Đề thi sơ tuyển HSG tỉnh

Kỳ thi chọn HS dự thi HSG sơ tuyển tỉnh
Năm học : 2006-2007
Môn thi : Toán Khối : 9
Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề
Bài 1: Cho ba số a,b,c

Z thoả mãn điều kiện ab+bc+ca=2006
CMR : A=(a
2
+2006)(b
2
+2006)(c
2
+2006) là số chính phơng
Bài 2: a, Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn phơng trình :
2x
2
-2xy = 5x+y-19
b, Giải phơng trình:
(2x
2
-x+1)(2x
2
+3x+1) =5x
2
Bài 3: Cho a,b,c là ba số dơng.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
ba
c
ac
b

cb
a
323232
3
+
+
+
+
+
Bài 4: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Vẽ qua G một đờng thẳng xy cắt hai
cạnh AB,AC lần lợt tại M và N ( M,N không trùng với A)
a, CMR :
3
=+
AN
AC
AB
AM
b, Gọi S và S

lần lợt là diện tích của tam giác ABC và tam giác AMN .
CMR : S




9
4
S
K

x
D
H
G
A
M
A
B
C
y
N
I
H
Bài giải :
Bài 1: Từ giả thiết ab+bc+ca=2006 suy ra a
2
+2006= a
2
+ ab+bc+ca =(a+b)(a+c)
Tơng tự : b
2
+2006=(b+c)(c+a) ; c
2
+2006=(a+b)(b+c)
A=(a
2
+2006)(b
2
+2006)(c
2

+2006) = (a+b)(a+c)(b+c)(c+a)(a+b)(b+c)=
= [ (a+b)(a+c)(b+c) ]
2
là số chính phơng
Bài 2:a) Từ PT : 2x
2
-2xy = 5x+y-19

2x
2
-2xy - 5x-y+19=0


2x(x-y)+(x-y)-6x+19=0

(x-y)(2x+1)-3(2x+1)+22=0


(2x+1)(x-y-3)+22=0

(2x+1)(y+3-x)=22
Do 2x+1 số lẻ suy ra



=+
=+
223
112
xy

x




=
=
19
0
y
x
hoặc



=
=




=+
=+
4
5
23
1112
y
x
xy

x
Vậy phơng trình có nghiệm (0;19), (5;4)
b) Đặt 2x
2
+x+1=y ta có (y-2x)(y+2x)=5x
2

y
2
- 4x
2
=5x
2

y
2
-9x
2
=0


(y-3x)(y+3x)=0

y=3x hoặc y=-3x
Với y=3x thay vào ta có 2x
2
+x+1=3x

2x
2

-2x+1=0
Với y=-3x thay vào ta có 2x
2
+x+1=-3x

2x
2
+4x+1=0
Bài 3: Ta có (
ba
c
ac
b
cb
a
323232
+
+
+
+
+
)
( )
[ ]
)32()32(32 bacacbcba
+++++
=

+
+








+
+

+
222
323232 ba
c
ac
b
cb
a
.
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
222
)32()32(32 cbabacacbcba
++






+++++
( Bunhiacopxki) Ta lại có
3
)(
2

cba
cabcab
++
++
suy ra P
5
3
3
).(5
)(
2
2
=
++
++

cba
cba
Dấu = xảy ra khi
cbabaaccb
ac
ba
c
acb
ac
b
cba
cb
a
==+=+=+

+
+
=
+
+
=
+
+
323232
)32(
32
)32(
32
)32(
32
Vậy MinP =
5
3
khi a=b=c
Bài 4: a) Kẻ BH//xy, CI//xy . Gọi D là giao của AG và BC
thì D là trung điểm của BC
BHD=CID(c.g.c) nên DH=DI
Theo Ta let ta có
AG
AI
AN
AC
AG
AH
AM

AB
==
;
Suy ra
AG
AD
AG
AIAH
AG
AI
AG
AH
AN
AC
AB
AM 2
=
+
=+=+
3
3
2
2
==
AD
AD
b) Kẻ BK và MH vuông góc AC
S=
ACBK.
2

1
; S

=
ANMH.
2
1
;
AC
AN
BK
MH
S
S
.
á
'
=
Ta có AMH~ABK
AB
AM
BK
MH
=
Suy ra
AC
AN
AB
AM
S

S
.
á
'
=
Do tæng
AN
AC
AB
AM
+
kh«ng ®æi nªn tÝch
AN
AC
AB
AM
.
nhá nhÊt khi
2
3
==
AN
AC
AB
AM
Suy ra
AC
AN
AB
AM

S
S
.
¸
'
=
SS 94
4
9
2
3
.
2
3
'
≥⇒=≥
(®pcm)