Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ biến đổi Laplace ngược và công thức cầu phương nội suy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM

LÊ DUY THỨC

Chuyên Ngành
Mã Số

:
:

Toán Giải Tích
604601

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN CAM

Thành Phố Hồ Chí Minh – Năm 2006


LỜI MỞ ĐẦU

Phép biến đổi Laplace có nhiều áp dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật. Bài
toán khôi phục hàm gốc từ hàm ảnh trong phép biến đổi Laplace được nhiều nhà
Toán học quan tâm khảo cứu và đến nay có rất nhiều phương pháp được đưa ra.

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một số phương pháp tính xấp xỉ biến đổi
Laplace ngược thông qua công thức cầu phương nội suy. Trong đó chúng tôi đã
chứng minh sự hội tụ của các công thức nội suy, và tính ổn đònh của nghiệm xấp xỉ

thu được, cũng như minh hoạ việc giải số trên máy tính thông qua một ví dụ cụ thể.

Luận văn được chia làm 4 chương như sau :
Chương 1 : Trình bày các kiến thức chuẩn bò cho việc tính toán tích phân Mellin.
Chương 2 : Khảo sát một số phương pháp tính tích phân Mellin bằng công thức cầu
phương nội suy. Sau đó là các đònh lý về sự hội tụ của quá trình nội suy và tính ổn
đònh của nghiệm xấp xỉ.
Chương 3 : Đưa ra công thức cầu phương nội suy với độ chính xác cao nhất.
Chương 4 : Xây dựng công thức tính toán cho công thức cầu phương nội suy với hệ
số cân bằng. Cuối cùng là một ví dụ về giải số trên máy tính.


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Cam, người Thầy đã dạy dỗ,
dìu dắt tôi từ những năm đầu đại học.

Xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa, PGS.TS. Nguyễn Bích Huy,
TS Nguyễn Thành Long, những người Thầy đã quan tâm, giúp đỡ và truyền đạt cho
tôi những kiến thức nền tảng trong thời gian học đại học và cao học.

Xin cảm ơn các Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã cho những nhận xét quý báu,
các Thầy- Cô đã truyền đạt kiến thức trong các học phần.

Cảm ơn BGH Trường PTTH Mạc Đónh Chi TPHCM, và các đồng nghiệp đã tạo
điều kiện, động viên để tôi hoàn thành khoá học.

Cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã hỗ trợ, giúp đỡ nhiều mặt.

Xin cảm ơn bạn Thúy Trang, University of Western Australia, đã động viên và cung
cấp nhiều tài liệu bổ ích trong quá trình làm luận văn.

MỤC LỤC
Lời mở đầu
Hình 4.1
Hình 4.2
Hình 4.3
CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

79
80
81
1

CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN MELLIN
BẰNG CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG NỘI SUY
2.1. Lý Thuyết Tổng Quát Về Các Phương Pháp Nội Suy

13

2.2 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Cách Đều.

16

2.3 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Không Cách Đều

17

2.4. Phương Pháp Nội Suy Sử Dụng Chuỗi Taylor Chặt cụt

23

2.5 Sự Hội Tụ Của Quá Trình Nội Suy Công Thức (2.3.7)

24

2.6 Sự Hội Tụ Của Quá Trình Nội Suy Của (2.1.6)

31

CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP SỐ CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯC THÔNG
QUA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC CAO NHẤT
3.1. Lý thuyết về công thức cầu phương.

34

3.2 Các Đa Thức Trực Giao Liên Hệ Với Công Thức Cầu Phương

43

3.3. Phương Pháp Tính Các Hệ Số Và Các Điểm Của Công Thức Cầu Phương

64

CHƯƠNG 4 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯC
THÔNG QUA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG VỚI HỆ SỐ CÂN BẰNG
4.1. Xây Dựng Công Thức Tính Toán

72

4.2. Một Ví Dụ Về Lời Giải Số

76

Kết luận
Tài liệu tham khảo


1

CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Đònh nghóa

Cho f (t ) với t ≥ 0 , f (t ) khả tích trên mọi đoạn [a,b], (0 ≤ a < b) với số phức

p = σ + iτ , ta đònh nghóa F ( p ) =

+∞

∫e

− pt

f (t )dt

(1)

0

F(p) được gọi là biến đổi Laplace của f (t ) .

1.2 Đònh lý
Nếu F(p) xác đònh tại p0 = σ0 + iτ0 thì F(p) xác đònh tại mọi p = σ + iτ thoả

Re( p − p0 ) = σ − σ0 ≥ 0 .
Chứng minh
t

Đặt ϕ(t ) = ∫ f (u )e − p0 u du (t ≥ 0)
0

Vì F ( p0 ) =

+∞

∫e

− p0 t

f (t )dt xác đònh nên lim ϕ(t ) tồn tại. Suy ra tồn tại hằng số Q

0

t →∞

sao cho: ϕ(t ) ≤ Q, ∀t ≥ 0 .
Xét Re( p − p0 ) = σ − σ0 ≥ c (với c >0), và a>0, b>0
Ta có :

2

a +b

∫

f (t )e

− pt

dt =

a +b

a

∫

e− ( p − p0 )t d ϕ(t )

a

=e

− ( p − p0 )t

ϕ(t )

a +b
a

−

a +b

∫

( p0 − p )e− ( p − p0 )t ϕ(t )dt

a

(tích phân từng phần)

≤ ϕ(a + b).e

− ( p − p0 )( a + b )

− ϕ(a ).e

− ( p − p0 ) a

+ p − p0

a +b

∫

e− ( p − p0 )t ϕ(t ) dt

a

≤ Q. e

− ( p − p0 )( a + b )

+Q e

− ( p − p0 ) a

+ Q p − p0

a +b

∫

e− ( σ−σ0 )t dt

a

≤ Q.e − c ( a + b ) + Qe− ca + Q p − p0

a +b

∫

e− ct dt

a

≤ Q.e

− ca

+ Q.e

− ca

e− ct
+ Q p − p0 .
−c

a +b

a

Q
p − p0 (e− ca − e − c ( a + b ) )
c
Q
≤ 2Qe− ca + p − p0 .e− ca
c
p − p0 − ca
≤ Q(2 +
).e < ε
c

≤ 2Qe− ca +

(khi a đủ lớn)
Vậy theo điều kiện Cauchy thì

+∞

∫e
0

Re p ≥ Re p0 .

− pt

f (t )dt hội tụ nên F(p) xác đònh tại p với


3

1.3 Đònh lý
Cho F(p) xác đònh tại p0 = σ0 + iτ0 thì F(p) là hàm chính quy trên nửa mặt phẳng
Rep> σ0
Chứng minh
Xét p = σ + iτ với σ > σ0 . Lấy miền D đóng và bò chặn bất kỳ chứa trong nửa mặt
phẳng Rep > σ0 , và p ∈ D . Khi đó

⎧ Re( p − p0 ) ≥ 2c
⎩ p − p0 ≤ M , ∀p ∈ D

Tồn tại c >0, M >0, thỏa : ⎨
n

Xét dãy Fn ( p ) = ∫ e − pt f (t ) dt , p ∈ D, n = 1,2,3...
0

Ta có Fn là hàm giải tích trong D vì:

Fn ( p + h) − Fn ( p)
1 n − ( p + h )t
= lim ∫ (e
− e − pt ) f (t )dt
lim
h
h→0
h→0 h 0
n − ( p + h )t

= lim ∫

h→0 0

e

− e − pt

h

n

= lim ∫ e− pt f (t )t
h→0 0

f (t )dt

e− ht − 1
dt
ht

n

= − ∫ e − pt f (t )tdt
0

Với m, n > 0, m < n ta có :
n

Fn ( p ) − Fm ( p ) = ∫ e
0

− pt

m

f (t )dt − ∫ e

− pt

n

f (t )dt = ∫ e − pt f (t )dt

0

Theo chứng minh của đònh lý trong mục 1.2 ta có:

m


4

n

∫e

− pt

f (t )dt ≤ Q(2 +

m

M − cm
)e
c

Fn ( p ) − Fm ( p ) < ε, ∀p ∈ D , khi m đủ lớn. Vậy Fn(p) hội tụ đều về F(p) và Fn(p)
giải tích, do đó F ( p ) giải tích trên D. Hay F(p) chính quy trên nửa mặt phẳng

Re p > σ0 .
1.4 Nhận xét
∞

Đặt E = { σ ∈ R / ∫ e− pt f (t )dt hội tụ

}

( P = σ + iτ )

0

Và γ = inf E
+ Nếu γ = +∞ : E = ∅ ⇒ F ( p ) không xác đònh tại mọi p
+ Nếu γ = −∞ : E = R ⇒ F ( p ) xác đònh với mọi p
+ Nếu γ ∈ R :
- Với σ < γ thì F(p) không xác đònh
- Với σ > γ thì F(p) xác đònh và F(p) là hàm chính qui

1.5 Đònh nghóa
f(t) được gọi là hàm gốc nếu thỏa:
1) f(t) xác đònh với ∀t ∈ R , f(t) = 0 với ∀t < 0
2) f (t ) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn.
3) F ( p ) =

+∞

∫e

− pt

f (t )dt xác đònh tại ít nhất một p nào đó.

0

Lúc đó ta gọi F(p) là hàm ảnh trong biến đổi Laplace của f.

5

1.6 Đònh lý
Cho M ≥ 0, α ∈ R sao cho : f (t ) ≤ Me −αt , ∀t ≥ 0 ø, thì ta có : γ ≤ α
( γ đònh nghóa trong 1.4)
Chứng minh
Đặt Re p = σ và giả sử σ > α thì:
∞

∫

e − pt f (t ) dt =

0

∞

∫

f (t ) .e − σt dt

0
∞

≤ ∫ M .eαt .e −σt dt
0
∞

≤ M ∫ e(α −σ)t dt < ∞

0

⇒ F ( p ) xác đònh với Re p = σ > α
Vậy γ ≤ α .
1.7 Đònh lý
Cho F(p) xác đònh tại p0 = σ0 + iτ0 thì lim F ( p ) = 0
p →∞

( trong nửa mặt phẳng Re p ≥ σ0 )

Chứng minh
Vì F(p) xác đònh tại p0 nên F(p) cũng xác đònh tại p có Re p ≥ σ0 . Xét A>0, ta có :

F ( p) =

+∞

∫e

0

− pt

A

f (t )dt = ∫ e
0

− pt

f (t )dt +

+∞

∫e

A

− pt

f (t )dt ≡ M1 + M 2


6

với M 2 =

+∞

∫e

− pt

f (t )dt =

+∞

∫e

A

≤

+∞

∫

− p0 t

f (t ).e

( p0 − p )t

dt ≤

A

+∞

∫

e− p0 t f (t ) .e(σ0 − σ)t dt

A

e− p0 t f (t ) dt (vì e(σ0 −σ)t ≤ 1).

A

Vì F ( p0 ) xác đònh nên với A đủ lớn thì M 2 < ε .

Ta có f (t ) khả tích trên đoạn [0,A] nên tồn tại hàm g(t) khả vi liên tục thỏa :
A

∫

f (t ) − g (t ) e−σ0 t dt < ε

0
A

A

A

0

0

0

Do đó M1 = ∫ e − pt f (t )dt = ∫ e − pt [ f (t ) − g (t )]dt + ∫ e − pt g (t ) dt ≡ M 3 + M 4
A

Trong đó M 3 ≤ ∫ e

−σt

A

f (t ) − g (t ) dt ≤ ∫ e −σ0 t f (t ) − g (t ) dt < ε

0
A

M4 = ∫ e
0

− pt

1
g (t )dt = − g (t )e − pt
p

0
A

0
A

1 A − pt
+ ∫ e g '(t )dt
p0

1
1
1
= g (0) − g ( A).e − pA + ∫ e− pt g '(t )dt
p
p
p0

1
suy ra M 4 ≤
p

≤
với p >

A
⎛
−σ0 A
+ ∫ e −σ0 t g '(t ) dt
⎜⎜ g (0) + g ( A).e
0
⎝

⎞
⎟⎟
⎠

1
.L (L phụ thuộc A)
p

L
thì M 4 < ε và do đó F ( p ) < 3ε . Vậy lim F ( p ) = 0 .
p →∞
ε

7

1.8 Đònh nghóa
Cho hàm số g(t) xác đònh trên R ta gọi g được biểu diễn bởi tích phân Fourier nếu
với mọi t ta có :

1
1 ∞ i τt ∞
[ g (t + 0) + g (t − 0)] = ∫ e ∫ g (t )e−iτx dxd τ (2)
2
2π −∞ −∞
Phương trình (2) được gọi là công thức Fourier

1.9 Đònh lý
Cho hàm gốc f(t) sao cho g (t ) = f (t ).e − ct (với c ∈ R ) thỏa mãn :
∞

i) ∫ g (t ) dt hội tụ
0

1 ∞ i τt ∞
ii) g (t ) =
e ∫ g ( x)e −i τx dxd τ
∫
2π −∞ −∞
iii) f (t ) =

1
[ f (t + 0) + f (t − 0)]
2

1 c + i∞
Thì f (t ) =
F ( p ).e pt dp
∫
2πi c − i∞

(công thức Mellin)

Chứng minh
Cho f(t) là một hàm gốc và c ∈ R thoả f (t ).e− ct khả tích tuyệt đối trên [ 0,∞ ) .
Đặt g(t)= f (t ).e− ct . Giả sử g(t) thoả (2) và để đơn giản cách ghi, ta viết :

g (t ) =
Công thức (2) trở thành :

1
[ g (t + 0) + g (t − 0)]
2


8

1 ∞ i τt ∞
g (t ) =
e ∫ g ( x)e −i τx dxd τ
∫
2π −∞ −∞
f (t ) =

Suy ra

Với F ( p ) =

∞

∫ f (t )e

− pt

1 ∞ (i τ+ c )t ∞
e
g ( x)e−i τx dxd τ
∫
∫
2π −∞
0

(3)

dt xác đònh tại p = c + iτ thì do

0

∞

∫

f (t ) e

− pt

∞

dt = ∫ f (t ) .e− ct dt nên f (t ).e− ct khả tích tuyệt đối trên đường thẳng

0

0

c + iτ (với −∞ < τ < ∞ )
Ta có :
∞

F ( p) = F (c + iτ) = ∫ f (t ).e− ( c + i τ)t dt
0

Và (3) cho ta :

f (t ) =

1 ∞ (i τ+ c )t ∞
e
f ( x)e− ( c + i τ)t dxd τ
∫
∫
2π −∞
−∞

1 ∞ (i τ+ c )t

.F (c + iτ)d τ
=
∫e
2π −∞
Trên đường thẳng p = c + iτ thì dp = id τ , nên ta lại có :

1 c + i∞
f (t ) =
F ( p ).e pt dp
∫
2πi c − i∞
Công thức (4) được gọi là công thức Mellin.

1.10 Đònh lý

(4)


9

Xét phương trình

∞

∫e

− pt

. f (t )dt = F ( p ) (*)

0

Trong đó F(p) cho trước còn f(t) là hàm gốc phải tìm, thì đây là bài toán không chỉnh
theo nghóa Hadamard.

Chứng minh

Với F(p) không phải hàm giải tích thì (*) vô ngiệm. Bây giờ ta xét f(t) ứng với hàm
ảnh F(p) và f1(t) ứng với hàm ảnh F1(p) sao cho:

1
⎧
+
≤
≤
n
f
(
t
),
0
t
⎪⎪
n2
f1 (t ) = ⎨
1
⎪ f (t ),
t> 2
⎪⎩
n

thì d ( f , f1 ) = f − f1 ≥ n (chọn n khá lớn)
1

Trong khi:

∞

F1 ( p) − F ( p) = ∫ e

− pt

( f1 (t ) − f (t ))dt =

0

n2

∫ n.e

0
1
n2

1
⇒ F1 ( p ) − F ( p ) ≤ n ∫ e− pt dt ≤ .M → 0
n
0
(với M= sup e − pt và ta xét p > 0, t ≥ 0 )
t ∈[ 0,1]
Vậy đây là bài toán không chỉnh theo nghóa Hadamard.

1.11 Đònh lý

− pt

dt


10

Cho F(p) giải tích trong nửa mặt phẳng Re p > α và thỏa :
i) lim F ( p ) = 0 trong nửa mặt phẳng Re p ≥ c > α (hội tụ đều)
p →∞

ii)

c + i∞

∫

F ( p )dp hội tụ tuyệt đối

c − i∞

1 c + i∞
F ( p ).e − pt dp
Thì F(P) là hàm ảnh của f (t ) =
∫
2πi c − i∞
∞

(tức là f(t) nhận F(p) là biến đổi Laplace: F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt )
0

Chứng minh
Lấy p0 thoả Rep0 > c.

f (t ) =

Ta có :

∞

∫e

nên

− p0 t

0

1 c + i∞
F ( p ).e pt dp
∫
2πi c − i∞

1 ∞ − p0 t c + i∞ pt
f (t )dt =
∫ e ( ∫ e F ( p)dp)dt
2πi 0

c − i∞

(5)

Với p = c + iy, dp = idy thì :
c + i∞

∫

e F ( p )dp =
pt

c − i∞

Ta có :

∞

∫e

( c + iy )t

F (c + iy )idy = ie

−∞

∞

∫e

−∞

ct

∞

∫

eiyt F (c + iy )dy

−∞

iyt

F (c + iy )dy ≤

∞

∫

−∞

F (c + iy ) dy

(6)


11

vì

c + i∞

∫

F ( p )dp hội tụ tuyệt đối nên

∫

∫

F (c + iy ) dy hội tụ và do đó

−∞

c − i∞
∞

∞

eiyt F (c + iy )dy hội tụ đều đối với t, do đó (5) cho ta:

−∞
∞

∫e
0

− p0 t

∞
1 c + i∞
1 c + i∞ F ( p )
( p − P0 )t
dt = −
f (t )dt =
∫ F ( p)dp ∫ e
∫ p − p dt
2πi c − i∞
2
i
π
0
c − i∞
0

(7)

Xét cung CR' : ( p = R,Re p > c ) : trên cung này thì

max F ( P ) = α( R ) → 0 khi R → ∞ nên :

∫

CR'

α( R)
α( R)
F ( p)
πR → 0 khi R → ∞

dp ≤ ∫
dp ≤
p − p0
−
p
R
' p − p0
0
C
R

∼

Ta có với CR là đường cong kín tạo bởi đường thẳng [ c − iR, c + iR ] ∪ CR' thì

2πiF ( p0 ) =

∫
∼

CR

F ( p)
F ( p)
F ( p)
dp = ∫
dp + ∫
dp
−
p − p0

p
p
p
−
p
'
0
0
c + iR
C
R

(vì F(p) là hàm giải tích)
Cho R → ∞ thì

∫

CR'

F ( p)
dp → 0 nên ta được:
p − p0

2πiF ( p0 ) = lim

R →∞

c + iR

∫

c − iR

F ( p)
dp
p − p0


12

c + iR
∞
1
F ( p)
⇒ F ( p0 ) = −
lim ∫
dp = ∫ e − p0 t f (t )dt
2πi R →∞ c − iR p − p0
0
∞

Ta đã chứng minh được rằng F ( p ) = ∫ e− pt f (t )dt với p thỏa Rep > c.
0


13

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN MELLIN
BẰNG CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG NỘI SUY

2.1. Lý Thuyết Tổng Quát Về Các Phương Pháp Nội Suy

Ta xét phương pháp tính tích phân Mellin :

1 c + i∞ pt
f (t ) =
∫ e F ( p)dp
2πi c −i∞

(2.1.1)

bằng cách thay hàm F(p) bởi một hàm khác nội suy F(p) từ một số điểm.
Ta biết rằng :

lim F ( p ) = 0 . (khi cho Re p → ∞ )

p →∞

nên có thể giả sử F(p) được biểu diễn dưới dạng: F ( p ) =

1
( p − a)

s

ϕ( p) , (s > 0),

trong đó hàm ϕ( p ) là chính quy trên nửa mặt phẳng Re p > α và bò chặn trên nửa
mặt phẳng Re p ≥ c (c > α) , tham số a phải thỏa mãn điều kiện Re a ≤ α .

Nhờ phép đổi trục tọa độ ta có thể lấy a = 0 ≤ α < c . Vì vậy có thể giả sử F(p)
có dạng:

F ( p) =

1
ϕ( p)
ps

(2.1.2)

trong đó ϕ( p ) là chính quy trên Re p > α và liên tục trên nửa mặt phẳng Re p ≥ α .
Thay (2.1.2) vào (2.1.1) ta có :


14

1 c + i∞ pt − s
f (t ) =
∫ e p ϕ( p)dp
2πi c −i∞

(2.1.3)

Ta chọn hệ ωv ( p ) thỏa điều kiện sau :
Với ϕ( p ) được xác đònh ở trên, với c > α và ε > 0 thì có một tổ hợp tuyến tính

Sn ( p) =

n

∑ avωv ( p) sao cho trong miền Re p ≥ c

thì : ϕ( p ) −

v =0

n

∑ avωv ( p) < ε .

v =0

Ta xét trường hợp ωv ( p ) = p −v (v=0,1,…), và nội suy hàm ϕ( p ) bởi những đa
thức theo

1
.
p

Lấy các điểm p0 , p1,..., pn nằm trong nửa mặt phẳng Re p > α , ta thiết lập đa thức

⎛1⎞
Pn ⎜ ⎟ nội suy hàm ϕ( p ) :
⎝ p⎠
n
⎛1⎞
⎛1⎞
ϕ( p ) = Pn ⎜ ⎟ + rn ( p ) = ∑ lk ⎜ ⎟ϕ( pk ) + rn ( p )
⎝ p⎠

k =0 ⎝ p ⎠

(2.1.4)

⎛1⎞
ωk ⎜ ⎟
⎛1⎞
⎝ p⎠
Trong đó : lk ⎜ ⎟ =
⎝ p⎠ ω ⎛ 1 ⎞
⎟
k⎜
⎝ pk ⎠

(2.1.5)

Với :

⎛1⎞
ω⎜ ⎟
n
⎛1⎞
⎝ p ⎠ và ω ⎛ 1 ⎞ = ⎛ 1 − 1 ⎞
ωk ⎜ ⎟ =
⎜ p ⎟ ∏⎜ p p ⎟
⎝ p⎠ ⎛ 1 − 1 ⎞
⎝ ⎠ i =1 ⎝
i⎠
⎜
⎟

⎝ p pk ⎠


15

Thay (2.1.4) vào tích phân (2.1.3) ta có công thức sau:

⎤
1 c + i∞ pt − s ⎡ n ⎛ 1 ⎞
f (t ) =
e p ⎢ ∑ lk ⎜ ⎟ ϕ( pk ) + rn ( p ) ⎥ dp =
∫
2πi c −i∞
⎣ k =0 ⎝ p ⎠
⎦

n

∑ Ak (t )ϕ( pk ) + Rn

(2.1.6)

k =0

trong đó :

1 c + i∞ pt − s ⎛ 1 ⎞ ⎫
Ak (t ) =
∫ e p lk ⎜ p ⎟ dp ⎪
2πi c −i∞

⎝ ⎠ ⎪
⎬
1 c + i∞ pt − s
⎪
Rn =
e p rn ( p )dp
∫
⎪
2πi c −i∞
⎭

(2.1.7)

Ở phần sau ta sẽ chứng minh Rn → 0 (khi n → ∞ ) nên có thể bỏ đi phần dư

Rn ở

(2.1.6) để có công thức tính xấp xỉ hàm gốc từ hàm ảnh :

n
⎤
1 c + i∞ pt − s ⎡ n ⎛ 1 ⎞
ϕ
f (t ) =
e
p
l
p
+
r

p
dp
≈
(
)
(
)
∑ Ak (t )ϕ( pk )
⎢∑ k⎜ ⎟
⎥
k
n
∫
p
2πi c −i∞
k =0
⎣ k =0 ⎝ ⎠
⎦

⎛1⎞
1
theo
lũ
y
thừ
a
củ
a
:
⎟

p
⎝ p⎠

Bây giờ ta tính hệ số Ak (t ) . Khai triển đa thức lk ⎜

ak
ak ak
⎛1⎞
lk ⎜ ⎟ = ak0 + 1 + 22 + ... + nn =
p
p
p
⎝ p⎠
Ta có : Ak (t ) =

=

n

∑ ak j p − j

j =0

1 c + i∞ pt − s n
e p ∑ ak j p − j dp
∫
2πi c −i∞
j =0
n

∑ ak j

j =0

1 c + i∞ pt − s − j
∫ e p dp =
2πi c −i∞

n

∑ ak j

j =0

1 c + i∞ p − s − j s + j −1
dp
∫ e p t
2πi c − i∞

(do đổi biến p =pt)

(2.1.8)


16

n

ak j t s + j −1

j =0

Γ( s + j )

=∑

(2.1.9)

1 c + i∞ p u
1
(vì
e
x
dp
=
)
∫
Γ(u )
2πi c − i∞
Sử dụng (2.1.9) ta tính toán dễ dàng các hệ số Ak (t ) với bất kì những giá trò của t.
Các giá trò của ak j phụ thuộc vào việc chọn pk .

2.2 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Cách Đều.

Ta xét trường hợp các pk cách đều nhau trên nửa đường thẳng thực [α, ∞) :

pk = α + (k + 1)h

(h > 0, k = 0,1,..., n)

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử h = 1 .
Sử dụng phép đổi biến p = α + p ' h thì các điểm pk trở thành các số nguyên:

p 'k = k + 1 (k = 0,1,..., n) .
Trong trường hợp này, thay (2.1.9) vào (2.1.8) ta có :

⎧⎪ n ak t s + j −1 ⎫⎪
f (t ) ≈ ∑ Ak (t )ϕ(k + 1) = ∑ ⎨ ∑ j
⎬ ϕ(k + 1)
k =0
k = 0 ⎪ j = 0 Γ( s + j ) ⎪
⎩
⎭
n

n

⎛1⎞
⎟ được tính như sau:
⎝ p⎠

Và lk ⎜

(2.2.1)


17

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1
1 ⎞ ⎛1

1 ⎞
− ⎟ ...⎜ − ⎟⎜ −
...⎜ −
⎜
⎟
p 1 ⎠ ⎝ p k ⎠⎝ p k + 2 ⎠ ⎝ p n + 1 ⎟⎠
⎛1⎞
⎝
lk ⎜ ⎟ =
⎝ p ⎠ ⎛ 1 − 1 ⎞ ...⎛ 1 − 1 ⎞⎛ 1 − 1 ⎞ ...⎛ 1 − 1 ⎞
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎝ k + 1 1 ⎠ ⎝ k + 1 k ⎠⎝ k + 1 k + 2 ⎠ ⎝ k + 1 n + 1 ⎠
(k + 1) n ( p − 1)...( p − k )( p − k − 2)...( p − n − 1)
=
k (k − 1)...2.1(−1)(−2)...(k − n)
pn
(−1) n − k (k + 1) n ( p − 1)( p − 2)...( p − n − 1)
=
k !(n − k )!
p n ( p − k − 1)

(2.2.2)

2.3 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Không Cách Đều
2.3.1 Phương Pháp
Mục này ta xét các mốc nội suy không cách đều với mong muốn thu được độ chính

xác cao hơn.
Theo mục 2.1 ta đã giả sử hàm ảnh F(p) được biểu diễn ở dạng:

F ( p) =

1
ϕ( p )
( p − a) s

Và tích phân (2.1.1) trở thành:

f (t ) =

1 c + i∞ pt ϕ( p)
∫ e ( p − a) s dp
2πi c −i∞

(2.3.1)

Để biến đổi nửa đường thẳng [α, ∞) , trong đó những mốc nội suy đã được chọn,
thành khoảng hữu hạn ta dùng phép đổi biến:


18

p=

A + ( A − 2α ) x
1− x

(2.3.2)

Với A là số thực nhỏ hơn α .
Phép đổi biến trên biến nửa trục [α, ∞) thành đoạn [-1,1]. Đường thẳng Re p = α
biến thành đường tròn đơn vò x = 1 và nửa mặt phẳng Re p ≥ α biến thành hình tròn
đơn vò x ≤ 1 . Điểm A biến thành tâm x = 0 của đường tròn đơn vò. Đường thẳng lấy
tích phân Re p = c trong tích phân (2.3.1) trở thành đường tròn nằm trong đường tròn
đơn vò và tiếp xúc nhau tại điểm x = 1. Bán kính của đường tròn này sẽ phụ thuộc
vào c. Khi c tiến về α thì bán kính này tiến về 1. Trái lại, nếu c tăng, thì nó sẽ giảm
và có thể trở thành nhỏ tùy ý.
Hàm ϕ( p ) trở thành :

⎛ A + ( A − 2α ) x ⎞
ϕ( p ) = ϕ ⎜
⎟ = Φ ( x)
1− x
⎝
⎠

(2.3.3)

Vì ϕ( p ) là chính quy trên nửa mặt phẳng Re p > α , nên Φ ( x) chính quy trên hình
tròn x < 1 .
Sử dụng các giá trò của hàm Φ ( x) tại những điểm xk (k = 0,1,2,..., n) , ta thiết lập
đa thức nội suy :

Φ ( x) ≈

n

( x − x0 )...( x − xk −1 )( x − xk +1 )...( x − xn )
Φ ( xk )
(
−
)...(
−
)(
−
)...(
−
)
x
x
x
x
x
x
x
x
k =0 k
k
k −1
k
k +1
k
n
0
n

∑ Lk ( x)Φ( xk ) = ∑

k =0

x=

Từ (2.3.2) ta có
nên

ϕ( p ) ≈

n

p−A
p + A − 2α

∑ lk ( p)ϕ( pk )

k =0

(2.3.5)

(2.3.4)


19

pk =

trong đó

A + ( A − 2α) xk
1 − xk
n

lk ( p ) = Lk ( x) = ∏

i =0
i≠k

Vì

pi − A
p−A
−
p + A − 2α pi + A − 2α
pk − A
pi − A
−
pk + A − 2α pi + A − 2α

pi − A
2( A − α)( p − pi )
p− A
−
=
p + A − 2α pi + A − 2α ( p + A − 2α)( pi + A − 2α)
pk − A
pi − A
2( A − α)( pk − pi )
−

=
pk + A − 2α pi + A − 2α ( pk + A − 2α)( pi + A − 2α)

nên

lk ( p ) =

( pk + A − 2α) n ωk ( p )
( p + A − 2α) n ωk ( pk )

trong đó : ωk ( p ) =

(2.3.6)

ω( p )
, ω( p ) = ( p − p0 )( p − p1 )...( p − pn )
p − pk

Thay ϕ( p ) từ biểu thức (2.3.5) vào tích phân (2.3.1) ta nhận được công thức
xấp xỉ f(t) :

f (t ) =
≈
trong đó

1 c + i∞ pt ϕ( p)
∫ e ( p − a) s dp
2πi c −i∞

n

1 c + i∞ e pt
∑ lk ( p)ϕ( pk )dp =
∫
2πi c −i∞ ( p − a ) s k = 0

n

∑ Ak (t )ϕ( pk )

k =0

1 c + i∞ pt lk ( p )
Ak (t ) =
∫ e ( p − a) s dp
2πi c −i∞

Khai triển đa thức ωk ( p ) theo lũy thừa của ( p + A − 2α) :

ωk ( p ) =

n

∑ bk j ( p + A − 2α)n − j
j =0

(2.3.7)

(2.3.8)

20

lk ( p ) =

nên :

trong đó

n

∑ ak j ( p + A − 2α)− j

(2.3.9)

j =0

( pk A − 2α) n
bk j
=
ωk ( pk )

ak j

(2.3.10)

Thay (2.3.9) vào (2.3.8) ta có:

1 c + i∞
e pt
Ak (t ) = ∑ ak j

dp
∫
2πi c −i∞ ( p + A − 2α) j ( p − a) s
j =0
n

(2.3.11)

Tích phân nầy có được nhờ tra bảng tính.
Cuối cùng, ta có :

Ak (t ) =

n

∑ ak j

j =0

t s + j −1 (2α − A)t
e
F 1 ( s, s + j ,(a + A − 2α)t )
Γ( s + j )

(2.3.12)

trong đó:

F1 (α, β, z ) =

Γ(β) ∞ Γ(α + v) v
z
∑
Γ(α) v = 0 Γ(β + v)v !

( z < ∞)

Đặc biệt nếu a và A đối xứng qua α , tức là chúng được liên hệ bởi

1
α = ( A + a ) thì :
2

Ak (t ) =

n

∑ ak j

j =0

1 c + i∞
e pt
t s + j −1eat
dp
a
=
∑ k j Γ( s + j )
∫
2πi c − i∞ ( p − a ) s + j

( 2.3.13)

Công thức (2.3.12) và (2.3.13) cho phép xác đònh hệ số Ak (t ) của công thức cầu phương
(2.3.7) với giá trò t bất kỳ.


21

2.3.2 Phương Pháp Tính ak j Dựa Vào Các Mốc Nội Suy
Trong phần này ta xét các điểm xk (k = 0,1,...n) là nghiệm của đa thức Chebyshev
loại 1

Tn +1 ( x) = cos ⎡⎣( n + 1) arccos x ⎤⎦
Các giá trò của ak j phụ thuộc vào cách chọn các điểm xk và các tham số α và A.
Bằng phép đổi biến p = α + ( A − α) p ' , không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
giá trò của α và A lần lượt là 0 và 1.
Các hệ số ak j của (2.3.12) hoặc (2.3.13) được tính theo cách sau:
- Dùng công thức đổi biến x =

Lk ( x) =

p −1
để tìm Lk ( x) :
p +1

( x − x0 )( x − x1 ).....( x − xk −1 )( x − xk +1 )....( x − xn )
Tn +1 ( x)
=
( xk − x0 )( xk − x1 )...( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )...( xk − xn ) ( x − xk )Tn′+1 ( xk )

Tn +1 ( x)
theo lũy thừa của 1-x
x − xk

Khai triển đa thức

Tn +1 ( x)
=
x − xk

n

∑ ckj (1 − x) j

( 2.3.14 )

j =0

Ta được:
n

∑ ckj (1 − x) j
Lk ( x) =
Trong đó bkj =

j =0

Tn′+1 ( xk )
ckj
Tn′+1 ( xk )

=

n

∑ bkj (1 − x) j
j =0