Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các PI.đại số không có nil-ideal khác(0)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN ĐÌNH HIỀN

CÁC PI.ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NIL-IDEAL KHÁC (0)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2003


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.Hồ CHÍ MINH

NGUYỄN ĐÌNH HIỀN

CÁC PI.ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NIL-IDEAL KHÁC (0)
CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ
MÃ SỐ : 1.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

TP.HỒ CHÍ MINH - năm 2003


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN. . 3

1.1. Cấu trúc Radical (Jacobson) của vành: ............................................................................ 3
1.2. Một vành đặc biệt : .......................................................................................................... 9
1.3. Mối quan hệ giữa các vành nửa đơn vành Artin vành đơn. ........................................... 11
1.4. Tổng trực tiếp con : ........................................................................................................ 13
CHƢƠNG2: CÁC PI. ĐẠI SỐ TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ. ........................... 15
2.1. PI. đại số trên vành giao hoán có đơn vị : ..................................................................... 15
2.2. Định lý Kaplansky - Amitsur - Levitzky : ..................................................................... 19
2.3. Đa thức tâm của đại số ma trận ...................................................................................... 30
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CÁC PI. ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NILIDEAL KHÁC KHÔNG. .......................................................................................................... 34
3.1. Tổng quan về lớp vành không có nil-ideal khác không ................................................. 34
3.2. Đồng nhất thức thực sự của đại số nguyên tố ................................................................ 39
3.3. PI.đại số không có ideal lũy linh khác 0. ....................................................................... 48
KẾT LUẬN ................................................................................................................................... 51


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn tôn kính Quý Thầy, Cô trong tổ Đại số Trƣờng Đại
học Sƣ phạm TP. Hồ Chí Minh và trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã trang
bị cho tôi đủ kiến thức làm nền tảng cho quá trình viết luận văn này, cùng toàn thể Quý Thầy, Cô
Khoa Toán, Phòng Khoa học Công nghệ & Sau Đại Học và Ban Giám Hiệu Trƣờng ĐHSP
TP.HỒ Chí Minh, cùng các bạn đồng nghiệp Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Bình Thuận, đã tạo
nhiều điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu hoàn thành chƣơng trình khoa học. Tôi xin
chân thành bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đôi với thầy PGS.TS. Bùi Tường Trí đã tận tình hƣớng
dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo trong quá trình xây dựng hoàn thành luận văn này.
Quá trình xây dựng luận văn, tôi đã nhận đƣợc nhiều sự động viên về mặt tinh thần của
các học viên cao học khoa 11. Xin các anh, chị cùng toàn thể các bạn ghi nhận nơi đây một tấm
lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.

Tác giả luận văn.

1

LỜI MỞ ĐẦU
Mục đích của luận văn này là: Từ các kết quả định lý Kaplansky-Amitsur-Levitiky trên
PI. đại số nguyên thủy, mở rộng dần kết quả đó trên lớp các PI. đại số không có nil-ideal khác
(0) và trên lớp các PI.đại số không có ideal lũy linh khác (0). Đồng thời hệ thống lại một số kiến
thức cơ bản có liên quan, nhằm làm cơ sở lý luận cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu
trong luận văn này.
Như chúng ta đã biết nhà toán học Wedderburn đã chứng minh được "Định lý dày đặc",
còn trong PI.đại số ta có định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzky, đã đặt nền móng trong việc xây
dựng cấu trúc đại số đơn, đồng thời mở ra những phương hướng nghiên cứu mới trong toán học.
Sau những kết quả quan trọng này, nhiều nhà toán học trên thế giới đã phát triển và mở rộng
các kết quả này theo nhiều hướng khác nhau.
Do phạm vi nghiên cứu của đề tài, trong luận văn này không thể đề cập hết được các
công trình nghiên cứu của các nhà toán học nói trên, mà luận văn chì trình bày những kết quả
nghiên cứu theo định hướng nói trên cho lớp PI. đại số không có nil-ideal khác 0 và trên lớp các
PI. đại số không có ideal lũy linh khác (0). Tuy nhiên một số định lý, bổ đề và hệ quả ở chương 1
luận văn bỏ qua phép chứng minh (do đặc điểm của chương 1) mà chỉ nêu ra để vận dụng, làm
cơ sở cho các phép chứng minh các kết quả ở chương 2 và chương 3.
Nội dung luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng nhƣ sau:


2

CHƢƠNG 1: Một số khái niệm và định lý về vành không giao hoán.
Trong phần này chủ yếu trình bày một số khái niệm, định lý, bổ đề cơ bản đã có sẵn về
vành không giao hoán, nhằm đặt nền móng cơ sở lý luận cho các chƣơng 2 và chƣơng 3 nhƣ: cấu
trúc Radical Jacobson của một vành, khái niệm vành nửa đơn, vành đơn, vành nguyên thủy... và

mối quan hệ giữa chúng. Đặc biệt là định lý dày đặc của Wedderburn.
CHƢƠNG 2: PI. Đại số trên vành giao hoán có đơn vị.
Hệ thống hóa các kiến thức chung nhất về PI.đại số trên một vành giao hoán. Nội dung
cơ bản nhất trong chƣơng này là giới thiệu hai định lý có vị trí quan trọng, nhằm đặt nền móng,
định hƣớng cho việc mở rộng nghiên cứu trên các lớp PI.đại số rộng hơn, đó là định lý
Kaplansky- Amitsur-Levitzky trên đại số nguyên thủy.
CHƢƠNG 3; Một số kết quả nghiên cứu các PI. đại số không có nil-ideal khác không.
Đầu tiên trình bày một số kết quả nghiên cứu những đặc điểm đặc biệt về cấu trúc của lớp
vành không có nil-ideal khác (0), nhằm giúp chúng ta có một cách nhìn tổng quan về lớp vành
khá đặc biệt này và tiếp theo là trình bày các kết quả nghiên cứu theo hƣớng mở dần định lý
Kaplansky - Amitsur - Levitzky trên lớp các PI. đại số rộng hơn, đó là lớp Pl.đại số không có nilideal khác (0) và trên lớp các Pl.đại số không có ideal lũy linh khác (0).
Chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Tác giả luận văn rất mong và sẽ
ghi nhận những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy, cô cùng tất cả bạn bè gần xa.


3

CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH KHÔNG
GIAO HOÁN.
Trong phần này chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản đã có sẵn về vành không giao
hoán, nhằm đặt nền móng cơ sở lý luận cho các chương 2 và chương 3 như: cấu trúc Radical
Jacobson của một vành, khái niệm vành nửa đơn, vành đơn, vành nguyên thủy... và mối quan hệ
giữa chúng. Đặc biệt là định lý dày đặc của Wedderburn đặt nền móng, định hướng và có nhiều
ứng dụng cho việc nghiên cứu sau này.

1.1. Cấu trúc Radical (Jacobson) của vành:
Trong phần này ta kí hiệu R là vành không giao hoán, M là R-module.
1.1.1 Định nghĩa: Ta gọi Radical Jacobson của vành R là tập hợp các phần tử của R linh
hoa được tất cả các module bất khả quy trên R. Kí hiệu J(R) hoặc Rad(R).
Nếu R không có module bất khả quy, ta quy ƣớc J(R) = R. Khi đó ta gọi R là vành

Radical. Nhƣ vậy theo định nghĩa ta có :
J(R) = {x ∈ R/ Mx{0} với mọi M là R- module bất khả quy}
Nhắc lai : M là R-module bất khả quy nếu MR ≠ {0} và M không có module con thực sự
nào.
Đặt A(M) = {a ∈ R/Ma ={0}, M là R- module bất khả quy}. Từ đó ta có thể định nghĩa
J(R) theo cách khác:

Nhƣng do A(M) là ideal hai phía của R. Do vậy J(R) là

ideal hai phía của vành R. Mặt khác, vì M đƣợc hiểu là R-mdule phải nên J(R) còn đƣợc gọi là
Radical phải, tuy nhiên 2 khái niệm Radical phải và Radical trái này trùng nhau nên ta không
nhấn mạnh tính phải và trái của Radical.
Sau đây ta đi mô tả cấu trúc Radical Jacobson của một vành không


4

giao hoán bằng các bổ đề và định lý .
1.1.2. Bổ đề: M là R-module bất khả quy khi và chỉ khi M đẳng cấu với R/p ( vành
thương) trong đó p là ideal phải, tối đại, chính quy.
Nhắc lai: Ideal p phải là chính quy nếu ∃ a ∈ R: ∀x ∈ R thì x- ax∈ p.
Chứng minh: * (⇒) Giả sử M là là R-module bất khả quy ⇒ MR ≠ (0).
Đặt S { u ∈ M /uR = (0)}, ta dễ dàng kiểm tra s là một module con của M. Nếu S ≠ 0 suy
ra S= M (vì M là R-module bất khả quy), do đó MR = {0}.(!) mâu thuẩn. Vậy S = {0}. Do đó
với ∀ u ∈ M, u ≠ 0 thì uR ≠ {0}. Mà uR là mdule con của M và M bất khả quy cho nên uR = M.
Nhƣ vậy với u ∈ M cho trƣớc và mỗi r ∈ R ta có duy nhất một phần tử ur ∈ M. Điều này.cho
phép ta thiết lập một ánh xạ φ : R → M, định bởi công thức φ(r) = ur.
Ta dễ dàng kiểm là đồng cấu. Mặt khác uR ⇒ M ⇒ φ là toàn cầu.
Đặt ρ = ker φ thì ρ là ideal phải của R. Ta chứng minh ρ là ideal phải tối đại của R. Thật
vậy, giả sử có ideal phải α của R chứa thực sự ρ. Theo định lý Noether ta có: Im φ= M ≅ R/ ρ (

do φ toàn cấu) ⇒ α/ρ là module con của R/ρ khác (0). Do M bất khả quy nên R/ρ cũng bất khả
quy ⇒ α/ρ = R/ρ ⇒ α = R(!). Vậy ρ là ideal phải tối đại.
Từ đẳng thức uR = M ⇒ ∃a ∈ R :ua = u ⇒ ∀x∈ R, uax = ux ⇒ u(x-ax) =0 ⇒ x-ax ∈ ker φ
= ρ ⇒ ρ là ideal phải, tối đại, chính quy.( ⇐) Ngƣợc lại nếu ρ là ideal phải, tối đại, chính quy của
R.Khi đó ta có: (R/ρ)R ≠ (0). Thật vậy, giả sử (R/ρ)R =(0) ⇒ ∀x ∈ R, ∀y ∈ R ⇒ (y + ρ)x = 0⇒
yx ∈ ρ. Vậy ρ ⊃ R ⇒ ρ = R(!). Mâu thuẫn. Vậy (R/ ρ) R ≠ (0). Do ρ tối đại nên R/ ρ là R-module
bất khả quy ⇒ đpcm.


5

Nhân xét: Nếu vành R có đơn vị thì R không thể là vành Radical.
1.1.3. Định lý: J(R) = ∩ (ρ : R)trong đó p chạy khắp mọi ideal tối đại, chính quy, (ρ: R)
là ideal 2 phía lớn nhất của R nằm trong ρ.
Nhắc lai:Cho ρ là ideal phải của R. Ta định nghĩa: (ρ: R) = {x ∈ R/Rx ⊂ ρ }.
Chứng minh: * Dễ dàng ta kiểm đƣợc (ρ: R) là ideal hai phía của R.
* Với ∀x∈ (ρ: R) ⇒ Rx ⊆ ρ ⇒ ax ∈ ρ , lại do p chính quy nên x-ax ∈ ρ.
Do đó x ∈ ρ. Vậy (ρ: R) ⊆ ρ.
* (ρ: R) là ideal hai phía lớn nhất nằm trong ρ . Thật vậy, giả sử ρ1 là ideal hai phía nào
đó của R mà nằm trong ρ.
Nếu ρ là ideal

Ta có :
phải, tối đại, chính quy và giả sử M = R/ ρ. Khi đó ta có:

Nhƣ vậy:
1.1.4. Định lý:J(R) = ∩ ρ , với ρ là ideal phải, tối đại, chính quy.
Chứng minh: Theo định lý I.3 ta có
Ta chứng minh bao hàm ngƣợc lại, đặt T = ∩ ρ. Với mọi x ∈ T, xét tập S{xy +y /y ∈ R }.
Dễ dàng kiểm tra đƣợc s là ideal phải, chính quy của R (tính chính quy suy ra bằng cách lấy a = x. . .). Do đó sẽ tồn tại một ideal phải, tối đại, chính quy ρ0 của R sao cho S ⊂ ρ0 .

Ta sẽ chứng minh s ≡ R bằng phƣơng pháp phản chứng. Thật vậy. giả sử s ≠ R. Với x ∈
T=
Suy ra
Do đó với mọi

mâu thuẫn với Po là ideal tối đại. Vậy s ≡ R.
.Nhƣ vậy với


6

mọi x ∈ T luôn tồn tại w ∈ R thỏa xw + w = -x hay x + w + xw = 0.
Chú ý : Đây là một thuộc tính quan trọng của các phần tử thuộc T.
Bây giờ ta chứng minh: ∩ ρ ⊂ J(R) bằng phƣơng pháp phản chứng.
Giả sử ngƣợc lại T = ∩ ρ ⊄ J(R) suy ra tồn tại module bất khả quy R không bị T linh hóa,
tức là MT ≠ {0} ⇒ ∃m ∈ M: mT ≠ (0). Ta dễ dàng thấy mT là module con của M, cho nên mT =
M ( do M bất khả quy) ⇒ ∃t ∈ T: mt = -m. Lại do t ∈ T ∈ R : t + s +ts = 0 ⇒ m (t + s + ts) = 0 ⇒
mt + ms + mts = 0 ⇒ - m +ms - ms = 0 ⇒ m = 0 (!) mâu thuẫn với mT ≠ (0). Vậy T = ∩ ρ J(R).
Tóm lại J(R) = ∩ ρ.
1.1.5. Định nghĩa: Phần tử a ∈ R được gọi là tựa chính quy phải nếu ∃a’ ∈ R sao cho a
+a’+ aa’ = 0. Phần tử a’ gọi là tựa nghịch đảo phải của a.
* Tƣơng tự ta cũng định nghĩa phần tử tựa chính quy trái.
Lƣu ý: Nếu vành R có đơn vị 1, thì phần tử a ∈ R là tựa chính quy phải khi và chỉ khi 1 +
a có nghịch đảo trong R.
Thật vậy, nếu a tựa chính quy phải ⇒ ∃a’ ∈ R: a + a’ +aa’ = 0 ⇒ 1 +a + a’ + aa’ = 1 ⇒ (1
+ a) (1 + a’ ) = 1 ⇒ đpcm.
Ngƣợc lại, nếu 1 + a có nghịch đảo phải x ∈ R, tức là ( 1+ a )x = 1 ⇒ (x -1) +ax =0. Đặt
a’ = x -1 ta có a’ + a(a’ +1) = 0 ⇒ a +a’ +aa’ = 0 ⇒ a là tựa chính quy phải.
* Một ideal phải của R đƣợc gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó đều là tựa
chính quy. Nhƣ vậy, từ phép chứng minh định lý 1.1.4 ta có J(R) là ideal tựa chính quy phải.

Tuy nhiên ta có kết quả mạnh sau đây:
1.1.6. Định lý: J(R) là ideal phải tựa chính quy phải của R và nó chứa


7

mọi ideal phải tựa chính quy phải của R, do đó J(R) là ideal phải tựa chính quy phải lớn nhất
của R.
Chứng minh: Trƣớc hết ta có nhận xét: Các tựa nghịch đảo trái và tựa nghịch đảo phải
(nếu có) của một phần tử thuộc R thì trùng nhau.
Thật vậy, giả sử a e R có tựa nghịch đảo phải b và có tựa nghịch đảo trái c, tức là:

* Bây giờ ta chứng minh mọi ae J(R) thì a vừa tựa chính quy phải, vừa tựa chính quy trái.
Thật vậy, nếu ae J(R) ⇒ a là tựa chính quy phải ⇒ ∃a’ ∈ R: a + a’ + aa’ = 0 (1) ⇒ a’ = -a - aa’ ⇒
a’ ∈ J(R), do J(R) là ideal phải và a ∈ J(R) ⇒ a’ là tựa chính quy phải ⇒ ∃a’’∈ R sao cho a’ + a’’
+ a’ a’’ = 0. Nhƣ vậy a’ có a là tựa nghịch đảo trái và a’’ là tựa nghịch đảo phải, do đó a = a’’
(theo kết quả trên) ⇒ a + a’ + a’ a = 0 (2). Từ (1)và (2) ⇒ a ∈ J(R) vừa tựa nghịch đảo phải vừa
tựa nghịch đảo trái.
* Để kết thúc việc chứng minh định lý, ta giả sử ρ là ideal phải, tựa chính quy phải bất kỳ
của R thì ρ ⊆ J(R) và giả sử ngƣợc lại ρ ⊄ J(R) ⇒ tồn tại module bất khả quy M sao cho Mρ ≠ 0
⇒ ∃m ∈ M : mρ ≠ 0. Vì mρ là module con của module bất khải quy M nên mρ = M ⇒ ∃t ∈ρ sao
cho mt = -m và t là tựa chính quy phải ⇒ ∃t’ ∈ R : t + t’ +tt’ = 0 ⇒ m(t + t’ + tt’) = 0 ⇒ mt + mt’
+ mtt’ = 0. Suy ra -m + mt’ - mt’ = 0 ⇒ m = 0 ⇒ mρ = 0 (!) mâu thuẩn với mρ ≠ 0. Vậy ρ ⊆
J(R).
1.1.7. Phần tử lũy linh, ideal lũy linh và nil-ideal.
* Phần tử a ∈ R đƣợc gọi là phân tử lũy linh nếu ∃n ∈ N : an = 0.
* Ideal phải (trái, 2 phía) của R đƣợc gọi là lũy linh nếu ∃n ∈ N* sao cho a1.a2...am = 0,
với ai ∈ ρ,i = 1,2,3... m; tức là ∃n ∈ N* : ρm = 0.

8

* Ideal phải (trái, 2 phía) của R đƣợc gọi là nil-ideal phải (trái, hai phía) nếu mọi phần tử
của nó đều lũy linh.
Nhận xét: 1)Ideal lũy linh thì nil-ideal, nhƣng ngƣợc lại không đúng.
2) Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy.
Thật vậy, giả sử a ∈ R là phần tử lũy linh ⇒ ∃n ∈ N* : am = 0.
Đặt

3) J(R) chứa mọi nil-ideal một phía.
1.1.8. Xây dựng Radical Jacobson của một đại số;
1.1.8.1. Khái niệm đại số trên một trƣờng;
A đƣợc gọi là đại số trên trƣờng F nếu thỏa mãn các tiến đề sau:
a) A là một vành.
b) A là một không gian vectơ trên trƣờng F.
c) Với
Nếu A có đơn vị 1 thì (α.1)x = x(α.1). Vì (α.1)x = α (x.1) = α(x.1)= x(α.1) ⇒ α.1 ∈ C tâm
của A với ∀ α ∈ F.
1.1.8.2. Xây dựng Radical Jacobson của một đại số: Việc xây dựng Radical Jacobson của
một đại số A đƣợc lặp lại một cách hoàn toàn tƣơng tự nhƣ việc xây dựng khái niệm này trên
một vành, nhƣng chỉ có một lƣu ý là khái niệm một ideal của một đại số, thì nó vừa có cấu trúc
ideal của một vành, vừa có cấu trúc một không gian vectơ con. Vì vậy tác giả luận văn không
trình bày chi tiết các bƣớc xây dựng Radical Jacobson của một đại số.
Từ đây một vấn đề được đặt ra là: Nếu A là đại số trên trường F.Hai khái niệm Jvành(A)
và Jđại số(A) chúng có quan hệ như thế nào với nhau ? Khi đi


9

vào giải quyết vấn đề này, một điều bất ngờ là đưa đến cho chúng ta kết quả thật đẹp, nhờ một

nhận xét sau đây:
Nếu A là một đại số trên trƣờng F thì mọi ideal tối đại, chính quy của vành A(xem A nhƣ
là một vành) cũng là không gian vectơ trên trƣờng F. Thật vậy, giả sử ρ là ideal tối đại chính quy
của vành A và ρ không là không gian vectơ con trên trƣờng F, suy ra Fρ ≠ ρ và Fρ là ideal phải
của A ⇒ A =Fρ + ρ ( do ρ là tối đại) ⇒ A2 = (Fρ + ρ). A ⊆ (Fρ)A + ρA ⊆ ρ. Lại do ρ chính
quy ⇒ ∃a ∈ A; x - ax ∈ ρ với ∀x ∈ A.
Nhƣng

.Vậy A = ρ (!) mâu thuẫn với tính tối đại

của ρ. Tóm lại ρ là không gian vectơ con trên trƣờng F. Nhƣ vậy ta có Jvành(A) = Jđại số(A).

1.2. Một vành đặc biệt :
1.2.1. Vành nửa đơn:
1.2.1.1. Định nghĩa: Vành R được gọi là vành nửa đơn (còn gọi là nửa nguyên thủy) nếu
J(R)=0.
1.2.1.2. Định lý: Giả sử R là một vành thì R/J(R) là vành nửa đơn.
1.2.1.3. Định lý: Nếu A là ideal hai phía của vành R thì J(A) = J(R) ∩ A.
Hệ quả: Nếu R là vành nửa đơn thì các ideal hai phía đều nửa đơn.
Chú ý rằng: Hệ quả và định lý chỉ đúng cho các ideal hai phía,trong trường hợp ideal
một phía thì hệ quả không còn đúng nữa.
1.2.2. Vành Artin.
1.2.2.1.Định nghĩa: Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal
phải của nó đều có phần tử tối tiểu.
Để ngắn gọn ta thƣờng gọi vành Artin phải là vành Artin.
Ta dễ dàng suy ra kết quả sau: * Vành A là vành Artin khi và chỉ khi


10

mọi dãy giảm các ideal phải của nó đều dừng sau hữu hạn bƣớc.
* Trƣờng, thể và các vành hữu hạn đều là vành Artin.
* Tổng trực tiếp một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin.
* Ảnh đồng cấu của một vành Artin là vành Artin.
1.2.2.2. Định lý : Nếu R là vành Artin thì J(R) là ideal lũy linh.
Nhận xét: 1) Nếu R là vành Artin thì mọi nil-ideal ( một phía, hai phía) đều là lũy linh.
2) Nếu vành R có ideal một phía lũy linh khác (0), thì sẽ có ideal hai phía lũy linh khác
(0).
1.2.2.3. Lũy đẳng: Phần tử e ≠ 0 của vành R gọi là lũy đẳng nếu e2 = e.
1.2.3. Vành nguyên thủy:
1.2.3.1. định nghĩa: Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có module bất khả quy
và trung thành.
Nhận xét:
1) Nếu R là vành nguyên thủy và M là R-module bất khả quy, trung thành thì φ : R →
E(M) định bởi, với ∀r ∈ R, φ(r) = Tr : M → M là một đơn cấu. Theo bổ đề Schur tập ∆ = { φ ∈
E(M) / φ. Tr = Tr . φ, ∀r ∈ R } là một thể. Khi đó M là một không gian vectơ trên ∆, với phép
nhân ngoài μ :(M, ∆) → M, được xác định bởi μ :(m, φ) =(m) φ. Kí hiệu ∆ =C(M).
2) Nếu R là vành nguyên thủy thì J(R) = (0). Như vậy mọi vành nguyên thủy đều là vành
nửa đơn.
3) Cho R là vành bất kỳ, M là R-module bất khả quy thì:
* A(M) là ideal 2 phía của R, khi đó R/A(M) là vành nguyên thủy.
* Với ρ là idealphải tối đại, chính quy của R và M = R/ρ ⇒ A(M) = (ρ : R) là ideal hai
phía lớn nhất còn nằm trong ρ ⇒ R /( ρ: R) là vành nguyên


11

thủy.Do vậy (ρ: R) còn gọi được là ideal nguyên thủy.
1.2.3.2. Định lý: R là vành nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại, chính quy
p của R sao cho (ρ : R) = (0). Nếu R là vành nguyên thủy, giao hoán thì R là một trƣờng.

1.2.4. Vành đơn: Vành R được gọi là vành đơn nếu R2 ≠ (0) và R không có ideal thực sự
nào. Ví dụ : Một thể là vành đơn.
1.2.5. Vành nguyên tố: Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu mọi a, b ∈ R mà từ đẳng
thức aRb = 0 kéo theo a = 0 hoặc b = 0.
Ta có mệnh đề tƣơng đƣơng: Vành R được gọi là vành nguyên tố khi và chì khi ideal (0)
là ideal nguyên tố.

1.3. Mối quan hệ giữa các vành nửa đơn vành Artin vành đơn.
(1) . Nếu R là vành đơn có đơn vị 1 thì R là vành nửa đơn.
Thật vậy, nếu R là vành đơn, khi đó hoặc J(R) = (0) hoặc J(R) = R.
Nhƣ vậy: * Nếu xảy ra trƣờng hợp J(R) = (0) thì R là nửa đơn.
* Nếu xảy ra trƣờng hợp J(R) =(R) ⇒ R là vành Radical, điều này không thể
xảy ra vì R có đơn vị 1
(2) . Nếu R là vành đơn và Artin thì R là vành nửa đơn.
Thật vậy, vì R là vành đơn nên R2 ≠ (0) và R2 là ideal của R, do đó R2 = R . Giả sử J(R) ≠
(0) ⇒ J(R) = R = R2 . Tƣơng tự ta có [J(R)]n = R2 ≠ (0) với ∀n ∈ N (1). Mặt khác vì R là vành
Artin nên J(R) là lũy linh, tức là ∃n ∈ N: [J(R)]n = (0) (2). So sánh (1) & (2) ta có điều mâu
thuẩn. Vậy J(R) = (0) ⇒ R là vành nửa đơn.
(3) . R là vành nguyên thủy thì R là vành nửa đơn. Thật vậy, nếu R là vành nguyên thủy

⇒ tồn tại ideal phải tối đại, chính quy ρ sao cho (ρ : R) = 0, mà J(R) = ∩ (ρ : R) = (0). Vậy R là
vành nửa đơn.


12

(4). Nếu R vừa là vành đơn, vừa là vành nửa đơn thì R là vành nguyên thủy.
Thật vậy, Vì R là vành đơn nên R2 ≠ (0) và không có ideal nào khác R và (0). Mà R là
vành nửa đơn nên J(R) = (0) ⇒ (0) = ∩ (ρ : R) với ρ chạy khắp tập ideal phải tối đại, chính quy
của R. Ta có (ρ : R) là ideal của R ⇒ hoặc (ρ : R) = (0) hoặc (ρ : R) = R. Nếu (ρ : R) = R thì ∩ (ρ

: R) = R (!) vô lý ⇒ chỉ có (ρ : R) = (0). Vậy R là vành nguyên thủy.
Nhận xét: Vành nguyên thủy là vành nguyên tố, ngược lại không đúng. Để kết thúc phần
này ta phải kể đến một định lý khá mạnh được vận dụng nhiều sau này.Đó là định lý dày đặc.
1.3.1. Định nghĩa tác động dày đặc: Vành R được gọi là tác động dày đặc trong Rmodule M nếu với mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính {vn}n ∈N ⊂ M trên thể ∆ và bất kỳ hệ n vectơ
{wn} n ∈N ⊂ M thì tồn tại r ∈ R sao cho wi = vir, i = 1,2,3,...,n.
1.3.2. Định lý dày đặc: Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R-module bất khả quy và
trung thành, nếu ∆ = C(M) thì R là vành dày đặc các ghép biến đổi tuyến tính trong M trên ∆.
1.3.3. Định lý: Giả sử R là vành nguyên thủy. Khi đó với thể ∆ nào đó thì hoặc R ≅ ∆n
(vành ma trận cấp n x n trên ∆) hoặc với ∀m ∈ N* tồn tại vành con Sm của R sao cho ∆m là ảnh
đồng cấu của Sm .


13

1.4. Tổng trực tiếp con :
1.4.1. Các định nghĩa:
Ta gọi tích trực tiếp (hay tổng trực tiếp toàn phần) họ các vành {R λ }λ ∈ I là tập hợp :

Trên

ta định nghĩa các phép toán:

Phép cộng: (f +g)( λ) = f(λ) +g(λ). Phép nhân : (f g)( λ) = f(λ) g(λ).
Lúc đó

cùng 2 phép toán lập thành một vành.

Kí hiệu πλ là phép chiếu vành

lên Rλ .

*Vành R đƣợc gọi là tổng trực tiếp con của họ các vành {R λ }λ ∈ I nếu tồn tại đơn cấu ψ :
R→

sao cho Rψπλ = Rλ , ∀λ ∈ I.

Theo tài liệu Noncommutative của I.N.Herstein, bản dịch tiếng Nga NXB Mockba năm
1972 trang 54; ta có các kết quả sau:
1.4.2. Một số tính chất:
1.4.2.1. Mệnh đề: Giả sử R là vành, và họ các vành {R λ }λ ∈ I , φλ : R → Rλ là đồng cấu
vành và φ :

là đồng cấu vành đƣợc thiết lập từ các đồng cấu vành φλ . Đặt Uλ = Ker

φλ. Khi đó φ là một cấu vành khi và chỉ khi
1.4.2.2. Định nghĩa: Vành R gọi là không phân tích trực tiếp con được nếu giao của tất
cả các ideal khác (0) của R là một ideal khác (0).
1.4.2.3. Mệnh đề: Mỗi vành đều có thể biểu diễn tổng trực tiếp con các vành không phân
tích trực tiếp con được.


14

1.4.2.4. Mệnh đề: Giả sử R là vành không có nil-ideal khác (0) thì R là tổng trực tiếp con
các vành nguyên tố.
1.4.2.5. Mệnh đề: Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp con các vành
nguyên thủy.
Như chúng ta đã biết về lý thuyết cấu trúc tổng quát được đề cập rõ nét trong việc nghiên
cứu những vành mà được giới hạn bởi một loại điều kiện đa thức nào đó. Một ví dụ cụ thể của
nội dung trên được thể hiện trong việc nghiên cứu tính giao hoán của lớp vành này.

Bây giờ chúng ta đề cập đến lớp vành - mà theo một nghĩa nào đó các vành này thỏa
mãn một điều kiện giao hoán cao hơn. Chủ đề cho sự hiện diện của một mối quan hệ đó trong
việc nghiên cứu các PI. đại số. Hướng nghiên cứu nội dung này chúng ta dựa vào kết quả của
định lý của Kaplansky.
Lĩnh vực này đã và đang được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau. Ví dụ như
Amitsur, Levitzki . . . đã bỏ ra nhiều công sức và đã đạt được nhiều kết quả nổi tiếng khi nghiên
cứu bản chất của các đồng nhất thức trên lớp vành này.
Để dần dần làm rõ các ý tưởng trên đây, trong chương 2 sau đây, sẽ hệ thống hóa các
kiến thức chung nhất vế PI.đại số trên một vành giao hoán có đơn vị. Nội dung cơ bản trọng tâm
chương này là giới thiệu hai định lý có vị trí quan trọng, nhằm đặt nền móng, định hướng cho
việc mở rộng nghiên cứu trên các lớp PI.đại số rộng hơn, đó là định lý Kaplansky-AmitsurLevitzky trên đại số nguyên thủy.


15

CHƢƠNG 2: CÁC PI. ĐẠI SỐ TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ.
2.1. PI. đại số trên vành giao hoán có đơn vị :
Trong chƣơng này ta kí hiệu K là vành giao hoán có đơn vị 1, A là đại số trên K và trong
mục 2.1 này chủ yếu liệt kê các khái niệm nhƣ: đại số trên vành giao hoán có đơn vị, đa thức,
đồng nhất thức của một đại số và một số tính chất về đa thức. . .
Định nghĩa: A đƣợc gọi là đại số trên K nếu thoa mãn các tiên đề sau:
a) A là một vành.
d) A là một không gian vectơ trên K.
e) Với
Nếu A có đơn vị 1 thì (k.1)x = x(k.1). Vì (k.1)x =k(1.x) =k(x.1) =x(k.1) ⇒ k.1 ∈ C tâm
của A với ∀k ∈ K.
Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi đếm đƣợc các phần tử x1 , x2, . . , Khi đó X là tập tất
cả các phần tử có dạng: 1, xi1 xi2 ...xir , . . . Các phần tử của vị nhóm X đƣợc gọi là các đơn thức.
Hai đơn thức xi1 xi2 ...xir = xj1 xj2 ...xjs nếu và chỉ nếu i1 = j1 , i2 = j2 , ...
Phép nhân: 1 ( xi1 xi2 ...xir ) = (xi1 xi2 ...xir )1 = xi1 xi2 ...xir còn phép nhân hai đơn thức

đƣợc định nghĩa ( xi1 xi2 ...xir ) (xj1 xj2 ...xjs) = xi1 xi2 ...xir xj1 xj2 ...xjs .
Kí hiệu K{X} là đại số của vị nhóm X trên vành giao hoán có đơn vị K. Ta gọi K{X} là
đại số tự do sinh bởi tập đếm đƣợc các phần tử xi . Tập đếm đƣợc các phần tử xi này gọi là cơ sở
của K{X}. Với A là một đại số bất kỳ và ánh xạ σ : X → A thì luôn tồn tại đồng cấu η : K{X}→
A sao cho biểu đồ sau giao hoán:


16

Ta kí hiệu K{x1, . . . , xm} là đại số con của K{X} sinh bởi tập hữu hạn {x1,. ., xm} và nếu
f ∈ K{X}, f ∈ K{x1 , . . . , xm} ta viết f = f(x1, . . xm). Ảnh của f qua đồng cấu η tƣơng ứng xi →
ai,1 ≤ i < ∞, viết f(a1, .. , am).
2.1.1.Một số định nghĩa:
1) Bậc của đơn thức

là

2) Bậc của đa thức f ∈ K[X] là bậc lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f. Bậc của đa
thức f kí hiệu degf.
3) Bậc theo Xi của đa thức f(x1 , x2 , . . , xn) là bậc của Xi khi xem f là đa thức theo biến
Xi, kí hiệu degxif.
4) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là thuần nhất theo Xi nêu tất cả các đơn thức của f đều có
cùng một bậc theo xi.
5) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là hoàn toàn thuần nhất nếu f thuần nhất theo mọi xi.
6) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là trộn đều theo xi nếu xi có mặt trong mọi đơn thức của
của f.
7) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là trộn đều nếu nó trộn đều theo mọi xi
8) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là tuyến tính theo xi nếu bậc của x1 trong mỗi đơn có mặt
trong f đều bằng 1.
9) Chiều cao của một đơn thức là bậc của nó trừ đi số các biến có mặt trong đơn thức ấy.

10) Chiều cao của đa thức f là chiều cao lớn nhất của các đơn thức trong f, được ký hiệu
ht(f).
11) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là đa thuyến tính nếu nó tuyến tính theo mỗi biến xi.


17

2.1.2. Định nghĩa:
Giả sử A là đại số trên K, G là nhóm con của nhóm cộng A. Một đa thức f ∈ K[X] được
gọi là G-giá trị nếu với
2.1.3. Định nghĩa: Giả sử f(x1, x2,...,xm ) ∈ K[X] với 1 ≤ i ≤ m. Đặt:

2.1.4. Một số kết quả:
2.1.4.1. Bổ đề: Mọi đa thức f ∈ K[X] là tổng các đa thức được trộn đều fj sao cho:
(1) degfj ≤ degf.
(2) ht(fj) ≤ ht(f).
(3) Nếu f tuyến tính theo xi thì fj cũng tuyến tính theo xi.
(4) Với mọi đại số A và nhóm con của nhóm cộng A, nếu f là G-giá trị thì các fj cũng Ggiá trị.
Chứng minh: Gọi tf là số xi có mặt trong f nhƣng không có mặt trong một đơn thức nào
đó của f. Ta chứng minh bổ đề bằng phƣơng pháp quy nạp theo tf.
Nếu tf = 0 thì f là đa thức đƣợc trộn đều và hiển nhiên bổ đều đúng.
Nếu tf > 0, không mất tính tổng quát ta có quyền chọn x1 không có mặt trong một đơn
thức nào đó của f. Đặt f1 = f(0, x2 , . . . , xm) và f2 = f - f1. Hiển nhiên ta có tf1 < tf , tf2 < tf . Theo
giả thiết quy nạp thì bổ đề đúng cho f1 và f2, suy ra bổ đề đúng cho f.
2.1.4.2. Bổ đề: Nếu g là đem thức sao cho: degxig > 1 và xj không có mặt trong g, thì

g

là tổng của các đơn thức gK trong đó xi, xj có mặt trong gK và khi thay xj bởi xi thì gK trở thành
g.

18

Chứng mình: Viết g dƣới dạng g(x1, x2,..., xm) = t xi h (1) trong đó t, h là các đơn thức sao
cho degxi t =0, degxih > 0. Khi đó ta có :

Hai hạng tử đầu của biểu thức (2) có mặt cả xj và xi , hơn nữa nếu thay xj bởi xi thì trở
thành g. Bây giờ ta xét 2 hạng tử còn lại của biểu thức đó. Nếu degxih = 1 lúc này h tuyến tính
theo xi nên

h = 0. Nhƣ vậy 2 hạng tử đang xét bằng 0. Do đó

g là tổng của 2 đơn thức thỏa

mãn bổ đề. Nếu degxig = 2 thì degxih = 1, theo kết quả trên thì bổ đề đúng với g. Giả sử bổ đề
đúng cho mọi đơn thức có bậc theo Xi nhỏ hơn n và g là đơn thức có degxig = n. Từ (1) ⇒ degxih
< n, theo giả thiết quy nạp ⇒bổ đề đúng cho h. Từ (2) ⇒ bổ đề đúng cho g.
Nhờ kết quả bổ đề trên ta dễ dàng suy ra kết quả dƣới đây:
2.1.4.3. Bổ đề: Nếu f được trộn đều, degxif >1 , degxif = 0. Thì :
(1)

f là được trộn đều.

(2) deg
(3) degxi

f ≤ degf.
f = degxif -1.

(4) ht( f) ≤ ht(f)
(5)
⊂ Sf.


19

Những kết quả trên đây cho ta biết được những tính chất đặc trưng của một đa thức
nhiều biến, dùng để làm cơ sở cho các vận dụng sau này. Sau đây xin trình bày nội dung cụ thể
các định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzky
2.1.5. Định nghĩa: * Một đa thức f (x1, x2,...., xd) được gọi là một đồng nhất thức thực sự
của đại số A nếu tồn tại hệ số nào đó của f không linh hóa A và f (a1, a2,...., ad) = 0 đối với ∀ai ∈
A , i = ̅̅̅̅̅ .
* Giả sử đại số A có đồng nhất thức thực sự, ta gọi A là PI.đại số.

2.2. Định lý Kaplansky - Amitsur - Levitzky :
Giả sử A là đại số nguyên thủy có một đồng nhất thức thực sự có bậc d, thì tâm C của A
là một trường, A là đơn và [A:C] ≤ [d/2] 2.
Trƣớc hết ta chứng minh một số bổ đề sau đây:
2.2.1. Bổ đề: Giả sử f là đồng nhất thức thực sự của A thì tồn tại một đồng nhất thức thực
sự đa tuyến tính g của A sao cho deg g ≤ deg f.
Chứng mình: Áp dụng kết quả bổ đề 2.1.4.1 cho g = {0} và giả sử f là đƣợc trộn đều. Nếu
ht(f) = 0 ⇒ f đa tuyến tính, lúc này ta chọn g = f. Bây giờ ta xét ht(f) > 0 ⇒ ∃xi :degxif > 1và ta
có thể giả sử rằng không có hệ số nào của f linh hóa A. Áp dụng bổ đề II.4.3 ta có

f là đồng

nhất thức thực sự của A và ht ( f) < ht(f). Sử dụng phép chứng minh quy nạp theo chiều cao của
đồng nhất thức ta có (đpcm).
2.2.2. Bổ đề : Mn(K) không có đồng nhất thức thực sự có bậc d < 2n.

Chứng mình: Trƣớc hết ta có nhận xét: vối 0 < n ∈ N, ta có dãy: e11 , e22 ,..., enm có n
phần tử và dãy e12 , e23,..., en-1n có n -1 phần tử. Khi đó tập { e11, e12, e22, e23, e33, e34,..., en - 1n,
enn} sẽ có 2n-l phần tử, trong đó eij là ma trận có phần tử ở hàng i cột j bằng 1 còn các phần tử


20

khác đều bằng 0 thuộc Mn(K).
Ta chứng minh bổ đề bằng phƣơng pháp phản chứng nhƣ sau:
Giả sử Mn(K) thỏa mãn một đồng nhất thức thực sự f có bậc d < 2n.
Theo bổ đề 2.2.1 ta có thể xem f đồng nhất thức thực sự đa tuyến. Do đó ta có thể viết f
dƣới dạng:

theo nhận xét trên ta chọn đƣợc tập gồm d ma trận vuông cấp n thuộc

Từ (1) ⇒ nếu σ(i) ≠ 1 thì σ(1) σ(2) ... e σ(d) = 0 thì
thức trên

và do f đồng nhất
với k nào đó mà k ≤ n ⇒ αeịj = α

(ei1 e1k ekj) = ei1 (αe1k)ekj = 0 với ∀i , j nên αMn(K) = 0(!) mâu thuẩn với giả thiết. Mâu thuẫn này
cho ta điều phải chứng minh.
2.2.3.Bổ đề: Giả sử F là một trường trên Kvà V là không gian vectơ vô hạn chiều trên F
thì đại số các phép biến đổi tuyến tính EndFV không thỏa mãn đồng nhất thức thực sự.
Chứng minh: Gọi f là đồng nhất thức trên EndFV có bậc là d. Với bất kỳ phần tử x ∈ V, ta
xét M là không gian con hữu hạn chiều của V chứa x sao cho 2[M:F] > d. Đặt M' = V/ M và ta
xác định đại số con B (không có đơn vị) của EndFV nhƣ sau:

Theo định lý Wedderburn ta có B ≅ Mn(F) trong đó n =[M:F]. Mặt khác do f là đồng nhất

thức trên EndFV có bậc là d, nên f là đồng nhất thức trên B có bậc là d ⇒ f là đồng nhất thức trên
Mn(F) có bậc là d < 2n. Từ


21

kết quả bổ đề 2.2.2 ⇒ nếu α là hệ số bất kỳ của f thì ta có αMn(F) = 0 ⇒αB= 0 ⇒ (αφ)(x) = 0 ⇒
φ(αx) = 0 ⇒(α1)x = 0, ∀x ∈ V. Do đó α (EndFV) = 0. Vậy f không là đồng nhất thức thực sự của
EndFV.
2.2.4. Bổ đề: Nếu ∆ là đại số chia chứa trường con tối đại F (trong K) và đối với mọi
trường con F như vậy ta có C∆ (F) = F.
Chứng minh: Áp dụng bổ đề Zorn ta suy ra đƣợc sự tồn tại của trƣờng con tối đại F. Ta
gọi F là trƣờng con tối đại nhƣ vậy. Khi đó với mọi s ∈ C∆ (F) ⇒ đại số con M của C∆ (F) sinh
bởi F và s là một đại số giao hoán chứa F ⇒ M ⊆ F, vì F là tối đại ⇒ s ∈ F ⇒ C∆ (F) ⊆ F. Mặt
khác hiển nhiên ta có F ⊆ C∆ (F). Vậy C∆ (F) = F.
2.2.5. Bổ đề : Giả sử A là đại số con đơn của đại số E và B = CE (A), thế thì C = B ∩ A là
tâm của A. Nếu như dãy a1, a2,.... ar ⊂ A là hệ C độc lập tuyến tính thì chứng cũng là hệ B - độc
lập tuyến tính.
Chứng minh: Đặt A0 = A. Trên A0 ta xác định phép toán * nhƣ sau:
a*b = ba , ∀a,b ∈ A0.
Đặt Ae = A

A0 và với phép nhân ngoài (a

b)x = axb thì A là một Ae - module, hơn

nữa A là một Ae - module bất khả quy và trung thành (do tính đơn của A). Sự tác động của Ae
lên A ta có thể mở rộng đến sự tác động của Ae lên E sao cho m(bx) = b(mx) với m ∈ Ae, b ∈ B,
x ∈ E. Ở đây nếu

thì

. Mặt khác do A là một Ae - module bất khả

quy , trung thành và dãy a1 , a2 , ...., ar ⊂ A là hệ độc lập tuyến tính trên trƣờng C (C là trƣờng vì
do tính đơn của A).
Với bất kỳ j , 1 ≤ j ≤ r ta xét dãy r phần tử dạng : 0,..., 1j,..., 0 ∈ A, kí hiệu 1j để chỉ phần
tử đơn vị 1∈ A đứng ở vị trí thứ J trong dãy. Khi