Luận án tiến sĩ Toán học: Chỉ số chính quy của tập điểm béo trong không gian xạ ảnh

ĐẠI HỌC HUẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN NAM SINH

CHỈ SỐ CHÍNH QUY
CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG
KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HUẾ - NĂM 2019


ĐẠI HỌC HUẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN NAM SINH

CHỈ SỐ CHÍNH QUY
CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG
KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phan Văn Thiện

HUẾ - NĂM 2019


i

LỜI CAM ĐOAN
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm, Đại
học Huế, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Phan Văn Thiện. Tôi
xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả
trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trước đó.
Tác giả

Trần Nam Sinh


ii

LỜI CÁM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm
của PGS.TS. Phan Văn Thiện. Tác giả xin được bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới
Thầy, người đã đưa ra hướng nghiên cứu, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo
trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án.
Tác giả xin gửi lời cám tới GS. TSKH. Ngô Việt Trung với những góp ý,
hướng dẫn cho việc trình bày luận án.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:
- Khoa Toán học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học
Huế,
- Bộ môn Khoa học cơ bản, Trường Cao đẳng Phương Đông-Đà Nẵng,

về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của
một nghiên cứu sinh.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp và những
người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình
học tập.

Trần Nam Sinh ...


iii

MỤC LỤC
MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

1

MỞ ĐẦU

2

1 Kiến thức cơ sở

11

1.1

Chỉ số chính quy của một tập điểm béo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Một số kết quả cần dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3

Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Chỉ số chính quy của tập s điểm béo không nằm trên một (r − 1)phẳng với s ≤ r + 3

2.1

19

Chỉ số chính quy của tập s điểm béo ở vị trí tổng quát nằm
trên một r-phẳng với s ≤ r + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2

Chỉ số chính quy của s điểm béo đồng bội không nằm trên một

(r − 1)-phẳng với s ≤ r + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3

Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của tập s điểm kép trong
Pn với 2n + 1 ≤ s ≤ 2n + 2

3.1

39

Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của tập 2n + 1 điểm kép
sao cho không có n+1 điểm nằm trên một (n−2)-phẳng trong
Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2

Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của tập 2n + 2 điểm
kép không suy biến và không có n + 1 điểm nằm trên một

(n − 2)-phẳng trong Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3

Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN

66

DANH MỤC CÔNG TRÌNH

67

TÀI LIỆU THAM KHẢO

68


1

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
TRONG LUẬN ÁN
Kí hiệu

Ý nghĩa

N

Tập số tự nhiên

N∗

Tập số tự nhiên khác không

Z

Tập số nguyên

Z+

Tập số nguyên dương

[a]

Phần nguyên của số hữu tỷ a

k

Trường đóng đại số k

Pn := Pnk

Không gian xạ ảnh n-chiều trên trường k

R := k[x0 , ..., xn ]

Vành đa thức theo các biến x0 , ..., xn trên trường k

Z(T )

Tập không điểm của tập T ⊂ R các phần tử thuần nhất
của R

I(Y )

Iđêan thuần nhất của tập điểm Y ⊂ Pn

℘

Iđêan nguyên tố thuần nhất xác định bởi điểm P ∈ Pn

dim B

Chiều (Krull) của vành B

Ann(M )

Annihitor của môđun M

Md

Tổng trực tiếp của các nhóm con Md

HM (t)

Hàm Hilbert của môđun phân bậc M

PM (t)

Đa thức Hilbert của môđun phân bậc M

Z = m1 P1 + · · · + ms Ps

Tập điểm béo Z

reg(Z)

Chỉ số chính quy của Z

reg(A)

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành tọa độ

d

A


2

MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Cho X = {P1 , ..., Ps } là tập các điểm phân biệt trong không gian xạ ảnh
Pn := Pnk , với k là một trường đóng đại số. Gọi ℘1 , ..., ℘s là các iđêan nguyên tố
thuần nhất của vành đa thức R := k[x0 , ..., xn ] tương ứng với các điểm P1 , ..., Ps .
Cho m1 , ..., ms là các số nguyên dương. Ta ký hiệu m1 P1 + · · · + ms Ps là lược
đồ chiều không xác định bởi iđêan I := ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘sms và gọi
Z := m1 P1 + · · · + ms Ps

là một tập điểm béo trong Pn . Chú ý rằng iđêan I của tập điểm béo là tập gồm
các hàm đại số nội suy trên tập điểm P1 , ..., Ps triệt tiêu với số bội m1 , ..., ms .
Đề tài về tập điểm béo được nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau.
Ví dụ như giả thuyết của Nagata về chặn dưới cho bậc của các hàm nội suy đến
nay vẫn chưa được giải quyết (xem [13]). Trong luận án này, chúng tôi quan tâm
đến chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành R/I.
Với tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps xác định bởi iđêan I, vành tọa
độ thuần nhất của Z là A := R/I. Vành A = ⊕t≥0 At là một vành phân bậc
s

Cohen-Macaulay 1-chiều có bội của nó là e(A) :=
i=1

mi +n−1
n

.

Hàm Hilbert của Z được xác định bởi HA (t) := dimk At , tăng chặt cho đến
khi đạt được số bội e(A), tại đó nó dừng. Chỉ số chính quy của Z được định
nghĩa là số nguyên bé nhất t sao cho HA (t) = e(A) và nó được ký hiệu là reg(Z).

Chỉ số chính quy reg(Z) bằng chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(A) của
vành tọa độ A.
Vấn đề tìm chặn trên cho chỉ số chính quy reg(Z) đã được nhiều người quan
tâm và có nhiều kết quả. Năm 1961, Segre (xem [19]) đã chỉ ra được chặn trên
cho chỉ số chính quy của một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps sao cho không
có ba điểm nào của chúng nằm trên một đường thẳng trong P2 :
reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1,

với m1 ≥ · · · ≥ ms .

m1 + · · · + ms
2

,


3

Cho một tập điểm béo tùy ý Z = m1 P1 + · · · + ms Ps trong P2 . Năm 1969,
Fulton (xem [12]) đã đưa ra chặn trên cho chỉ số chính quy của Z như sau:
reg(Z) ≤ m1 + · · · + ms − 1.

Chặn này được mở rộng cho một tập điểm béo tùy ý trong Pn bởi Davis và
Geramita (xem [9]). Họ đã chứng minh được rằng dấu bằng xảy ra khi và chỉ
khi tập điểm P1 , ..., Ps nằm trên một đường thẳng trong Pn .
Một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps trong Pn được gọi là ở vị trí tổng
quát nếu không có j + 2 điểm của P1 , ..., Ps nằm trên một j -phẳng với j < n. Năm
1991, Catalisano (xem [6], [7]ta luôn tìm được một siêu phẳng Lj chứa
Gj và tránh Pi0 . Ta có
m2n+1

n+3
2
L 1 · · · L t ∈ ℘m
n+3 ∩ · · · ∩ ℘2n+1 ∩ ℘2n+2 .

Hơn nữa, do
HH ∈ ℘21 ∩ · · · ∩ ℘2n+1

và
i−cn−1
1
M ∈ ℘i−c
n+3 ∩ · · · ∩ ℘2n+1 ,

nên HHL1 · · · Lt M ∈ J với mọi đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, 1.
Theo Nhận xét 1.2.3 ta có
reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ 2 + (3 − i) + i = 5 ≤ TZ .
• Nếu u ≥ 2, thì có n + 2 − u điểm, giả sử rằng Pi1 , ..., Pin+2−u ∈ H1 \H. Do
u ≥ 2 nên n + 2 − u ≤ n. Hơn nữa, do Pi1 , ..., Pn+2−u nằm ở vị trí tổng quát

trong H1 nên có một (n − u)-phẳng π, đi qua Pi2 , ..., Pn+2−u và tránh Pi1 . Chọn
/ π, nên ta luôn tìm được
Pi0 = Pi1 = (1, 0, ..., 0), khi đó ℘i0 = (x1 , ..., xn ). Do Pi0 ∈

một siêu phẳng L chứa π và tránh Pi0 . Ta có HHLL ∈ J nên HHLLM ∈ J với
mọi đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, 1. Theo Nhận xét 1.2.3 ta có
reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ 4 + i ≤ 5 ≤ TZ .

Chứng minh Mệnh đề 3.2.1 đã hoàn thành.
Từ Mệnh đề 3.1.1, Mệnh đề 3.1.2 và Mệnh đề 3.2.1 ta có ngay hệ quả sau.

Hệ quả 3.2.2. Cho X = {P1 , ..., P2n+2 } là một tập không suy biến gồm 2n + 2
điểm phân biệt sao cho không có n + 1 điểm của X nằm trên (n − 2)-phẳng trong
Pn . Cho Y = {Pi1 , ..., Pis } với 2 ≤ s ≤ 2n + 1 là một tập con của X. Gọi ℘i là các
iđêan nguyên tố thuần nhất tương ứng với Pi , i = 1, ..., 2n + 2. Xét tập điểm kép
Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 .


63

Đặt
Tj = max

1
(2q + j − 2)
j

Pi1 , ..., Piq nằm trên j -phẳng ,

TZ = max Tj

j = 1, ..., n .

Khi đó, tồn tại một điểm Pi0 ∈ Y sao cho
reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ ,

trong đó
℘2i .

J=
Pi ∈Y \{Pi0 }

Kết quả chính của phần này được thể hiện qua định lý sau.
Định lý 3.2.3. Cho X = {P1 , ..., P2n+2 } là một tập không suy biến gồm 2n + 2
điểm phân biệt sao cho không có n+1 điểm nào của X nằm trên một (n−2)-phẳng
trong Pn . Xét tập điểm kép
Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 .

Đặt
TZ = max Tj

j = 1, ..., n ,

trong đó
Tj = max

2q + j − 2
j

Pi1 , ..., Piq nằm trên một j -phẳng .

Khi đó,
reg(Z) ≤ TZ .

Chứng minh. Trước tiên, ta có nhận xét sau:
Cho X = {P1 , ..., P2n+2 } là một tập điểm trong Pn và Y = {Pi1 , ..., Pis } là một
tập con của X, 1 ≤ s ≤ 2n + 1. Khi đó
reg(R/Js ) ≤ TZ ,

trong đó
℘2i .

Js =
Pi ∈Y


64

Ta sẽ chứng minh nhận xét trên bằng quy nạp theo số điểm của Y.
Nếu s = 1. Gọi ℘1 là iđêan nguyên tố thuần nhất xác định bởi P1 . Đặt J1 = ℘21 ,
A = R/J1 . Khi đó
reg(R/J1 ) = 1 ≤ TZ .

Giả sử nhận xét đúng với mọi tập tập con Y của X có số điểm bé hơn hoặc
bằng s − 1. Cho Y = {Pi1 , ..., Pis }. Theo Hệ quả 3.2.2 tồn tại một điểm Pi0 ∈ Y
sao cho
reg(R/(Js−1 + ℘2i0 )) ≤ TZ ,

(1)

℘2i . Chú ý rằng, Js−1 là iđêan giao của tập gồm s − 1

trong đó Js−1 =
Pi ∈Y \{Pi0 }

điểm kép của Y. Theo giả thiết quy nạp ta có
reg(R/Js−1 ) ≤ TZ .

(2)

Theo Bổ đề 1.2.1 ta có

reg(R/Js ) = 1, reg(R/Js−1 ), reg(R/(Js−1 + ℘2i0 )) .

(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có
reg(R/Js ) ≤ TZ .

Ta đã chứng minh xong nhận xét trên.
Bây giờ, ta chứng minh Định lý 3.2.3: Cho X = {P1 , ..., P2n+2 } là một tập
gồm 2n + 2 điểm trong Pn . Theo Mệnh đề 3.2.1 tồn tại một điểm Pi0 ∈ X sao
cho
reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ

(4)

℘2i . Chú ý rằng J là iđêan giao của tập gồm 2n + 1 điểm

trong đó J =
Pi ∈X\{Pi0 }

kép của X. Vì vậy theo nhận xét trên với s = 2n + 1 ta có
reg(R/J) ≤ TZ .

(5)

Theo Bổ đề 1.2.1 ta có
reg(R/I) = 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘2i0 )) ,

(6)

65

trong đó I = J ∩ ℘2i0 .
Từ (4), (5) và (6) ta có
reg(Z) ≤ TZ .

Chứng minh Định lý 3.2.3 đã hoàn thành.

3.3 Kết luận chương 3
Trong chương này chúng tôi thu được các kết quả sau:
(1) Chứng minh được giả thuyết của N.V. Trung đúng trong trường hợp tập
2n + 1 điểm kép sao cho không tồn tại n + 1 điểm nào của chúng nằm trên một
(n − 2)-phẳng trong không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.1.3).

(2) Chứng minh được giả thuyết của N.V. Trung đúng trong trường hợp tập
2n + 2 điểm kép không suy biến sao cho không tồn tại n + 1 điểm nào của chúng

nằm trên một (n − 2)-phẳng trong không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.2.3).


66

KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN

Luận án quan tâm đến chỉ số chính quy của tập điểm béo trong không gian
xạ ảnh Pn . Chúng tôi tập trung tính chỉ số chính quy và chặn trên của nó dựa
trên giả thuyết của N.V. Trung và thu được các kết quả chính sau.
Trước tiên, chúng tôi quan tâm đến việc tính chỉ số chính quy của tập điểm
béo, đây là một bài toán khó. Cho đến nay những kết quả đạt được đã được

công bố trên các tạp chí quốc tế của bài toán này là ít. Trong luận án này chúng
tôi đã tính được chỉ số chính quy của tập điểm béo trong các trường hợp sau:
• Đưa ra công thức tính chỉ số chính quy của tập s điểm béo ở ví trí tổng

quát nằm trên một r-phẳng α trong Pn với s ≤ r + 3 (Định lý 2.1.1).
• Đưa ra công thức tính chỉ số chính quy của tập s điểm đồng bội sao cho

chúng không nằm trên một (r − 1)-phẳng trong Pn với s ≤ r + 3 (Định lý 2.2.6).
Các kết quả trên là mới và được công bố trên bài báo [26]. Bài toán tính chỉ
số chính quy của tập điểm béo hiện nay vẫn là bài toán mở.
Thứ hai, chúng tôi nghiên cứu giả thuyết của N.V. Trung về chặn trên cho
chỉ số chính quy của tập điểm béo. Chúng tôi đã chứng minh giả thuyết của
N.V. Trung đúng cho các trường hợp sau:
• Chứng minh được giả thuyết của N.V. Trung đúng trong trường hợp tập

gồm 2n + 1 điểm kép sao cho không tồn tại n + 1 điểm nào của chúng nằm trên
một (n − 2)-phẳng trong không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.1.3).
• Chứng minh được giả thuyết của N.V. Trung đúng trong trường hợp tập

gồm 2n + 2 điểm kép không suy biến sao cho không tồn tại n + 1 điểm nào của
chúng nằm trên một (n − 2)-phẳng trong không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.2.3).
Các kết quả trên được công bố trong các bài báo [20], [21]. Gần đây, trong
bài báo [18], Nagel và Trok đã chứng minh được giả thuyết của N.V. Trung là
đúng trong trường hợp tổng quát.


67

DANH MỤC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP
ĐẾN LUẬN ÁN

(1) Thien P.V. and Sinh T.N. (2017), On the regularity index of s fat points
not on a linear (r − 1)-space, s ≤ r + 3, Comm. Algebra, 45, 4123-4138.
(2) Sinh T.N. (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + 1
double points in Pn , Hue University Journal of Science, 26, 19-32.
(3) Sinh T.N. and Thien P.V. (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + 2 non-degenerate double points in Pn , Annales Univ. Sci.
Budapest., Sect. Comp. 46, 327-340.

CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO VÀ
THẢO LUẬN TẠI:
Các kết quả trong luận án được báo cáo tại đại hội toán học toàn quốc lần thứ
IX, tháng 8-2018, tại Nha Trang-Khánh Hòa.


68

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Atiyah M.F. and Macdonald I.G. (1969), Introduction to Commutative
Algebra, University of Oxford.
2. Benedetti B., Fatabbi. G. and Lorenzini. A. (2012), Segre’s bound
and the case of n + 2 fat points of Pn , Comm. Algebra 40, 395-403.
3. Brodmann M.P. and Sharp (1998), Local Cohomology: an algebraic
introduction with geometric applications, Cambridge University Press.
4. Ballico E., Dumitrescu O. and Postinghel E. (2016), On Segre’s
bound for fat points in Pn , J. Pure Appl. Algebra 220, 2307-2323.
5. Calussi G., Fatabbi G. and Lorenzini A. (2017), The regularity index
of up to 2n − 1 equimultiple fat points of Pn , J. Pure Appl. Algebra 221,
1423-1437.
6. Catalisano M.V. (1991), Linear systems of plane curves through fixed

fat points of P2 , J. Algebra 142, no. 1, 81-100.
7. Catalisano M.V. (1991), Fat points on a conic, Comm. Algebra 19, 21532168.
8. Catalisano M.V., Trung N.V. and Valla G. (1993), A sharp bound
for the regularity index of fat points in general position, Proc. Amer. Math.
Soc. 118, 717-724.
9. Davis E.D. and Geramita A.V. (1984), The Hilbert function of a special class of 1-dimensional Cohen-Macaulay graded algebras, The Curves
Seminar at Queen’s, Queen’s Paper in Pure and Appl. Math. 67, 1-29.
10. Fatabbi G. (1994), Regularity index of fat points in the projective plane,
J. Algebra 170, 916-928.
11. Fatabbi G. and Lorenzini A. (2001), On the sharp bound for the regularity index of any set of fat points, J. Pure Appl. Algebra 161, 91-111.


69

12. Fulton W. (1969), Algebraic Curves, Math. Lect. Note Series, Benjamin,
New York.
13. Harbourne B. (2001), On Nagata’s conjecture, Journal of Algebra 236,
692-702.
14. Harris J. (1992), Algebraic Geomeotry, Springer-Verlag.
15. Hartshorne R. (1977), Algebraic Geomeotry, Springer-Verlag.
16. Kunz E. (1985), Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Springer-Verlag.
17. Matsumura H. (1970), Commutative Algebra, W. A. Benjamin, Inc., New
York
18. Nagel U. and Trok B. (2018), Segre’s regularity bound for fat point
schemes, (accepted 30/3/2018 at Annali della Scuola Normale Superiore).
19. Serge B. (1961), Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria
algebrica, Atti. Convergno. Intern. di Torino , 15-33.
20. Sinh T.N. (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + 1
double points in Pn , Hue University Journal of Science, 26, 19-32.
21. Sinh T.N. and Thien P.V. (2017), Segre’s upper bound for the regularity

index of 2n + 2 non-degenerate double points in Pn , Annales Univ. Sci.
Budapest., Sect. Comp. 46, 327-340.
22. Thien P.V. (1999), On Serge bound for the regularity index of fat points
in P2 , Acta Math. Vietnamica 24, 75-81.
23. Thien P.V. (2000), Serge bound for the regularity index of fat points in
P3 , J. Pure Appl. Algebra 151, 197 - 214.
24. Thien P.V. (2002), Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes
of double points in P4 , Comm. Algebra 30, 5825-5847.
25. Thien P.V. (2012), Regularity index of s + 2 fat points not on a linear
(s-1)-space, Comm. Algebra, 40, 3704-3715.


70

26. Thien P.V. and Sinh T.N. (2017), On the regularity index of s fat points
not on a linear (r − 1)-space, s ≤ r + 3, Comm. Algebra, 45, 4123-4138.
27. Trung N.V. (1994), An algebraic approach to the regularity index of fat
points in Pn , Kodai Math. J. 17, 382-389.
28. Tu N.C. and Hung T.M. (2013), On the regularity index of n + 3 almost
equimultiple fat points in Pn , Kyushu J. Math. 67, 203-213.