Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ không điều kiện trong không gian Banach

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

SỰ HỘI TỤ KHÔNG ĐIỀU KIỆN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 1.01.01

NGƢỜI THỰC HIỆN : TRẦN GIA TÙNG

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
---------1997---------


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐƢỢC HOÀN
THÀNH TẠI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 1997
****
Thầy hƣớng dẫn:
PTS. ĐẬU THẾ CẤP
Khoa Khoa Học Cơ Bản
Trƣờng Sĩ Quan Kỹ Thuật Vin-Hem-Pich
Thầy phản biện 1:
PTS . DƢƠNG LƢƠNG SƠN
Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm
Đại Học Quốc Gia TP.HCM
Thầy phản biện 2:
PTS . NGUYỄN THÀNH LONG

Trƣờng Đại Học Đại Cƣơng
Đại Học Quốc Gia TP.HCM
Ngƣời thực hiện :
TRẦN GIA TÙNG
Khoa Thống Kê - Toán - Tin Học
Trƣờng Đại Học Kinh Tế

LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƢỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG
CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƢỜNG
ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH.


LỜI CẢM ƠN
* Chân thành cảm ơn thầy : PTS. ĐẬU THẾ CẤP đã hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi trong
việc nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.
* Chân thành cám ơn quý thầy :
PTS. DƢƠNG LƢƠNG SƠN - PTS.NGUYỄN THÀNH LONG đã đọc và cho ý
kiến phản biện luận văn.
* Chân thành cảm ơn Thầy :
GS.TS. NGUYỄN DUY TIẾN đã quan tâm, động viên và cung cấp các tài liệu có
tính thời sự giúp cho việc thực hiện luận văn.
* Chân thành cám ơn quý thầy:
- PGS PTS. NGUYỄN TRỌNG KHÂM - TS. TRẦN VĂN TẤN - PTS. NGUYỄN
BÍCH HUY - PGS TS. TRẪN HỮU BỔNG - PTS. DƢƠNG LƢƠNG SƠN - PGS PTS.
BÙI TƢỜNG TRÍ - PTS. TRẦN HUYÊN - PTS. TRỊNH CÔNG DIỆU. Đã tận tâm giảng
dạy truyền đạt kiến thức cho tôi trong thời gian học Cao học.
- Quý cán bộ và nhân viên phòng nghiên cứu Khoa Học đã giúp đỡ tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học Cao học cũng nhƣ thời gian hoàn thành luận văn
này.
Thành phố Hồ Chí Minh

1997
TRẦN GIA TÙNG


LỜI NÓI ĐẦU
Chuỗi số ra đời từ nhu cầu nghiên cứu về số, về hàm và các phép tính trên các hàm,
đặc biệt là phép tính vi phân và tích phân. Sau này chuỗi đƣợc xét trên không gian vectơ tôpô
tổng quát. Chuỗi đã và đang là một công cụ đắc lực để nghiên cứu các không gian và các toán
tử.
Có ý kiến cho rằng chuỗi là một dãy đặc biệt, chỉ nghiên cứu dãy là đủ. Tình hình
không đơn giản nhƣ vậy. Hàng loạt các khái niệm quan trọng nãy sinh trên các chuỗi mà
không có trên dãy. Các khái niệm này gắn liền với các không gian và các toán tử, làm rõ tầm
quan trọng của chúng cũng nhƣ giải thích những bí ẩn của chúng.
Vì các lý do trên, có thể nói lý thuyết chuỗi gắn liền với sự phát triển của toán học
hiện đại. Các nhà toán học nổi tiếng nhƣ Leibnitz, Gauss. Riemann, Weierstrass, Cauchy,
Grothendieck ... đều có những công trình quan trong về chuỗi.
Trong tiểu luận này, chúng tôi đặt cho mình nhiệm vụ khảo sát các loại hội tụ và phân
kỳ của chuỗi, mà đối tƣợng trung tâm là các chuỗi hội tụ không điều kiện và các vấn đề liên
quan. Ở đây, các chuỗi đƣợc xét trong không gian Banach-loại không gian mà các thành tựu
của chuỗi phong phú và quan trọng. Chúng tôi cũng khảo sát miền tổng của chuỗi và bƣớc
đầu khảo sát một loại toán tử đặt biệt là toán tử khả tổng tuyệt đối.
Tiểu luận này gồm có 4 chƣơng
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Trong chƣơng này chúng tôi tóm tắt một số kiến thức về chuỗi số, về không gian
tôpô, không gian Banach, HilBert, không gian định chuẩn hữu hạn chiều, về các toán tử tuyến
tính, không gian đối ngẫu.
Chương 2: Các loại hội tụ của chuỗi trong không gian Banach
Trong chƣơng này chúng tôi đề cập đến 4 loại hội tụ của chuỗi, đó là hội tụ tuyệt đối,
hội tụ không điều kiện, hội tụ có điều kiện và hội tụ hoàn hảo và một loại phân kỳ, đó là phân
kỳ hoàn hảo. Chúng tôi đã nêu các mối liên hệ giữa các loại hội tụ. Trong không gian Banach

hội tụ tuyệt đối kéo theo hội tụ không điều kiện: hội tụ không điều kiện và hội tụ hoàn hảo là
tƣơng đƣơng Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiểu thì hội tụ tuyệt đối, hội tụ không
điều kiện và hội tụ hoàn hảo tƣơng đƣơng với nhau. Chúng tôi đã đƣa ra ví dụ chứng tỏ trong
một không gian vô hạn chiều có thể có chuỗi hội tụ không điều kiện nhƣng không hội tụ tuyệt
đối.


Kết quả quan trọng của chúng tôi trong chƣơng này là chứng minh định lý: Nếu X là
không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì một chuỗi Σxk là phân kỳ hoàn hảo nếu và chỉ nêu
không có limxk = 0 .
Chúng tôi đã chứng minh trực tiếp bằng cách dựa vào tính compact địa phƣơng của
không gian hữu hạn chiều, không cần dựa vào các tính chất hình học của Rn (nhƣ đa diện,
điểm cực biên, ...). Và nhƣ vậy phƣơng pháp chứng minh của chúng tôi có thể sử dụng để
chứng minh một số kết quả đã biết theo cách khác.
Cuối chƣơng này chúng tôi đƣa ra một số ví dụ về chuỗi trong không gian Banach vô
hạn chiều có số hạng tổng quát hội tụ về 0 nhƣng phân kỳ hoàn hảo. Chúng tôi cho rằng mỗi
ví dụ là một bài toán thú vị về tôpô và giải tích hàm.
Chƣơng 3 : Chuỗi hội tụ có điều kiện
Ta gọi tất cả các tổng của các hoán vị khả tổng của chuỗi Σxk là miền
tổng của chuỗi, ký hiệu DS(Σxk). Giả sử Σxk là một chuỗi trong không gian
Banach X. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X gọi là phiếm hàm khả tổng của
chuỗi nếu Σ | f(xk)| < ∞ Ký hiệu F là tập tất cả các phiếm hàm khả tổng của Σxk . Trong
chƣơng này đã trình bày chi tiết chứng minh định lý quan trọng của Steinitz: Nếu X là không
gian hữu hạn chiều và Σxk= s thì miễn tổng của Σxk là DS(Σxk) = s + Γo trong đó Γo là linh tử
hóa của F tức
Γo={x∈X : f(x) = 0 với mọi f ∈F}
vì Γo là không gian con tuyến tính đóng cửa X, do đó từ định lý Steinitz suy ra rằng
miền tổng của một chuỗi trong không gian hữu hạn chiều là một đa tạp tuyến tính, có thể có
số chiều từ 0 đến n.
Trong R2. ta xét chuỗi Σxk với

Mọi phiếm hàm f(ξ, μ.) = aξ + bμ trên R2 ta có

vì vậy

Từ đó

. đƣờng chéo của R2


nên miền tổng của chuỗi đang xét là

Bởi vì

Cũng trong R2 , ta xét chuỗi Σxk với

Với phiếm hàm

ta có

hoặc

Khi k = 2lvới l lẻ thì |f(xk)| có dạng (1)
Khi k = 2l với l chẵn thì |f(xk)| có dạng (2).
Do vậy

Vậy F chỉ có một phân tử duy nhất là phiêm hàm 0, nghĩa là Γo = R2 và
DS (Σxk ) = R2
Định lý Steinetz là không đúng trong trƣờng hợp X là vô hạn chiều. Chúng tôi đã chỉ
ra rằng trong không gian Lp[0,1] , 1 ≤ p < ∞ tồn tại chuỗi Σxk có miền tổng không phải là tập
hợp lồi, tức không phải là đa tạp tuyến tính.

Chƣơng 4: Chuỗi hội tụ không điều kiện
Trong chƣơng này chúng tôi trình bày định lý của Dvoretzky - Rogers : Nếu X là
không gian Banach vô hạn chiều và (ak) là một dãy số dƣơng sao cho Σa2k < ∞ thì trong X
tồn tại dãy (xk) sao cho ‖xk ‖= ak và Σxk hội tụ không điều kiện.
1
Nếu chọn ak = k thì định lý cho ta khẳng định trong mọi không gian Banach vô hạn
chiều đều có chuỗi hội tụ không điều kiện nhƣng không hội tụ tuyệt đối. Từ đó, bài toán đặt
ra là có hay không những không gian Banach vô hạn chiều mà trong đó tính hội tụ không
điều kiện của một chuỗi Σxk suy ra đƣợc điều kiện hạn chế nào đó cho những chuỗi số có số
hạng tổng quát. Có


dạng liên quan với ‖xk ‖ , đƣơng nhiên là yếu hơn điều kiện Σ ‖xk ‖ < ∞. Câu trả lời là
Định lý Orlicz : Giả sử chuỗi Σxk trong Lp [0,1] là hội tụ không điều kiện
Khi đó :
Nếu 1 ≤ p ≤ 2 thì chuỗi Σ ‖xk ‖2 hội tụ .
Nếu 2 ≤ p ≤ ∞ thì chuỗi Σ ‖xk ‖p hội tụ .
Một bài toán khác, chúng ta có thể xét tính hội tụ không điều kiện của một chuỗi
trong một không gian Banach và khảo sát tính hội tụ tuyệt đối của nó trong một không gian
Banach khác có tôpô yếu hơn. Vấn đề lại phát triển, dẫn đến việc nghiên cứu các toán tử khả
tổng tuvệt đối. Và tiếp theo đó, ta có định lý Grothendieck: Mọi toán tử tuyến tính liên tục T:
l1 → l2 là toán tử khả tổng tuyệt đối.
Chúng tôi chứng minh đƣợc kết quả tƣơng tự cho các toán tử tuyến tính T: L1[0,1] →
L2[0,1]. điều này không quá hiển nhiên bởi vì khi chứng minh ta phải chọn một hệ tuyến tính
trù mật khác thay cho hệ luyến tính trù mật quen thuộc trong L1[0,1] là tập các đa thức, ngoài
ra thay vì áp dụng định lý Omnibus hay định lý Gelfand chúng tôi dùng mệnh đề 3 đơn giản
hơn.
Từ các kết quả này ta thấy có một mối liên hệ mật thiết giữa lp và Lp Vì vậy là thú vị
khi chúng tôi chỉ đƣợc ra rằng : tồn tại đơn cấu φ : l1→ L1[0,1] sao cho φ(l1) không là tập
( ) → L1[0,1].

đóng và ̅̅̅̅̅̅̅
Chúng tôi mong rằng đƣợc có dịp tiếp tục phát triển đề tài này, chẳng hạn là nghiên
cứu các vấn đề liên quan đến toán tử lấy tổng mà trong đó sự liên hệ giữa giải tích và đại số
đƣợc thể hiện rõ nét.


MỤC LỤC

CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................................... 1
§1.Chuỗi số ............................................................................................................................ 1
§2. Không gian khả ly - không gian compact ........................................................................ 5
§3. Không gian Banach .......................................................................................................... 6
§4. Toán tử tuyến tính .......................................................................................................... 10
CHƢƠNG 2 CÁC LOẠI HỘI TỤ CỦA CHUỖI TRONG KHÔNG GIAN BANACH ......... 12
§1. Các loại hội tụ ................................................................................................................ 12
§2. Sự phân kỳ hoàn hảo. ..................................................................................................... 19
CHƢƠNG 3: CHUỖI HỘI TỤ CÓ ĐIỀU KIỆN .................................................................... 26
§1. Miền tổng của chuỗi hội tụ có điều kiện trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều . 26
§2. Một trƣờng hợp vô hạn chiều......................................................................................... 35
CHƢƠNG 4 CHUỖI HỘI TỤ KHÔNG ĐIỀU KIỆN............................................................. 37
§1. Định lý Dvoretzky - Rogers ........................................................................................... 37
§2. Định lý Orlicz . .............................................................................................................. 40
§3. Toán tử khả tổng tuyệt đối ............................................................................................. 48


CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1.Chuỗi số
1. Định nghĩa
Cho dãy số (xn), ta ký hiệu
Sn = x1+x2 + ... + xn

(n ≥ 1)

Nếu (Sn) hội tụ đến S ta nói chuỗi số

hội tụ và có tổng là S, ký hiệu

Trong trƣờng hợp ngƣợc lại, ta nói chuỗi

phân kỳ.

2. Dựa vào định nghĩa và áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho dãy (Sn) ta có
Tiêu chuẩn Cauchy
Chuỗi số

hội tụ nếu và chỉ nếu

Với mọi ɛ > 0, tồn tại số N sao cho khi n ≥ N và p > 1 thì |xn-1 + ... + xn+p| < ɛ
Hệ quả : ( Điều kiện cần)
Nếu chuỗi

hội tụ thì

3. Chuỗi hội tụ tuyệt đối
3.1. Định nghĩa
Chuỗi số

đƣợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

3.2. Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy và bất đẳng thức

Ta có
Định lý: Nếu chuỗi số

hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.

Trang 1

hội tụ.


4. Hoán vị của chuỗi
4.1. Định nghĩa
Một hoán vị của tập các số tự nhiên N là một ánh xạ 1 - 1 từ N lên chính nó.
4.2. Định lý
và xk ≥ 0 ∀k. Khi đó

Giả sử

Với bất kỳ hoán vị π của N ta có chuỗi

hội tụ và cũng có tổng bằng S.

Chứng minh
Ta ký hiệu
∀k nên

Do

σj ≤ S ∀j

Có nghĩa là dãy (σj) tăng và bị chặn trên bởi S, từ đó:
Mặt khác : ta cũng có π-1 là một hoán vị của N

Bằng lý luận tƣơng tự, ta suy ra đƣợc

Vậy S - ̅. Định lý đƣợc chứng minh
4.3. Định lý
hội tụ tuyệt đối. Khi đó với bất kỳ hoán vị π của N ta có chuỗi

Giả sử chuỗi
hội tụ và
Chứng minh

Với mọi số thực x , ta ký hiệu
nếu x > 0
nếu x ≤ 0
-

và x = x+ - x
Ta có x

+
k

≥0

Trang 2


và

-

Do đó tồn tại số S+ và S sao cho
và
Với bất kỳ hoán vị π của N, áp dụng định lý 4.2 ta đƣợc

Mà

nên
Tƣơng tự, ta cũng có

Định lý đƣợc chứng minh
4.4. Định lý (Định lý Riemann)
hội tụ nhƣng không hội tụ tuyệt đối. i. là số thực hay I = ±∞

Cho chuỗi số thực
Khi đó

Tồn tại hoán vị π của N sao
Chứng minh
Gọi A = {a1, a2,...}, B = {b1, b2,...} là hai tập con của N sao cho xak ≥ 0 và xbk <0 ∀k
Nhận xét là
Nếu

và

Nếu

và

thì

, hay nếu

Trang 3


và

thì

Do đó với giả thiết

phân kỳ

hội tụ nhƣng không hội tụ tuyệt đối, ta suy ra đƣợc

và
Trƣờng hợp L∈ R
Giả sử L > 0. Ta xây dựng hoán vị K nhƣ sau :
sao cho
với 1 ≤ j ≤ j1-1
và Sj1 > L
Sau đó ta cộng vào những số hạng âm :
Xác định

sao cho
với 1 ≤ j ≤ j2-1

và Sj2 < L
.....
Theo cách xây dựng hoán vị π nhƣ vậy, ta có
∀k
Dẫn đến
Cũng theo cách xây dựng hoán vị π, với mọi n tồn tại k sao cho
hay
Từ dó :
Vậy
Trƣờng hợp L ≤ 0 , ta chứng minh tƣơng tự.
- Trƣờng hợp L = ± ∞
Ta xây dựng hoán vị π sao cho

nhƣ sau:

sao cho

Trang 4


. Đặt π ( j1 +1) = b1
Chúng ta cộng lại thêm các số hạng dƣơng cho đến Sj2 > 2 - xb2.
Đặt π(j2 + 1) = b2
....
Theo cách xây dựng hoán vị nhƣ vậy, ta có

Suy ra
Trƣờng hợp L = - ∞, ta chứng minh tƣơng tự

§2. Không gian khả ly - không gian compact

1. Định nghĩa
Không gian mêtric X đƣợc gọi là khả ly nếu trong X tồn tại một tập hợp không quá
đếm đƣợc và trù mật.
Ví dụ :
1) Tập các số hữu tỷ trù mật trong R do đó R là khả ly.
2) lp (1 ≤ p < ∞) là không gian khả ly.
Ta chứng minh cho trƣờng hợp lplà không gian vectơ phức.
Gọi D là tập hợp các dãy số (p1 + iq1 ,..., pn + iqn, 0, ...) với pk, qk ∈ Q, k= 1.2,...,n.
D là tập con đếm đƣợc của lp .Ta chứng minh D trù mật trong lp. Giả sử x = (an)∈ lp
Với bất kỳ ɛ > 0 cho trƣớc, vì chuỗi

hội tụ nên có số tự nhiên N sao cho

Tồn tại z1 = p1 + iq1,...,zn= pn + iqN với p1,...,pN, q1 ,...,qN ∈ Q sao cho

Từ đó ||x-z|| < ɛ với z = (z1,...,zN, 0,...) ∈ D
3) Từ hai định lý sau đây ta suy ra đƣợc Lp[a,b] (1≤ p< ∞) là không gian khả ly. Định
lý: Tập hợp các hàm liên tục trù mật trong Lp[a.b]
Định lý: Với mọi hàm số f ∈ C [a.b] , với mọi ɛ > 0 cho trƣớc đều tồn tại đa thức g.
với những hệ số hữu tỷ sao cho.

Trang 5


Ta có thể xem chứng minh các định lý này ở [7].
2. Định nghĩa
Không gian mêtric X đƣợc gọi là compact nếu với mọi phủ (Ui)i∈I của X gồm những
lập mở đều tồn tại một họ con hữu hạn (Ui)i∈I ( J ⊂ I và hữu hạn ) cũng là một phủ của X.
Định nghĩa
Không gian mêtric X đƣợc gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mọi ɛ > 0 đều tồn tại tập

hợp hữu hạn H ⊂ X sao cho d(x, H) ≤ ɛ với mọi x ∈ X.
2.1. Định lý
Cho X là không gian mêtric. Ta có X compact ⟺ X đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.
2.2. Định lý
Cho X, Y là hai không gian mêtric và ánh xạ liên tục f: X → Y. Ta có
Nếu A ⊂ X là compact thì f(A) compact
Hệ quả
Cho X là không gian mêtric compact và ánh xạ liên tục f: X → R.
Khi đó f(X) bị chặn và tồn tại x1, x2 ∈ X sao cho

Ta có thể xem chứng minh các định lý này ở [6].

§3. Không gian Banach
1. Định nghĩa
Không gian Banach là một không gian định chuẩn đầy đủ.
2. Ví dụ
1) Không giian lp(1 ≤ p ≤ ∞) không gian tất cả các dãy số thực (hay phức)
X = (an) sao cho

2) Không gian Co: không gian tất cả các dãy số thực (hay phức) x = (an) hội tụ đến ()

Trang 6


3) Không gian C[a,b] : không gian tất cả các hàm số thực (hay phức) f liên tục trên
[a.b]
4) Không gian Lp[a.b] (1 ≤ p <∞): không gian tất cả các hàm số thực (hay phức) f có
lũy thừa bậc p của môđun khả tích trên [a,b], tức là

5) Không gian C0(R): không gian tất cả các hàm liên tục trên R và triệt tiêu ở vô cùng.

3. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
3.1. Định lý
Mọi chuẩn trong Rn đều tƣơng đƣơng với nhau.
Chứng minh.
Ta xét (Rn ‖.‖E)
Với mỗi x = (x1, x2,...,xn)∈ Rn, đặt
Giả sử ‖.‖ là một chuẩn trong Rn.
e1 = (1,0,...,0),...,en = (0,...,0,1)
Ta có :

Xét hàm

f: Rn → R
x → ‖x‖

Do (1) ta có ý là hàm liên tục.
Vì B = {x∈Rn/ ‖x‖E = 1 } là tập compact và
f(x) > 0 ∀x ∈ B , nên ∃ ̅ ∈ B sao cho
f(x) > f( ̅ ) = β > 0 ∀x∈B
Từ đó : với mọi 0 ≠ x ∈ Rn

Trang 7


Suy ra
Bất đẳng thức này cũng đúng với x = 0.
Từ (1) và (2) ta có ||.|| tƣơng đƣơng với ||.||E.
Suy ra điều phải chứng minh
Xét không gian định chuẩn (X,||.||X) có cơ sở là {v1,v2,...,vn}
Với mỗi x = (x1, x2,..., xn) ∈ Rn, ta đặt

với
thì ||.|| là một chuẩn trong Rn. Và áp dụng định lý 3.1, ta có hai hệ quả sau đây:
Hệ quả 1
Mọi chuẩn trong cùng một không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều tƣơng đƣơng
với nhau.
Hệ quả 2
Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là khổng gian Banach.
3.2. Định lý
Không gian định chuẩn X là hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu hình cầu đóng đơn vị Bx
trong X là compact.
Chứng minh
1) Giả sử (X ,||.||X) là không gian định chuẩn. {v1,v2,..., vn là cơ sở của X. Ta xét song
ánh A : X→ Kn (K = R hay K = C)
x = x1v1 + ... + xn vn → Ax = (x1,..., xn)
Với mỗi x ∈ X, đặt
thì ||.|| cũng là chuẩn trên X. Áp dụng hệ quả 1, ta suy
ra có β ,α> 0 sao cho
Do đó A.A-1 liên tục.
A(Bx) đóng trong Kn vì A-1 liên tục và Bx đóng. Từ (1) ta cũng có A(Bx) bị chặn. Dẫn
đến A(Bx) compact trong Kn.
Mà A-1 liên tục theo định lý 2.2 ta có Bx = A-1(A(Bx) là compact.
2) Giả sử Bx là compact.
Ta chứng minh X hữu hạn chiều hằng phản chứng. Giả sử X là vô hạn chiều.
Lấy x1 ∈ X sao cho ‖x1 ‖ = 1, ta xét W1 là không gian con sinh bởi x1. Theo hệ quả 2
thì W1 là không gian Banach, do đó W1 đóng trong X.
Do X vô hạn chiều nên có y1 ∉ W1

Trang 8

Đặt
d1 > 0 vì W1 là tập đóng.
Từ (2), tồn tại ̅ ∈ W1 sao cho
Đặt
và với mọi x ∈ W1
ta có

(Do (2), (3) và
Cứ tiếp tục nhƣ vậy ta xây dựng đƣợc dãy vô hạn (xn) những phần tử của Bx thỏa mãn
điều kiện.
với mọi i ≠ j
Điều này mâu thuẫn với Bx là hoàn toàn bị chặn (do Bx là tập compact)
4. Không gian HilBert
4.1. Định nghĩa
Cho không gian vectơ H có xác định tích vô hƣớng ( | ) và chuẩn
Nếu H là đầy đủ với chuẩn này, thì H đƣợc gọi là không gian HiBert.
4.2. Định lý
Nếu {xn} là một dãy những vectơ độc lập tuyến tính của không gian HilBert H thì tồn
tại một hệ trực chuẩn {en} trong H sao cho không gian con sinh bởi (e1,...,em} bằng không
gian con sinh bởi {x1,...,xm} với mọi m.
4.3. Định lý
Mọi không gian HilBert khả ly vô số chiều đều đẳng cấu với L2[0,1].
Ta có thể xem chứng minh các Định lý này ở [7].
5. Chuỗi trong không gian Banach
5.1. Định nghĩa
Cho (xn) là một dãy phần tử của không gian Banach X. Ta lập dãy các tổng (Sn)
Sn = x1 + ... + xn với mọi n.

Trang 9

Sn đƣợc gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi
Nếu (Sn) hội tụ đến phần tử S∈ X thì ta nói chuỗi
hội tụ và có tổng là S.
5.2.Tiêu chuẩn Canchy
Chuỗi
hội tụ nếu và chỉ nếu với mọi ɛ > 0, tồn tại số N sao cho khi n ≥ N và p≥
1 thì

§4. Toán tử tuyến tính
1. Định nghĩa
Cho X và Y là hai không gian vectơ trên cùng một trƣờng K(K=C hay R). Ánh xạ
A:X → Y đƣợc gọi là toán tử tuyến tính nếu.
(i) A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 với mọi x1, x2 ∈ X
(ii) A(αx) = αAx
với mọi x ∈ X, α ∈ K.
2. Định nghĩa
Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn.
Toán tử tuyến tính A : X → Y đƣợc gọi là bị chặn nếu tồn tại số K sao cho
với mọi x ∈ X
Số
gọi là chuẩn của toán tử A.
Định lý
Toán tử tuyến tính A : X →Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn
Định lý

Ta có thể xem chứng minh các định lý này ở [7].
3. Không gian đối ngẫu
3.1. Định nghĩa
Nếu X là không gian vectơ trên trƣờng K thì toán tử tuyến tính A: X → K đƣợc gọi là

phiếm hàm tuyến tính trên X.
Không gian định chuẩn lập thành hỏi tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
*
X, gọi là không gian đối ngẫu của X, đƣợc ký hiệu là X .

Trang 10


Ta chứng minh đƣợc rằng không gian đối ngẫu của bất kỳ không gian định chuẩn nào
cũng là không gian Banach.
3.2. Định lý (Riesz)
Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian HilBert X thì tổn tại một
phần tử duy nhất a của X sao cho.
f(x) = (a | x) với mọi x ∈ X và ||f|| = ||a||
Ta có thể xem chứng minh định lý này ở [7].

Trang 11


CHƢƠNG 2 CÁC LOẠI HỘI TỤ CỦA CHUỖI TRONG KHÔNG GIAN
BANACH
§1. Các loại hội tụ
1. Định nghĩa
1.1. Hội tụ tuyệt đối
Chuỗi của
những phần tử trong một không gian Banach đƣợc gọi là hội tụ tuyệt
đối nếu

có

1.2. Hội tụ không điều kiện
Chuỗi
đƣợc gọi là hội tụ không điều kiện nếu với bất kỳ hoán vị π của N ta đều
hội tụ.
1.3. Hội tụ có điều kiện
Chuỗi
đƣợc gọi là hội tụ có điều kiện nếu nó hội tụ nhƣng không hội tụ không

điều kiện.
1.4. Hội tụ hoàn hảo
Chuỗi
đƣợc gọi là hội tụ hoàn hảo nếu những chuỗi
chọn những hệ số ak = ±1.
2. Sự liên hệ giữa các loại hội tụ
2.1. Dùng tiêu chuẩn Cauchy và các bất đẳng thức

Ta có :
Định lý :
(i) Chuỗi

hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.

(ii) Chuỗi

hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ hoàn hảo.

Trang 12

hội tụ với bất kỳ cách

2.2. Định lý
Một chuỗi những phần tử của một không gian Banach hội tụ không điều kiện nếu và
chỉ nếu nó hội tụ hoàn hảo.
Chứng minh
1) Giả sử chuỗi
là không hội tụ không điều kiện khi đó tồn tại hoán vị π của N
sao cho
phân kỳ. Dùng tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra có δ > 0, có dãy những chỉ số k1 <
l1 < k2 < l2 < k3 ... sao cho
j=1,2... (1)
Từ chuỗi ban đầu ta chọn ra dãy các tập hợp
( j =1, 2, ...) sao cho với mỗi
j.∆j chứa
.Nếu cần, ta chọn dãy con, do đó ta có thể giả sử các ∆j đôi một không
giao nhau.
'
Với mỗi j, ta đặt uj là tổng các phần tử trong ∆ j và vj là tổng của những phần tử trong
'

∆j \ ∆ j. Từ dó, do cách đặt và do (1) ta có

Điều này dẫn đến

Ta xây dựng chuỗi
phân kỳ nhƣ sau.
• Nếu (2) đúng : lấy α1 = 1 với những
cũng lấy α1 = 1 với những
• Nếu (3) đúng và (2) không đúng: lấy α1 = 1 với những
lấy α1 = 1 với những

Lấy α1 ± 1 tùy ý cho những phần tử còn lại của chuỗi mà không thuộc bất kỳ một ∆j
nào.
Với cách chọn các hệ số nhƣ vậy, ta có :

Trang 13


Do đó
phân kỳ bởi tiêu chuẩn Cauchy.
2) Giả sử chuỗi
không hội tụ hoàn hảo.
Khi đó tồn tại dãy các hệ số (αi) , αi ± 1 sao cho
phân kỳ. Theo tiêu chuẩn
Cauchy tồn tại δ > 0, và dãy các chỉ số m1 < n1
Xét dãy các tập hợp (∆j) với
+
Gọi ∆ j là tập hợp các Xi trong ∆j mà αi = 1 và ∆ j là phần còn lại nhƣ vậy
Ta có :

hay
vì nên ngƣợc lại thì
điều này mâu thuẫn với (4)
Với mỗi j, ta ký hiệu
nếu (5) đúng

nếu (6) đúng
∆ là tập hợp những phần tử của (xn) mà không thuộc bất kỳ ∆*j nào.
0

Trang 14


Chuỗi

phân kỳ với hoán vị π đƣợc xác định sao cho

xπ(1) = x1(1),...,xπ(n1)=x1(1)
tƣơng đƣơng với tất cả các π các xi(1) ∈ ∆*1
với một
, ... ,
tƣơng đƣơng với tất cả các xi
∈∆
với một
(2)

*
2

Cứ tiếp tục nhƣ vậy, ta xây dựng đƣợc hoán vị mà mỗi chuỗi tƣơng ứng là phân kỳ
theo tiêu chuẩn Cauchy.
Định lý đƣợc chứng minh.
2.3. Định lý:
Giả sử X là một không gian định chuẩn n - chiều. Khi đó mọi chuỗi hội tụ không điều
kiện trong X đều là chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Chứng minh:
Do mọi chuẩn trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều tƣơng đƣơng với nhau
nên ta có thể giả sử X= l1(n), và ta chỉ cần chứng minh cho trƣờng hợp X là không gian
vectơ thực.
Gọi

f1 = X→R
X = (x1,...,xn) ⟼ fi(x) = xi
(i= 1,2,...,n)
hội tụ không điều kiền ta cũng có chuỗi số

Từ
= 1, 2, ... n)
Áp dụng định lý 4.4 ở chƣơng 1 ta đƣợc
∀i = 1,2,...n
Mà

với mọi n
Do đó

Trang 15

hội tụ không điều kiện (i


Có nghĩa là chuỗi
hội tụ tuyệt đối.
Nhận xét:
Với định lý 2.3 và hai định lý 2.1; 2.2 ta suy ra rằng trong trƣờng hợp X là không gian
định chuẩn hữu hạn chiều thì các khái niệm hội tụ tuyệt đối, hội tụ không điều kiện, hội tụ
hoàn hảo là tƣơng đƣơng với nhau.
3. Mệnh đề:
Trong mỗi không gian Hilbert X vô hạn chiều đều tồn tại chuỗi hội tụ không điều kiện
nhƣng không hội tụ tuyệt đối.
Chứng minh:

Gọi

là một hệ trực chuẩn trong X.
1
Đặt xn = n en với mọi n.
Do tính trực giao của

ta có

Cho mọi n, mọi p ≥ 1 và bất kỳ cách chọn ak = ±1.
Từ
hội tụ và tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra chuỗi

hội tụ với bất kỳ cách

chọn ak = ±1, do đó nó hội tụ không điều kiện theo định lý 2.2.
Nhƣng
phân kỳ.
Từ định lý Dvoretzky - Rogers ở chƣơng 4 ta sẽ có khẳng định tƣơng tự mệnh đề 3
cho một không gian Banach bất kỳ.
4. Định lý :
Giả sử chuỗi
trong không gian Banach X là hội tụ không điều kiện và có tổng là
S. Khi đó với bất kỳ hoán vị π, chuỗi
cũng có tổng là S.
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng phản chứng.

Trang 16