Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thu Hà

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ TĂNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


LỜI CẢM ƠN
PGS. TS. Nguyễn Bích Huy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình
thực hiện luận văn này.
Quí thầy cô của trường đã nhiệt tình giảng dạy trong quá trình em học
tập tại trường và đã tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này.
Tp. HCM, tháng 10 năm 2009
Học viên
Nguyễn Thị Thu Hà


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành từ những
năm 1940, tiếp tục được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay. Lý thuyết này
tìm được những ứng dụng đa dạng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu
tính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong Toán
học, Vật lí, Sinh học, … cũng như trong nghiên cứu các mô hình phát triển xuất

phát từ kinh tế học, …
Trong lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp phương trình
với toán tử tăng đóng vai trò quan trọng. Các kết quả về toán tử dạng này cho phép
nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và xấp xỉ nghiệm của các phương trình chứa các
toán tử không liên tục vốn xuất hiện tự nhiên từ các bài toán thực tế. Đã có nhiều
định lí về điểm bất động của ánh xạ tăng, được chứng minh bằng các phương pháp
khác nhau trong các bài báo của Krasnoselskii, Bakhtin, Carl, Heikkila, Nguyễn
Bích Huy, … Để có thể tìm ra các định lí dạng mới về điểm bất động của ánh xạ
tăng hoặc để nghiên cứu các lớp ánh xạ gần với ánh xạ tăng thì cần có sự nhìn lại,
phân tích các phương pháp đã được áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất
động của ánh xạ tăng mà chúng tôi tìm hiểu được qua các bài báo khoa học.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là điểm bất động của ánh xạ tăng.
Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm
bất động của ánh xạ tăng. Đó là: phương pháp áp dụng nguyên lí đệ qui mở rộng;
phương pháp áp dụng dãy qui nạp siêu hạn; phương pháp áp dụng nguyên lí
Entropy; phương pháp sử dụng mêtric đặc biệt và ánh xạ co.


4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được ứng dụng trong việc
chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tính chất của nghiệm của các phương trình vi
phân, tích phân phát sinh trong Toán học, Vật lí, Sinh học, … cũng như trong
nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, …
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm có bốn chương.
Chương 1: trình bày nguyên lí đệ qui mở rộng, ứng dụng của nó trong việc
tìm điểm bất động của ánh xạ tăng.

Chương 2: tìm hiểu ứng dụng của số siêu hạn vào bài toán điểm bất động
của ánh xạ tăng.
Chương 3: trình bày nguyên lí Entropy và ứng dụng của nó vào bài toán
điểm bất động.
Chương 4: ứng dụng của ánh xạ co suy rộng trong bài toán điểm bất động;
khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ có tính chất lõm.
Vì khả năng và thời gian có hạn nên bản luận văn này chắc có thể thiếu sót,
em rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và độc giả.


Chương 1.
PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỆ QUI MỞ RỘNG
1.1.

Nguyên lí đệ qui mở rộng

Định nghĩa 1.1.1
Cho tập P   , khi đó  P ,   được gọi là tập sắp thứ tự một phần nếu trên P có
quan hệ thứ tự  thỏa:
i. Phản xạ: x  x x  P .
ii. Đối xứng: Nếu x  y và y  x thì x  y x, y  P .
iii. Bắc cầu: Nếu x  y và y  z thì x  z x, y , z  P .
Ta kí hiệu x  y nếu x  y và x  y .
Ví dụ.



, ,



,   ,  ,   là các tập được sắp thứ tự.

Định nghĩa 1.1.2
Tập hợp P có thứ tự gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó đều có
phần tử đầu tiên.
 Với C  P, x  P , ta kí hiệu C x   y  C y  x .

Mệnh đề 1.1.1 (Nguyên lí đệ qui)
Cho D là tập hợp các tập con của tập sắp thứ tự

 P,   ,   D

và ánh xạ

F : D  P.

Khi đó, tồn tại duy nhất tập sắp tốt C của P sao cho:
1) x  C  x  F  C x  .

(*)

2) Nếu C  D thì F  C  không phải là cận trên chặt của C .

(**)

Chứng minh.


Đặt x0  F     P . Gọi M là tập tất cả các xích sắp tốt C ' của P có tính chất:

 

x  C ' thì x  F C 'x .
Ta có M   vì C '   x0   M . Ta sẽ chứng minh  C '  M .
C 'M

Bổ đề 1.1.1
Nếu C1 , C2  M và C2  C1 thì C1  C2x với x  min  C2 \ C1  .
Chứng minh.
 Vì x  min  C2 \ C1  nên C2x  C1
Thật vậy, lấy y  C2x thì y  C2 và y  x .
Mà x  min  C2 \ C1  nên y  C2 \ C1 . Suy ra y  C1 .
 Giả sử C1 \ C2x  





Đặt y  min C1 \ C2x . Khi đó, ta có

C1y  C2x   C1  C2  (do C2x  C1 )
Ta sẽ chứng minh C1y  C2x .





 

Giả sử C1y  C2x . Khi đó tồn tại z  min C2x \ C1y nên C2x
Suy ra C2z  C1y

(vì z  x )

z

 C1y .

(1)

Mặt khác z  C2x   C1  C2  nên z  C1 .
Mà z  C1y . Do đó y  z . Suy ra C2y  C2z .
Ta có C1y  C2x nên C1y  C2y (Lấy z  C1y  C2x  z  C2 , z  y  z  C2y )
Do đó C1y  C2z

(2)

Từ (1) và (2) suy ra C2z  C1y

 

 

Hay z  F C2z  F C1y  y , mâu thuẫn vì z  C2x và y  C2x .


 

 

Vậy C1y  C2x hay y  F C1y  F C2x  x , mâu thuẫn vì y  C1 và x  C1 .
Vậy C1 \ C2x   .
 Ta đã chứng minh được

C2x  C1 và C1 \ C2x   . Do đó C1  C2x .
Bổ đề 1.1.2

 

Giả sử x  F C x , x  y  C  M .
Khi đó x  C .
Chứng minh.

 

 Vì y  C  M nên y  F C y .
Do x  y nên ta có C x  C y .

 

 

Hơn nữa dấu “=” không xảy ra vì x  F C x  y  F C y .



Như vậy z  min C y \ C x



 Ta sẽ chứng minh x  z thì sẽ có x  C .
Trước tiên, ta chứng minh C x  C z


Mà z  min  C

Do z  min C y \ C x
y

\ Cx

 nên C  C
 suy ra u  C
z

x

(Thật vậy, lấy u  C z , ta có u  C , u  z  y .

y

\ C x  u C x )

Giả sử dấu “=” không xảy ra. Khi đó t  C x \ C z
Vì t và z thuộc C nên chúng so sánh được với nhau. Và từ cách chọn t , ta có

z t  x.





Tức là z  C x , mâu thuẫn vì z  min C y \ C x . Do đó C x  C z

 

 

Suy ra x  F C x  F C z  z . Vậy x  C .


Chứng minh mệnh đề 1.1.1
Theo bổ đề 1.1.1 thì hai xích bất kì thuộc M đều chứa nhau.
Đặt C   C ' .
C 'M

 Chứng minh C sắp tốt
Lấy tập con A  C , A   . Ta sẽ chứng minh x  min A
Chọn C1  M sao cho A  C1  
Do C1 sắp tốt nên x  min  A  C1  .
Ta chứng minh x  min A
Lấy y bất kì thuộc A . Ta chứng minh x  y, y  A .
Khi đó, C2  M sao cho y  C2
Nếu y  C1 thì y  C1  A do đó x  y
Nếu y  C1 thì C2  C1 nên theo bổ đề 1.1.1 ta có C1  C2k với k  min  C2 \ C1 
Có y  C2 , y  C1 nên y  C2 \ C1 do đó k  y
Suy ra C2k  C2y tức là C1  C2k  C2y
Do x  C1  C2y nên x  y . Vậy x  y, y  A .
Suy ra x  min A tồn tại hay C là xích sắp tốt.

 Chứng minh C thỏa (*)

 / Lấy x  C thì tồn tại C1  M sao cho x  C1
Lấy y  C x thì tồn tại C2  M sao cho y  C2x
Nếu C2  C1 thì C2x  C1x do đó y  C1x
Nếu C2  C1 thì theo bổ đề 1.1.1 ta có C1  C2k , k  min  C2 \ C1 

 

Do x  C1 , C1  C2k nên x  C2k . Suy ra x  k  C1x  C2k

x

 C2x

Mà y  C2x nên y  C1x . Tức là y  C1x , y  C x hay C x  C1x


Hiển nhiên ta có C1x  C x . Do đó C1x  C x

 

 

Suy ra x  F C1x  F C x (do C1  M ). Vậy C  M .

 

 / Giả sử x  F C x . Cần chứng minh x  C .
Giả sử trái lại x  C .

Ta đã chứng minh C  M nên từ bổ đề 1.1.2, ta phải có x  y, y  C

(1)

Hiển nhiên C x   vì nếu không, ta có x  F     x0  C .
Đặt C1  C x   x . Chứng minh C1 sắp tốt





Với D  C1 , D  , D   x thì ta có min D  min C x  D nên theo định nghĩa





1.1.2 ta có C1 sắp tốt ( min C x  D tồn tại vì C x  D  C x  C , C sắp tốt và
theo định nghĩa 1.1.2)
Do (1) nên C1y  C y , y  C1
Thật vậy, lấy y  C1  C x   x



Nếu y  x thì C1y  C1x  C x   x



x

 Cx  Cy





Nếu y  C x thì y  x nên ta có C1y  C x   x

y

 Cy

Do đó C1  M

 
Nếu y  x thì y  x  F  C   F  C   F  C 
Nếu y  C thì y  C mà C  M nên y  F  C   F  C 
Thật vậy, lấy y  C1 , chứng minh y  F C1y
x

x

y

y
1

y

y

1

Suy ra x  C , mâu thuẫn. Ta có điều phải chứng minh.
 Chứng minh C thỏa (**)
Thật vậy, nếu C  D và a  F  C  là một cận trên chặt của C , thì C a  C .


 

Suy ra F C a  F  C   a
Do (*) nên ta có a  C (mâu thuẫn vì a là cận trên chặt của C )
Vậy C thỏa (**).
Kết luận: Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn.
1.2. Tập xấp xỉ liên tiếp từ một điểm đối với một ánh xạ
Bổ đề 1.2.1
Cho tập có thứ tự  P ,   , ánh xạ G : P  P và a  P .
Khi đó tồn tại duy nhất xích sắp tốt C của P sao cho



 

I 

a  min C và a  x  C  x  sup G C x
Chứng minh.





 Xét D    A  P sup G  A  toàn taïi
và ánh xạ f : D  P xác định bởi

f     a và f  A   sup G  A  với   A  D
Rõ ràng f được định nghĩa tốt.
 Theo mệnh đề 1.1.1 (nguyên lí đệ qui) thì tồn tại duy nhất xích sắp tốt C của P
sao cho

 

1) x  C  x  f C x

2) Nếu C  D thì f  C  không phải là cận trên chặt của C .
 Ta kiểm tra C thỏa  I  .
Đặt x0  min C (vì C sắp tốt nên tồn tại min)

 

Ta có x0  C nên theo 1) ta có x0  f C x0  f     a tức là a  min C .

 

 

Với a  x thì C x   . Do đó x  C  x  f C x  sup G C x (định nghĩa f ).
Vậy C chính là xích sắp tốt duy nhất của P thỏa điều kiện  I  .


Định nghĩa 1.2.1

Xích C được xây dựng như trên gọi là xích sắp tốt (w.o) của phép lặp G từ a .
Định lí 1.2.1

Cho tập có thứ tự  P ,   , ánh xạ G : P  P , a  P .
Giả sử C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a .
Nếu a  Ga và x*  sup G  C  tồn tại thì x*  max C và Gx*  x* .
Chứng minh.

Giả sử a  Ga và x*  sup G  C  tồn tại.
Ta chứng minh x*  max C
 Lấy x  C

Nếu x  a thì do a  Ga  sup G  C   x* nên x  x*

 

Nếu a  x  C ta có x  sup G C x  sup G  C   x*
Suy ra x  x* , x  C .
 Giả sử x*  C

Khi đó ta có x  x* , x  C hay C x*  C

 

Ta có x*  sup G  C   sup G C x*

Suy ra x*  C (mâu thuẫn). Do đó x*  C .
Vậy ta đã chứng minh được x*  max C .
Và Gx*  sup G  C   x* .

Bổ đề 1.2.2

Nếu A và B là tập con của P và nếu sup A, sup B tồn tại thì

sup  A  B   sup sup A, sup B .
Chứng minh.


Dễ thấy hai tập hợp A  B và sup A, sup B có cận trên giống nhau, từ đó suy ra
điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.2.2

Cho C là xích sắp tốt. Với mỗi x  C , x  max C , sẽ có một phần tử tiếp sau Sx
trong C , ta có Sx : min  y  C / x  y .
Mệnh đề 1.2.1

Cho G : P  P là ánh xạ tăng và a  Ga .
Gọi C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a .
Khi đó:
a. Nếu x  C thì x  Gx và Gx  C .
b. Sa tồn tại khi và chỉ khi a  Ga và do đó Sa  Ga .
c. Nếu a  x  C thì Sx tồn tại khi và chỉ khi Gx  x và sup  x , Gx tồn tại,
và do đó Sx  sup  x , Gx .
d. Nếu a  x  C thì x  sup C x khi và chỉ khi x không là phần tử tiếp sau.
e. G  C  là xích sắp tốt của P .
Chứng minh.

a. Lấy x  C , chứng minh x  Gx
Nếu x  a thì x  Gx (do giả thiết a  Ga )
Nếu a  x  C ta có y  C x thì y  x mà G tăng nên Gy  Gx

 

Suy ra sup G C x  Gx hay x  Gx . Vậy x  C thì x  Gx .
 Chứng minh Gx  C

Ta chỉ cần xét trường hợp x  Gx .
Ta sẽ chứng minh C Gx  C x   x . Thật vậy
Hiển nhiên có C x   x  C Gx (do x  Gx )

(1)


Lấy y  C Gx thì y  C và y  Gx
Nếu x  y thì x  C y .

 

Nên Gx  sup G C y  y (mâu thuẫn vì y  Gx )
Suy ra y  x hay y  C x   x , y  C Gx hay C Gx  C x   x

(2)

Từ (1) và (2) suy ra C Gx  C x   x









Do đó sup G C Gx  sup G C x   x  Gx do G tăng. Vậy Gx  C .
b. Nếu Sa tồn tại thì do Sa  a , Sa  C khi và chỉ khi

 

Sa  sup G C Sa

(theo  I  )

Mà C Sa  C a  a  a (vì a  min C nên C a   )
nên Sa  sup G a   Ga và a  Sa  Ga .
 Đảo lại, giả sử a  Ga . Chứng minh Sa tồn tại.

Ta có C Ga  a . Thật vậy
Hiển nhiên a  C Ga do a  Ga
Ta chứng minh C Ga  a . Lấy x  C Ga ta có x  C và x  Ga

 

Nếu a  x thì a  C x nên Ga  sup G C x  x (do  I  )
mâu thuẫn vì x  Ga . Vậy x  a , mà a  min C nên x  a hay x  a
tức là C Ga  a
Vậy C Ga  a .





Khi đó: sup G C Ga  sup G a   Ga do  I  nên Ga  C .
Ta có a  Ga  C nên a  max C
Theo định nghĩa ta có Sa tồn tại.


c. Giả sử a  x  C và Sx tồn tại
Áp dụng  I  , định nghĩa 1,2,2 và bổ đề 1.2.2 ta có

Sx  sup G C Sx   sup G C x   x





 sup G C x   Gx  sup  x , Gx
Vì x  Sx  sup  x , Gx nên Gx  x .
 Đảo lại, giả sử a  x  C và Gx  x và z  sup  x , Gx tồn tại.

Ta chứng minh Sx tồn tại.
Ta có C z  C x   x (tương tự a)
Theo bổ đề 1.2.2 và ( I ) , ta có

  

z  sup  x , Gx  sup G C x  Gx







 

 sup G C x   x   sup G C z
Suy ra z  C do ( I ) .

Như vậy ta có x  z  C nên x  max C .
Theo định nghĩa 1.2.2 ta có Sx tồn tại.
d. Giả sử a  x  C và x không là phần tử tiếp sau
Rõ ràng x là một cận trên của C x . Lấy w là một cận trên khác của C x .
Với y  C x thì a  y  x
Do y  C và y  max C nên tồn tại Sy .

y  a thì do b) ta có a  Sa  Ga .
y  a thì do c) Sy  sup  y, Gy
Vậy với y  C x ta luôn có Sy  sup  y, Gy .
Suy ra Gy  Sy  C x (do y  x và x  Sy nên Sy  x )

 

Do đó Gy  w , y  C x . Suy ra sup G C x  w hay x  w (do ( I ) )


Như vậy theo định nghĩa sup ta có x  sup C x .
 Giả sử x là phần tử tiếp sau, tức là x  Sy với y nào đó thuộc C .

Khi đó y  Sy  x  y  C x
Ta chứng minh z  y, z  C x . Thật vậy

Nếu tồn tại z  C x và y  z thì x  Sy  z mâu thuẫn vì z  C x .
Khi đó Sy  x  sup C x  y , mâu thuẫn.
Suy ra điều phải chứng minh.
Các kết quả trên kéo theo các hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.1

Nếu C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a  P thì
a. a  max C khi và chỉ khi a  Ga .
b. Nếu a  x thì x  max C khi và chỉ khi Gx  x hoặc sup  x , Gx không
tồn tại.
Chứng minh.

a. Suy ra từ mệnh đề 1.2.1.b)
b. Suy ra từ mệnh đề 1.2.2.c)
Hệ quả 1.2.2

Cho C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a  P . Ta có
Nếu x  C thì Gx  Sx khi và chỉ khi x  Gx .
Chứng minh.

 / Hiển nhiên Gx  Sx  x
 / Ta có x  C và x  Gx
Theo mệnh đề 1.2.1.a) x  C nên Gx  C .
Khi đó tồn tại sup  x , Gx  Gx do x  Gx
Theo mệnh đề 1.2.1.c) ta có tồn tại Sx  sup  x , Gx  Gx (đpcm).


1.3. Điểm bất động của ánh xạ tăng
Định lí 1.3.1

Cho tập sắp thứ tự P , ánh xạ tăng G : P  P .

a là một cận dưới của G  P  .
Giả sử tồn tại x*  sup G  C  với C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a .
Khi đó x*  Gx*  max C  min a  x Gx  x
Đặc biệt x* là điểm bất động bé nhất của G .
Chứng minh.
 Vì a là cận dưới của G  P  nên a  Ga .

Mà theo giả thiết ta có x*  sup G  C  tồn tại
Nên theo định lí 1.2.1 thì x*  max C và Gx*  x*
Mặt khác theo mệnh đề 1.2.1 thì x*  C nên x*  Gx*
Suy ra x*  Gx*  max C
 Chứng minh x*  min a  x / Gx  x

Đặt D  a  x / Gx  x
Lấy y  D , ta cần chứng minh x*  y . Thật vậy
Giả sử x*  y . Ta có A   x  C / x  y   vì x*  A .
Đặt z  min A ta có z  y
Mà a  y nên z  a hay C z  
Với t  C z thì t  y theo định nghĩa z .

 

Suy ra z  sup G C z  Gy  y do y  D . Mâu thuẫn.
Vậy x*  y, y  D  a  x / Gx  x hay x*  min a  x / Gx  x
(do x*  max C  a và Gx*  x* nên x*  D )
Kết luận: x*  Gx*  max C  min a  x / Gx  x

 Đặc biệt D chứa tất cả các điểm bất động của G .

Mà x*  min D nên x* là điểm bất động bé nhất của G .
Do sự tương tự, nếu ta xét tập với quan hệ thứ tự  thì các kết quả ở 1.1, 1.2, 1.3
vẫn còn đúng. Đặc biệt ta có kết quả sau
Định lí 1.3.2

Cho ánh xạ F : P  P và b  P . Khi đó tồn tại duy nhất xích sắp tốt nghịch đảo

C ' của phép lặp F từ b thỏa

 I '

b  max C '

 

b  x  C '  x  inf F C 'x

Nếu b  Fb , F tăng và x *  inf F  C ' tồn tại thì

x   Fx   min C '  max b  x Fx  x
và x  là điểm bất động lớn nhất của F .
Từ các định lí 1.3.1, 1.3.2 ta có hệ quả sau
Hệ quả 1.3.1

Cho P là tập sắp thứ tự một phần và ánh xạ tăng G : P  P
a. Nếu G  P  có một cận dưới và mọi xích sắp tốt của G  P  đều có sup thì G
có điểm bất động bé nhất x* và x*  min  x / Gx  x .
b. Nếu G  P  có một cận trên và mọi xích sắp tốt của G  P  đều có inf thì G

có điểm bất động lớn nhất x * và x *  max  x / Gx  x .
Chứng minh.

Ta chỉ chứng minh a), trường hợp b) hoàn toàn tương tự.
Gọi a là cận dưới của G  P  , ta có a  Ga


Gọi C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a .
Theo mệnh đề 1.2.1 thì G  C   C và G  C  là xích sắp tốt của G  P  .
Do đó theo giả thiết thì x*  sup G  C  tồn tại.
Áp dụng định lí 1.3.1 ta có đpcm.
Định nghĩa 1.3.1

Tập hợp sắp thứ tự một phần P được gọi là đầy đủ tương đối theo thứ tự nếu

  A  P là tập sắp tốt (hoặc sắp tốt nghịch đảo) thì tồn tại sup A  P (tương
ứng inf A  P ).
Nếu A  P thì P gọi là tập sắp tốt đầy đủ.
Định nghĩa 1.3.2

Cho tập hợp sắp thứ tự một phần P . Khi đó:
a. c được gọi là sup – center của P nếu tồn tại sup c, y  P , y  P .
b. c được gọi là inf – center của P nếu tồn tại inf c, y , y  P .
c. c được gọi là order – center của P nếu nó vừa là sup – center vừa là inf –
center của P .
Với a, b  P, a  b . Kí hiệu

 a    x  P, a  x
 b   x  P, x  b
 a, b   x  P, a  x  b

Định lí 1.3.3

Cho  P ,   là tập sắp thứ tự một phần, G : P  P là ánh xạ tăng và G  P  là tập
đầy đủ tương đối theo thứ tự trong P .
Khi đó


a. Nếu P có một sup – center c thì G có điểm bất động x  thỏa mãn

x   max  x   b  / x  Gx .
với b  min  x   c  / sup c, Gx  x .
b. Nếu P có một inf – center c thì G có điểm bất động x thỏa mãn

x  min  x   a  / Gx  x .
với a  max  x   c  / x  inf c, Gx .
Chứng minh.

Ta chỉ chứng ming trường hợp a), còn trường hợp b) chứng minh tương tự.
 Xét ánh xạ f : P  P xác định bởi f  x   sup c, Gx .

Hiển nhiên f được định nghĩa tốt.
Khi đó, rõ ràng f tăng và f  P  là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự (vì G tăng,

G  P  đầy đủ tương đối theo thứ tự)
 Ta có c  sup c, Gc  f  c  hay c là cận dưới của f  c  .

Gọi C là xích sắp tốt của f từ c .
Vì f  P  đầy đủ tương đối và f  C   f  P  là tập sắp tốt nên theo định nghĩa
1.3.1 sẽ tồn tại b  sup f  C  .
Theo định lí 1.3.1 thì là điểm bất động b của f và b  min  x   c  / f  x   x

 Ta có b  f  b   sup c, Gb nên Gb  b .

Gọi C ' là xích sắp tốt nghịch đảo của G từ b .
Khi đó vì G  C ' sắp tốt nghịch đảo và G  P  đầy đủ tương đối nên tồn tại

x   inf G  C ' .
Theo định lí 1.3.2 thì x  là điểm bất động của G và x   max  x   b  / x  Gx
với b  min  x   c  / sup c, Gx  x .


Hệ quả 1.3.2

Cho

 P,  

là tập sắp thứ tự một phần có order – center c và ánh xạ tăng

G : P  P , G  P  là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự trong P . Khi đó
a. Phương trình x  inf c, Gx có nghiệm lớn nhất trong  c  .
b. Phương trình x  sup c, Gx có nghiệm bé nhất trong  c  .
c. G có điểm bất động bé nhất x và điểm bất động lớn nhất x  trong  a, b 
với a, b xác định ở định lí 1.3.3.
Hệ quả 1.3.3

Cho P là tập sắp thứ tự tốt đầy đủ và có một order – center.
Khi đó, mỗi ánh xạ tăng G : P  P đều có điểm bất động lớn nhất x  và điểm bất
động bé nhất x thỏa định lí 1.3.3.
Ví dụ

Kí hiệu P 

 x , x ,..., x
1

2

m



m



/ x1  x2  ...  xm  r p với p   0,  
p

p

p

và r  0 . Giả sử P được sắp thứ tự theo “thứ tự từng tọa độ” (nghĩa là nếu

x , y  P, x   x1 , x2 ,..., xm 

và

y   y1 , y2 ,..., ym 

thì

x  y  xi  yi , i  1, m ).
Khi đó, mọi ánh xạ tăng G : P  P đều có điểm bất động x và x  thỏa định lí
1.3.3.
Chứng minh.

Đặt c   0,0,...,0  thì c là order – center của P .
Thật vậy, lấy x   x1 , x2 ,...xm   P , ta có

sup c, x  max  0, x1  ,max  0, x2  ,..., max  0, xm 


và max  0, xi   xi , i  1, m
Suy ra sup c, x  P hay c là sup – center của P .
Tương tự c là inf – center của P . Vậy c là order – center.
Mặt khác P là tập đóng, bị chặn, con của

m

nên P là đầy đủ tương đối theo thứ

tự. Áp dụng hệ quả 1.3.2 ta có đpcm.
Định lí 1.3.4

Cho P là tập sắp thứ tự một phần và a  P . Giả sử ánh xạ tăng G : P  P thỏa

a  Ga và C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a .
Xét dãy lặp  xn n thỏa x0  a, xn1  Gxn .
Khi đó, nếu x  P thỏa x  sup  xn  thì x là điểm bất động bé nhất của G

trong  a  .
Chứng minh.





Có thể viết lại  xn n thành a, Ga, G 2 a, ..., G n a, ... .
Suy ra  xn n là dãy tăng và xn  C n .
 Nếu xm1  xm với m nào đó thì

G m1a  G m a hay G m  k 1a  G m k a
Suy ra xm  k 1  xm  k , k 

k 

.

Khi đó x  sup  xn   sup C chính là điểm bất động bé nhất của G theo định lí
1.3.1.
 Nếu  xn n tăng ngặt

 

Ta sẽ chứng minh Gx  sup G C x .

 

Thật vậy, vì xn  C x n nên Gx  sup Gxn  sup G C x .

Mặt khác nếu x  C x thì x  C và x  x .
Do x  sup  xn  nên tồn tại n sao cho x  xn .

 

Khi đó Gx  Gxn  Gx nên sup G C x  sup Gxn .

 

Vậy Gx  sup G C x .
Mà x  sup xn  sup xn1  sup Gxn  Gx

 

Suy ra x  sup G C x hay x  C
Vì x  Gx nên không tồn tại Sx và ta có x  max C .
Theo định lí 1.3.1 thì x là điểm bất động bé nhất của G trong  a  .


Chương 2.
PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG DÃY QUI NẠP SIÊU HẠN
2.1 Số siêu hạn

Trong mục này ta trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về số siêu việt để
ứng dụng trong mục sau.
Định nghĩa 2.1.1

1. Các tập có thứ tự  X ,  X  , Y , Y  được gọi là đồng dạng nếu tồn tại song
ánh f : X  Y sao cho x, y  X , x  X y  f  x  Y f  y 

2. Quan hệ đồng dạng giữa các tập được sắp toàn phần là quan hệ tương đương.
Do đó tập tất cả các tập được sắp toàn phần được chia thành các lớp tương
đương. Các tập trong cùng một lớp được gọi là có cùng kiểu thứ tự.
3. Ta kí hiệu kiểu thứ tự của tập  bởi số 0 , kiểu thứ tự của tập 1,..., n với
thứ tự thông thường bởi số n , kiểu thứ tự của

, ,

,

với thứ tự thông

thường kí hiệu tương ứng bởi  ,  , ,  .

4. Giả sử tập  X ,   có kiểu thứ tự là  . Ta định nghĩa thứ tự "   " trong X
như sau x   y  y  x .
Khi đó kiểu thứ tự của  X ,    kí hiệu là   .
Ví dụ: kiểu thứ tự của tập 0,  1,  2, ... với thứ tự thông thường là   .
5. Kiểu thứ tự gọi là vô hạn nếu tập tương ứng là vô hạn.
Định nghĩa 2.1.2

Cho tập có thứ tự toàn phần I và các tập có thứ toàn phần X i ,  i  I  thoả điều
kiện X i  X j    i  j  . Ta sắp tập X   X i như sau. Giả sử a  X i , b  X j ta
iI


định nghĩa a  b nếu i  j hoặc nếu i  j và a  b trong X i . Nếu X i có kiểu thứ
tự là  i thì ta kí hiệu kiểu thứ tự của X là



iI

i

.

Ví dụ

1)      
2) Giả sử X 1  a , X 2 



, I   1, 2 . Khi đó kiểu thứ tự của

X 1  X 2  a,1, 2,...

1

là 1  
Giả sử X 1 



, X 2  a khi đó kiểu thứ tự của tập
X 1  X 2  1, 2,..., a

 2

là   1 . Các tập 1 ,  2  có kiểu thứ tự khác nhau (  2  có phần tử lớn nhất

còn 1 không có). Vậy 1      1 .
3) Tập  a, b   a   a, b   b có kiểu thứ tự là 1    1 .
Định nghĩa 2.1.3

1) Tập được sắp toàn phần X gọi là được sắp hoàn toàn (sắp tốt) nếu mọi tập
con không trống của X có phần tử nhỏ nhất.
2) Kiểu thứ tự của tập được sắp hoàn toàn gọi là số thứ tự.
3) Số thứ tự vô hạn gọi là số siêu hạn.
Ví dụ

1) Các kiểu thứ tự n 



,  ,   1 là số thứ tự;  ,   1 là số siêu hạn.

2) Các kiểu thứ tự   ,  ,  ,  không là số thứ tự.


Định nghĩa 2.1.4

1) Nếu X là tập được sắp toàn phần và a  X thì tập X a :  x  X : x  a gọi
là một đoạn của X .
2) Nếu X , Y là các tập được sắp toàn phần và X đồng dạng với một đoạn của

Y thì ta nói X ngắn hơn Y .
3) Giả sử  ,  là hai số thứ tự và X , Y là 2 tập sắp toàn phần có kiểu thứ tự

 ,  tương ứng. Nếu X ngắn hơn Y thì ta nói  nhỏ hơn  hay  lớn hơn
 và viết    hay    .

Ví dụ 0  1  2  ... , và các số trong dãy này đều nhỏ hơn các số siêu hạn.
Định lí 2.1.1

1) Nếu  ,  là hai số thứ tự thì có một và chỉ một khả năng sau:

   ,    ,   .
2) Nếu S là một tập các số thứ tự với thứ tự được định nghĩa trong định nghĩa
2.1.4 thì S có số nhỏ nhất.
3) Nếu S là một tập các số thứ tự thì tồn tại số thứ tự lớn hơn mọi số thuộc S .
4) Số   1 là số thứ tự nhỏ nhất lớn hơn  .
Định nghĩa 2.1.5

Số thứ tự  gọi là loại 1 nếu tồn tại số thứ tự lớn nhất nhỏ hơn  (kí hiệu là   1 ).
Trường hợp ngược lại  gọi là số thứ tự loại 2.
Ví dụ Tất cả các số thứ tự n 



là số loại 1.

Tổng quát hơn, các số dạng   1 là số loại 1. Số  là loại 2.