Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số phương pháp chứng minh tính đúng của thuật toán và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (772.88 KB, 76 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Bế Thị Hương
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
TÍNH ĐÚNG CỦA THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
1
Hà Nội – Năm 2015
2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Bế Thị Hương
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
TÍNH ĐÚNG CỦA THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Cơ sở Toán học cho Tin học
Mã số: 60460110
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ HỒNG MINH
Hà Nội – Năm 2015
4
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy
lớp cao học Cơ sở Toán học cho Tin học, Khoa Toán – Cơ – Tin học, Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN khóa 2012 – 2014. Các thầy cô đã rất
nhiệt tình, tâm huyết trong giảng dạy cho em học tập, nghiên cứu bổ sung
được thêm nhiều kiến thức mới quan trọng, hữu ích trong nghiên cứu và trong
công tác giảng dạy ở trường THPT chuyên. Đồng thời kịp nhận ra và sửa đổi,
bổ sung những kiến thức mình còn hiểu chưa thật chính xác giúp tăng cường
năng lực và phát triển tư duy trong nghiên cứu khoa học.
Đặc biệt, em gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo
TS.Nguyễn Thị Hồng Minh (Khoa Sau Đại học – ĐHQGHN). Cô đã giảng
dạy cùng với hướng dẫn luận văn cho em một cách rất khoa học, tận tâm, chu
đáo và chi tiết để em có thể hoàn thành luận văn một cách tốt nhất.
Cảm ơn gia đình đã cho em một chỗ dựa vững chắc để hoàn thành khóa
học cũng như hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng trong việc nghiên cứu khoa học để
hoàn thành luận văn tuy nhiên do hạn chế cá nhân về mặt thời gian nên em
khó có thể tránh được những thiếu sót. Kính mong thầy cô và các bạn đóng
góp ý kiến quý báu để hoàn chỉnh luận văn này hơn nữa.
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
...............................................................................................................................
1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH THUẬT TOÁN
.........................................
4
1.1. Một số khái niệm cơ bản
...........................................................................................
4
1.1.1. Bài toán
................................................................................................................
4
1.1.2. Thuật toán (Algorithm)
.......................................................................................
5
1.1.3. Cấu trúc dữ liệu (Data Structure)
.....................................................................
11
1.1.4. Chương trình (Program)
....................................................................................
11
1.2. Một số phương pháp thiết kế thuật toán
................................................................
12
1.2.1. Kỹ thuật đệ quy
................................................................................................
12
1.2.2. Phương pháp chia để trị (Divide and Conquer)
................................................
15
1.2.3. Phương pháp quay lui (Backtracking)
...............................................................
16
1.2.4. Phương pháp nhánh cận
....................................................................................
19
1.2.5. Phương pháp quy hoạch động (Dynamic Programming )
................................
21
1.2.6. Phương pháp tham lam (Greedy Method)
.........................................................
22
1.3. Phân tích thuật toán
..................................................................................................
24
1.3.1. Tính đúng đắn của thuật toán
...........................................................................
24
1.3.2. Độ phức tạp thuật toán
.....................................................................................
25
a) Độ phức tạp về mặt thời gian
............................................................................
25
b) Độ phức tạp về mặt không gian
........................................................................
25
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TÍNH ĐÚNG CỦA THUẬT
TOÁN
...................................................................................................................................
27
2.1. Các chiến lược chứng minh tính đúng thuật toán
...................................................
27
2.2. Các phương pháp chứng minh tính đúng (Correctness proofs)
...............................
28
2.2.1. Phương pháp quy nạp (induction)
.....................................................................
29
a) Phương pháp quy nạp toán học
.........................................................................
29
b) Chứng minh tính đúng của thuật toán bằng phương pháp quy nạp
..................
29
c) Một số ví dụ
........................................................................................................
30
2.2.2. Phương pháp bất biến vòng lặp (loop invariant)
.................................................
35
a) Chứng minh tính đúng của thuật toán bằng phương pháp bất biến vòng lặp
36
.....
b) Các đặc trưng của bất biến vòng lặp
...................................................................
38
c) Một số ví dụ
............................................................................................................
38
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CHỨNG MINH TÍNH ĐÚNG CỦA MỘT SỐ THUẬT
TOÁN
...................................................................................................................................
48
3.1. Bài toán: Dãy con đơn điệu tăng dài nhất
...........................................................
48
3.2. Bài toán: Chia kẹo
................................................................................................
57
3.3. Bài toán Cây bao trùm nhỏ nhất (Minimum spanning tree).
...............................
59
KẾT LUẬN
..........................................................................................................................
66
TÀI LIỆU THAM KHẢO
....................................................................................................
68
7
MỞ ĐẦU
Thế kỷ XXI là thế kỷ của tri thức hiện đại, một nền tri thức không thể
không kể đến công cụ hỗ trợ đắc lực của máy tính điện tử trong mọi lĩnh vực
cuộc sống. Mặc dù công nghệ chế tạo ngày càng phát triển và phát triển với
tốc độ nhanh nhưng để sử dụng máy tính điện tử một cách hiệu quả cao thì
thuật toán (Algorithm) là thành phần luôn luôn quan trọng và không thể thiếu
được kể từ khi máy tính điện tử ra đời.
Theo lịch sử toán học nguồn gốc của từ thuật toán “Algorithm” là bắt
nguồn từ “Algorism” tên của một nhà bác học nổi tiếng người Arập là Abu
Jafar Mohammed ibn Musâ al Khowârizmi. (Phiên âm của từ al Khowârizmi
chính là Algorism). Ông là người đã viết hai quyển sách nổi tiếng là “Sơ lược
về các phép tính” và “Về hệ đếm ấn độ” vào khoảng năm 850. Đây là những
quyển sách giáo khoa nổi tiếng về toán học.
Lịch sử đã ghi nhận người được coi là nhà lập trình đầu tiên trên thế
giới là nữ bá tước Ada Lovelace (10/12/1815 27/11/1852), tên khai sinh là
Augusta Ada Byron. Các nhà khoa học về sau cho rằng thuật toán (viết năm
1842) của Ada Lovelace là những thuật toán máy tính đầu tiên do con người
lập ra, vì nó lần đầu tiên thể hiện rõ từng bước phát triển logic, đặc trưng
hoạt động xác định dành riêng cho máy tính.
Với lịch sử lâu đời của thuật toán đã được nghiên cứu và phát triển cho
tới tận ngày nay và sẽ vẫn còn tiếp tục được nghiên cứu và phát triển hơn
nữa. Khi lập trình câu hỏi luôn luôn được đặt ra là thuật toán được thiết kế
hoặc thuật toán được sử dụng có đúng hay không? Điều này đảm bảo cho
một chương trình máy tính thực hiện có cho kết quả đúng hay không? (Chưa
1
kể đến các kỹ năng của người lập trình). Vì vậy việc xây dựng một thuật
toán tốt để giải bài toán đã cho là bước quan trọng có thể nói là quan trọng
nhất trong việc giải một bài toán trên máy tính điện tử.
Để đánh giá một thuật toán là tốt có rất nhiều tiêu chí trong đó không
thể bỏ qua tính đúng của thuật toán. Và đây cũng là nội dung chính của luận
văn này theo đề tài nghiên cứu: “Một số phương pháp chứng minh tính đúng
của thuật toán và ứng dụng”. Luận văn nhằm tìm hiểu, nghiên cứu, tổng hợp
phương pháp chứng minh tính đúng của thuật toán. Cấu trúc luận văn gồm 3
chương, nội dung chính như sau:
Chương 1. Tổng quan về phân tích thuật toán.
Chương này nhằm tổng hợp lại một số kiến thức chung về bài toán,
thuật toán, cấu trúc dữ liệu, chương trình và kiến thức về phân tích thuật toán.
Gồm các định nghĩa, khái niệm và các ví dụ để minh họa.
Trong chương này còn tổng hợp lại một số phương pháp thiết kế thuật
toán thường sử dụng trong thực tế. Như kỹ thuật đệ quy, phương pháp chia
để trị, phương pháp quay lui, phương pháp nhánh cận, phương pháp quy
hoạch động và phương pháp tham lam.
Chương 2. Một số phương pháp chứng minh tính đúng của thuật toán.
Nội dung chương này gồm các chiến lược chứng minh tính đúng của
thuật toán; các phương pháp cụ thể để chứng minh tính đúng của thuật toán
như phương pháp quy nạp và phương pháp bất biến vòng lặp. Đây cũng chính
là điểm mới của luận văn.
Trong đó, phương pháp quy nạp chứng minh cho các thuật toán đệ quy,
phương pháp bất biến vòng lặp chứng minh cho các thuật toán không đệ quy.
Đối với mỗi phương pháp trình bày về đặc điểm, phương pháp chung đồng
2
thời nêu một số ví dụ về thuật toán và chứng minh tính đúng của các thuật
toán đó. Đối với những thuật toán phức tạp có chứa cả đệ quy và lặp thì cần
kết hợp khéo léo cả hai phương pháp chứng minh tính đúng của thuật toán là
quy nạp và bất biến vòng lặp.
Chương 3. Ứng dụng chứng minh tính đúng của một số thuật toán.
Nghiên cứu một số bài toán có sử dụng các thuật toán kinh điển,
thường sử dụng và vận dụng lý thuyết của chương 2 để chứng minh tính
đúng của các thuật toán đó. Như bài toán dãy con đơn điệu tăng dài nhất; Chia
kẹo; Cây bao trùm nhỏ nhất.
3
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH THUẬT TOÁN
Để khẳng định được một thuật toán là tốt là một điều không dễ dàng
gì. Thật vậy, để đánh giá một thuật toán tốt ta cần rất nhiều kỹ thuật từ thiết
kế, phân tích đến đánh giá một thuật toán. Ở chương này đề cập tổng quát
đến các vấn đề trong phân tích thuật toán và một số thuật toán cơ bản thường
dùng trong khoa học tính toán hiện đại.
1.1. Một số khái niệm cơ bản
1.1.1. Bài toán
Khoa học máy tính ngày nay giải quyết rất nhiều vấn đề trong thực tế
trong nhiều lĩnh vự khác nhau, những vấn đề đó ta thường gọi là bài toán. Tuy
nhiên bài toán ở đây không phải là một trường hợp cụ thể mà là bài toán mang
tính tổng quát bao gồm hầu như tất cả các khả năng có thể của thế giới thực
trong vấn đề cần giải quyết. Như vậy, nói một cách dễ hiểu thì bài toán là
việc nào đó ta muốn máy tính thực hiện. Có thể là một yêu cầu đơn giản như
in ra một dòng chữ trên màn hình, giải phương trình bậc hai, giải hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn hoặc kiểm tra một s ố là chẵn hay lẻ,... Nhưng cũng có
thể là giải quyết những vấn đề rất phức tạp như tìm đường đi trong mê cung,
tìm đường đi ngắn nhất, tìm cây bao trùm,...
Điểm quan trọng đầu tiên khi giải một bài toán trên máy tính đó là cần
xác định rõ những gì đã biết input (dữ liệu vào) và kết quả cần thu được
output (dữ liệu ra) và phân tích mối quan hệ giữa hai yếu tố đó. Sau đây là
một số ví dụ về bài toán:
Bài toán 1.1: Kiểm tra tính nguyên tố của một số nguyên dương cho trước.
Input: Số nguyên dương N.
4
Output: Xác định N là số nguyên tố hoặc N không là số nguyên tố.
Bài toán 1.2: Giải phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a≠0).
Input: Các số thực a, b, c (a≠0).
Output: Các nghiệm x thỏa mãn phương trình đã cho hoặc thông báo
không có nghiệm.
Bài toán 1.3: Tìm ước số chung lớn nhất của hai số nguyên dương a, b.
Input: Hai số nguyên dương a, b.
Output: Ước số chung lớn nhất của a và b.
Bài toán 1.4: Xác định vị trí của phần tử có giá trị bằng số nguyên x trong
một dãy số nguyên a1, a2,..., an.
Input: Số n; dãy số nguyên a1, a2, ..., an và số nguyên x.
Output: Chỉ số i nếu x=ai và là 0 nếu x không có mặt trong dãy.
Bài toán 1.5. Cho đồ thị vô hướng G=(V, E). Tìm đường đi ngắn nhất từ
đỉnh u tới đỉnh v của đồ thị G.
Input: Đồ thị vô hướng G=(V, E) và hai đỉnh u,v.
Output: Xác định đường đi có độ dài ngắn nhất d=(u=v1,v2,...,vn=v)
(với đỉnh vi thuộc V, cung (vi, vi+1) thuộc E).
Bài toán 1.6. Sắp xếp một dãy các số cho trước thành dãy không giảm.
Input: Số n và dãy gồm n số < a1, a2, …, an>.
Output: Một hoán vị < a'1, a'2, …, a'n > của chuỗi đầu vào thỏa mãn:
a'1 a'2 … a'n.
1.1.2. Thuật toán (Algorithm)
Để giải một bài toán trên máy tính sau khi đã xác định rõ ràng về bài
toán việc quan trọng nhất là phải đưa ra một thuật toán tốt, thuật toán này có
5
thể là một thiết kế mới hoặc lựa chọn một thuật toán đã có. Thuật toán là để
biểu diễn về cách giải một bài toán trên máy tính.
Một bài toán có thể có nhiều cách giải nhưng một thuật toán chỉ giải
một bài toán mà thôi. Đến hiện nay thì đã có nhiều định nghĩa về thuật toán và
sau đây là một lựa chọn định nghĩa thuật toán:
Định nghĩa: Thuật toán (Algorithm) để giải một bài toán là một dãy
hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo một trình tự xác định, sao cho sau khi
thực hiện dãy thao tác ấy, từ dữ liệu vào có thể là một giá trị hoặc một tập giá
trị (input) của bài toán ta nhận được một giá trị hoặc một tập giá trị còn gọi là
dữ liệu ra (output) của bài toán đó.
Để thuật toán được rõ ràng, chính xác, dễ hiểu, dễ đọc hơn người ta
đưa ra các phương pháp biểu diễn thuật toán. Gồm có ba phương pháp biểu
diễn thuật toán như sau:
Ngôn ngữ tự nhiên (Natural languages): Dùng ngôn ngữ tự nhiên để liệt kê
từng bước của thuật toán. Phương pháp này không có các quy tắc chung do
đó người viết và người đọc dễ dàng thực hiện được mà không cần phải
nắm được những quy tắc. Nhưng viết thuật toán theo cách này thường dài
dòng, không thể hiện được rõ cấu trúc thuật toán và đôi lúc có thể gây khó
hiểu hoặc hiểu nhầm đối với người đọc.
Sơ đồ khối (Flowcharts): là công cụ trực quan để thể hiện thuật toán. Sơ
đồ khối biểu diễn được sự phân cấp của thuật toán cũng như trình tự thực
hiện thuật toán. Đặc biệt phù hợp với những thuật toán phức tạp, khó theo
dõi quá trình xử lý. Tuy nhiên, phương pháp biểu diễn này có nhược điểm
là cồng kềnh, cần không gian biểu diễn lớn hơn các phương pháp khác.
Trong sơ đồ khối thường sử dụng một số khối và cung để biểu diễn thuật
toán như sau:
6
Hình oval: Thể hiện thao tác nhập, xuất dữ liệu;
Hình thoi: Thể hiện thao tác so sánh, chỉ có hai nhánh logic là đúng hoặc
sai;
Hình chữ nhật: Thể hiện các phép gán, các thao tác tính toán;
Cung có hướng: Thể hiện trình tự thực hiện các thao tác, thao tác này
nối tiếp thao tác kia theo hướng mũi tên.
Nút nối: Để nối các phần khác nhau của sơ đồ khối lại với nhau.
Thường biểu diễn bằng hình tròn, bên trong có kí hiệu để biết là nút
nối nào.
Nút nối trang: Với các sơ đồ khối lớn cần biểu diễn trên nhiều trang thì
biểu diễn thêm bằng nút nối trang.
Giả mã (Pseudocode): Sử dụng cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó
kết hợp với ngôn ngữ tự nhiên để thể hiện thuật toán. Với giả mã người
lập trình tận dụng được các định nghĩa và cấu trúc của ngôn ngữ lập trình.
Đây cũng là phương pháp chính được chọn lựa để biểu diễn các thuật toán
trong luận văn này.
Sau đây là ví dụ về thuật toán và ba cách để biểu diễn thuật toán tương
ứng của bài toán 1 đã nêu ở mục 1.1.1
Phân tích bài toán: Theo định nghĩa số nguyên tố thì số nguyên dương N
là số nguyên tố nếu N chỉ có đúng 2 ước số là 1 và chính nó. Nên ta có
với N là số nguyên dương thì:
Nếu N=1 thì N không là số nguyên tố;
Nếu 1
7
Nếu N 4 thì N là số nguyên tố nếu N không có ước số từ 2 đến phần
�
nguyên căn bậc 2 của N, kí hiệu: �
� N �.
Do đó ta có thuật toán như sau:
Thuật toán biểu diễn bằng ngôn ngữ tự nhiên:
Bước 1. Nhập số nguyên dương N;
Bước 2. Nếu N=1 thì thông báo N không nguyên tố rồi kết thúc;
Bước 3. Nếu N<4 thì thông báo N là số nguyên tố rồi kết thúc;
Bước 4. i = 2;
Bước 5. Nếu i > [ N ] thì thông báo N là nguyên tố rồi kết thúc;
Bước 6. Nếu N chia hết cho i thì thông báo N không nguyên tố rồi kết
thúc;
Bước 7. i = i+1 rồi quay lại bước 5.
Thuật toán biểu diễn bằng sơ đồ khối:
8
Nhập N
nguyên dương
Đúng
N = 1 ?
Sai
N < 4 ?
Đúng
Sai
i = 2
�?
i>�
N
� �
Đúng
Thông báo N
là số nguyên tố
và kết thúc.
Sai
i = i + 1
Sai
N chia hết
cho i ?
Đúng
Thông báo N
không là số nguyên
tố rồi kết thúc.
Thuật toán biểu diễn bằng giả mã:
Ngto(N):int
//Hàm kiểm tra số N có phải nguyên tố hay không
if (N=1)
return 0;
else
9
if (N<4)
return 1
else
for i=2 to [sqrt(N)] do
if (N chia hết cho i) then
return 0;
return 1;
End.
Các tính chất của thuật toán: Khi viết thuật toán cần chú ý đến
những tính chất quan trọng sau đây:
Tính tổng quát (Generality): Thuật toán áp dụng cho mọi trường hợp của
bài toán (nhiều bộ dữ liệu vào) chứ không phải chỉ cho một trường hợp
riêng lẻ (một bộ dữ liệu vào) nói một cách khác là áp dụng cho một lớp các
bài toán cùng loại;
Tính dừng (Stationarity): Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần
thực hiện các thao tác, mặc dù đối với các bài toán phức tạp số lần này có
thể là rất lớn;
Tính xác định (Definiteness): Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là
thuật toán kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực
hiện tiếp theo (do đó luôn thực hiện được).
Tính hiệu quả (Effectiveness): Được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn
như là sử dụng không gian bộ nhớ và thời gian thực hiện thuật toán. Đây
cũng chính là tính chất quan trọng để đánh giá và lựa chọn thuật toán để
giải quyết một bài toán trong thực tế.
10
Tính đúng đắn (Generalliness): Sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận
được output cần tìm. Tính đúng là tính chất hiển nhiên khi giải một bài
toán muốn đạt được nhất nhưng cũng là tính chất khó đạt tới nhất. Vì
không phải lúc nào cũng tìm được lời giải đúng cho bài toán đã đặt ra.
1.1.3. Cấu trúc dữ liệu (Data Structure)
Cấu trúc dữ liệu là một cách lưu trữ dữ liệu trong máy tính sao cho việc
khai thác chúng được hiệu quả hơn. Trong thiết kế chương trình việc lựa
chọn cấu trúc dữ liệu rất quan trọng. Vì mỗi loại cấu trúc dữ liệu phù hợp
với một số loại ứng dụng khác nhau. Một cấu trúc dữ liệu được thiết kế cho
phép thực hiện nhiều phép toán, tiết kiệm tài nguyên, ít thời gian xử lý và sử
dụng không gian bộ nhớ càng ít thì càng tốt. Các cấu trúc dữ liệu được triển
khai bằng cách sử dụng các kiểu dữ liệu, các tham chiếu và các phép toán trên
cấu trúc dữ liệu đó được cung cấp bởi một ngôn ngữ lập trình cụ thể. Sự liên
hệ giữa cấu trúc dữ liệu và thuật toán rất chặt chẽ, thuật toán cần được thao
tác trên các cấu trúc dữ liệu nào đó và các cấu trúc dữ liệu sẽ được xử lý bởi
thuật toán nào đó. Và vì không có một cấu trúc duy nhất nào có thể tốt cho
mọi mục đích hay phù hợp với mọi thuật toán do đó điều quan trọng khi
nghiên cứu cấu trúc dữ liệu là cần phải biết sức mạnh cũng như giới hạn của
cấu trúc dữ liệu đó để sử dụng cho phù hợp, hiệu quả.
1.1.4. Chương trình (Program)
Chương trình = Thuật toán + Cấu trúc dữ liệu. Chương trình là sự thể
hiện bằng một ngôn ngữ lập trình cụ thể một thuật toán đã cho được thể hiện
trên một cấu trúc dữ liệu xác định. Việc lựa chọn cấu trúc dữ liệu phù hợp
với thuật toán hoặc ngược lại lựa chọn thuật toán phù hợp với cấu trúc dữ
liệu cụ thể còn phụ thuộc vào mục đích của chương trình, kỹ năng người lập
trình và khả năng của ngôn ngữ lập trình cụ thể.
11
1.2. Một số phương pháp thiết kế thuật toán
Ngày nay có nhiều phương pháp thiết kế thuật toán đã được nghiên cứu
và sử dụng trong công nghệ phần mềm. Có những bài toán có thể giải được
bằng thuật toán nhưng cũng những bài toán chưa có thuật toán hoặc chỉ có
thuật toán cho lời giải tương đối chấp nhận được. Trong luận văn này nghiên
cứu về các phương pháp thiết kế thuật toán và ứng dụng cho các bài toán có
thuật toán để giải.
1.2.1. Kỹ thuật đệ quy
Đệ quy là một khái niệm cơ bản trong toán học và tin học. Ta nói một
đối tượng là đệ quy nếu nó được định nghĩa qua chính nó hoặc một đối tượng
cùng dạng với chính nó bằng quy nạp. Ý tưởng của kỹ thuật đệ quy đó là chia
bài toán cần giải quyết thành nhiều bài toán nhỏ hơn, việc chia này thực hiện
cho đến khi bài toán con có lời giải và lời giải này thường là tường minh và
tương đối đơn giản.
Ví dụ: Kí hiệu |S| là số các phần tử của tập hữu hạn S.
Nếu S= thì |S|=0
Ngược lại S≠ thì tất có một phần tử x S khi đó |S|=|S\{x}|+1.
Khái niệm giải thuật đệ quy: Một bài toán T được thực hiện bằng
giải thuật của một bài toán T’ có dạng giống như T thì giải thuật đó gọi là
giải thuật đệ quy.
Bài toán T’ tuy có dạng giống bài toán T nhưng T’ theo một nghĩa nào
đó phải là bài toán nhỏ hơn T. Bài toán T’ phải dễ giải hơn bài toán T và việc
giải bài toán T’ không cần dùng đến T.
Do đó phương pháp chung sử dụng kỹ thuật đệ quy để giải một bài
toán là ta chia bài toán đó thành các bài toán con đơn giản hơn cùng loại.
12
Phương pháp này còn được gọi là kỹ thu ật lập trình chia để trị. Chính nó là
chìa khóa để thiết kế nhiều giải thuật quan trọng, là cơ sở của phương pháp
quy hoạch động. Sau đây là một số ví dụ về bài toán mang bản chất đệ quy:
Ví dụ 1: Bài toán tính n giai thừa.
Cho n là một số tự nhiên (n 0). Hãy tính giai thừa của n. Biết rằng 0!
=1 và n!=(n1)!n.
Phân tích:
Theo giả thiết, ta có : n! = (n1)!n. Như vậy :
Để tính n! ta cần phải tính (n1)!
Để tính (n1)! ta phải tính (n2)!
...................................................
Cứ như vậy, cho tới khi gặp trường hợp 0!.
Ví dụ 2: Dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên. Số Fibonacci thứ n, ký
hiệu F(n), được định nghĩa như sau:
F(n) = 1, nếu n=1 hoặc n=2;
F(n) = F(n1) + F(n2), nếu n 3.
Yêu cầu: Tính số fibonacci thứ n với n nguyên dương cho trước.
Phân tích:
Với n 3 :
Đế tính F(n) ta phải tính F(n1) và F(n2).
Để tính F(n1) ta lại phải tính F(n2) và F(n3), và để tính F(n2) ta phải
tính F(n3) và F(n4).
13
.........................................................
Cứ như vậy cho đến khi n=1 và n=2.
Đặc trưng của các bài toán có thể giải bằng đệ quy:
Các bài toán phụ thuộc tham số;
Ứng với các giá trị đặc biệt nào đó của tham số thì bài toán có lời giải
(trường hợp suy biến). Phần này quan trọng vì nó quyết định tính dừng của
thuật toán;
Trong trường hợp tổng quát bài toán có thể quy về dạng tương tự với một
bộ giá trị mới của tham số và sau hữu hạn lần sẽ dẫn tới trường hợp suy
biến. Phối hợp lời giải của các bài toán con để có được lời giải cho bài
toán ban đầu cần giải quyết.
Lược đồ giải thuật đệ quy:
Dequy(Tn)
;
if (Tn=T0)
//Trường hợp suy biến
<Thực hiện thuật toán trường hợp suy biến>;
else
//Trường hợp tổng quát
<Lệnh;>
Dequy(Tn-1);
<Lệnh;>
endif;
End.
Ví dụ: Sau đây là thuật toán Tính n! (n 0).
S(n): int
;
//Hàm đệ quy tính giá trị n giai thừa
14
if (n=0) then
else
S=1
S=n*S(n-1);
End.
Giả sử tính 4!, thuật toán thực hiện như sau:
4! = 4 * 3!
3! = 3 * 2!
2! = 2 * 1!
1! = 1 * 0!
0! = 1
Kết quả 4! = (((1*1)*2)*3)*4 = 24.
1.2.2. Phương pháp chia để trị (Divide and Conquer)
Trong thực tế có nhiều thuật toán hữu ích được sử dụng có bản chất đệ
quy, tức là trong thuật toán có lời gọi đến chính nó một hoặc nhiều lần để
giải bài toán tương tự nhưng với kích thước dữ liệu vào nhỏ hơn.
Phương pháp chia để trị có tư tưởng là chia bài toán ban đầu thành các
bài toán con tương tự. Các bài toán con tiếp tục được chia nhỏ hơn, cứ chia
liên tiếp như vậy cho tới khi gặp bài toán con đã có lời giải hoặc có thể dễ
dàng đưa ra lời giải. Sau đó lần lượt giải các bài toán con này và kết hợp các
kết quả lại với nhau ta thu được kết quả cần tìm của bài toán ban đầu.
Lược đồ tổng quát thuật toán chia để trị với mô hình đệ quy như
sau:
Chia_tri(A, x)
;
//Tìm nghiệm x của bài toán A
if (A đủ nhỏ) then Giai(A)
else
15
//Giải bài toán con đủ nhỏ
<Chia A thành các bài toán con A1, A2, ..., An>;
for i=1 to n do Chia_tri(Ai, xi);
<Kết hợp các nghiệm xi để được x>;
endelse;
End.
Ví dụ Số Fibonacci:
Bài toán Số Fibonacci được cho bởi công thức sau:
F1 =1
F2 =1
Fn =Fn1 + Fn2 (n 3)
Hãy tính số Fibonacci thứ n?
Thuật toán chia để trị sau đây sử dụng hàm F(n) để tính số Fibonacci
thứ n (n là số nguyên dương) dựa vào F(n1) và F(n2):
F(n):int
;
//Hàm tính số Fibonacci thứ n.
if n 2 then
F=1
else F=F(n-1)+F(n-2);
End.
1.2.3. Phương pháp quay lui (Backtracking)
Tư tưởng của thuật toán quay lui đó là tìm nghiệm của bài toán bằng
cách xem xét tất cả các phương án có thể. Ta có thể thử duyệt các phương án
cho đến khi tìm thấy phương án đúng còn gọi là phương pháp thử sai. Với tốc
độ xử lí nhanh của máy vi tính thì phương pháp này có thể giải quyết được
nhiều bài toán tuy nhiên nếu kích thước bài toán quá lớn thì nó trở nên không
phù hợp. Bởi vì nếu kích thước bài toán lớn thì kéo theo thời gian duyệt các
phương án và độ phức tạp về mặt không gian cũng lớn và có thể lớn đến mức
16
nào đó không thể chấp nhận được. Do đó phương pháp này thường chỉ hữu
dụng với các bài toán có kích thước nhỏ.
Không mất tổng quát, việc tìm nghiệm của nhiều bài toán có thể quy
về việc tìm véc tơ hữu hạn X= ( x1 , x 2 , ..., x n , ...) độ dài véc tơ có thể xác định
trước hoặc không tùy thuộc vào điều kiện của bài toán. Trong đó các thành
phần xi thuộc một tập hữu hạn nào đó sao cho véc tơ X thỏa mãn một số điều
kiện theo yêu cầu đề bài. Tùy từng bài toán cụ thể mà ta có thể quy về tìm
một véc tơ hoặc tìm tất cả các véc tơ hoặc đếm các véc tơ thỏa mãn yêu cầu
bài toán đặt ra.
Lược đồ tổng quát thuật toán quay lui với mô hình đệ quy như
sau:
Quaylui(i)
;
//Tìm thành phần thứ i thỏa mãn yêu cầu
<Xác định tập Si >;
//Si là tập chứa các thành
phần xi
for xi
Si do
<Ghi nhận thành phần thứ i>;
if (Tìm thấy nghiệm) then <Đưa ra nghiệm>;
else Quaylui(i+1);
<Loại thành phần i>;
endfor;
End.
Một số lưu ý khi giải bài toán bằng thuật toán quay lui:
Phải biểu diễn được nghiệm của bài toán dưới dạng một dãy các đối
tượng như véc tơ X mà các thành phần được chọn dần từng bước từ x 1, x2,
..., xi,... cho đến hết các thành phần của véc tơ X.
Xác định được tập hữu hạn Si chứa các phương án có thể của xi.
17
Tìm các điều kiện để một véc tơ X được chọn là nghiệm của bài toán.
Ví dụ Bài toán tổ hợp:
Hãy xác định tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử. Để đơn giản ta chỉ
xét bài toán tìm các tổ hợp của tập các số nguyên đầu tiên từ 1 đến n.
Phân tích bài toán:
Input: k, n nguyên dương
Output: Tất cả các tổ hợp chập k của n.
Theo toán học ta đã biết số tổ hợp k của n được tính theo công thức sau:
C kn =
n!
k!(n − k)!
2
Chẳng hạn với k=2 và n=3 thì có số tổ hợp là: C3 =
3!
=3
2!(3 − 2)!
Với S = {1, 2, 3}. Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử số nguyên dương
đầu tiên là: {1, 2}; {1, 3}; {2, 3}.
Tổng quát nghiệm X của bài toán tìm tổ hợp chập k của n số nguyên
dương đầu tiên phải thỏa mãn các điều kiện sau đây:
Véc tơ X = ( x1 , x 2 , ..., x k ) ;
Tập S = {1, 2, 3, ..., n1, n} và xi S;
Vì tập hợp không phân biệt thứ tự các phần tử nên ta sắp xếp thứ tự các
phần tử để tránh bị sót nghiệm và không có hai nghiệm nào trùng nhau,
chẳng hạn: xi < xi+1.
Tìm tất cả các cấu hình thỏa mãn.
Thuật toán quay lui như sau:
Tohop(i) ; //Tìm kiếm thành phần thứ i thỏa mãn
for j=x[i1] +1 to nk+i do
x[i] =j;
18
