Bài giảng Toán 2: Chương 3 - ĐH Bách khoa TP. HCM
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.15 MB, 46 trang )
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
CuuDuongThanCong.com
/>
I/ LÝ THUYẾT :
1. Định nghĩa.
2. Định thức của một số ma trận đặc biệt.
3. Tính chất của định thức.
4. Tính định thức bằng khai triển Laplace.
II/
BÀI TẬP :
III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN :
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
CuuDuongThanCong.com
/>
1. ĐỊNH NGHĨA
1. Định nghĩa :
Cho ma trận
A
M
n
K
Định thức của ma trận A là 1 số và được ký
hiệu là d e t A hay A
a/ Định thức cấp 1 :
A
Ta định nghĩa :
a11
det A
a11
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
1. ĐỊNH NGHĨA
b/ Định thức cấp 2 :
A
a11
a12
a 21
a 22
Ta định nghĩa :
det A
a 1 1 .a 2 2
a 1 2 .a 2 1
c/ Định thức cấp 3 :
A
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
Ta khai triển định thức theo hàng 1
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
1. ĐỊNH NGHĨA
Khi đó :
det A
a11 .
1
a13 .
1 1
1
.
1
3
a 22
a 23
a32
a33
.
a12 .
a 21
a 22
a31
a32
1
1
2
.
a 21
a 23
a31
a33
Chú ý : Để tính định thức của một ma trận vuông
ta có thể khai triển định thức theo
...
hoặc c 1 , c 2 ,
h1 , h 2 ,
...
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
1. ĐỊNH NGHĨA
d/ Định thức cấp n :
A
a11
a12
...
a1n
a 21
a 22
...
a2n
an2
...
an
...
a n1
n
Ta khai triển định thức theo hàng 1
det A
a11 .
1
1 1
. d e t C 11
... a1n .
1
1 n
. d e t C 1n
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
1. ĐỊNH NGHĨA
Ở đây :
Cij là ma trận vuông cấp (n – 1) có được từ ma
trận A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ j
Đặt :
A
A
1
i j
i j
i
j
det Ci
j
được gọi là phần bù đại số của phần tử
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
ai
j
1. ĐỊNH NGHĨA
VD 1: Tính định thức của ma trận
2
1
3
A
0
1
4
5
2
0
Khai triển định thức theo cột 3 ta được
A
2.
1
2
3
.
2
1
4
5
2 6
12
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
2. ĐỊNH THỨC CỦA MỘT SỐ
MA TRẬN ĐẶC BIỆT :
2. Định thức của một số ma trận đặc biệt :
a/ Định thức của ma trận đường chéo :
A
a11
0
0
...
0
0
a 22
0
...
0
0
0
...
an
...
0
n
Lần lượt khai triển định thức theo hàng 1 ta sẽ
được kết quả : d e t A a 1 1 . a 2 2 . . . a n n
Hệ quả : d e t I n 1
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
2. ĐỊNH THỨC CỦA MỘT SỐ
MA TRẬN ĐẶC BIỆT :
b/ Định thức của ma trận tam giác trên :
A
a11
a12
...
a1
0
a 22
...
a2n
0
...
an
n
...
0
n
Lần lượt khai triển định thức theo cột 1 ta sẽ được
kết quả :
det A
a 1 1 .a 2 2 . . . a n
n
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
2. ĐỊNH THỨC CỦA MỘT SỐ
MA TRẬN ĐẶC BIỆT :
c/ Định thức của ma trận tam giác dưới:
A
a11
0
...
0
a 21
a 22
...
0
an2
...
an
...
a n1
n
Lần lượt khai triển định thức theo hàng 1 ta sẽ
được kết quả :
det A
a 1 1 .a 2 2 . . . a n
n
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC :
3. Tính chất của định thức :
a/
det A
det A
T
b/ Nếu ta đổi chỗ 2 hàng (hay 2 cột) của định
thức thì định thức đổi dấu.
c/
Nếu ma trận A có 2 hàng (hay 2 cột) giống
nhau thì
det A
0
d/ Nếu ma trận A có 2 hàng (hay 2 cột) tỷ lệ
thì d e t A 0
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC :
f/
Nếu ma trận A có 1 hàng ( hay 1 cột ) bằng
không thì d e t A 0
g/ Thừa số chung của 1 hàng hay 1 cột có thể
đem ra khỏi định thức.
h/ Định thức không đổi nếu ta thêm vào 1 hàng
(hay 1 cột) một tổ hợp tuyến tính của các
hàng khác (hoặc cột khác).
i/
Cho A và B là 2 ma trận vuông cùng cấp.
Khi đó :
d e t A .B
det A.det B
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC :
j/
a11
A
=
b1 1
a12
b1 2
a13
b1 3
a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
a11
a12
a13
b1 1
b1 2
b1 3
a 21
a 22
a 23
a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
a31
a32
a33
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC :
k/
A
a 11
b 11
a 12
a 13
a 21
b 21
a 22
a 23
a 31
b 31
a 32
a 33
a 11
a 12
a 13
b 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
b 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
b 31
a 32
a 33
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC :
Ví dụ 2 :
Tính định thức
A
1
2
3
4
2
3
3
2
3
5
7
2
1
3
5
4
Ta sẽ đưa ma trận A về dạng ma trận tam giác trên
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC :
h2
A
h2
2 h1
______________________
1
2
3
4
0
1
9
10
h3
h3
3 h1
0
1
2
10
h4
h4
h1
0
1
2
0
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC :
h3
h3
h2
___________________
h4
h4
h4
h4
h2
h3
______________________
1
2
3
4
0
1
9
10
0
0
7
0
0
0
7
10
1
2
3
4
0
1
9
10
0
0
7
0
0
0
0
10
70
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC :
Ví dụ 3 :
A
1
a
b
c
1
b
a
c
1
c
a
b
c2
c3
c2
A
Tính định thức
___________________
1
a
b
c
b
c
1
a
b
c
a
c
1
a
b
c
a
b
Do cột 1 và cột 2 tỷ lệ với nhau.
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
0
3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC :
Ví dụ 4 :
Không tính định thức, chứng minh rằng:
A
2
3
1
2
7
8
5
5
0
là một số chia hết cho 15
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC :
h1
A
h1
h2
h3
___________________________
9
15
9
2
7
8
5
5
0
Đặt thừa số chung ở hàng 1 là 3 và thừa số chung
ở hàng 3 là 5. Ta được :
A
3
x
5
3
5
3
2
7
8
1
1
0
Điều phải chứng minh
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
4. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG
KHAI TRIỂN LAPLACE :
IV. Tính định thức bằng khai triển Laplace :
a/ Định lý Laplace :
Định thức của ma trận A bằng tổng của các tích
mọi định thức con rút ra từ k hàng (hoặc k cột)
với phần bù đại số tương ứng của nó.
b/ Nhận xét :
Từ định lý trên ta nhận thấy khi tính detA, ta
nên khai triển định thức theo k hàng (hay k cột)
nào đó có càng nhiều số không càng tốt.
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
4. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG
KHAI TRIỂN LAPLACE :
Ví dụ 5 :
A
Tính định thức
1
1
1
0
0
0
2
3
4
0
0
0
3
6
10
0
0
0
4
9
14
1
1
1
5
15
24
1
5
9
0
24
38
1
25
81
Toán 2
CuuDuongThanCong.com
/>
