Đề HSG Toán 9 cấp tỉnh

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP THÀNH PHỐ
Năm học 2006 – 2007 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1 : (3 đ)Thu gọn các biểu thức:
a)
51229526
−−+=
A
b)
402088
+++=
B
c)
)116)(
63
12
26
4
16
15
( +
−
−
−
+
+
=C
Câu 2 : (3 đ)
a) Chứng minh :
Rzyxzyxzyx ∈∀++≤++ ,,,)(3)(

2222
b) Cho
4
1
,
4
1
,
4
1
,1
−
≥
−
≥
−
≥=++
zyxzyx
.
Chứng minh :
4 1 4 1 4 1 21x y z
+ + + + + ≤
.
Dấu bằng xảy ra khi x, y, z bằng bao nhiêu?
Câu 3 : (4 đ)
Giải hệ phương trình và phương trình:
a)










=
+
=
+
=
+
13
36
xz
zx
5
18
y
yz
5
12
yx
xy
z
b)
22
2
84
4

xx
x
−=−+
Câu 4 : (2 đ) Cho phương trình :
0
2
=++
cbxax
có các hệ số
cba ,,
là các số ngun lẻ.
Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy khơng thể là số hữu tỉ.
Câu 5 : (4 đ)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một điểm chuyển động
trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và
B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M lần lượt tại C và D.
a)Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.
b)Chứng minh tổng AC + BD khơng đổi. Tính tích số AC.BD theo CD.
c)Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh OA
2
= OB
2
= OH.OK.
Câu 6 : (4 đ)
Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có ACB = 45
o
. Đường tròn đường kính AB
cắt AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN vuông góc OC và MN =
2
AB

.