 +
3
⎣
⎦
Hệ quả 3.2.
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 5 và x, y ∈ Z p , r ≥ 1 thì
r

r x

Γ p ( pr ( x + y) )
Γ p ( p x )Γ p ( p y )
r

r

≡ 1 + xy ( x + y ) p 3r c (mod p 5r )

Chứng minh:

Theo định lí 3.1, ta có:

Γ p ( p r x)Γ p ( p r y ) ⎡⎣1 + xy ( x + y ) p 3r c ⎤⎦
⎡ x( x 2 − 1) 3r ⎤
⎡ y ( y 2 − 1) 3r ⎤
≡ Γ p ( p r ) x ⎢1 +
p c ⎥ .Γ p ( p r ) y ⎢1 +
p c ⎥ . ⎡⎣1 + xy ( x + y ) p 3r c ⎤⎦
3
3
⎣
⎦
⎣
⎦
2
2
⎡ x( x − 1) + y ( y − 1) 3r ⎤
≡ Γ p ( p r ) x .Γ p ( p r ) y ⎢1 +
p c ⎥ . ⎡⎣1 + xy ( x + y ) p 3r c ⎤⎦
3
⎣
⎦
⎡ x( x 2 − 1) + y ( y 2 − 1) + xy ( x + y ) 3r ⎤
p c⎥
≡ Γ p ( p r ) x + y ⎢1 +
3
⎣
⎦
r x+ y

≡ Γp(p )

⎡ ( x + y ) ( ( x + y ) 2 − 1)
⎤
⎢1 +
p3r c ⎥
3
⎢⎣
⎥⎦

≡ Γ p ( p r ( x + y) )

(mod p 5 r ).

Chứng minh trên đã sử dụng đẳng thức

x( x 2 − 1) + y ( y 2 − 1) + xy ( x + y ) = ( x + y ) ( ( x + y ) 2 −1)



Ta có thể tổng quát hệ quả 3.2 như sau
Hệ quả 3.3.
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 5 và xi ∈ Z p ; i = 1, n ; n ≥ 2; r ≥ 1 thì

⎛ r n ⎞
Γ p ⎜ p ∑ xi ⎟
n
⎞ ⎛
⎞ ⎤ 3r
5r

⎝ i =1 ⎠ ≡ 1 + ⎡⎛ x ⎞ ⎛
x
x
x
x
x
−
⎢⎜ ∑ i ⎟ ⎜ ∑ i j ⎟ ⎜ ∑ i j k ⎟ ⎥ cp (mod p ).
n
⎢⎣⎝ i =1 ⎠ ⎝ 1≤i < j ≤ n
⎠ ⎝ 1≤i < j < k ≤ n
⎠ ⎥⎦
∏ Γ p ( p r xi )
i =1

Khi n = 3, ta có:

11


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

Số 36 năm 2012

_____________________________________________________________________________________________________________

Γ p ( p r ( x + y + z) )
Γ p ( p x )Γ p ( p y )Γ p ( p z )
r

r

r

≡ 1 + [ ( x + y + z )( xy + yz + xz ) − xyz ] (mod p 5r ).

4.

Một số đồng dư thức liên quan hệ số nhị thức Newton
Sử dụng hệ quả 3.2, ta chứng minh được định lí sau đây.
Định lí 4.1.
Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 5, n, m, n ', m ' ∈ N và n > m, n ' > m ' thì

⎛ n ' ⎞⎛ np ⎞
⎛ n ' ⎞⎛ n ⎞
n ' m '(n '− m ') ⎜ ⎟⎜ ⎟ − n ' m '(n '− m ') ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ m ' ⎠⎝ mp ⎠
⎝ m ' ⎠⎝ m ⎠
⎛ n ⎞⎛ n ' p ⎞
⎛ n ⎞⎛ n ' ⎞
(mod p 5 ).
≡ nm(n − m) ⎜ ⎟⎜
⎟ − nm(n − m) ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ m ⎠⎝ m ' p ⎠
⎝ m ⎠⎝ m ' ⎠
Từ định lí 4.1, chọn n, m, n ', m ' thích hợp, chúng ta được một số đồng dư thức
sau:

⎛2p⎞
⎛3p⎞

9 ⎜ ⎟ ≡ 12 + 2 ⎜ ⎟ (mod p 5 ).
⎝p ⎠
⎝p ⎠
⎛2p⎞
⎛4p⎞
24 ⎜ ⎟ ≡ 42 + ⎜ ⎟ (mod p 5 ).
⎝p ⎠
⎝2p⎠

⎛3p⎞
⎛4p⎞
8 ⎜ ⎟ ≡ 12 + 3 ⎜ ⎟ (mod p 5 ).
⎝p ⎠
⎝p ⎠
⎛2p⎞
⎛ 2 p ⎞⎛ 3 p ⎞
12 ⎜ ⎟ ≡ 18 + ⎜ ⎟⎜ ⎟ (mod p 5 ).
⎝p ⎠
⎝ p ⎠⎝ p ⎠
5.
Một vài kết quả mở rộng
Định lí 5.1.
Nếu n, m, n ', m ' ∈ N , p là số nguyên tố lớn hơn 5, r ≥ 1 , n > m, n ' > m ' thì
r
⎛ n ' ⎞ ⎛ np ⎞
⎛ n ' ⎞⎛ n ⎞
n ' m '(n '− m ') ⎜ ⎟ ⎜⎜ r ⎟⎟ − n ' m '(n '− m ') ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ m ' ⎠ ⎝ mp ⎠
⎝ m ' ⎠⎝ m ⎠
r

⎛ n ⎞⎛ n' p ⎞
⎛ n ⎞⎛ n ' ⎞
≡ nm(n − m) ⎜ ⎟ ⎜⎜
−
−
nm
(
n
m
)
(mod p 5 r ).
⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
r ⎟
⎝ m⎠⎝ m' p ⎠
⎝ m ⎠⎝ m ' ⎠

Từ định lí 5.1, chọn n, m, n ', m ' thích hợp, chúng ta được một số đồng dư thức
sau

12


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

Mỵ Vinh Quang và tgk

_____________________________________________________________________________________________________________

⎛ 2 p2 ⎞

⎛ 3 p2 ⎞
9 ⎜ 2 ⎟ ≡ 12 + 2 ⎜ 2 ⎟ (mod p10 ).
⎜p ⎟
⎜p ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 2 p2 ⎞
⎛ 4 p2 ⎞
24 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ≡ 42 + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ (mod p10 ).
⎝p ⎠
⎝2p ⎠

⎛ 3 p2 ⎞
⎛ 4 p2 ⎞
8 ⎜ 2 ⎟ ≡ 12 + 3 ⎜ 2 ⎟ (mod p10 ).
⎜p ⎟
⎜p ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Theo D.F Bailey, chúng ta có định lí sau:
Định lí 5.2.[4]
Nếu N , M , n, m ∈ N , p là số nguyên tố lớn hơn 3, giả sử n, m < p thì
⎛ Np 3 + n ⎞ ⎛ N ⎞⎛ n ⎞
3
⎜⎜
⎟⎟ ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟ (mod p ).

3
⎝ Mp + m ⎠ ⎝ M ⎠⎝ m ⎠
Trong bài báo này, chúng ta có kết qủa mở rộng sau
Định lí 5.3.
Nếu N , M , n, m ∈ N , p là số nguyên tố lớn hơn 5, r ≥ 1 , giả sử n ≤ m < p thì
⎛ Np r + n ⎞ ⎛ N ⎞⎛ n ⎞
r
2r
⎜⎜
⎟⎟ ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎡⎣1 + c ' p ⎤⎦ (mod p ).
r
M
m
⎝ Mp + m ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
n

1
Trong đó c ' = H (n) N − H (m) M − H (n − m)( N − M ) với H (n) = ∑ , H (0) = 0
k =1 k
Từ định lí 5.3., chọn N, M, n, m, r thích hợp và với p là số nguyên tố lớn hơn 5,
chúng ta có một số đồng dư thức sau:

⎛ 2 p3 + 3 ⎞
3
6
⎜⎜ 3
⎟⎟ ≡ 6 + 7 p (mod p ).
⎝ p +2 ⎠

⎛ 6 p3 + 3 ⎞

6
3
⎜⎜ 3
⎟⎟ ≡ 30(2 + 7 p ) (mod p ).
⎝3p +1 ⎠
⎛ 2 p3 + 3 ⎞
⎛ 6 p3 + 3 ⎞
6
≡
+
30 ⎜⎜ 3
120
⎟⎟
⎜⎜ 3
⎟⎟ (mod p ).
⎝ p +2 ⎠
⎝3p +1 ⎠

13


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM

Số 36 năm 2012

_____________________________________________________________________________________________________________

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.

2.
3.
4.
5.
6.
7.

Bailey, D.F. (1990), “Two p 3 variations of Lucas’s theorem”, J. Number Theory 35,
pp. 208- 215.
Dupare, H. and Peremans, W. (1955), “On theorem of Wolstenholme and
Leudesdodrf”, Pro Ned. Akad. Wet., 58, pp. 459 – 465.
Hardy, G. and Wright, E. (1954), An introduction to the theory of numbers (Third
Edition), Oxford, Clarendon Press.
Koblitz N. (1977), P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zenta – Function, Springer
Veriag.
Schikhof W. H. (1984), Ultrametric calculus, An introduction to p-adic analysis,
Cambridge University Press.
Wolstenholme, J.(1862), “On certain properties of prime numbers”, Quart. J. Math.,
Oxford Series 5, pp. 35- 39.
Zhao, J. (2006), “Bernoulli Numbers, Wolstenholme’s theorem, and p 5 variations of
Lucas’s theorem”, arxiv:math/0303332v3[math.N1].

(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 13-02-2012; ngày chấp nhận đăng: 24-4-2012)

14