Về một phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên không thuần nhất chứa tích chập

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 16 năm 2009

VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN LIÊN KẾT
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÔNG THUẦN NHẤT CHỨA TÍCH CHẬP

Lê Nguyễn Kim Hằng*, Lê Thị Phương Ngọc†²

1.

Mở đầu
Xét bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến sau đây:
utt 


   x, t  ux   f  u, ut   F  x, t  , 0  x  1, 0  t  T ,
x
t

  0, t  u x  0, t   g 0  t    k0  t  s  u  0, s  ds ,
0

t

(1)
(2)

  1, t  u x 1, t   g1  t    k1  t  s  u 1, s  ds,

(3)

u  x, 0   u0  x  , ut  x,0   u1  x  .

(4)

0

trong đó f  u, ut   K u

p 2

u   ut

q 2

ut và p, q ≥ 2, K ≥ 0, λ > 0 là các hằng số

cho trước; F, μ, g₀, g₁, k₀, k₁, u₀, u₁ là các hàm cho trước thỏa mãn một số điều
kiện sẽ được chỉ rõ ở mục sau.
Trước đây, An và Triều trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt
của bài toán (1), (4), với μ ≡ 1; u 0= u₁≡ 0 và f  u, ut   Ku   ut , liên kết với điều
kiện biên dưới đây:
t

u x  0, t   g 0  t   h0 u  0, t    k0  t  s  u  0, s  ds,

(5)

u 1, t   0,

(6)

0

trong đó các hằng số K ≥ 0, λ ≥ 0 và các hàm số g, k được cho trước. Bài toán (1)
, (4) – (6) là một mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và thanh
đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng [1].
*
†

ThS. – Trường ĐH Nông lâm Tp. HCM.
TS. – Trường CĐSP Nha Trang, Khánh Hoà

26


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc

Trong [2], các tác giả Bergounioux, Long và Dinh đã xét bài toán (1), (4)
với f  u , ut   Ku  ut và điều kiện biên:
t

u x  0, t   g  t   hu  0, t    k  t  s  u  0, s  ds ,

(7)

u x 1, t   K1u 1, t   1ut 1, t   0,

(8)

0

ở đây K ≥ 0, λ ≥ 0, h ≥ 0, K₁≥ 0, λ₁> 0 là các hằng số cho trước và g, k là các
hàm cho trước.
Trường hợp f  u, ut   K u

p 2

u   ut

q 2

ut , với K, λ ≥ 0; p, q ≥ 2 và các

hàm cho trước trong điều kiện đầu là (u₀, u₁) H²×H¹, bài toán (1), (4), (7) và
(8) cũng đã được các tác giả Long, Dinh và Diễm nghiên cứu, xem [9].
Đặc biệt, trong [9], Ngọc, Hằng, Long đã thu được sự tồn tại duy nhất
nghiệm, tính ổn định và khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán (1) – (4) cho
trường hợp f  u , ut   F u    ut , trong đó λ là hằng số và F  C 1   thỏa mãn
điều kiện sau:

z

 F  s  ds  C z
1

0

2

 C1/ , z  , C1 , C1/  0 cho trước.

Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của
bài toán (1) – (4) cho trường hợp f  u , ut   K u

p 2

u   ut

q 2

ut , với K ≥ 0, λ > 0

và p, q ≥ 2. Kết quả thu được ở đây có thể xem như là sự tổng quát của các kết
quả trong [1], [2], [5] – [9].
2.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Trong mục này, các không gian hàm thông dụng sau đây sẽ được đề cập:

C

m

  , L   , W 
p

m, p

với Ω = (0,1). Để tiện cho việc sử dụng, ta ký hiệu

W m , p W m , p    , Lp  W 0, p    , H m  W m ,2    , 1 ≤ p ≤ ∞, m = 0,1,...(xem [3])

Ký hiệu chuẩn trong L² sinh bởi tích vô hướng ,  bởi  và chuẩn trong
L bởi 



.

Với ( X ,  X ) là một không gian Banach thực, T > 0, ta ký hiệu Lp  0, T ; X 
là không gian Banach gồm tất cả các hàm đo được u: (0,T)→ X sao cho:

27


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

u

u

p

L  0,T ; X 

L  0,T ; X 





T

0

u t 

p
X

Số 16 năm 2009

1/ p

dt

 ess sup u  t 



X

 , với 1 ≤ p < ∞,

 , với p=∞.

Các ký hiệu u  t  , u //  t   utt  t  , u x  t  và u xx  t  cũng được sử dụng để lần

u
 2u
u
 2u
lượt chỉ u  x, t  ,  x, t  , 2  x, t  ,  x, t  và
 x, t  .
t
t
x
x 2

Trong H¹, xét chuẩn được định nghĩa như sau:
v

H1



2

 v  vx

2 1/2



(9)

.

Trước tiên ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. Phép nhúng H¹  C⁰([0,1]) là compact và
v

C 0  0,1

 2 v

H1

(10)

Chứng minh bổ đề này là không khó khăn, nên được bỏ qua.
Ta thiết lập các giả thiết:

 H1 
H2 
 H3 
H4 
 H5 
H6 

u0  H 2 , u1  H 1 ,
g 0 , g1  H 2 ,
k0 , k1  W 2,1 ,

 

  C 1 QT , tt  L1  0, T ; L  ,   x, t   0  0 a.e.  x, t   QT    (0, T ),
K  0,   0, p  2, q  2,

F , Ft  L2  QT  .

Khi đó ta thu được định lý sau đây về sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Định lý 2.2. Giả sử các giả thiết  H1    H 6  được thỏa mãn. Khi đó, với
mọi T > 0, bài toán (1) – (4) có duy nhất một nghiệm yếu u sao cho:
u  L  0, T ; H 2  , ut  L  0, T ; H 1  , utt  L  0, T ; L2  .

Chứng minh. Chứng minh của định lý 2.2 gồm 5 bước:

28

(11)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc

Bước 1. Thực hiện phương pháp xấp xỉ Faedo -- Galerkin. Gọi  w j  j là
một cơ sở đếm được của H². Ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1) – (4) dưới
dạng:
m

um  t    cmj  t  w j ,

(12)

j 1

ở đây um  t  thoả mãn là hệ phương trình vi tích phân sau:

um//  t  , w j    t  umx  t  , w jx  Pm  t  w j  0   Qm  t  w j 1
 K um

p 2

u m , w j   um/

p 2

um/ , w j  F  t  , w j , 1  j  m,

(13)

 P  t   g  t   t k  t  s  u  0, s  ds,
0
m
0 0
 m

t
Qm  t   g1  t    k1  t  s  um 1, s  ds ,
0


(14)

m

u
0


u

 mj w j  u0 trong H 2 ,



0m
 m
j 1


m
u /  0   u   w  u trong H 1.

1m
mj
j
1
 m
j 1

(15)

Bằng cách biến đổi hệ (13) – (15) thành hệ phương trình tương đương có
các ẩn hàm là các cmj  t  và áp dụng phương pháp điểm bất động, ta sẽ chứng
minh được hệ (13) – (15) có duy nhất nghiệm  um , Pm , Qm  hầu khắp nơi trên
[0,Tm] ⊂[0,T]. Các đánh giá tiên nghiệm dưới đây cho phép ta lấy Tm = T với
mọi m.
Bước 2. Thực hiện đánh giá tiên nghiệm I.

Thay (14) vào (13), và nhân phương trình thứ j của (13) với cmj/  t  , sau đó
lấy tổng theo j và tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t, ta thu được
t

1

0

0

t

2
S m  t   S m  0    ds   /  x, s  umx
 x, s  dx  2 Pm  s  um/  0, s  ds
0

t

t

0

0

 2  Qm  s  um/ 1, s  ds  2  F  s  , um/  s  ds

(16)

4

 Sm  0    I j ,
j 1

29


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 16 năm 2009

trong đó
2

2

S m  t   um/  t  

  t umx  t  

2K
um  t 
p

p
Lp

t

q

0

Lq

 2  um/  s 

(17)

ds.

Các số hạng I j , j = 1, 2, 3, 4 ở vế phải của (16) sẽ được đánh giá lần lượt
như sau.
Từ (17), ta thu được bất đẳng thức
2

umx (t ) 

1
S m (t ),
0

(18)

dẫn đến
I1 

1 /

0

L ( QT )



t

0

S m  s  ds.

(19)

Dùng tích phân từng phần đối với I₂, áp dụng bổ đề 2.1 và bất đẳng thức
2ab   a²  1/   b², a, b  ,   0,

(20)

ta có:
I 2  2 g 0  0  u0 m  0  

2 2
g 0  t   2 g 0/



4
  1  4 k0  0   k0



 CT  2  um  t 

2
H

1

2

 k0/
L  0,T 
2

2
L2  0,T 

 t
um  s 
L  0,T   0


t

2

0

H1

 CT  um  s 

 2  um  t 

1

2
H1

2
H1

ds

(21)

ds ,

với β > 0 và CT là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T. Chú ý rằng, ký hiệu CT sẽ
luôn được sử dụng trong mục này với ý nghĩa đó và luôn chọn được CT đủ lớn để
các trường hợp được xét đến tương tự như bất đẳng thức sau cùng ở (21) thoả
mãn.
Ta cũng chứng minh được
I3  CT  2  u m  t 
I4 

30

1




t

0

2

2
H1

t

2

0

H1

 CT  um  s 
t

F  s  ds    S m  s  ds.
0

ds.

(22)
(23)

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc

1
8

Kết hợp (16), (19), (21) – (23) và chọn   0 , đồng thời áp dụng các bất
đẳng thức
2

t

um  t   C0  2t  S m  s  ds,
0

um  t 

2
H1

2

t

2

 um  t   umx  t   C0  2t  S m  s  ds 
0

1
S t  ,
0 m

(24)

trong đó C₀ là một hằng số phụ thuộc vào u₀và, ta thu được
t

S m  t   M T  2 S m  0   NT  S m  s  ds,

(25)

0

trong đó

2

1 T

 M T  2  2CT  4  C0  2TC0CT  0 F  s  ds  ,






 N  2    8 T  4T 2C  2CT  1  /


.
T
T


L ( QT )
0 0




(26)

Từ các giả thiết (H₁) – (H₄), (H₆) và bổ đề 2.1, tồn tại hằng số dương M T
phụ thuộc vào u₀, u₁, k₀, k₁, g₀, g₁, F, μ, sao cho
t

S m  t   M T  NT  S m  s  ds, m, t   0, T  .

(27)

0

Sử dụng bổ đề Gronwall, từ (27) ta suy ra:
Sm  t   M T exp  tNT   CT , t   0, T  .

(28)

Bước 3. Thực hiện đánh giá tiên nghiệm II.

Lấy đạo hàm hai vế của (13) theo biến thời gian t, ta có:
/
um// /  t  , w j    t  umx
 t  , w jx   / t  umx  t  , w jx  Pm/  t  w j  0

Qm/  t  w j 1  K  p  1 um

p 2

um/ , w j    q  1 um/

p 2

u m// , w j

(29)

 F /  t  , w j , 1  j  m.

Nhân phương trình thứ j của (29) với cmj/ /  t  và lấy tổng theo j, sau đó tích
phân theo biến thời gian từ 0 đến t, ta thu được
31


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 16 năm 2009

t

1

0

0

2

/
X m  t   X m  0   2  /  0  u0 mx , u1mx  3 ds   /  x, s  umx
 x, s  dx
t

/
 2  /  t  umx  t  , umx
 t   2  //  s  umx  s  , umx/  s  ds
0

t

 2 F  s  , u
/

0

//
m

s

t

ds  2 K  p  1  um

p 2

0

t

t

0

0

um/ , um/ / ds

(30)

 2  Pm/  s  um/ /  0, s  ds  2  Qm/  s  um/ / 1, s  ds
7

 X m  0   2  /  0  u0 mx , u1mx   J i ,
i 1

trong đó
2

2

X m  t   um/ /  t  

t

1

0

0

/
  t umx
t   2  q  1  ds  u m/  x, s 

q 2

2

um/ /  x, s  dx. (31)

Từ các giả thiết (H₁), (H₄), (H₆), (31) và phép nhúng H¹(0,1)  C⁰([0,1]),
tồn tại hằng số dương D₀ phụ thuộc vào u₀, u₁, μ, F, sao cho:
X m  0   2  /  0  u0 mx , u1mx  D0 .

(32)

Dùng bổ đề 2.1, (28) và (31), ta thu được các bất đẳng thức:
2

/
umx
t  

1
X m t  ,
0

um  x, t   CT ,

(33)

2
0

um/  x, t  

X m  t   CT .

Từ đó, các tích phân ở vế phải của (30) được đánh giá lần lượt như sau:
J1 

3 /

0

J2 

CT
/

02

L  QT 



t

0

2
L  QT 

t

X m  s  ds  CT  X m  s  ds.

(34)

  X m  t   CT   X m  t  .

(35)

0

t

J 3  CT  CT   / /  s 
0

t

2

t



X m  s  ds.
2

(36)
t

J 4   F /  s  ds   u m//  s  ds  CT   X m  s  ds.
0

32

0

0

(37)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

J 5  2 K  P  1 CTp  2 

t

Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc

t

S m  s  X m  s ds  CT  CT  X m  s  ds.

0

(38)

0

Dùng tích phân từng phần đối với J 6 , và sử dụng (15), (33), ta thu được
t

J 6  2 Pm/  0  u1m  0   2 Pm/  0  u m/  0, t   2um/  0, t   Pm/ /  s  ds
0

t

//
m

 2 P
0

(39)

t

/
m

 s  u  0, s  ds  CT  2 X m  t   2CT 0 X m  s  ds.

Một cách tương tự, ta có:
t

J 7  CT  2  X m  t   2CT  X m  s  ds.

(40)

0

Kết hợp (30), (32), (34) – (40), ta thu được
t

t

0

0

X m  t   D0  6CT  5 X m  t    6CT  1  X m  s  ds  CT   //  s 
t



 CT  5 X m  t   CT  1  
0

//



X m  s  ds.

 s    X m  s  ds.

(41)

Chọn β=1/10, từ (41) ta thu được
t



X m  t   2CT  2CT  1   //  s 
0



X

m

 s  ds.

(42)

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có



t



X m  t   2CT exp 2CT  1   / /  s 
0



 ds   C , t  0, T .
T

(43)

Mặt khác, từ các giả thiết (H₂), (H₃) và (14), (28), (43), ta thu được
Pm

W 2 ,  0,T 

 CT ,

Qm

W 2 ,  0,T 

 CT .

(44)
(45)

Bước 4. Qua giới hạn. Từ (28) và (43) – (45), tồn tại của một dãy con của
dãy  um , Pm , Qm  , vẫn ký hiệu là

 u

m

, Pm , Qm  , sao cho:

um  u

trong

L  0, T ; H 1  yếu*,

um/  u /

trong

L  0, T ; H 1  yếu*,

um/  u /

trong

Lq  QT  yếu,

33


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

um//  u / /

L  0, T ; L2  yếu*,

trong

um  0,

  u  0, 

um 1,

  u 1, 

Số 16 năm 2009

trong W 1,  0, T  yếu*,

(46)

trong W 1,  0, T  yếu*,

Pm  P

trong

W 1,  0, T  yếu*,

Qm  Q

trong

W 1,  0, T  yếu*.

Theo bổ đề compact của Lions [4, p.57], từ (46) ta suy ra tồn tại một dãy
con vẫn ký hiệu

 u

m

, Pm , Qm  , sao cho:

um  u mạnh trong L2  QT  , và a.e. trong QT ,

um/  u / mạnh trong L2  QT  , và a.e. trong QT ,
um  0,

  u  0,  mạnh trong C 0  0, T  ,

um 1,

  u 1,  mạnh trong C 0  0, T  ,

(47)

Pm  P mạnh trong C1   0, T  ,
Qm  Q mạnh trong C1   0, T   .

Từ (14) và (47)3,4 ta có
t

Pm  t   g 0  t    k0  t  s  u  0, s  ds  P  t  , mạnh trong C 0  0, T   ,
0

t

Qm  t   g1  t    k1  t  s  u 1, s  ds  Q  t  , mạnh trong C 0  0, T   .
0

(48)
(49)

Dùng bất đẳng thức
x

p 2

x y

p 2

y   p  1 R p 2 x  y x, y    R, R  ,

(50)

với mọi R > 0 và p ≥ 2, từ (33)2 và (47)₁ dẫn đến
um

p 2

um  u

p 2

u mạnh trong L2  QT  .

Tương tự, từ (33)3, (43), (47)₂, ta có
34

(51)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

um/

q2

um/  u /

q 2

Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc

u / mạnh trong L2  QT  .

(52)

Qua giới hạn (13), (15) nhờ vào (46)1,2,4, (48), (49) và (51), (52), ta có u
thỏa bài toán biến phân sau đây:
u //  t  , v    t  u x  t  , vx  P  t  v  0   Q  t  v 1  K u
  u/

q 2

p 2

u, v

(53)
u / , v  F t  , v

v  H 1 ,

với điều kiện đầu
u  0   u0 , u /  0   u1 ,

(54)

trong đó
t

t

0

0

P  t    k0  t  s  u  0, s  ds, Q  t    k1  t  s  u 1, s  ds.

(55)

Mặt khác, từ (46)1,2,4, (53) và các giả thiết (H₄), (H₆), ta thu được
u xx 

1
p2
u//  K u u   u/
  x, t 



q 2



u /   x u x  F  L  0, T ; L2  .

(56)

Do đó u  L  0, T ; H 2  và sự tồn tại nghiệm u của bài toán (1) – (4) đã được
chứng minh.

Bước 5. Tính duy nhất nghiệm. Giả sử u₁, u₂ là hai nghiệm yếu của bài
toán (1) – (4) thỏa
u j  L  0, T ; H 2  , u /j  L  0, T ; H 1  , u /j /  L  0, T ; L2  , j  1, 2.

(57)

Khi đó, (u, P, Q) với u = u₁ – u₂ và P = P₁ – P₂, Q = Q₁ – Q₂ thỏa mãn bài
toán biến phân:
 u / /  t  , v    t  u  t  , v  P  t  v  0   Q  t  v 1  K u p  2 u  u
x
x
1
1
1


q 2 /
q2 /
  u1/
u1  u2/
u2 , v  0 v  H 1 ,


u  0   u /  0   0,


p 2

u1 , v

(58)

trong đó
35


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 16 năm 2009

t

t

0

0

P  t    k0  t  s  u  0, s  ds, Q  t    k1  t  s  u 1, s  ds.

(59)

Lấy v = u′ trong (58) và tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t, ta được
t

t

s

0

0

0

Z  t     /  s  u x2  s  ds  2  u /  0, s  ds  k0  s  r  u  0, r dr
t

s

t

0

0

0

 2  u / 1, s  ds  k1  s  r  u 1, r dr  2 K  u1

p 2

u1  u1

p 2

u1 , u / ds

(60)

4

  Lj ,
j 1

trong đó
2

Z t   u / t  

2

t

  t u x  t   2  u1/
0

q 2

u1/  u2/

q 2

u2/ , u / ds.

(61)

Ta đánh giá các tích phân L1 , L2 , L3 tương tự ở bước 2. Trước hết, ta có:

L1 

t

1 /

0

L  QT 

 Z (s)ds.

(62)

0

Sử dụng các bất đẳng thức sau
2

u (t )  t

t



t

2

Z ( s )ds, u (t )

H

0

1

t

1

 Z (s)ds  
0

Z (t ),

(63)

0

ta có

L2 


Z  t   CT   , k0 
0

t

 Z  s  ds,

(64)

0

với


4
CT   , k0    T   4 k0  0   k0



2

 k0/
L  0,T 
2

 2 1 
T  .
L  0,T  
0 

1

Một cách tương tự

L3 


Z (t )  CT   , k1 
0

t

 Z (s)ds.
0

Từ bất đẳng thức (50), ta cũng có

36

(65)


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc

t

L4  2 K  p  1 C1p  2

 Z  s  ds,

(66)

0

với C1  max u j
j 1,2



L 0,T ; H 2



.

Kết hợp (60), (62), (64) – (66), đồng thời chọn  

0
, ta suy ra được:
4

t

Z (t )  N T

 Z (s)ds, t  [0,T ],

(67)

0

với NT 

2 /


0

L  QT 

 2CT   , k0   2CT   , k1   4 K  p  1 C1p  2 .

Sử dụng bổ đề Gronwall, ta thu được Z ≡ 0 và định lý 2.2 được chứng minh
xong.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. H. Brézis, Analyse functionnelle. Théorie et Applications, Masson Paris,
1983.
[2]. J.L. Lions, Quelques méthodes de résolution dé problèmes aux limites
nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris, 1969.
[3]. Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long, On a
nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving
convolution, Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. Ser. A. (to appear)
[ />[4]. M. Bergounioux, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định,
Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic
bar, Nonlinear Anal. 43 (2001) 547 – 561.
[5]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, On the quasilinear wave
equation: utt  u  f  u , ut   0 associated with a mixed nonhomogeneous
condition, Nonlinear Anal. 19 (1992) 613 – 623.
[6]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm, On a shock
problem involving a nonlinear viscoelastic bar, J. Boundary Value
Problems, Hindawi Publishing Corporation 2005 (3) (2005) 337 – 358.
37


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 16 năm 2009

[7]. Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm, On the nonlinear wave equation
utt  u xx  f  x, t , u , u x , ut  associated with mixed homogeneous conditions,
Nonlinear Anal. 29 (1997) 1217 – 1230.
[8]. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, A nonlinear wave equation associated
with nonlinear boundary conditions: Existence and asymptotic expansion of
solutions, Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. Ser. A. 66 (12) (2007),
2852 – 2880.
[9]. Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều, Shock between absolutely solid body
and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side,
J.Mech.NCSR. Vietnam, 13 (2) (1991) 1 – 7.

38


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc

Tóm tắt.
Về một phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên không
thuần nhất chứa tích chập
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến:

p 2
q 2


u   ut
ut  F  x, t  , 0  x  1, 0  t  T ,
utt  x    x, t  u x   K u

t
   0, t  u x  0, t   g 0  t   k0  t  s  u  0, s  ds ,

0
* 
t

  1, t  u x 1, t   g1  t   0 k1  t  s  u 1, s  ds,

u  x, 0   u0  x  , ut  x, 0   u1  x  .

ở đây p, q ≥ 2, K ≥ 0, λ > 0 là các hằng số cho trước và F, μ, g₀, g₁, k₀, k₁, u ₀,

 

u₁ là các hàm cho trước thoả các điều kiện sau: F , Ft  L2  QT  ;   C 1 QT ,
tt  L1  0, T ; L  ,   x, t   0  0 a. e.  x, t   QT và (u₀,u₁,g₀,g₁,k₀,k₁) thuộc
2

H²×H¹×(H²(0,T))²× W 2,1  0, T   . Trong chứng minh, phương pháp FaedoGalerkin, phương pháp compact yếu và các kỹ thuật của giải tích hàm phi tuyến
được áp dụng. Kết quả thu được đã cải tiến kết quả về tính giải được và giải
được duy nhất trong bài báo mới đây [9].
Abstract
On a nonlinear wave equation associated with the nonhomogeneous
boundary conditions involving convolution.
In this paper, we show that there exists a unique solution of the following

initial-boundary value problem for the wave equation:

p 2
q 2

u   ut
ut  F  x, t  , 0  x  1, 0  t  T ,
utt  x    x, t  u x   K u

t
   0, t  u x  0, t   g 0  t   k0  t  s  u  0, s  ds ,

0
* 
t

  1, t  u x 1, t   g1  t   0 k1  t  s  u 1, s  ds,

u  x, 0   u0  x  , ut  x, 0   u1  x  .

39


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 16 năm 2009

where p, q ≥ 2, K ≥ 0, λ > 0 are given constants and F, μ, g₀, g₁, k₀, k₁, u₀, u₁
are given functions such that (u ₀,u₁,g₀,g₁,k₀,k₁)  H² × H¹× (H²(0,T))²
2

× W 2,1  0, T   ;

F , Ft  L2  QT  ;

 

  C 1 QT ,

tt  L1  0, T ; L  ,

  x, t   0  0 a. e.  x, t   QT . The proof is based on the Faedo – Galerkin

method associated with the weak compact method. The result obtained here
improves the one in recent paper, see [9].

40