Về một phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên chứa tích phân tuyến tính

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết

VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN
LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN
CHỨA TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH
Trương Thị Nhạn*, Trần Minh Thuyết†
1. Giới thiệu
Trong bài báo này, chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp các hàm (u , P )
thỏa
p- 2
ìï
ïï u tt - ¶¶x m(x , t )u x + l u t
u t = F (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ïï
í m(0, t )u x (0, t ) = P (t ), u (1, t ) = 0,
ïï
ïï u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1(x ),
ïî

(

)

(1)

trong đó p ³ 2, l ³ 0 là các hằng số cho trước; m, u%0, u%1, F là các hàm cho
trước thoả các điều kiện sẽ đặt ra sau. Hàm chưa biết u (x , t ) và giá trị biên P (t )
thoả một phương trình tích phân tuyến tính sau đây:
t

P (t ) = g(t ) + k 0u (0, t ) + l 0u t (0, t ) -

òk (t -

s )u (0, s )ds,

(2)

0

trong đó k 0, l 0 là các hằng số cho trước và g, k là các hàm cho trước. Bài toán
(1) được quan tâm và khảo sát bởi nhiều tác giả (xem [1], [5] – [16]) và các tài
liệu tham khảo trong đó.
Một bài toán khác cùng loại bài toán này được thành lập từ bài toán (1),
trong đó, l 0 = 0, k 0 ³ 0, m(x , t ) º 1, hàm chưa biết u (x , t ) và giá trị biên chưa biết
P (t ) thoả bài toán Cauchy sau đây cho phương trình vi phân thuờng
ìï P ¢¢(t ) + w2P (t ) = hu (0, t ), 0 < t < T ,
ï
tt
í
ïï P (0) = P0, P ¢(0) = P1,
ïî

(3)

trong đó, k 0 ³ 0, w > 0, P0 , P1 là các hằng số cho trước.

*
†

ThS, Khoa Khoa học Tự nhiên - Học viện Hải quân;
TS, Đại học Kinh tế Tp.HCM.

53


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

Các tác giả Long và Alain Phạm [5, 6], Long và Thuyết [9] đã xét bài toán
(1) với điều kiện biên tại x = 0 có dạng
t

u x (0, t ) = g(t ) + H (u (0, t )) -

ò k (t -

s )u (0, s )ds,

(4)

0

trong đó g, H , k là các hàm cho trước.
Long, Định, Diễm [10] nghiên cứu sự tồn tại, tính trơn và khai triển tiệm
cận nghiệm của bài toán (1) trong trường hợp m(x , t ) º 1, u x (0, t ) = P (t ),
Q (t ) = K 1u (1, t ) + l u t (1, t ), trong đó P (t ) xác định ở (3) cùng với utt (1, t ) thay thế

bởi utt (0, t ).
Báo báo này gồm ba phần chính. Trong phần 1, trước hết chúng tôi liên kết
bài toán (1), (2) với một dãy quy nạp tuyến tính bị chặn trong không gian hàm
thích hợp. Từ đó, sự tồn tại và duy nhất nghiệm được thiết lập nhờ phương pháp
Galerkin, phương pháp compact và bổ đề Gronwall. Phần 2 nghiên cứu dáng điệu
tiệm cận của nghiệm yếu (u l , Pl ) của bài toán (1), (2) khi l ® 0+ . Trong phần 3,
chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán (1), (2)
đến cấp N + 1 theo một tham số bé l .
2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Đặt W= (0,1), để ngắn gọn chúng tôi không nhắc lại định nghĩa các không
gian hàm thông dụng C m (W), Lp (W), H m (W) và lần lượt kí hiệu các không gian
trên là C m , Lp , H m (có thể xem trong [2]). Kí hiệu || ×||X dùng để chỉ chuẩn trên
không gian Banach X .
Trên L2 tích vô hướng thông thường và chuẩn sinh bởi nó lần lượt là:
1

1

áv, w ñ=

ò v(x )w(x )dx,

|| v || =

0

æ1
ö÷ 2
ç
÷

áv, v ñ = çç v 2 (x )dx ÷
.
÷
çç
÷
è0
ø÷

ò

Tích vô hướng và chuẩn tương ứng trên H 1 lần lượt là:
áv, w ñ+ áv ', w 'ñ, || v ||H 1 =

54

áv, v ñ+ áv ', v 'ñ =

|| v ||2 + || v ' ||2 .


Tp chớ KHOA HC HSP TP. HCM

Trng Th Nhn, Trn Minh Thuyt

t V = {v ẻ H 1 : v(1) = 0}.
Trc tiờn ta cú b sau:
B 2.1. Phộp nhỳng V C 0 (W) l compact v
(5)

i ) | | v ||C 0 ( W) Ê || v ' ||, " v ẻ V ,

ii ) || v || Ê

1

(6)

|| v ' ||, " v ẻ V .

2

Vic chng minh b ny l n gin, vỡ vy chỳng tụi b qua.
Cỏc kớ hiu u(t ), u Â(t ) = u t (t ) = u&(t ), u ÂÂ(t ) = utt (t ) = u&&
(t ), u x (t ) = ẹ u (t ), u xx (t )
= D u (t ) c s dng ln lt ch u (x , t ),

ả 2u
ảx2

ảu
(x , t ),
ảt

ả 2u
ảt

2

(x , t ),

ảu
(x , t ),
ảx

(x , t ).

Ta chỳ ý rng W 1(T ) = {v ẻ LƠ (0,T ;V ) : vt ẻ LƠ (0, T ; L2 )} l mt khụng gian
Banach i vi chun || v ||W (T ) = || v ||L
1

Ơ

( 0,T ;V )

+ || vt ||LƠ (0,T ;L2 ) .

t
W%(T ) = {v ẻ LƠ (0, T ;V ) : vt ẻ LƠ (0, T ;V ), vtt ẻ LƠ (0,T ; L2 )}.

Khi ú nghim yu ca bi toỏn (1), (2) l cp hm (u , P ) ẻ W%(T ) H 1(0,T )
tho món bi toỏn bin phõn sau:
ỡù ỏu , v ủ+ ỏm(t )ẹ u , ẹ v ủ+ P (t )v(0) + l ỏ| u | p - 2 u , v ủ= ỏF (t ), v ủ, " v ẻ V ,
ùù tt
t
t
ùù
t
ù
k (t - s )u (0, s )ds ,
ớ P (t ) = g(t ) + k 0u (0, t ) + l 0u t (0, t ) ùù

0
ùù
ùù u (x , 0) = u%0 , u t (x , 0) = u%1.
ùợ

ũ

(7)

Ta thnh lp cỏc gi thit:
(A1) (u 0 , u1 ) ẻ (V ầ H 2 (0, 1)) H 1(0, 1),
(A2) F , Ft ẻ L2 (QT ), Q T = (0,1) (0, T ), " T > 0,
55


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

(A3)

m Î C 1 ([0, 1]´ ¡

+

Số 18 năm 2009

), m(x, t ) ³

m0 > 0,

" (x , t ) Î [0, 1]´ ¡

+

(

)

, mtt Î L1 0, T ; L¥ ,

" T > 0,

(A4) k, g Î H 1(0,T ), " T > 0,
(A5) p ³ 2, l > 0, l 0 > 0, k 0 ³ 0.
Cho trước T * > 0. Với mọi M > 0 và T Î (0,T * ], ta đặt
ìï W (M ,T ) = {v Î W%(T ) :|| v ||
£ M ,|| vt ||L¥ (0,T ;V ) £ M ,|| vtt ||L¥ ( 0,T ;L2 ) £ M },
ïï
L¥ ( 0,T ;V )
ïïí W ( M ,T ) = {v Î W (M , T ) : v Î L¥ (0, T ; L2 )},
(8)
tt
ïï 1
1
ïï P ( M ,T ) = {P Î H (0,T ) :|| P || 1
£ M }.
H ( 0,T )
ïî

Ta xây dựng dãy quy nạp tuyến tính {(u ( n) , P ( n ) )} trong W (M ,T ) ´ P (M ,T )
sao cho dãy này hội tụ mạnh trong không gian hàm thích hợp về nghiệm yếu của

bài toán (1), (2) với sự lựa chọn M > 0 và T > 0 thích hợp.
Trước hết, chọn bước lặp ban đầu
u (0) = 0, P (0) = g.

(9)

Giả sử rằng
(u ( n - 1) , P ( n - 1) ) Î W 1 (M , T ) ´ P (M , T ).

(10)

Ta tìm (u (n ) , P (n ) ) Î W 1(M ,T ) ´ P (M ,T ) là nghiệm của bài toán:
(n )
(n )
(n )
(n )
ìï áu&
ïï & , v ñ+ ám(t )Ñ u , Ñ v ñ+ P (t )v(0) = áf (t ), v ñ, " v Î V ,
í (n )
ïï u (0) = u%, u&(n ) (0) = u%,
0
1
ïî

(11)

trong đó
t

P

(n )

(t ) = g(t ) + k 0u

(n )

(n )

(0, t ) + l 0u& (0, t ) -

ò k (t -

s )u (n ) (0, s )ds,

(12)

0

f (n ) (t ) = F (t ) - l u&(n - 1)

Khi đó ta có định lí sau:

56

p- 2

u&( n - 1) .

(13)

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết

Định lí 2.1. Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó tồn tại các hằng số dương M ,
T sao cho tồn tại dãy (u (n ) , P (n ) ) Î W 1 (M , T ) ´ P (M , T ) xác định bởi (11) – (13).

Chứng minh chi tiết của định lí có thể tìm thấy trong [16].
Tiếp theo, chúng tôi chứng minh được {(u ( n) , P ( n ) )} xác định bởi (11) – (13)
hội tụ mạnh về (u, P ) trong không gian hàm thích hợp và sau đó kiểm chứng
được rằng (u, P ) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (1), (2). Kết quả cho bởi
định lí sau:
Định lí 2.2. Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó tồn tại các hằng số dương M ,
T sao cho bài toán (7) có duy nhất nghiệm (u , P ) thỏa mãn
ìï u Î L¥ (0,T ;V Ç H 2 ) Ç W (M ,T ),
ï
1
í
ïï u (0, ×) Î H 2 (0,T ), P Î H 1(0,T ).
ïî

(14)

Hơn nữa, dãy quy nạp {(u ( n) , P ( n ) )} được xác định như trong định lí 2.1 hội
tụ mạnh về (u, P ) trong không gian W 1 (T ) ´ L2 (0,T ), trong đó

{

W 1 (T ) = v Î L¥ (0, T ;V ) : vt Î L¥ (0,T ; L2 )}.

Mặt khác ta cũng có đánh giá sau:
|| u ( n ) - u ||W

1

(T )

+ || P (n ) - P ||L2 ( 0,T ) £ CkTn , " n ³ 1,

(15)

ở đây 0 < kT < 1 , C > 0 là hằng số chỉ phụ thuộc T , uo , u1, m, l 0 và kT .
Chứng minh chi tiết có thể xem trong [16].
3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi l ® 0+
Trong phần này, giả sử rằng giả thiết (A1) – (A5) đúng, chúng tôi thu được
(u 0 , P0 ) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (1.1), (1.2) ứng với l = 0. Theo định
lí 2.2, bài toán biến phân (7) tương ứng với mỗi l > 0 , có nghiệm duy nhất
(u l , Pl ).

57


Tp chớ KHOA HC HSP TP. HCM

S 18 nm 2009

Ly bt kỡ dóy {l m } sao cho l m đ 0+ khi m đ Ơ , ta chng minh c
{(u l , Pl )} l dóy Cauchy trong khụng gian hm thớch hp, t ú thu c ỏnh

m

m

giỏ tim cn ca nghim (u l , Pl ) khi l đ 0+ , kt qu cho bi nh lớ sau:
nh lớ 3.1. Gi s (A1) (A5) ỳng. Khi ú tn ti cỏc hng s dng M ,
T sao cho

i) Bi toỏn (1), (2) tng ng vi l = 0 cú duy nht nghim yu (u 0, P0 )
tha món
ỡù u ẻ LƠ (0,T ;V ầ H 2 ) ầ W (M ,T ),
ùù 0
1
ớ
ùù u (0, ì) ẻ H 2 (0,T ), P ẻ H 1(0,T ).
0
ùợ 0

(16)

ii) Hn na, chỳng ta cú ỏnh giỏ tim cn:
|| u l - u 0 ||W

1

(T )

+ || u lÂ(0, ì) - u 0Â(0, ì) ||L2 ( 0,T ) + || Pl - P ||L2 ( 0,T ) Ê C *l ,

(17)

vi l > 0 nh, trong ú C * > 0 l hng s ch ph thuc T , uo , u1, m, k 0 , k
v l 0 .
4. Khai trin tim cn ca nghim theo mt tham s bộ l
Phn ny, ta gi s (u 0, u1, m, F , g, k ) tha cỏc gi thit (A1) (A5). T nh lớ
2.2, bi toỏn (1), (2) cú duy nht nghim yu (u, P ) ph thuc vo l :
u = u l , P = Pl .

Bõy gi, ta b sung thờm gi thit:
(A6) P N + 1, N 2.
Trc ht, ta cn cú b sau
B 4.1. Cho m , N ẻ Ơ , v l , u1, ..., u N ẻ Ă . Khi ú

ổN
ỗỗ
ui l
ỗốồ
i= 1

58

m

i

ửữ
ữ
ữ =
ứữ

mN

ồ
i= m

T i (m ) [u ]l i ,

(18)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết

trong đó các hệ số T i (m ) [u ], m £ i £ mN phụ thuộc u = (u 1,..., u N ), được xác
định bởi công thức truy hồi

ìï
ïï (1)
ïï T i [u ] = u i , 1 £ i £ N ,
ïï
ïï (m )
( m - 1)
[u ], m £ i £ mN , m ³ 2,
(19)
í T i [u ] = å u i - jT j
ïï
j Î A i( m )
ïï
ïï

ïï A (m ) = j Î ¢ + : j £ i , 1 £ i - j £ N , m - 1 £ j £ (m - 1)N .
ïî i

{

}

Việc chứng minh bổ đề 4.1 là đơn giản, chúng tôi bỏ qua chi tiết.
Xét bài toán nhiễu dưới đây theo tham số bé l thỏa 0 £ l £ l *, ( l * là hằng
số cố định).
p- 2
ìï
ïï u tt - ¶¶x m(x , t )u x + l u t
u t = F (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ïï
ïï m(0, t )u x (0, t ) = P (t ), u (1, t ) = 0,
(Ql ) ïí u (x , 0) = u%(x ), u ( x , 0) = u%( x ),
0
t
1
ïï
t
ïï
ïï P (t ) = g(t ) + k 0u (0, t ) + l 0u t (0, t ) - òk (t - s )u (0, s )ds,
ïï
0
î

(

)

Gọi (u 0, P0 ) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (Ql ) (như trong định lí
3.1) ứng với l = 0, tức là
ìï u ¢¢- ¶ m(x , t )u = F (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ïï 0 ¶ x
0x
ïï
m(0, t )u 0x (0, t ) = P0 (t ) = g(t ), u 0 (1, t ) = 0,
(Q%0 ) ïí
ïï u (x , 0) = u%( x ), u ¢(x , 0) = u%(x ),
0
0
1
ïï 0
(
u
,
P
)
Î
W
(
M
,
T
)
´
P
(

M
,
T
),
ïï 0 0
1
î

(

)

Xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu (ui , Pi ), i = 1,..., N được xác định bởi các
bài toán sau

59


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

ìï u ¢¢- ¶ m(x , t )u = F , 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ïï i ¶ x
ix
i
ïï
ïï
ïï m(0, t )u (0, t ) = P (t ), u (1, t ) = 0,
ix

i
i
ï
%
(Qi ) ïí u i (x , 0) = u i¢( x , 0) = 0,
ïï
t
ïï
ïï Pi (t ) = k 0u i (0, t ) + l 0u i¢(0, t ) - òk (t - s )u i (0, s )ds ,
ïï
0
ïï (u , P ) Î W ( M ,T ) ´ P (M ,T ),
1
ïî i i

(

)

trong đó Fi , i = 0,1,..., N được xác định bởi công thức truy hồi sau

ìï F ,
i = 0,
ïï
ïï
ï
Fi = ïí - H (u ¢),
i = 1,
0
ïï

ïï i - 1 1 ( m )
H (u 0¢)T i (m ) [u ¢], i = 2, ..., N ,
ïï - å
ïî m = 1 m !

(20)

ở đây, ta ký hiệu H ( m ) là đạo hàm cấp m của hàm số H , với H (z ) = | z |p - 2 z ,

T i ( m ) [u ¢] biểu thức phụ thuộc vào u ¢ = (u 1¢,..., u N¢ ), như trong công thức (18).
Khi đó ta có kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm yếu cho bởi định lí
sau:
Định lí 4.1. Giả sử (A1 ) - (A6 ) thỏa. Khi đó, mỗi l Î [0, l * ], bài toán (Ql )
có duy nhất nghiệm yếu (u, P ) = (u l , Pl ) thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp
N + 1 như sau
N

|| u -

å

N

u i l i ||W

i= 0

1

(T )

+ || u ¢(0, ×) -

å
i= 0

u i¢(0, ×)l i ||L2 ( 0,T )

N

+ || P -

å
i= 0

Pi l i ||L2 ( 0,T ) £ C N l

N +1

,

(21)

với C N là hằng số dương độc lập với l , cặp hàm (u i , Pi ) là nghiệm yếu của bài
toán (Q%i ), i = 0, ..., N .

60


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều (1991), Schok between absolutely
solid body and elastic bar with the elastic viscous fristional resistance
at the side, J. Mech NCSR. Việt Nam, 13 (2), 1 – 7.
[2]. H. Brézis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Paris.
[3]. S. Lang (1969), Analysic II, Addison-Wesley, Reading, Mass,
California London.
[4]. J. L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux
limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris.
[5]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1992), On the
quasilinear wave equation utt - D u + f (u , u t ) = 0 associated with a
mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 19, 613 – 623.
[6]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1995), A semilinear
wave equation associated with a linear differential equation with
Cauchy data, Nonlinear Anal. 24,1261 – 1279.
[7]. Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm (1997), On the nonlinear wave
equation utt - u xx = f (x , t , u, ux , ut ) associated with the mixed
nonhomogeneous conditions, Nonlinear Anal, 29, 1217 – 1230 .
[8]. Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (1999), On the existence,
uniqueness of solutions of a nonlinear vibration equation, Demonstratio
Math. 32 (4), 749 – 758.
[9]. Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (2003), A semilinear wave
equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio
Math. 36 (4), 915 – 938.
[10]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm (2005),
On the On the shock problem involving a linear viscoelastic bar,
Bound. Value Probl. 2005 (3), 337 – 358.

[11]. Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On the
shock problem involving a linear viscoelastic bar. Nonlinear Analysis.
63, 198 – 224.
61


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

[12]. Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc
(2005), On the nonlinear wave equation with the mixed
nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic
expansion of solution, Demonstratio Math. 38 (2), 365 – 385.
[13]. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường (2007), Existence and
asymptotic expansion of solution to a nonlinear wave equation with a
memory condition at the boundary, Electron. J. Diff. Eqns., Vol. 2007,
No. 48, p. 1 – 19.
[14]. Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2007), On a Nonlinear
Kirchhoff – Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic
convergence and asymptotic expasion of solutions, Demonstratio Math.
40 (2), 365 – 392.
[15]. Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2009), On nonlinear
boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J.
Math. 37 (2 – 3), 141 – 178.
[16]. Trương Thị Nhạn (2009), Thuật giải xấp xỉ tuyến tính liên kết với
phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa tích chập, Luận
văn Thạc sĩ, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp, Hồ Chí Minh, 62 trang.
Tóm tắt
Bài báo này nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của một phương

trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa tích phân tuyến tính. Dáng điệu tiệm
cận và khai triển tiệm cận của nghiệm yếu đến cấp N+1 theo một tham số bé
cũng được khảo sát.
Abstract
On a nonlinear wave equation associated with
boundary conditions involving a linear integral
The paper is about the study of existence and uniqueness of a weak solution
of nonlinear weave equation with boundary conditions involving a linear
integral, asymptotic behavior and expansion of weak solutions to N + 1 order in
accordance with a small parameter is also investigated.

62