Về một phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất: Khai triển tiệm cận của nghiệm theo nhiều tham số bé

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Lê Khánh Luận và các tác giả

VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP KHÔNG THUẦN NHẤT:
KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM THEO NHIỀU THAM SỐ BÉ
Lê Khánh Luận*, Trần Minh Thuyết†
Lê Thị Phương Ngọc‡, Nguyễn Anh Triết§
1. Giới thiệu
Trong bài báo này, chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến
u tt - (m(u )u x ) = f (x , t , u , u x , u t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,

(1.1)

u x (0, t ) = g(t ), u(1, t ) = 0,

(1.2)

u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1 (x ),

(1.3)

x

trong đó u%0, u%1, m, f , g là các hàm số cho trước thỏa các điều kiện cụ thể sẽ đặt ra
sau.
Phương trình (1.1) là trường hợp riêng của một phương trình có dạng tổng
quát sau:

u tt - (m(x , t , u )u x ) = f (x , t , u , u x , u t ).

x

(1.4)

Trong các trường hợp đặc biệt, khi hàm m(x , t , u ) độc lập với u , chẳng hạn

m(x , t , u ) = 1 hoặc m(x , t , u ) = m(x , t ), và hàm phi tuyến f có dạng đơn giản,
bài toán (1.4) với các điều kiện biên và điều kiện đầu khác nhau đã được nghiên
cứu trong [1 – 3, 5 – 19, 21, 22].
Trong [4], Ficken và Fleishman thiết lập sự tồn tại toàn cục duy nhất và sự
ổn định nghiệm của phương trình

u xx - u tt - 2a u t - b u = eu 3 + g, e > 0.

(1.5)

*

ThS, Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM,
TS, Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM,
‡
TS, Trường CĐ Sư phạm Nha Trang,
§
HV Cao học, Trường ĐH Kiến Trúc Tp. Hồ Chí Minh.
†

27


Tp chớ KHOA HC HSP TP. HCM

S 18 nm 2009

Rabinowitz [20] ó chng minh s tn ti nghim tun hon ca phng
trỡnh

u xx - utt - 2a ut = e f (x , t , u , u x , u t ),

(1.6)

vi e l mt tham s bộ v f l mt hm tun hon theo thi gian.
Trờn c s cỏc cụng trỡnh trờn, trong bi vit ny, chỳng tụi xột bi toỏn
(1.1) (1.3). Bng cỏch liờn kt bi toỏn ny vi mt thut gii qui np tuyn
tớnh ng thi s dng phng phỏp Faedo Galerkin v phng phỏp compact,
s tn ti v duy nht nghim ca bi toỏn c chng minh. Hn na, mt khai
trin tim cn cp cao ca nghim theo nhiu tham s bộ cng c thit lp. Kt
qu thu c l mt s tng quỏt húa mt cỏch tng i cỏc kt qu trong [1
22].
2. Cỏc kớ hiu
t W= (0, 1). Trong bi bỏo ny, cỏc kớ hiu Lp = Lp (W), H m = H m (W)
c s dng v cho phộp chỳng tụi b qua nh ngha ca cỏc khụng gian hm
thụng dng ú. Tớch vụ hng trong L2 v chun sinh bi tớch vụ hng ny ln
lt c kớ hiu bi ỏìì
, ủ v || ì|| . Kớ hiu ỏìì
, ủ cng c dựng ch tớch i
ngu ca mt phim hm tuyn tớnh liờn tc vi mt phn t ca mt khụng gian
hm. Kớ hiu || ì||X l chun ca khụng gian Banach X . Kớ hiu Lp (0,T ; X ),

1 Ê p Ê Ơ , ch khụng gian Banach cỏc hm thc u : (0,T ) đ X o c,
sao cho || u ||Lp ( 0,T ;X ) < + Ơ vi

1
ỡù
ùù ổ T
p
ử
p
, khi 1 Ê p < + Ơ ,
ù ỗỗỗũ || u (t ) ||X dt ữ
ữ
ứữ
|| u ||Lp ( 0,T ;X ) = ùớ ố 0
ùù
ùù ess sup || u (t ) || , khi p = Ơ .
X
ùợ 0< t < T

Ta t
1

V = {v ẻ H 1 : v(1) = 0}, a(u , v ) =

ũ u (x )v (x ) dx ,
x

0

28

x

" u, v ẻ V .


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Khi đó V

|| v ||V =

Lê Khánh Luận và các tác giả

là không gian con đóng của H 1 và trên V , || v ||H 1 và

a(v, v ) = || vx || là các chuẩn tương đương.

3. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
Ta thành lập các giả thiết
(H1) u%0 Î V Ç H 2 , u%1 Î V ,
(H2) g Î C 3 ( ¡

+

),

(H3) m Î C 2 ( ¡ ),

m(z ) ³ m0 > 0, " z Î ¡ ,

(H4) f Î C 1(W´ ¡

+

´ ¡ 3 ).

Đặt j (x , t ) = ( x - 1)g(t ). Bằng cách đổi biến v(x , t ) = u (x , t ) - j (x , t ),
ta sẽ đưa bài toán (1.1) – (1.3) về bài toán điều kiện biên thuần nhất như sau

ìï v - (m(v + j )v ) = f%(x , t , v, v , v ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ïï tt
x x
x
t
ïï
ïí v (0, t ) = u (1, t ) = 0,
ïï x
ïï
ïïî v(x , 0) = v%0 (x ), v t (x , 0) = v%1(x ),

(3.1)

trong đó

ïìï f%( x , t , v , v x , vt ) = f ( x , t , v + j , v x + j , v t + j ) - (x - 1)g ¢¢(t )
ïï
+ m¢(v + j )(v x + g )g,
ïï
í
ïï v%0 (x ) = u%0 (x ) - j (x , 0) = u%0 ( x ) - ( x - 1)g(0),
ïï
ïïî v%1 (x ) = u%1(x ) - j t (x , 0) = u%1( x ) - (x - 1)g ¢(0),

g và u%0 thỏa điều kiện tương thích g(0) = u x (0, 0) = u%0¢(0).
Cố định T * > 0, với mỗi T Î (0,T * ] và M > 0, ta đặt

W 1(M ,T ) = {v Î W (M ,T ) : u tt Î L¥ (0,T ; L2 )},

29


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

trong đó

W (M ,T ) = {v Î L¥ (0,T ;V Ç H 2 ) : v t Î L¥ (0,T ;V ), vtt Î L2 (QT ),
|| v ||L¥ ( 0,T ;V ÇH 2 ) £ M , || v t || L¥ (0,T ;V )£ M , || vtt ||L2 (Q ) £ M },
T

và QT = (0,1) ´ (0, T ).
Thuật giải xấp xỉ tuyến tính
Chọn số hạng ban đầu v 0 = v%0 .
Giả sử rằng vm - 1 Î W 1(M ,T ), ta liên kết bài toán (3.1) với bài toán sau:
Tìm vm Î W 1 (M ,T ) thỏa bài toán biến phân tuyến tính sau:

ìï áv ¢¢, w ñ+ ám (t )v , w ñ = áF (t ), w ñ, " w Î V ,
m
mx
x
m

ïï m
í
ïï v (0) = v%, v ¢(0) = v%,
0
m
1
ïî m

(3.9)

với

ìï m (t ) = m( h (t )), h (t ) = v (t ) + j (t ),
m
m
m- 1
ï m
í
ïï Fm (t ) = f%(x , t , vm - 1, Ñ vm - 1, vm¢- 1 ).
î

(3.10)

Khi đó, ta có các định lí sau
Định lí 3.1. Giả sử (H1) – (H4) đúng. Khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và
T > 0 phụ thuộc vào T * , v%0 , v%1, m, g, f% sao cho, với v 0 = v%0, tồn tại một dãy
quy nạp tuyến tính {vm } Ì W 1(M ,T ) xác định bởi (3.9) và (3.10).
Định lí 3.2. Giả sử (H1) – (H4) đúng. Khi đó:
(i) Tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0 được xác định như trong định lí
3.1, sao cho bài toán (3.1) có duy nhất nghiệm yếu v Î W 1 (M ,T ).

(ii) Dãy quy nạp tuyến tính {vm } được xác định bởi (3.9), (3.10) hội tụ
mạnh về nghiệm v trong không gian

W 1(T ) = {w Î L¥ (0,T ;V ) : w ¢Î L¥ (0,T ; L2 )}.
30


Tp chớ KHOA HC HSP TP. HCM

Lờ Khỏnh Lun v cỏc tỏc gi

Hn na, ta cng cú ỏnh giỏ sai s
|| vm - v ||LƠ ( 0,T ;V ) + || v m - v Â||LƠ ( 0,T ;L2 ) Ê CkTm ,

trong ú hng s kT ẻ (0,1) v C

"m ẻ Ơ,

l hng s ch ph thuc vo

T , T * , f%, g, v%0 , v%1 v kT .
Chng minh cỏc nh lớ trờn da vo phng phỏp xp x Faedo Galerkin
liờn h vi cỏc ỏnh giỏ tiờn nghim. S dng cỏc nh lớ nhỳng compact, ta thu
c mt dóy con ca dóy nghim xp x hi t v nghim yu ca bi toỏn. Kt
qu thu c tng quỏt húa cỏc kt qu trc õy ca chỳng tụi [18, 19].
4. Khai trin tim cn ca nghim theo nhiu tham s bộ
Trong phn ny, gi s (H1) (H4) ỳng, ngoi ra ta cũn b sung cỏc gi
thit sau:
(H5) mi ẻ C 2 ( Ă ), mi 0, i = 1,..., p.
Ta xột bi toỏn nhiu di õy, trong ú e1, K , ep l p tham s bộ sao cho

0 Ê ei Ê ei *, i = 1, ..., p :
ùỡù u - ộ(m(u ) + e m (u ) + ... + e m (u ))u ự = f (x , t , u , u , u ),
1 1
p p
xỳ
x
t
ùù tt ờở
ỷx
ùù
0 < x < 1, 0 < t < T ,
ù
(Per ) ùớ
ùù u (0, t ) = g(t ), u(1, t ) = 0,
ùù x
ùù
ùùợ u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1(x ).
Theo nh lớ 3.1, bi toỏn (Per ) cú duy nht nghim yu ph thuc vo cỏc
r
r
tham s e = ( e1, K , ep ) : u er = u ( e1 , K , ep ). Khi e = (0, K , 0), (Per ) c kớ
hiu l (P0 ) . Ta s nghiờn cu khai trin tim cn ca u er theo p tham s bộ

e1 , K , ep .

31


Tp chớ KHOA HC HSP TP. HCM

S 18 nm 2009

r
Trong phn ny, ta s dng cỏc kớ hiu sau: cho e = ( e1 , K , ep ) ẻ Ă p , v
mt a ch s a = ( a 1, K , a p ) ẻ Â p+ , ta t

ỡù | a | = a + K + a , a ! = a !K a !,
ùù
1
p
1
p
ùù
ùù r a
r
ap
a
2
2
ớ e = e1 1 K ep , || e ||= e1 + K + ep ,
ùù
ùù
ùù a , b ẻ Â p , a Ê b a Ê b , " i = 1, p.
+
i
i
ùợ

(4.1)

B 4.1. Cho m , N ẻ Ơ v u a ẻ Ă , a ẻ Â p+ , 1 Ê | a | Ê N . Khi ú
m

ổ
r a ửữ
ỗỗ
ữ
u
e
=
ữ
ỗỗ ồ
a
ữ
ữ
1
Ê
a
Ê
N
ố
ứ

ồ

r
T a( m ) [u ]e a ,

(4.2)

m Ê a Ê mN

trong ú cỏc h s T a( m ) [u ], m Ê | a | Ê mN ph thuc u = {u a }, a ẻ Â p+ ,

1 Ê | a | Ê N c xỏc nh bi cụng thc truy hi
ỡù
ùù (1)
ùù T a [u ] = u a , 1 Ê | a | Ê N ,
ùù
ùù (m )
( m - 1)
[u ], m Ê | a | Ê m N , m 2,
(4.3)
ớ T a [u ] = ồ u a - bT b
ùù
b ẻ A a( m )
ùù
ùù
ùù A (m ) = b ẻ Â p : b Ê a , 1 Ê | a - b | Ê N , m - 1 Ê | b | Ê (m - 1)N .
+
ùợ a

{

}

Chng minh ca B cú th tỡm thy trong [13].
Bõy gi, ta gi s rng:
(H6) m ẻ C N + 2 ( Ă ), mi ẻ C N + 1( Ă ), m m0 > 0, mi 0, i = 1, p,

(H7) f ẻ C N + 1([0, 1] Ă

+

Ă 3 ).

thun tin ta s dng kớ hiu f [u ] = f (x , t , u, u x , u t ).

32


Tp chớ KHOA HC HSP TP. HCM

Lờ Khỏnh Lun v cỏc tỏc gi

Gi s u 0 l nghim yu duy nht ca bi toỏn (P%0 ) tng ng vi

r
e = (0, K , 0), tc l

ỡù u ÂÂ- (m(u )u ) = f (x , t , u , u , u Â), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ùù 0
0
0x x
0
0x
0
ùù
ùù u (0, t ) = g(t ), u (1, t ) = 0,
0

ù 0x
(P%0 ) ớ
ùù u (x , 0) = u%(x ), u Â(x , 0) = u%(x ),
0
0
1
ùù 0
ùù
ùù u ẻ W (M ,T ).
1
ùợ 0
Xột dóy hu hn cỏc nghim yu u g , g ẻ Â p+ , 1 Ê | g | Ê N c xỏc nh
bi cỏc bi toỏn sau

ỡù u ÂÂ- m(u )u
= Fg , 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ùù g
0
gx x
ùù
ùù u (0, t ) = u (1, t ) = 0,
g
ù gx
%
(Pg ) ùớ
ùù
ùù u g (x , 0) = u gÂ(x , 0) = 0,
ùù
ùù u ẻ W (M ,T ),
1

ùợ g

(

)

trong ú Fg , g ẻ Â p+ , 1 Ê | g | Ê N , c xỏc nh bi cụng thc truy hi sau
ỡù f [u ] f (x , t , u , u , u Â),
ùù 0
0
0x
0
ùù
Fg = ớ
ả ộờổ
ùù
p
[
f
]
+
ồ ả x ờỗỗỗốr n [m] +
ùù g
1Ê n Ê g , nÊ g
ờở
ùợ

vi

r d [m] = r d [m;{u g }g Ê d ],

g = 0,
p

ồ
i=1

ự
ửữ
ữẹ u g - n ỳ, 1 Ê g Ê N ,
r n(i )[mi ]ữ
ỳ
ứữ
ỳỷ

r d( i ) [m] = r d(i )[m;{u g }g Ê d ],

(4.4)

p d[f ] = p d[f ;{u g }gÊ d ],

d Ê N , c xỏc nh bi cụng thc truy hi sau
ỡù m(u ),
| d | = 0,
0
ùù
ùù
r d [m] = ớ d
ùù
1 (m )

m (u 0 )T d( m ) [u ], 1 Ê | d | Ê N ,
ùù ồ
ùợ m = 1 m !

(4.5)

33


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

ìï r
di ³ 1,
ïï d1,K ,di - 1, di - 1, di + 1,K ,dp [m],
r [m] = r d( i - ) [m] = í
ïï r
ïïî d1,K ,di - 1,- 1,di + 1 ,K , dp [m] = 0, di = 0,
(i )
d

(4.6)

với d(i - ) = ( d1 , K , di - 1 , di - 1, di + 1, K , dp ), d = ( d1 , K , dp ) Î ¢ p+ ,

ìï
ïï f [u ],
| d | = 0,
0

ïï
ïï
ï
1 m
(m )
(m )
(m )
p d [f ] = ïí å
D f [u 0 ]T a 1 [u ]T b 2 [Ñ u ]T g 3 [u ¢],
å
ïï 1£ m £ d ( a , b , g )Î A (m ,N ) m !
a+ b+ g= d
ïï
ïï
ïï
1 £ | d |£ N ,
ïî

(4.7)

với
m

m

m

m = (m 1, m 2, m 3 ) Î ¢ 3+ , m = m 1 + m 2 + m 3 , m ! = m 1 !m 2 !m 3 !, D m f = D 3 1 D 4 2 D5 3 f ,

A (m , N ) = {( a , b , g ) Î ( ¢ p+ )3 : m 1 £ | a | £ m 1N , m 2 £ | b | £ m 2N , m 3 £ | g | £ m 3N }.

Khi đó, ta có định lí sau
Định lí 4.2. Cho (H1), (H2), (H6) và (H7) thỏa. Khi đó, tồn tại hằng số
r
r
M > 0 và T > 0 sao cho với mọi e , với e £ e* < 1, bài toán (Per ) có duy
nhất nghiệm yếu u = u er sao cho u - g Î W 1(M ,T ) và u thỏa một khai triển
tiệm cận đến cấp N + 1 như sau
r
|| u ¢- å g £ N u g¢e g ||L¥ ( 0,T ;L2 ) + || u x -

å

g£N

r
r
u gx e g ||L¥ ( 0,T ;L2 ) £ C T || e ||N + 1,

trong đó các hàm u g , g £ N là nghiệm yếu tương ứng của các bài toán

(P%g ), g £ N .
Kết quả thu được ở đây đã tổng quát hóa tương đối các kết quả trước đây
của chúng tôi. Để chứng minh định lí 4.2, chúng tôi đã thiết lập hai bổ đề cần
thiết như sau:

34


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Lê Khánh Luận và các tác giả

Bổ đề 4.3. Cho p n [f ], n £ N , là các hàm được xác định bởi công thức
(4.7). Đặt h =

å

r
u g e g , khi đó ta có

g£N

f [h ] º f (x , t , h , h x , ht ) =

r
r N+1
r
p n [f ]e g + || e || R N(1)[f , e ],

å
n£N

r

ở đây R N(1)[f , e ]

L¥ ( 0,T ;L2 )

£ C , với C là hằng số chỉ phụ thuộc vào N , T , f , m, u g ,

g £ N.

Bổ đề 4.4. Cho (H1), (H2), (H6) và (H7) thỏa. Đặt
E er (x , t ) = f [h ] - f [u 0 ] +

¶
[m(h ) - m(u 0 ) +
¶x

(

å

p

)

e mi (h )]hx -

i=1 i

å

r
Fg e g .

1£ g £ N

Khi đó E er (x , t ) có một đánh giá như sau

r
|| E er ||L¥ (0,T ;L2 ) £ Kˆ * || e ||N + 1 ,
với Kˆ * là hằng số chỉ phụ thuộc vào các hằng số N , T , f , m, mi , u g , g £ N ,

i = 1, p.
Chú thích. Bài toán khai triển tiệm cận theo một tham số bé có thể tìm thấy
trong [3, 6, 8, 9, 13, 14, 16] và các tài liệu tham khảo trong đó. Tuy nhiên, theo
sự hiểu biết của chúng tôi, chưa có nhiều công trình nghiên cứu về bài toán khai
triển tiệm cận theo nhiều tham số bé, một số ít kết quả về vấn đề này có thể tìm
thấy trong [10 – 12, 17, 18].

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. T. Caughey, J. Ellison (1975), Existence, uniqueness and stability of
solutions of a class of nonlinear differential equations, J. Math. Anal.
Appl. 51, 1 – 32.
[2]. A.P.N. Định (1983), Sur un problème hyperbolique faiblement nonlinéaire à une dimension, Demonstratio Math. 16, 269 – 289.
35


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

[3]. A.P.N. Định, N.T. Long (1986), Linear approximation and asymptotic
expansion associated to the nonlinear wave equation in one
demension, Demonstratio Math. 19, 45 – 63.
[4]. F. Ficken, B. Fleishman (1957), Initial value problems and time
periodic solutions for a nonlinear wave equation, Comm. Pure Appl.
Math. 10, 331 – 356.

[5]. J.L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problems aux
limites non-linéares, Dunod; Gauthier-Villars, Paris.
[6]. N.T. Long (2001), Asymptotic expansion of the solution for nonlinear
wave equation with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear
Anal., 45, 261 – 272.].
[7]. N.T. Long, A.P.N. Định (1995), A semilinear wave equation
associated with a linear differential equation with Cauchy data,
Nonlinear Anal. 24, 1261 – 1279.
[8]. N.T. Long, T.N. Diễm (1997), On the nonlinear wave equation
associated with a mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal. 29,
1217 – 1230.
[9]. N.T. Long, A.P.N. Định, T.N. Diễm (2002), Linear recursive schemes
and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff – Carrier
operator, J. Math. Anal. Appl. 267 (1), 116 – 134.
[10]. N.T. Long, A.P.N. Định, T.N. Diễm (2005), On a shock problem
involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound. Value Probl. 2005 (3),
337 – 358.
[11]. N.T. Long, L.X. Trường(2007), Existence and asymptotic expansion of
solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the
boundary, Electronic J. Differential Equations, No. 48, p. 1 – 19.
[12]. N.T. Long, L.X. Trường (2007), Existence and asymptotic expansion
for a viscoelastic problem with a mixed homogeneous condition,
Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A:
Theory and Methods, 67 (3), 842 – 864.

36


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Lê Khánh Luận và các tác giả

[13]. N.T. Long, N.C. Tâm, N.T.T. Trúc (2005), On the nonlinear wave
equation with the mixed nonhomogenous conditions: Linear
approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio
Math. 38 (2), 365 – 386.
[14]. N.T. Long, L.T.P. Ngọc (2007), On a nonlinear Kirchhoff – Carrier
wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and
asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math. 40 (2), 365 –
392.
[15]. N.T. Long, L.T.P. Ngọc (2009), On nonlinear boundary value
problems for nonlinear wave equations, Vietnam J. Math. 37 (2 – 3),
141 – 178.
[16]. L.T.P. Ngọc, L.N.K. Hằng, N.T. Long (2009), On a nonlinear wave
equation associated with the boundary conditions involving
convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications,
Series A: Theory and Methods, 70 (11), 3943 – 3965.
[17]. L.T.P. Ngọc, L.K. Luận, T.M. Thuyết, N.T. Long (2009), On the
nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions:
Linear approximation and asymptotic expansion of solutions,
Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A:
Theory and Methods, 71 (11), 5799 – 5819.
[18]. L.T.P. Ngọc, N.A. Triết, N.T. Long, On a nonlinear wave equation
involving the term 


  ( x, t, u,|| ux ||2 )ux  : Linear approximation and
x

asymptotic expansion of solution in many small parameters, Nonlinear

Analysis, Series B: Real World Applications (to appear).
[19]. E.L. Ortiz, A.P.N. Định (1987), Linear recursive schemes associated
with some nonlinear partial differential equations in one dimension
and the Tau method, SIAM J. Math. Anal. 18, 452 – 464.
[20]. P.H. Rabinowitz (1967), Periodic solutions of nonlinear hyperbolic
differential equations, Comm. Pure. Appl. Math. 20, 145 – 205.

37


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

[21]. L.X. Trường, L.T.P. Ngọc, N.T. Long (2009), High-order iterative
schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated
with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Analysis, Theory,
Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (1 – 2),
467 – 484.
[22]. L.X. Trường, L.T.P. Ngọc, A.P.N. Định, N.T. Long, The regularity
and exponential decay of solution for a linear wave equation
associated with two-point boundary conditions, Nonlinear Analysis
Series B: Real World Applications (to appear).

Tóm tắt.
Trong bài báo này, chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến với điều kiện
biên hỗn hợp không thuần nhất. Bằng cách liên kết bài toán với một thuật giải qui
nạp tuyến tính đồng thời sử dụng phương pháp Faedo – Galerkin và phương pháp
compact, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán được chứng minh. Hơn nữa,
một khai triển tiệm cận cấp cao theo nhiều tham số bé cũng được thiết lập.

Abstract.
On a nonlinear wave equation with mixed non-homogeneous boundary
conditions: asymptotic expansion of solutions in accordance with many
small parameters
The paper is about the study of a nonlinear wave equation associated with
mixed non-homogeneous boundary conditions. By associating the problem with
inductive linear method as well as the Faedo – Galerkin and the compact one,
existence and uniqueness of the solution are proved. What‘s more, an asymptotic
expansion of high order in accordance with many small parameters is also
established.

38