Luận văn báo cáo: Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh thpt trong dạy học đại số và giải tích

1

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1.  Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học  
môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục  
nước ta hiện nay. Một trong những khâu then chốt để  thực hiện yêu cầu  
này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới 
phương pháp dạy học đã được chỉ  rõ trong các văn bản có tính chất pháp 
quy của Nhà nước và ngành Giáo dục nước ta. Có thể  dẫn ra một vài văn 
bản đã được ban hành trong những năm qua như sau:
­   Luật   Giáo   dục   (1998)   quy   định:   “…Phương   pháp   giáo   dục   phổ 
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh;  
phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự 
học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”.
­ Dự  thảo chương trình (1989) môn Toán nêu rõ: “...Góp phần phát 
triển năng lực trí tuệ, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư 
duy biện chứng, tư duy hàm…; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư 
duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo…”.
Tuy   nhận   thức   rõ   được   tầm   quan   trọng   và   định   hướng   đổi   mới  
phương pháp đã được nêu ra  ở  trên nhưng thực tế  dạy học hiện nay vẫn  
còn chịu ảnh hưởng nhiều của quan niệm và phương pháp dạy học xưa cũ. 
Nhận định về  vấn đề  này đã có không ít nhà nghiên cứu đưa ra những ý 
kiến, đặt ra nhiều vấn đề  cho ngành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ,  
tháo gỡ. Sau đây là một số ý kiến như vậy:
­ Ý kiến của GS. Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, 
luyện trí nhớ  dạy mẹo vặt để  giải những bài toán oái ăm, giả  tạo; chẳng  


2
giúp gì mấy để  phát triển trí tuệ  mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, 

mỏi mệt và chán chường".
­ Ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn: “Kiến thức, tư duy, tính cách 
con người chính là mục tiêu của giáo dục. Thế  nhưng, hiện nay trong nhà  
trường tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức".
1.2. Kiến thức và kỹ  năng là hai mặt gắn bó hữu cơ  trong mỗi nội  
dung dạy học. Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một  
loại hoạt động nào đó nếu không chú ý trang bị  kiến thức về  lĩnh vực đó 
một cách vững chắc. Ngược lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt 
động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng cố  và mở  rộng kiến thức, giúp 
cho người học tìm thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được 
trong việc giải quyết các tình huống trong thực tiễn và trong khoa học.
Chủ  đề  phương trình và bất phương trình có vị  trí quan trọng trong 
chương trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt  
xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và 
bất phương trình còn là chìa khoá để  giải quyết nhiều vấn đề  thuộc hầu  
hết các chủ  đề  kiến thức về  Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là 
Hình học giải tích. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết 
về  chủ đề  phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ  theo quy định 
của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương  
trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng 
dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THPT.
Kiến thức  hàm số  có vai trò quan trọng trong toàn bộ  chương trình 
môn Toán phổ  thông. Điều này được khẳng định không chỉ   ở  nước ta mà 
còn được đề cập đến trong nhiều ý kiến của các nhà khoa học nước ngoài. 
Ta có thể thấy được điều này qua các ý kiến được trích từ [16] sau đây:
­ Ý kiến của Kơlanh khi khởi xướng phong trào cải cách việc dạy 
học Toán  ở  trường phổ  thông đầu thế  kỷ  XX đã đề  nghị: Đưa cái mới vào 


3

giáo trình toán phổ  thông, lấy tư  tưởng hàm số  và biến hình làm tư  tưởng  
quan trọng nhất.

­ Kiến nghị  của Hội nghị Quốc tế về giáo dục quốc dân  

họp tại Giơnevơ (tháng 7 năm 1956) gửi các vị Bộ trưởng Giáo dục các nước  
nêu rõ: Nên xây dựng chương trình sao cho việc dạy Toán dựa trên các cơ sở 
hàm số ...
­ Ý kiến của GS. Papy tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán học họp tại 
Matxcơva (tháng 8 năm 1966) đề nghị: Chương trình toán Trung học (cấp II  
và II) phải bao gồm: Tập hợp, Quan hệ, Đồ  thị, Nhóm, Không gian vectơ, 
Các yếu tố của phép tính vi phân và tích phân.
ở  Việt Nam, chương trình môn Toán trong cải cách giáo dục và các 
chương trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức  
hàm số. Trong [24], GS. Nguyễn Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị  trí trung 
tâm của khái niệm  hàm  số" là một trong "những tư  tưởng  cơ  bản" của  
chương trình môn Toán bậc THPT. Khi phân tích tư tưởng cơ bản này tác giả 
đã nhấn mạnh:
­ Nghiên cứu hàm số  được coi là nhiệm vụ  xuyên suốt chương trình 
bậc Phổ thông Trung học;
­ Phần lớn chương trình Đại số  và Giải tích dành cho việc trực tiếp 
nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số;
­ Cấp số  cộng và cấp số  nhân được nghiên cứu như  những hàm số 
đối số tự nhiên;
­ Lượng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lượng giác còn phần 
công thức được giảm nhẹ;
Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ  chặt chẽ 
với hàm số.
1.3.  Gắn bó chặt chẽ  với tư  tưởng hàm số, tư  tưởng biến hình, tư 
tưởng về sự tương ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tượng 

là vấn đề  tư  duy hàm. Những đặc trưng về  tư  duy hàm được các tác giả 


4
Nguyễn   Bá   Kim,   Đinh   Nho   Chương,   Nguyễn   Mạnh   Cảng,   Vũ   Dương 
Thuỵ, Nguyễn Văn Thường chỉ  ra trong [25]. Phát triển tư  duy hàm có ý  
nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học  
môn Toán, vừa là điều kiện để  nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến 
kiến thức môn Toán. Việc dạy học các kiến thức môn Toán được trình bày  
theo tư tưởng hàm số  có tác dụng tốt trong việc phát triển tư duy hàm cho  
học sinh đồng thời có thể  rèn luyện nhiều kỹ  năng giải toán và ứng dụng 
kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển tư duy hàm.
1.4.  Có một số  công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất  
lượng dạy học nội dung Phương trình, bất phương trình. Nhiều công trình  
nghiên cứu về  phát triển tư  duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các 
chủ đề kiến thức cụ thể. Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi  
tập trung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình cho học sinh 
trong sự phối hợp hữu cơ với vấn đề phát triển tư duy hàm.
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Phối hợp rèn luyện 
kỹ  năng giải toán phương trình với phát triển tư  duy hàm cho học  
sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích ".
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Xác định mối quan hệ  tương hỗ  giữa việc rèn luyện kỹ  năng giải 
phương trình, bất phương trình với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh 
trong dạy học Đại số và Giải tích nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy  
học môn Toán ở trường THPT.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
3.1. Hệ  thống hoá các vấn đề  lý luận về  kỹ  năng và quan điểm rèn  
luyện kỹ năng toán học cho học sinh.
3.2.  Hệ  thống hoá các kỹ  năng giải toán phương trình, bất phương  

trình cần rèn luyện cho học sinh THPT.


5
3.3.  Hệ  thống hoá các thành tố  của tư  duy hàm và quan điểm phát 
triển tư duy hàm cho học sinh trong dạy học toán.
3.4.  Đề  xuất quan  điểm rèn luyện các kỹ  năng giải toán phương  
trình, bất phương trình trong sự  phối hợp với việc phát triển tư  duy hàm  
cho học sinh THPT thông qua dạy học Đại số và Giải tích.
3.5.  Thực nghiệm sư  phạm, kiểm tra tính khả  thi và hiệu quả  áp 
dụng.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Trên cơ sở dạy học đúng chương trình quy định, áp dụng các phương 
pháp dạy học và sử dụng các phương tiện hiện có, nếu trong quá trình dạy  
học giáo viên quan tâm phối hợp giữa việc rèn luyện kỹ năng giải toán với  
việc phát triển tư duy hàm cho học sinh thì chất lượng dạy học môn Toán  
(thể  hiện qua khả  năng giải toán phương trình, bất phương trình của học 
sinh) được cải thiện.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo 
dục học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục ... 
có liên quan đến đề tài.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra ...
5.3. Thực nghiệm sư phạm.
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
6.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài.
6.2. Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán  
phương trình với phát triển tư duy hàm. 
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận 

văn có 3 chương:


6
Chương 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài
1.1. Một số đổi mới về nội dung và phương pháp dạy học
1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
1.1.2. Đổi mới về phương pháp dạy học
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.3. Tư duy hàm và vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh
1.3.1. Tư duy hàm
1.3.2. Vấn đề phát triển tư duy hàm thông qua dạy học phương trình
1.4. Kết luận chương 1
Chương 2: Phối hợp rèn luyện kỹ  năng giải toán phương trình với  
phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT
2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phương trình trong môn Toán THPT
2.1.1. Về chủ đề phương trình, bất phương trình
2.1.2. Các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi giải toán phương trình
2.2. Rèn kỹ năng giải toán phương trình dựa vào các tư tưởng chủ đạo của  
tư duy hàm
2.2.1. Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phương trình mẫu
2.2.2. Rèn kỹ năng biến đổi phương trình
2.2.3. Rèn kỹ  năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị  các 
biểu thức thành phần
2.2.4. Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán
2.2.5. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của 
hàm số
2.3. Phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua giải toán phương trình

7
2.3.1. Tìm miền xác định của tương  ứng hàm thông qua giải toán  
phương trình, bất phương trình
2.3.2. Tìm giá trị  vào, giá trị  ra của một tương  ứng thông qua giải 
toán phương trình
2.3.3. Xét tính chất của tương  ứng hàm thông qua giải toán phương  
trình, bất phương trình
2.3.4. Định hướng sử dụng phương trình, bất phương trình trong quá 
trình lợi dụng tương ứng hàm để giải quyết vấn đề.
2.4. Kết luận chương 2
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI
1.1. MỘT SỐ ĐỔI MỚI VỀ NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
Chương trình sách giáo khoa (SGK) mới hiện nay đã có những thay  
đổi về nội dung và cách trình bày như:
­ Đưa thêm vào một số  nội dung Toán học cho hoàn chỉnh chương  
trình THPT, như Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất… Sắp xếp nội dung 
chương trình theo hệ thống để dễ dạy, dễ học hơn như phần toạ độ trong  

8
mặt phẳng ở chương trình lớp 12 được đưa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần 
các đường cônic. Đồng thời nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của 
chương trình Toán  ở  các cấp, các lớp, giữa các môn học. Chẳng hạn đưa 
phần Đạo hàm xuống lớp 11 để giúp kịp thời cho dạy và học môn Vật lý ở 
đầu lớp 12. 
­ Cách viết SGK như từ trước đến nay còn mang tính hàn lâm: Thông  
báo kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đưa ra nhiều các bài 
toán khó nên còn thiếu tính sư  phạm. SGK chưa thể  hiện được phương  
pháp dạy học tích cực. Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ 
đơn thuần là một tài liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết  
dạy thường được viết cô đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái  
niệm mới, sau đó là các tính chất và chứng minh, rồi các định lý và chứng  
minh, cuối cùng là các ví dụ  và các bài toán. Theo định hướng đổi mới,  
SGK phải trình bày và hướng dẫn như  thế  nào đó để  cho nếu không có 
thầy giáo, học sinh cũng có thể  tự  học được, cố  nhiên là khó khăn và vất 
vả hơn. 
SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề  ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo  
viên có thể  thay đổi cho thích hợp để  phát huy tính tích cực học tập của 
học sinh, học sinh được suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn. Nhiều câu hỏi  
đặt ra nhằm giúp học sinh nhớ  lại một kiến thức nào đó hoặc để  gợi ý,  
hoặc để  định hướng cho những suy nghĩ của họ… Các câu hỏi này nói 
chung là dễ, vì thế không đưa ra câu trả lời trong SGK. 
SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm  
bớt   những   suy   luận   quá   hình   thức,   quá   trừu   tượng,   giảm   nhẹ   phần   lý 
thuyết, chủ  yếu là giảm nhẹ  các chứng minh của các tính chất hoặc định 
lý. Một số  tính chất quá hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh  
quá phức tạp thì chỉ  nêu những trường hợp cụ  thể   để  kiểm chứng mà  
không cần phải chứng minh. 

9
SGK theo tinh thần mới tăng cường những nội dung thực tiễn, thiết 
thực, những điều gần gũi với cuộc sống của học sinh trong trường hợp có 
thể. Chẳng hạn, trong phần véctơ, có thể đưa thêm những ứng dụng trong 
Vật lý: Tổng hợp lực, phân tích lực…
Ngoài ra, SGK mới còn đưa thêm các phần như: Có thể em chưa biết, 
em có biết, bài đọc thêm, để  nói thêm những chi tiết hay, thú vị  gây hứng  
thú học tập cho học sinh.
SGK mới đã chỉ  ra các hoạt động tại từng thời điểm để  thầy, trò 
xem xét và giải quyết. Nh ững ho ạt động này rất đa dạng, có thể  là ôn 
lại kiến thức cũ, đặt vấn đề  cho kiến thức m ới, qua các ví dụ  cụ  thể 
gợi ý phươ ng pháp giải quyết v ấn đề  hay bài toán đặt ra, thực hành áp 
dụng trực tiếp các công thức nêu trong lý thuyết. Cách thức thực hi ện  
các hoạt động này cũng rất đa dạng: Có thể thầy làm hoặc cho học sinh 
thực hiện, hoặc nêu thành vấn đề  để  cả  lớp cùng thảo luận tìm cách  
giải quyết.
Tóm lại so với sách giáo khoa cũ thì sách giáo khoa lần này không 
phải thay đổi nhiều về nội dung mà chủ yếu thay đổi cách trình bày để học 
sinh học tập một cách tích cực hơn. 
Những sự  thay đổi trên của sách giáo khoa hiện nay đã tạo điều  
kiện để  học sinh học tập một cách tích cực hơn, từ  đó giáo viên có thể 
phối hợp rèn luyện kỹ  năng với việc phát triển tư  duy hàm cho học sinh  
qua dạy học Toán nói chung và dạy học chủ đề phương trình nói riêng.
1.1.2. Đổi mới phương pháp dạy học
Thực tế  dạy học Toán lâu nay cho thấy, chúng ta chỉ  coi trọng đến 
mục đích truyền thụ  tri thức, thường thì giáo viên đưa ra các định lý, tính 
chất rồi giải thích cho học sinh thông hiểu chứng minh, vận dụng định lý, 
tính chất. Phương pháp dạy học được sử  dụng phổ  biến trong nhà trường  

là phương pháp thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức  áp đặt, 


10
dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, trò tiếp thu thụ động. Đa số 
giáo viên chỉ  nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy nội dung gì chứ  chưa  
nghĩ đến cách dạy như  thế  nào? Phần lớn khi giảng dạy họ  coi mọi đối  
tượng   học   sinh   là   như   nhau   nên   giảng   cùng   một   nội   dung,   cùng   một 
phương pháp và tự cho là hoàn thành nhiệm vụ. Ngoài ra kiểu đánh giá và 
thi cử đã  ảnh hưởng rõ rệt tới phương pháp giảng dạy, đánh giá và thi cử 
như  thế  nào thì sẽ  có lối dạy tương  ứng đối phó như  thế   ấy, dạy và học  
theo kiểu "Thi gì ­ học nấy".
Về  thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định: 
“Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) 
rồi giải thích, chứng minh, trò cố  gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội 
dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức 
định lý để tính toán, chứng minh…”.
GS. Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện 
trí nhớ, dạy mẹo vặt để  giải các bài toán oái oăm, giả  tạo, chẳng giúp gì 
mấy đến việc phát triển trí tuệ  mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế,  
mệt mỏi và chán nản …".
Tóm lại, với kiểu dạy học như vậy tạo thói quen "Thầy giảng ­ Trò  
ghi", thầy truyền thụ  kiến thức còn trò thụ  động tiếp thu kiến thức, điều 
thầy nói được coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thường không có 
sự  tranh luận giữa thầy và trò, không có sự  phản hồi, thông tin ngược từ 
phía học sinh trong bài giảng. Kiểu giảng dạy  "một chiều"  như  vậy làm 
giảm hiệu suất tiếp thu kiến thức cũng như  hoạt động tự  giác, tích cực, 
sáng tạo của học sinh; không kiểm soát được việc học. Do đó việc đổi mới  
phương pháp dạy học được xác định là một trong những nội dung chủ yếu 
trong đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay.

Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học bao gồm sự  đổi mới trên 
các phương diện: cách dạy, cách học, cách tổ  chức và cách kiểm tra đánh 


11
giá. Cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập tích 
cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Chuyển từ  dạy học 
lấy giáo viên làm trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm  
cho học sinh suy nghĩ nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn trong một tiết học. 
Thay vì lối dạy truyền thống truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải 
các kiến thức sẵn có, giáo viên cần phát huy tính tích cực, tự  giác, chủ 
động, sáng tạo, tự  học, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc 
điểm từng học sinh; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, tạo được sự 
hứng thú học tập cho học sinh, tận dụng được công nghệ  mới nhất áp 
dụng trong dạy và học.
Dạy học theo quan điểm mới giáo viên không chỉ đơn giản cung cấp  
kiến thức mà còn phải thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động để 
học sinh tích cực tham gia vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức  
và chỉ  đạo. Từ  đó tự  lực khám phá kiến thức mình chưa biết chứ  không 
phải tiếp thu thụ   động những kiến thức sẵn có. Giáo viên cần cài đặt 
những tình huống thực tế  để  học sinh trực tiếp quan sát, làm thí nghiệm, 
thảo luận, giải quyết theo cách riêng của bản thân, từ đó học sinh lĩnh hội  
được kiến thức mới.
Như   vậy,   chức   năng   và   vai   trò   của   giáo   dục   ngày   nay   đã   được 
"chuyển sang vai trò nhà tổ  chức giáo dục", phương pháp dạy học mới đã 
chú trọng đến việc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề 
cao phương pháp tự học, "chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo  
dục". Xóa bỏ cách học cũ không kích thích được học sinh suy nghĩ, tìm tòi, 
rèn luyện trí thông minh, chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang 
tìm tòi. "Để  phát huy tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là 

tổ  chức tốt những tình huống có vấn đề, đòi hỏi dự  đoán, nêu giả  thuyết, 
tranh luận giữa những ý kiến trái ngược" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên  
2006).


12
Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ  đổi mới cách dạy, cách 
học, cách tổ  chức hoạt động mà còn đổi mới cả  cách kiểm tra đánh giá. 
Nội dung kiểm tra, đánh giá phải toàn diện, bao gồm cả kiến thức, kỹ năng  
và phương pháp có trong chương trình học, khắc phục tình trạng "học tủ" 
đối phó với thi cử, ra đề  kiểm tra nặng về  tính toán, mẹo vặt như  trước  
đây.
Việc đổi mới phương pháp dạy học dựa trên những thành tựu của 
Tâm lý học hiện đại, Lý luận dạy học cho rằng, nhân cách của học sinh  
được hình thành và phát triển thông qua các hoạt động chủ động, có ý thức. 
Do đó để  đạt được mục đích dạy học thì cần phải đặt học sinh vào vị  trí 
của chủ  thể  hoạt động trong quá trình dạy học, thông qua hoạt động tích 
cực của bản thân mà nắm được kiến thức mới, kỹ  năng mới đồng thời 
nắm được phương pháp "làm ra" những kiến thức, kỹ năng đó, không theo 
những khuôn mẫu có sẵn, bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo. Qua hoạt 
động học sinh không những chiếm lĩnh được kiến thức mới mà còn hình 
thành và phát triển năng lực.
Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phương pháp dạy học không 
có nghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các phương pháp truyền thống 
mà cần kế thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phương pháp 
dạy học quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phương 
pháp mới, theo quan điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở 
từng vùng, từng miền ở nước ta.
1.2.   KỸ   NĂNG   VÀ   VẤN   ĐỀ   RÈN   LUYỆN   KỸ   NĂNG   TOÁN 
HỌC CHO HỌC SINH

1.2.1. Khái niệm kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả 
năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết  
một nhiệm vụ mới” [19, tr.131].


13
Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ  năng là năng lực sử  dụng 
các dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để 
phát hiện những thuộc tính bản chất của sự  vật và giải quyết thành công  
những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[31, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những 
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr. 426]. 
Tóm lại, kỹ  năng là khả  năng vận dụng kiến thức vào giải quyết  
nhiệm vụ  mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi 
vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp...) vào giải quyết 
các bài tập cụ  thể. Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ  yếu,  
không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc  
tính, mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do  
kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở  nên chết cứng, không gắn liền 
cơ sở của kỹ năng.
Một sự  vật có thể  có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những 
thuộc tính bản chất về  các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích 
nhất định. Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt 
ra trước hành động, để  hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất  
nhiên mục tiêu đặt ra thu được thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi 
vận dụng kiến thức (hình thành kỹ  năng) tùy thuộc vào khả  năng nhận 
dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ  liệu đã cho của bài 
toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất để  thực hiện giải  
bài toán đã cho.

Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu  ảnh hưởng của 
các yếu tố sau:
Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che đậy  
quan hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng tư duy.
Ví dụ 1: Giải phương trình:


14

1
1
9
3
1
+ cos4x − cos2x +
+ cos4x − cos2x =
16
2
16
2
2

 

Mới nhìn dễ  gây cho học sinh tâm lý hoảng sợ  vì nghĩ là phương 
trình vô tỉ lượng giác nhưng chịu khó suy nghĩ, xem xét các biểu thức dưới  
dấu căn, xét thấy các biểu thức dưới căn là các bình phương đúng:
2

1

1
1�
�
+ cos4x − cos2x = �
cosx − �
16
2
4�
�
2

9
3
3�
�
+ cos4x − cos2x = �
cosx − �
16
2
4�
�
Như vậy, tính chất vô tỉ trong bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, bởi vì 
A = A 2 , phương trình đã cho có dạng:  cos x −
2

1
3 1
+ cos2x + = . Việc 
4
4 2

lột bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất  
ẩn chứa trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán.
Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh 
chỉ  nhìn thấy, phân tích những yếu tố  riêng biệt của bài toán mà cần thâu  
tóm toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

(

)

x

(

)

x

(

  26 + 15 3 + 2 7 + 4 3 − 2 2 − 2 3

)

x

=1

Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số  hạng có mặt trong phương  
trình, từ đó mới phát hiện được mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán 
đó là:


15

( 7 + 4 3) = ( 2 + 3)
( 26 + 15 3 ) = ( 2 + 3 )
( 2 − 3) = 1
( 2 + 3)
x

2x

x

3x

x

x

Khả  năng khái quát, mở  rộng  ảnh hưởng không nhỏ  đến việc hình 
thành kỹ  năng. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố   ảnh hưởng  
đến sự  hình thành kỹ  năng. Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập 
sẽ giúp họ dễ dàng hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học  
tập. Thói quen tâm lý là một trở  ngại thường gặp trong học tập. Nguyên 
nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính 
phương hướng. Một loại kiến thức hoặc phương pháp cũ nào  đó dùng  

nhiều lần,  ấn tượng sâu làm cho học sinh không bứt ra khỏi sự  ràng buộc 
của thói quen tư duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới.
Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận  
thức chỉ  dừng lại  ở  bề  mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng 
bài toán cụ thể.
Ví dụ 3: Giải phương trình:

  2 ( 2x − 1) − x +
2

1
=0
2

Nếu chỉ quan sát trên bề mặt thông thường học sinh sẽ  chỉ nghĩ đến 
việc khai triển rồi đơn giản đưa ra phương trình bậc hai: 

(

)

4 2x 2 − 4 2 + 1 x + 2 +

1
= 0  và tìm nghiệm theo công thức quen 
2

thuộc rất cồng kềnh, phức tạp:

x12 =

(

) (

4 2 +1

)

2
1�
�
4 2 + 1 − 4.4 2 � 2 + �
2 � . . .
�
=
2.4 2


16
Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm bài toán thấy giữa 
các hệ  số  hình thành tỉ  lệ, thực hiện biến đổi đơn giản các hệ  số  đưa  
phương trình về dạng:    a( x + b) ( x + c) = 0 : 
2 ( 2x − 1) −
2

   

1
( 2x − 1) = 0

2

1�
�
� ( 2x − 1) � 2 ( 2x − 1) − �= 0 �
2�
�

2x − 1 = 0
2 ( 2x − 1) −

1
=0
2

Như vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho tư duy trở nên  
cứng nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh.
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trường phổ thông thì việc  
truyền thụ  kiến thức, rèn luyện kỹ  năng là cơ  sở  vì các mục đích khác 
muốn thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về  một 
mặt nào đó sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng 
như  vào các ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ 
năng thực hiện các hoạt động tương ứng.
Việc rèn luyện kỹ  năng hoạt động nói chung, kỹ  năng toán học nói 
riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ  giữa học với hành, 
điều này đã được nhiều tác giả đề cập như:
“ Suy nghĩ tức là hành động” ( J. Piaget)
“ Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant)
“ Học để hành, học và hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh)

Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng 
khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không 
thành thạo vào việc giải bài tập.
Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ  năng tư  duy và tính cách cho học sinh  
( Nguyễn Cảnh Toàn). Việc hình thành và rèn luyện kỹ  năng giải toán cho 


17
học sinh là một trong những yêu cầu cơ  bản và cần thiết của hoạt động 
dạy toán, giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông,  
đồng thời rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. 
Từ  đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho 
học sinh.
 Sự  hình thành kỹ  năng đó là sự  nắm vững một hệ  thống phức tạp  
các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong 
bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhau 
như:
Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn  
tri thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài  
toán liên quan theo mức độ tăng dần.
Con đường thứ  hai:  Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ  đó có thể 
định hướng một số  dạng bài toán và các thao tác cần thiết để  giải dạng  
toán đó.
Con đường thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối 
với việc vận dụng tri thức.
Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần được tiến hành trên 
các bình diện khác nhau.
­ Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng  
giải bài tập toán.

­ Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như vật 
lý, hoá học.
­ Kỹ năng vận dụng vào đời sống.
Có thể  nói, bài tập toán chính là  ''mảnh đất''  để  rèn luyện kỹ  năng 
toán. Do đó, để  rèn luyện kỹ  năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng 
cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ  yếu khi dạy 


18
toán). Cụ  thể  hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ  năng toán 
cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:
 * Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã  
cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho 
học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình

(

) (

x +1 +

) (

2x − 3 +

50 − 3x

)

12

(1)

Nếu giải bài toán này theo phương pháp thông thường, tức dùng biến  
đổi tương đương, thì sẽ tương đối phức tạp.
Ta nhận thấy, tổng các bình phương các căn thức ở vế trái là một số 
không đổi:

(

) (
2

x +1 +

) (
2

2x − 3 +

50 − 3x

)

2

= 48

Và vế  trái của (1) có dạng a1b1  + a2b2  + a3b3  trong bất đẳng thức 

Bunhiakốpxki.
Từ  đó, ta nghĩ đến sử  dụng bất  đẳng thức Bunhiakốpxki để  giải 
quyết

 

bài

 toán:

 

Nếu

 

ta

 

xem 

a1 = 1 + x; a2 = 2x − 3; a3 = 50 − 3x; b1 = b2 = b3 = 1  thì ta có: 

( 1.

1 + x + 1. 2x − 3 + 1. 50 − 3x

) ( 1 + 1 + 1 ) 48
2

2

2

� 1 + x + 2x − 3 + 50 − 3x �12
Tức là (1) luôn đúng.
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho chính là điều kiện cho các 
3
50
căn thức có nghĩa: 
x
2
3
* Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các 
bài tập, các đối tượng cùng loại.
* Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các  
kiến thức tương ứng.  
 


19
Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho học sinh, khắc phục  ảnh hưởng  
tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:
+ Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó so sánh 
các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán
Ví dụ 2: Giải bất phương trình 

(

) (

) ( 50 − 3x ) 12
Nếu  để  ý mối liên hệ:   ( x + 1 ) + ( 2x − 3 ) + (
x +1 +

2x − 3 +

2

2

50 − 3x

)

2

= 48   là 

một hằng số; làm ta liên hệ  tới tích vô hướng. Có thể  xem vế  trái là tích  
của hai véc tơ còn vế phải là tích các độ dài của chúng. Với hướng suy nghĩ 
này, lời giải bài toán khá độc đáo.
x −1
3
3
x
Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là:  x ��
2

2
50
x
3
Đặt: 
r
u x + 1, 2x − 3, 50 − 3x
r
v ( 1, 1, 1)
rr
u.v = x + 1 + 2x − 3 + 50 − 3x
r
u = ( x + 1) + ( 2x − 3) + ( 50 − 3x ) = 48
r
v = 3
r r
u . v = 12

(

50
3

)

Từ  góc độ  hình học để  hiểu bất phương trình thì vấn đề  trở  nên rõ  
rr r r
ràng. Bài toán chuyển về chứng minh  u.v u . v . Đây là một bất đẳng thức 

20
đúng với tích vô hướng của hai véc tơ. Vậy nghiệm của bất phương trình 
là những giá trị của x mà bất phương trình có nghĩa tức là: 

3
x
2

50
.
3

Như vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của 
từng bài. Do đó cần phải quan sát kỹ  và chú ý đầy đủ  mới có thể  nhìn ra 
đặc điểm ẩn sâu trong bài toán.
+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. 
Học sinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp và  
các bước làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phương  
pháp sẵn. Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
(x2 – 5x + 3)(2x2 + 5x – 1) = (x2 + 5x + 3)(2x2 – 5x ­1)
Khi gặp bài toán này, thông thường học sinh nhân các số hạng với 
nhau, sau đó đơn giản rồi giải, như vậy sẽ rất phiền phức. Chăm suy nghĩ, 
chú ý đến đặc điểm phương trình, các hệ số có mặt ở hai vế phương trình, 
nghĩ tới cách học cấp phương trình,dùng phương pháp xác định hệ số để 
giải.
 

Đặt a = x2 ­ 5x + 3; b = 2x2 + 5x ­1. 

Phương trình trở thành: ab = ( a + 10x)(b – 10x)
Rút gọn được: ­ 100x2 + 10x(b – a) = 0
2
Suy ra : x = 0; b – a = 10x  � x − 4 = 0 �

x =2
x = −2

Hoặc cũng có thể đặt a = x2 + 3; b = 2x2 – 1.
Không dừng lại  ở  cách giải này, tiếp tục suy nghĩ, xem xét phân 
tíchđặc điểm phương trình. Phương trình cho  ở  dạng tích nên có thể  biến 
đổi thành dạng tỉ lệ: 


21

x 2 − 5x + 3 2x 2 − 5x − 1
=
x 2 + 5x + 3 2x 2 + 5x − 1

(2)

Vậy có thể dùng tính chất tỉ lệ  thức để  giải phương trình này được  
không? Với hướng suy nghĩ này, ta có lời giải bài toán khá độc đáo:
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:
a+ b c+ d�
�b c
2x 2 + 6 4x 2 − 2
x 2 + 3 2x 2 − 1
=

�
=
 đ
ượ
c  
=
�
=
�a d
b− a c− d�
�
�
10x
−10x
x
x
Giải được:  x = 0; x = 2; x = −2
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn 
luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tư 
duy toán học cho học sinh. 
1.3. TƯ  DUY HÀM VÀ VẤN ĐỀ  PHÁT TRIỂN TƯ  DUY HÀM 
CHO HỌC SINH
1.3.1. Tư duy hàm
Trước hết hãy bàn về  thuật ngữ  tư  duy hàm, tư  duy hàm tất nhiên 
không phải là thuật ngữ toán học, tư duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm 
là một khái niệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có 
thể là một sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó.
Cho đến nay vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất, chính thức về 
tư  duy hàm. Theo Koliagin định nghĩa tư  duy hàm như  sau: Tư duy hàm là 
một loại hình tư  duy đặc trưng bởi việc nhận thức được tiến trình những  

sự tương ứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay giữa các tính 
chất của chúng (kể cả kỹ năng vận dụng chúng) [30].
Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: Tư duy hàm là 
các hoạt động trí tuệ  liên quan đến sự  tương  ứng giữa các phần tử  của 
một, hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa  
các phần tử của tập hợp đó, trong sự vận động của chúng.


22
Nguyễn Bá Kim thì thay vì đưa ra định nghĩa tư  duy hàm, đã đưa ra 
các hoạt động đặc trưng cho nó, ông quan niệm tư  duy hàm đặc trưng bởi 
các hoạt động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự  tương 
ứng.
Như  vậy, tư  duy hàm là hoạt động trí tuệ  liên quan đến sự  nghiên 
cứu những quy luật của sự  vật, trong sự  biến đổi sinh động của chúng, 
trong sự phụ thuộc lẫn nhau của chúng.
Với cách hiểu này, tư  duy hàm không chỉ  cần đối với nhà khoa học  
mà nó cũng rất cần thiết đối với người lao động, nó là yếu tố  quan trọng 
trong văn hoá Toán học giúp người lao động tìm ra quy luật trong tự nhiên, 
xã hội và tư  duy. Chẳng hạn như sản phẩm của tư duy hàm thể  hiện qua  
câu ca dao “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì  
râm” thể hiện sự tương ứng giữa độ cao và thời tiết.
1.3.2. Vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy  
học phương trình
Trong dạy học toán học ở trường việc phát triển tư duy hàm cho học 
sinh không có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về tư duy hàm. Nhiệm vụ 
tư  duy hàm không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ  truyền thụ  kiến thức.  
Muốn phát triển tư  duy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy 
định, trong và trên cơ sở đó tìm ra giải pháp phát triển tư duy hàm cho học 
sinh, phát triển tư duy hàm là mục đích kép.

Thực tiễn giáo dục tư  duy hàm cho học sinh phổ  thông gặp nhiều  
khó  khăn  như :   Trình  độ  học  sinh   còn  hạn  chế,  không  đồng  đều,  khối 
lượng kiến thức nhiều trong khi số  tiết dành cho bộ  môn Toán lại không 
nhiều. Những tri thức về  hoạt động tư  duy hàm không được qui định rõ 
ràng trong chương trình nên không được giảng dạy một cách tường minh. 
Mặt khác, hầu hết giáo viên phổ thông nắm về tư duy hàm chưa đầy đủ và  
cũng chưa thấy được tầm quan trọng của nó trong dạy học. Trong dạy học  


23
việc xem xét các đối tượng toán học một cách cô lập, trong trạng thái tĩnh  
tại, rời rạc. Chưa thấy hết những mối liên hệ phụ thuộc hoặc mối quan hệ 
nhân quả làm cho học sinh lúng túng trong việc giải quyết các bài toán. Bên  
cạnh đó, các tài liệu viết về  vấn đề  này nói chung còn hạn chế, khó tiếp  
cận, gây cho giáo viên và học sinh không ít khó khăn.
Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh nghiệm, dạy  
một số  tiết để  thăm dò rút ra những khó khăn của giáo viên, học sinh khi  
tiếp cận các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình do  
thiếu giáo dục các thành tố tư duy hàm:
­ Xác lập sự tương ứng;
­ Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến đổi;
­ Đặt sự vật này trong mối liên hệ  sự  vật kia theo các quan hệ  nhân 
quả, phụ thuộc.
Các khó khăn chủ yếu là:
1. Học sinh không biết cách phân chia các trường hợp riêng khi đứng 
trước một bài toán cụ thể;
2. Xuất phát từ  cơ  sở  nào để  phân chia các trường hợp riêng thích 
hợp cho việc giải quyết bài toán;
3.  Học  sinh  không  biết  nhìn  nhận  các  bài  toán   phương   trình,  bất 
phương trình, hệ phương trình trong mối liên hệ với các bài toán hàm số...

Những khó khăn này gây nên do: Khi dạy học phương trình, bất phương 
trình, hệ phương trình thầy giáo thiếu quan tâm đến các hoạt động sau:
­ Lập sự tương ứng giữa các đối tượng, quan hệ... trong Toán học;
­ Hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp về tư duy hàm;
­ Hoạt động gợi động cơ.
Một số vấn đề cần lưu ý khi dạy học giải phương trình:
Cần hình thành cho học sinh thói quen luôn ý thức về diễn biến của 
tập nghiệm khi biến đổi phương trình. Sau khi biến đổi phương trình thì 


24
tập nghiệm của phương trình ban đầu và tập nghiệm của phương trình thu 
được có quan hệ với nhau như thế nào? Có những khả năng nào xảy ra?
Có thể  phân chia không triệt để  các khả  năng loại trừ  lẫn nhau thì có các 
khả năng sau:
Khả năng 1: Hai tập nghiệm trùng nhau
Khả năng 2: Tập nghiệm của phương trình trước là tập con của tập  
nghiệm của phương trình sau
Khả  năng 3: Tập nghiệm của phương trình sau là tập con của tập  
nghiệm của phương trình trước
Khả  năng 4: Giao của hai tập nghiệm khác rỗng, nhưng không tập 
nghiệm nào là bộ phận của tập nghiệm kia.
Có thể dùng biểu đồ Ven để minh họa cho điều này. Căn cứ vào đâu 
để nhận biết sự thay đổi của các tập hợp nghiệm?
Thứ  nhất là căn cứ vào các phép biến đổi một phương trình về  một 
phương trình đơn giản đã biết cách giải
Loại 1: Phép biến đổi không làm tập xác định của phương trình thay đổi
Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được tương đương  
với   phương   trình   đã   cho.   Khi   đó   ta   kết   luận:   Tất   cả   các   nghiệm   của 
phương trình mới thu được là tất cả các nghiệm của phương trình đã cho. 

Mặc dù vậy, ta vẫn hình thành cho học sinh ý thức và thói quen thử  lại 
nghiệm khi giải phương trình (dù trong trường hợp này không đòi hỏi về 
mặt lý luận mà chỉ  có tác dụng kiểm tra kết qủa), góp phần giáo dục cho 
học sinh tính cẩn thận, thói quen tự kiểm tra kết quả công việc, một trong 
những đức tính cần thiết của người lao động trong thời đại mới.
Ví dụ 1: Phương trình:   log2 (x 2 + 5) = log2 (2x 2 + 1)


25

� x 2 + 5 = 2x 2 + 1
 

  

� x2 = 4 �

x=2
x = −2

Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định của phương trình
Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được thường là hệ 
quả  của phương trình đã cho. Khi đó, tất cả  các nghiệm của phương trình  
đã cho đều là nghiệm của phương trình mới nhận được, như vậy phép biến 
đổi phương trình không làm mất nghiệm, tập nghiệm của phương trình đã 
cho là tập con của tập nghiệm của phương trình thu được, nghiệm ngoại 
lai nếu xuất hiện sẽ rơi vào phần mở rộng của tập xác định.
Ví dụ 2: Phương trình:
 

x − 5 = x −1

  � x − 5 = x 2 − 2x = 1

  

 

  � x 2 − 3x − 4 = 0

 

 

  � x 2 − 3x − 4 = 0  

 

 

x = −1
   (x = ­1 là nghiệm ngoại lai, sau phép 
x=4

thử phải loại bỏ "nghiệm này").
Khi giải phương trình sử  dụng phép biến đổi làm mở  rộng tập xác 
định ta cần nhấn mạnh sự  cần thiết của phép thử  khử  nghiệm ngoại lai, 
điều này không chỉ có mục đích kiểm tra tính toán, rèn luyện tính cẩn thận, 
chu đáo khi làm bài mà còn có tính chặt chẽ về mặt lý luận.
Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định của phương trình

Với phép biến đổi này, có thể  dẫn tới hiện tượng mất nghiệm của  
phương trình đầu, phương trình đầu là hệ quả của phương trình cuối cùng  
thu được. Khi đó, tập nghiệm của phương trình thu được là tập con của 
phương trình đầu, phép biến đổi phương trình không làm rộng tập nghiệm, 
nghiệm bị mất ( nếu có ) rơi vào phần thu hẹp của tập xác định.