Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
----------------------------------------

Trần Ngọc Thanh Trang

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON
CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
----------------------------------------

Trần Ngọc Thanh Trang

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON CỦA
MỘT ĐA TẠP RIEMANN
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. KHU QUỐC ANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


2

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và
hỗ trợ. Tôi xin chân thành cảm ơn TS Khu Quốc Anh đã tận tình hướng dẫn
và giúp đở rất nhiều để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôi cũng
muốn gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong tổ Hình học thuộc khoa Toán Tin, Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và góp ý
cho luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã
dành thời gian quan tâm và góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Kế hoạch
tài chính, Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học của trường Đại học Sư
Phạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như Ban giám hiệu trường THPT Lương
Thế Vinh đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn tất chương trình cao học và
hoàn thành luận văn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồng
nghiệp đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
thành luận văn thạc sĩ này.


3

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ....................................................................................... 1
Lời cảm ơn ........................................................................................... 2

Mục lục ................................................................................................ 3
Mở đầu ................................................................................................. 6
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .........................8
1.1.Đa tạp khả vi .................................................................................. 8
1.1.1.Đa tạp khả vi ............................................................................ 8
1.1.1.1.Đa tạp khả vi n chiều .......................................................... 8
1.1.1.2. Ánh xạ khả vi..................................................................... 9
1.1.2. Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc ................................ 9
1.1.2.1. Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc Tp M .................. 10
1.1.2.2. Phân thớ tiếp xúc ............................................................... 11
1.1.2.3. Trường vectơ ..................................................................... 12
1.1.2.4. Trường mục tiêu ................................................................ 12
1.1.2.5. Tích Lie của hai trường vectơ ............................................ 12
1.1.2.6. Ánh xạ tiếp xúc .................................................................. 13
1.1.3. Đa tạp con ............................................................................... 14
1.1.4. Trường tenxơ ........................................................................... 14
1.1.4.1. Tích tenxơ......................................................................... 14
1.1.4.2. Các tenxơ phản biến và hiệp biến ..................................... 15
1.1.4.3. Trường tenxơ .................................................................... 16
1.2. Lý thuyết liên thông ...................................................................... 18
1.2.1. Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp ............................ 18
1.2.2. Đạo hàm thuận biến của trường tenxơ ..................................... 20
1.2.3. Tenxơ xoắn và tenxơ cong ....................................................... 20


4

1.2.4. Đường trắc địa ......................................................................... 21
1.3. Đa tạp Riemann ............................................................................. 23
1.3.1. Khái niệm đa tạp Riemann....................................................... 23

1.3.2. Liên thông Riemann ................................................................ 23
1.3.2.1. Định nghĩa liên thông Riemann ......................................... 23
1.3.2.2. Định lý ............................................................................... 23
1.3.3. Liên thông Levi – Cita ............................................................. 25
1.3.3.1. Định nghĩa ......................................................................... 25
1.3.3.2. Định lý ............................................................................... 25
1.3.4. Độ cong trên đa tạp Riemann ................................................... 26
1.3.4.1. Những khảo sát đại số có liên quan .................................... 26
1.3.4.2. Độ cong thiết diện.............................................................. 27
1.3.4.3. Độ cong Ricci .................................................................... 27
1.3.5. Ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann ................................ 28
1.3.6. Tính đầy của đa tạp Riemann ................................................... 28
1.3.6.1. Định lý ............................................................................... 28
1.3.6.2. Bổ đề ................................................................................. 29
Chương 2: ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN.....30
2.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con
của một đa tạp Riemann. ...................................................................... 30
2.1.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con
của một đa tạp Riemann. Công thức Gauss .......................................... 30
2.1.1.1. Mệnh đề ............................................................................. 31
2.1.1.2. Mệnh đề ............................................................................. 34
2.1.2. Công thức Weingarten ............................................................. 37
2.1.2.1. Mệnh đề ............................................................................. 38
2.1.2.2. Mệnh đề ............................................................................. 40


5

2.1.3. Một số ví dụ minh họa ............................................................. 41
2.2. Phương trình của Gauss và Codazzi .............................................. 44

2.2.1. Phương trình Gauss ................................................................. 44
2.2.1.1. Mệnh đề ............................................................................. 45
2.2.1.2. Hệ quả ............................................................................... 46
2.2.1.2.1. Ví dụ ............................................................................ 46
2.2.1.2.2. Ví dụ ............................................................................ 47
2.2.2. Phương trình của Codazzi ........................................................ 48
2.2.2.1. Mệnh đề ............................................................................. 49
2.2.2.2. Hệ quả ............................................................................... 49
2.2.2.3. Mệnh đề ............................................................................. 51
2.2.2.4. Mệnh đề ............................................................................. 52
2.2.2.5. Định lý ............................................................................... 53
2.2.2.6. Bổ đề ................................................................................. 53
2.3. Các siêu mặt trong một không gian Euclide................................... 55
2.3.1. Tính chất cơ bản ...................................................................... 55
2.3.2. Định nghĩa ............................................................................... 58
2.3.3. Biểu thức Tenxơ Ricci của siêu mặt ........................................ 62
2.3.4. Tính chất của đa tạp Anhstanh ................................................. 62
2.3.4.1. Định lý .............................................................................. 62
2.4. Định lý cơ bản cho các siêu mặt .................................................... 68
2.4.1. Định lý..................................................................................... 68
2.4.2. Bổ đề ....................................................................................... 69
2.4.3. Bổ đề ...................................................................................... 70
2.4.4. Bổ đề ....................................................................................... 72
Kết luận................................................................................................ 75
Tài liệu tham khảo ................................................................................ 77


6

MỞ ĐẦU

1.

Lý do chọn đề tài
Hình học Riemann là nột trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng

của hình học vi phân. Ra đời từ thế kỷ XVIII nhưng do những ứng dụng sâu
sắc của nó trong thực tế, hình học Riemann vẫn được phát triển mạnh mẽ cho
đến ngày nay.
Nhà toán học Đức Georg Friedrich bernhard Riemann ( 17 tháng 9, 1826
– 20 tháng 7, 1866), một học trò xuất sắc của nhà tóan học thiên tài
K.F.Gauss, là người đầu tiên mở rộng các kết quả nghiên cứu về hình học vi
phân từ không gian ba chiều thông thường ( cụ thể là lý thuyết về các mặt
trong không gian Euclide ba chiều) sang các không gian nhiều chiều. Những
công trình của ông được nhiều nhà toán học nổi tiếng thời bấy giờ và sau này
nghiên cứu và phát triển trở thành một lý thuyết quan trọng của hình học vi
phân mang tên ông gọi là hình học Riemann. Hình học Riemann có những
đóng góp to lớn chẳng những trong sự phát triển của toán học mà cả trong đời
sống thực tế. Lý thuyết tương đối của nhà bác học Einstein đã dựa trên cơ sở
toán học là hình học Riemann.
Từ việc nghiên cứu hình học Riemann bằng những công cụ toán học hiện
đại, nhiều môn hình học khác như hình học Finsler, hình học phức, hình học
Symplectic,… đã ra đời và phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay.
Khi chọn đề tài “ Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann”,
chúng tôi muốn tìm hiểu một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của hình học vi
phân.
2.

Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài này, chúng tôi muốn mở rộng các kết quả đã biết của

lý thuyết mặt trong không gian Euclide ba chiều đã học ở đại học. Luận văn
này được thực hiện nhằm chứng minh một cách đầy đủ một số định lý và


7

mệnh đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của
một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian Euclide.
3.

Đối tượng nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu một số vấn đề về đa tạp con của một đa

tạp Riemann, cụ thể là nghiên cứu về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ
hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian
Euclide.
4.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu về đa

tạp con của một đa tạp Riemann.
5.

Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: hệ thống lại các kiến thức chuẩn bị về tôpô vi phân và hình

học vi phân, gồm các khái niệm cơ bản và các định lý cơ sở, làm nền tảng xây
dựng chương 2.

Chương 2: nghiên cứu về đa tạp con của đa tạp Riemann, bao gồm các
vấn đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai, các phương trình của
Gauss và Codazzi, các siêu mặt trong không gian Euclide và định lý cơ bản
cho các siêu mặt.


8

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Đa tạp khả vi
1.1.1.Đa tạp khả vi
1.1.1.1. Đa tạp khả vi n chiều
Cho M là một không gian tôpô Hausdoff có cơ sở đếm được . M
được gọi là đa tạp tôpô n - chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không
gian Euclide » n , tức là :
•

∀ x ∈ M , ∃ lân cận U của x và một đồng phôi

•

ϕ :U → V mở ⊂ » n
Giả sử M là đa tạp tôpô n - chiều , cặp ( U , ϕ ) xác định trên được gọi

là một bản đồ trên M . Một atlas (tập bản đồ) khả vi lớp C k ( k ≥ 1 ) là một
họ C = {(U i , ϕi ) : i ∈ I } các bản đồ thỏa mãn hai điều kiện
a) Họ {U i } là một phủ mở của M.
b) Với hai bản đồ (U i , ϕi ) và (U j , ϕ j ) , U i ∩ U j ≠ ∅ , ánh xạ ϕ j ϕi −1 xác

định trên ϕi (U i ∩ U j ) là ánh xạ khả vi lớp C k từ ϕi (U i ∩ U j ) lên
ϕ j (U i ∩ U j ) .

Hai tập bản đồ C1 = {(U i , ϕi ) : i ∈ I } và C2 = {(V j , ψ j ) : j ∈ J } khả
vi lớp C k được gọi là tương thích với nhau , nếu hợp của chúng cũng là
một tập bản đồ khả vi lớp C k . Quan hệ “tương thích” là một quan hệ
tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp C k . Mỗi lớp tương đương
của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp C k trên
M.

Đa tạp tôpô n - chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp C k cho trên nó


9

được gọi là một đa tạp khả vi n - chiều lớp C k .Nếu k = ∞ , cấu trúc khả vi
tương ứng được gọi là cấu trúc nhẵn trên M. Khi đó M được gọi là đa tạp
nhẵn.

1.1.1.2.Ánh xạ khả vi
Giả sử M , N là hai đa tạp khả vi với số chiều m , n tương ứng . Ánh
xạ liên tục f : M → N được gọi là khả vi tại p ∈ M nếu với mọi bản đồ
(U , ϕ) quanh p và (V , ψ ) quanh f(p) = q sao cho f (U ) ⊂ V thì ánh xạ
ψ f ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ (V )

là khả vi tại điểm ϕ( p) ∈ » m
Ánh xạ f là khả vi , nếu nó khả vi tại mọi điểm p ∈ M .
Cho ánh xạ khả vi f : M → N , p ∈ M , (V , ψ) là bản đồ địa phương
quanh ϕ( p) , các tọa độ được cho bởi n hàm y j trên V . Giả sử (U , ϕ) là

bản đồ quanh p ∈ M , các tọa độ cho bởi ϕ(.) = ( x1 ,..., x m ) với f (U ) ⊂ V
Ánh xạ ψ f ϕ−1 được cho bởi biểu thức
y j = h j ( x1 , x 2 ,..., x m ), j = 1, 2,..., n ( h j là những hàm khả vi).
 ∂h j 
Hạng của ma trận  i  (m × n) tại ϕ( p) = ( x1 ( p ),..., x m ( p)) không
 ∂x 

phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương , được gọi là hạng của ánh xạ
f tại điểm p.

Khi đó f được gọi là một dìm nếu hạng của f tại mọi điểm p đều
bằng m = dim M .
Ánh xạ f được gọi là một nhúng nếu f là một dìm và f là một đồng
phôi từ M lên f(M).

1.1.2.Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc


10

1.1.2.1. Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc Tp M
Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp C k . Một đường cong khả vi
lớp C r trên M là một ánh xạ c: J → M ( 0 ∈ J mở ⊂ » ) khả vi lớp C k . Ánh
xạ f: M → » lớp C r được gọi là một hàm khả vi lớp C r trên M . Kí hiệu

F r(M) là tập hợp hàm khả vi ( lớp C r ) trên M , F r(p) là tập hợp các hàm
khả vi lớp C r trong lân cận của p , C1p (M) là tập các đường cong c khả vi
lớp C1 trên M sao cho c(0) = p.
Ta xét một quan hệ “ ∼ ” trên C1p (M) như sau:
c1 : J → M , c2 : J → M sao cho c1 (0) = c2 (0) = p

Ta nói c1 ∼ c2 ⇔ có bản đồ (U ,x) quanh x sao cho
d i
d i
x c1
=
x c2
với I = 1,2,…,m.
t =0
t =0
dt
dt

(

)

(

)

Khi đó quan hệ “ ∼ ” là một quan hệ tương đương trên tập hợp các

đường cong khả vi lớp C1 qua p ∈ M . Mỗi lớp tương đương đối với quan
hệ tương đương trên được gọi là một vectơ tiếp xúc tại p của M .
Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M được kí hiệu là Tp M .
Ta mô tả cấu trúc của Tp M . Tập F k(p) với các phép toán cộng và
nhân tự nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một » – đại
số. Ta gọi một đạo hàm tại p là một hàm v: F k(p) → » thỏa mãn hai điều
kiện

• v là ánh xạ tuyến tính giữa các » – không gian vectơ.
• v(f.g) = v(f) . g(p) + f(p) . v(g) , ∀ f ,g ∈ F k(p).
Giả sử [c] ∈ Tp M , ta có thể coi [c] là một đạo hàm tại p bằng cách
sau :


11

Với f ∈ F k(p) , đặt [c](f) =

d
f c(t ) 0 (1)
dt

Khi đó quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại
diện của [c] , nó thỏa mãn hai tính chất trên . Bằng đồng nhất này , ta có
một đơn ánh từ Tp M vào không gian các đạo hàm tại p . Xét bản đồ địa
phương (U , x) quanh p sao cho x = ( x1,..., x m ) . Với mỗi j , xét đường cong
c j (t ) = x −1 ( x( p) + te j ) , {0, e1,..., em } là mục tiêu trong » m , thì c j là

 ∂ 
đường cong trên M qua p , nó xác định vectơ tiếp xúc , kí hiệu  j  . Ta
 ∂x  p
 ∂ 
có  j  ( f ) = D j ( f x −1 )
, với D j là kí hiệu đạo hàm riêng thứ j .
x( p)
 ∂x  p
 ∂ 
 ∂f 

Ta viết  j  ( f ) =  j  .
 ∂x  p
 ∂x  p

Khi đó Tp M chính là không gian con m chiều của không gian vectơ
 ∂ 

các đạo hàm tại p , và hệ  j  , j = 1,..., m  là cơ sở của không gian
 ∂x  p


vectơ tiếp xúc Tp M của đa tạp M tại p.

1.1.2.2. Phân thớ tiếp xúc
Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều lớp C k . Xét TM = ∪ Tp M . Đối
p∈M

với mỗi bản đồ (U, x) trên M , đặt TU = ∪ Tp M . Xét ánh xạ
p∈U

x : TU → x (U ) × » m được xác định
x (v ) = ( x( p ), v( x1 ),..., v ( x m ))
m
∂ 

( v ∈ Tp M , v = ∑  v( x j ) j  , x là một song ánh)
∂x  p
j =1 

12

Ta gọi (TU , x) là bản đồ trên TM , kết hợp với (U , x) . Ta có thể
trang bị cho TM một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ (TU , x )
trên TM có x là đồng phôi . Cụ thể , xét U = {(Vi , xi ), i ∈ I } là một tập bản

đồ trên M , xi : U i → Vi ⊆ » m . Khi đó A mở trong TM khi và chỉ khi
A ∩ (TU i ) là tạo ảnh của tập mở trong Vi × » m qua xi , ∀i ∈ I .

{

}

Khi đó , tập các bản đồ TU i , x tạo thành một atlas khả vi lớp
C k −1 , cho cấu trúc khả vi lớp C k −1 trên TM.

TM cùng với cấu trúc khả vi xác định như trên là đa tạp khả vi 2m
chiều , được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M.
Ánh xạ π :TM → M với π(v) = p ( v ∈ Tp M ) là khả vi và có hạng
cực đại.

1.1.2.3. Trường vectơ
Cho M là đa tạp khả vi m chiều , TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp
M , U mở ⊂ M .
Trường vectơ khả vi trên M là ánh xạ khả vi X: M → TM sao cho
π. X ( p ) = p ( p ∈ M ) .Ta còn gọi X là nhát cắt khả vi xác định trên M.

Tập các trường vectơ khả vi trên M được kí hiệu là V(M).

Đa tạp M được gọi là khả song nếu tồn tại m trường vectơ tiếp xúc

độc lập tuyến tính trên M , nghĩa là có m trường vectơ khả vi X 1 ,..., X m
sao cho với mỗi p ∈ M, X 1 ( p ),..., X m ( p) tạo thành cơ sở của Tp M .

1.1.2.4. Trường mục tiêu
Trường mục tiêu trên U mở ⊂ M là hệ gồm n trường vectơ

{ X1,..., X n }

trên U sao cho với mỗi p ∈U thì hệ { X 1 p ,..., X np } là một cơ

s ở c ủa T p ( M ) .


13

Nếu với ∀p ∈U , X ip . X jp = δij thì { X i } được gọi là trường mục tiêu
trực chuẩn.

1.1.2.5. Tích Lie của hai trường vectơ
Với mỗi trường vectơ khả vi X ∈V ( M ) , hàm khả vi f ∈ F r(M), ta
xác định hàm Xf∈ F r–1(M), với :
p ∈ M ,( Xf )( p) = X p ( f ) =

d
( f c(t )) t =0 .
dt

với X , Y là hai trường vectơ khả vi trên M , tích Lie của X và Y ,
kí hiệu [X , Y] được xác định như sau

[ X ,Y ] f

= X (Yf ) − Y ( Xf ) , f ∈ F r(M)

1.1.2.6. Ánh xạ tiếp xúc
Giả sử M , N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng và
f : M → N là ánh xạ khả vi. Với mỗi p ∈ M , xét Tp f : Tp M → T f ( p ) N xác

định như sau:
Với v ∈ Tp M , v = [c], c : J → M mà c(0) = p , đặt:
T p f (v ) = [ f c ] ∈ T f ( p ) N

Ta thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào đường cong đại diện cho
vectơ v.
Ta xét biểu diễn địa phương của Tp f . Giả sử (U , x) là bản đồ địa
phương quanh p, (V , y ) là bản đồ địa phương quanh f ( p ) , sao cho
∂
f (U ) ⊂ V . Khi đó , nếu v = ∑ v( x ) i
∂x
i =1

n

m

j
thì (Tp f )(v) = ∑ v( y

i

p

j =1

f)

∂
∂y j

f ( p)

Do đó Tp f là một ánh xạ tuyến tính. Như vậy ta xác định được ánh xạ

Tf : TM → TN , với v ∈ Tp M ⇒ (Tf )(v) = (Tp f )(v) . Ta có biểu đồ sau giao
hoán:


14

TM
π

Tf

→ TN

↓π

↓

M


→
f

N

Ta thường kí hiệu Tp f là f* p và Tf là f* và gọi là ánh xạ tiếp xúc
của ánh xạ khả vi f .

1.1.3. Đa tạp con
Một ánh xạ f : M → M ' được gọi là một phép dìm nếu ( f* ) p là đơn
cấu với mọi p ∈ M. Nếu f : M → M ' là một dìm, đồng phôi lên ảnh thì f

được gọi là một phép nhúng. Khi đó M ( hay f ( M ) ) gọi là đa tạp con của đa
t ạp M ' .
Một phân bố S có số chiều r trên một đa tạp M là một phép gán mỗi

điểm p ∈ M với một không gian con r – chiều S p của Tp ( M ) . Nó được gọi
là khả vi nếu mọi điểm p có một lân cận U và r trường vectơ khả vi trên U,
chẳng hạn , X 1 ,..., X r , tạo thành một cơ sở của Sq tại mọi q∈ U. Tập hợp
X 1 ,..., X r được gọi là cơ sở địa phương của phân bố S trong U.Một trường

vectơ X được gọi là phụ thuộc vào S nếu X p ∈ S p với mọi p ∈ M.
S được gọi là đối hợp nếu [X, Y] phụ thuộc vào S với bất kì hai trường
vectơ X và Y phụ thuộc vào S. Bằng một phân bố ta sẽ luôn xác định được
một phân bố khả vi.
Một đa tạp con liên thông N của M được gọi là một đa tạp tích phân
của phân bố S nếu f* (Tp ( N )) = S p với mọi p ∈ N, với f là phép nhúng N vào

M. Nếu không có một đa tạp tích phân nào khác của S chứa N , N được gọi là

đa tạp tích phân cực đại của S.
1.1.4. Trường tenxơ
1.1.4.1. Tích tenxơ


15

Xét K là trường số thực » hay trường số phức »
Tích tenxơ U ⊗ V của hai không gian vectơ hữu hạn chiều U và V trên K

được xác định như sau:
Kí hiệu M(U,V) là không gian vectơ trên trường K có cơ sở là tập
U × V , tức M(U,V) gồm những tổng hình thức hữu hạn dạng

∑ ki (ui , vi ), ki ∈ »,(ui , vi ) ∈U × V
Giả sử N là không gian con của M(U,V) , sinh bởi các phần tử dạng
• (u + u’,v) – (u,v) – (u’,v) ; (u, v + v’) – (u,v) –(u, v’)
• (ku , v) – k(u,v) ; (u , kv) – k(u,v) ; (u ,v) ∈ U × V , k ∈ »

Đặt U ⊗ V = M (U ,V ) / N . Xét ánh xạ chiếu π : M (U ,V ) → U ⊗ V . Với
(u ,v) ∈ U × V , kí hiệu π(u, v) = u ⊗ v .
Khi đó U ⊗ V là một không gian vectơ , được gọi là tích tenxơ của hai
không gian vectơ U và V.

1.1.4.2. Các tenxơ phản biến và hiệp biến
Giả sử V là không gian vectơ trên trường K

Đặt T r (V ) = V ⊗ V ⊗ ... ⊗ V ( r tích tenxơ) , T r (V ) được gọi là không

gian các tenxơ r lần phản biến, mỗi phần tử của T r (V ) là một tenxơ phản biến
bậc r. T 0 = K

Đặt Ts (V ) = V * ⊗V * ⊗... ⊗ V * ( s lần tích tenxơ) , V * là không gian
vectơ đối ngẫu của V . Ts (V ) được gọi là không gian các tenxơ hiệp biến bậc
s , mỗi phần tử của Ts (V ) là một tenxơ hiệp biến bậc s. T0 = K . T1 = V * .


16

Kí hiệu T r (V ) = T r , Ts (V ) = Ts .
Giả sử e1 ,..., en là một cơ sở trong V và cơ sở đối ngẫu e1,..., e n trong
V*. Khi đó {ei1 ⊗ ... ⊗ eir ,1 ≤ i1 ,..., ir ≤ n} là cơ sở trong T r . Tensơ F∈ T r , khi

đó F =

∑

i1 ,...,ir

k i1...ir ei1 ⊗ ... ⊗ eir ( với k i1...ir là các thành phần của tenxơ F).

Tương tự , mỗi tenxơ thuận biến bậc s , L ∈ Ts , được biểu diễn
L=

∑

j1 ,..., js

l j1 ... js e j1 ⊗ ... ⊗ e js ( với l j1 ,..., js là các thành phần của tenxơ L)

Không gian tenxơ kiểu (r ,s) ( r lần phản biến , s lần hiệp biến) là tích
tenxơ
Tsr = V ⊗ ... ⊗ V ⊗ V * ⊗...V * = T r ⊗ Ts
1 ...ir
Tenxơ T ∈ Tsr được biểu diễn T = ∑ T ji1...
ei1 ⊗ ... ⊗eir ⊗ e− j1 ⊗ ... ⊗ e− js
j
s

1...ir
với T ji1...
là các thành phần của tenxơ T đối với các cơ sở đã cho.
j
s

1.1.4.3. Trường tenxơ
Giả sử M là đa tạp khả vi , Tx ( M ) là không gian tiếp xúc với đa tạp M
tại điểm x , T( x ) =

∞

∑ Tsr ( x)

r , s =0

. Tsr ( x) là không gian các tenxơ kiểu (r, s) trên

Tx ( M )

Trường tenxơ K kiểu (r,s) trên tập con N của M là tương ứng mỗi điểm
x ∈ N với K ( x) ∈ Tsr ( x ) .

Trong lân cận tọa độ địa phương (U , ϕ) với hệ tọa độ địa phương
x1 ,..., x n , lấy X i =

∂
(i = 1,2,..., n) là cơ sở của Tx ( M ) , x ∈U , đặt ωi = dxi
i
∂x

là cơ sở đối ngẫu trong Tx* ( M ) . Trường tenxơ K kiểu (r, s) xác định trên U

được cho bởi


17

K ( x) = ∑ K ij11......irjs X i1 ⊗ ... ⊗ X ir ⊗ ω j1 ⊗ ... ⊗ ω js

Trong đó K ij11......irjs là những hàm trên U , gọi là các thành phần của K đối
với hệ tọa độ địa phương x1 ,..., x n .

Ví dụ:
Cho M là đa tạp khả vi, một metric Riemann trên M là một trường
tenxơ kiểu (0, 2) trên M sao cho với mọi X ,Y ∈ V(M), ta có
g(X,Y) = g(Y ,X)
g(X, X) ≥ 0 , g(X ,X) = 0 khi và chỉ khi X = 0. Nói cách khác, g là một
metric Riemann trên M nếu trên mỗi không gian tiếp xúc Tx ( M ), x ∈ M, g xác

định một tích vô hướng . Trong lân cận U với tọa độ địa phương x1 ,..., x n , đặt
 ∂ ∂
gij = g  i , j
 ∂x ∂x

n

,
ta
có
g
=
∑ gij .dxi ⊗dx j .


i , j =1


18

1.2.. Lý thuyết liên thông
Ta xét M là một đa tạp khả vi lớp C ∞ , X(M) là đại số Lie các trường
vectơ nhẵn trên M , F(M) là vành các hàm khả vi lớp C ∞ trên M

1.2.1. Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp
Ánh xạ ∇ : X(M) × X(M) → X(M)
(X,Y)

∇XY

thỏa mãn các tính chất với ∀X , Y ∈ X (M), ∀f ∈F(M)
1. ∇ X (Y + Z ) = ∇ X Y + ∇ X Z
2. ∇ X +Y ( Z ) = ∇ X Z + ∇Y Z
3. ∇ fX Y = f .∇ X Y
4. ∇ X ( fY ) = ( Xf ).Y + f .∇ X Y

được gọi là một liên thông tuyến tính trên M.
∇ X Y được gọi là đạo hàm thuận biến (hiệp biến ) của trường vectơ Y

dọc trường vectơ X.
Toán tử ∇ X : Y

∇ X Y được gọi là đạo hàm thuận biến dọc trường

vectơ X.
Với mỗi v∈ Ta M , gọi X là trường vectơ thuộc X(M) sao cho X(a) = v ,

đặt ∇ vY = (∇ X Y )(a) . ∇ vY không phụ thuộc vào việc chọn X. Khi đó ∇ vY
được gọi là đạo hàm thuận biến của trường vectơ Y theo vectơ tiếp xúc v.
1.2.1.1. Ví dụ
 ∂

Giả sử M = » n . Gọi  i , i = 1,..., m  là trường mục tiêu chính tắc trên
 ∂x

»m .


19

m

Nếu X = ∑ ϕi
i =1

∇XY =

m

∑ ϕi

i , j =1

m
∂
∂
,
Y
=
ψ j j với ϕi , ψ j ∈ F( » m ), ta đặt:
∑
i
∂x
∂x
j =1

∂ψ j ∂
∂xi ∂x j

Khi đó ∇ thỏa mãn các tính chất (1), (2), (3),(4) trong định nghĩa. Ta

kiểm tra lại, chẳng hạn tính chất 4
Với f ∈ F( » n ), ta có:
∂( f ψ j ) ∂
∂x i ∂x j
∂ψ j ∂
i ∂f
j ∂
i
= ∑ ϕ i .ψ
+ ∑ϕ . f . i
∂x
∂x j
∂x ∂x j

∇ X ( fY ) = ∑ ϕi

j
∂

i ∂f 
j ∂ 
i ∂ψ
=  ∑ ϕ i  ∑ ψ
+
f
ϕ
∑

∂x 
∂x j 

∂xi ∂x j

= X [ f ].Y + f ∇ X Y

Đặc biệt ∇

∂
∂xi

∂
= 0, ∀i, j = 1,..., m
∂x j

Liên thông này được gọi là liên thông tuyến tính chính tắc trên » m .

1.2.1.2. Ví dụ
Giả sử M là một đa tạp khả song. Gọi { X i } ,i = 1,…,m là trường mục
tiêu trên M. Kí hiệu
∇ X i X j = ∑ Γijk X k
k

Nếu Γijk = 0, ∀i, j , k thì liên thông ∇ xác định như trên được gọi là liên
thông tuyến tính chính tắc ứng với trường mục tiêu { X i } .
Giả sử M = G là một nhóm Lie. Chọn trường mục tiêu bất biến trái

{ X i} .

Gọi ∇ là liên thông tuyến tính trên M xác định bởi ∇ X i X j = 0, ∀ i,j.

20

Khi đó liên thông này không phụ thuộc vào việc chọn trường mục tiêu
bất biến trái

{ X } là trường mục tiêu bất biến trái

{ X i } . Thật vậy , giả sử

j

của G. Ta có:
X j = ∑ ϕij X i

Do đó X i , X j bất biến trái nên ϕij là hằng số . Do đó, nếu gọi ∇ là liên

{ }

thông tuyến tính ứng với X j thì ∇ X i X j = 0 , ∀ i, j . Mặt khác , ∀ i, j
∇ Xj =∇
Xi

∑ ϕik X k ∑

ϕhj X h = ∑ ϕik ϕhj ∇ X k X h = 0 .

Từ đó suy ra ∇ = ∇ .
Các hàm Γijk được gọi là các thành phần ( hay các kí hiệu Christoffel)
của liên thông tuyến tính ∇ đối với trường mục tiêu

{ X i} .

1.2.2. Đạo hàm thuận biến của trường tenxơ
Cho đa tạp nhẵn với liên thông tuyến tính (M , ∇ ) . Kí hiệu ℑ( M ) là
tập các trường tenxơ nhẵn trên M. Khi đó có một và chỉ một ánh xạ
∇ : X(M) × ℑ (M) → ℑ( M ) , (X ,A)

∇ X A thỏa các tính chất sau:

1. ∇ là » - song tuyến tính bảo toàn chỉ số của A.
2. ∇ là F(M) - tuyến tính đối với X.
3. f ∈ F(M) thì ∇ X f = Xf
4. Y ∈ X(M) thì ∇ X Y là đạo hàm thuận biến của Y dọc X.
5. ∇ X ( A ⊗ B) = ∇ X A ⊗ B + A ⊗ ∇ X B .
6. ∇ X giao hoán với toán tử chập chỉ số.
Khi đó toán tử ∇ X : A

∇ X A được gọi là đạo hàm thuận biến dọc X của

trường tenxơ A.

1.2.3. Tenxơ xoắn và tenxơ cong


21

Trong đa tạp khả vi M với liên thông tuyến tính ∇ xét các ánh xạ sau:
T : X(M) × X(M) → X(M)
(X, Y)

T(X,Y) = ∇ X Y − ∇Y X − [ X , Y ]

R : X(M) × X(M) × X(M) → X(M)
(X,Y,Z)

R(X,Y)Z = ∇ X ∇Y Z − ∇Y ∇ X Z − ∇[ X ,Y ]Z

T được gọi là trường tenxơ độ xoắn (tenxơ xoắn ) trên M. R là trường
tenxơ độ cong ( tenxơ cong ) trên M.

1.2.4. Đường trắc địa
Cho ( M , ∇ ) và J là một khoảng trong » , Vc ( M ) là tập các trường
vectơ dọc c, c : J → M , t
∇
ánh xạ
: Vc ( M ) → Vc ( M )
∂t

c(t ) là đường nhẵn, khi đó có một và chỉ một

thỏa mãn các tính chất sau:
1)

∇
∇
∇
( X + Y ) = X + Y , ∀X , Y ∈Vc ( M )
∂t
∂t
∂t

2)

∇
df
∇
( fX ) =
X + f X,
∂t
dt
∂t

∀X ∈ Vc ( M ), f ∈ F(J)

∇ 
3) Nếu X = X c, X ∈V ( M ) thì  X  (t ) = ∇ c '(t ) X
 ∂t 

Khi đó X ∈Vc ( M ) gọi là song song dọc c nếu:
∇
X =0
∂t
c được gọi là một trắc địa của ( M , ∇ ) nếu:
c ' : J → TM , t

c '(t ) ∈ Tc (t ) M là một trường vectơ song song dọc c . Nghĩa là

∇
c' = 0
∂t

22

Nếu có phép đổi tham số λ : J → J , t

s = λ(t ) ( ϕ là vi phôi) để

c λ −1 cũng là trắc địa thì khi c khác hằng, áp dụng quy tắc lấy đạo hàm của

d 2λ
hàm hợp, ta suy ra
= 0 . Từ đó suy ra nếu λ (t ) = at + b ( a ≠ 0 ) thì c λ −1
2
dt
cũng là trắc địa. Ta có: Đường trắc địa trong ( M , ∇ ) là trắc địa sai khác một
phép đổi tham số như trên.


23

1.3. Đa tạp Riemann
1.3.1. Khái niệm đa tạp Riemann
Giả sử M là đa tạp khả vi lớp C k , k ≥ 1 . Một trường tenxơ g hai lần
hiệp biến trên M được gọi là tenxơ metric ( hay metric Riemann trên M ) nếu
thỏa hai điều kiện sau:
a. g(X, Y) = g(Y , X) , ∀ X, Y ∈ X(M).
b. g ( X , X ) p > 0 , ∀ X ∈ X(M) , X(p) ≠ 0.
Thay cho g(X , Y) , ta thường kí hiệu 〈 X , Y 〉 .

Đa tạp khả vi M cùng với một tenxơ metric g cho trên nó được gọi là
đa tạp Riemann, kí hiệu (M, g) hay M.
1.3.2. Liên thông Riemann
1.3.2.1. Định nghĩa
Giả sử (M , g) là một đa tạp Riemann . Liên thông tuyến tính ∇ trên M

được gọi là liên thông Riemann nếu đối với mỗi đường khả vi c: J → M

(J

⊂ » ) và X ,Y là các trường vectơ song song dọc c , ta có g( X, Y) là hàm

hằng trên J. ( X là trường vectơ song song dọc c , nếu ∇ D X = 0 ).

1.3.2.2. Định lý
Giả sử M là đa tạp Riemann , ∇ là liên thông tuyến tính trên M . Liên
thông ∇ là Riemann khi và chỉ khi ∇g = 0 , tức với mọi trường vectơ khả vi
X, Y ,Z ∈ X(M) , ta có:
X . g(Y, Z) = g( ∇ X Y , Z) +g(Y , ∇ X Z ) (1)

Chứng minh
Điều kiện đủ:
Giả sử điều kiện (1) được thực hiện . Xét đường khả vi c: J → M và các
trường vectơ X , Y dọc c . Gọi D là trường vectơ đơn vị trên J , coi c(J) nằm


24

trong một lân cận bản đồ (U , x) trong M.
Khi đó h(X, Y) = D 〈 X,Y 〉 – 〈 ∇ D X , Y 〉 – 〈 X, ∇ DY 〉 là ánh xạ song

tuyến tính đối với X , Y.
Ta cần chứng minh h(X , Y) = 0 . Ta cần kiểm tra điều này với các
trường X , Y dạng X i .c , với X i là các trường cơ sở của bản đồ (U ,x) . Ta có
h( X i .c, X j .c) = D〈 X i .c, X j .c〉 − 〈∇ D ( X i .c), X j .c〉 − 〈 X i .c, ∇ D X j .c〉
= (c* D)〈 X i , X j 〉 − 〈∇ c* D X i , X j 〉 − 〈 X i , ∇ c* D X j 〉 = 0( do(1))

Nếu X ,Y là trường vectơ song song dọc c , thì ∇ D X = ∇ DY = 0 . Do
vậy D 〈 X,Y 〉 = 0 , nghĩa 〈 X , Y 〉 là hàm hằng trên J.

Điều kiện cần:
Giả sử ∇ là liên thông Riemann , X , Y , Z là các trường vectơ khả vi
trên M . Ta chứng tỏ (1) được thỏa mãn. Ta chỉ cần kiểm tra điều kiện này tại

điểm tùy ý cho trước p ∈ M . Xét đường c: J → M sao cho 0 ∈ J , c(0) = p ,
c(0) = Z p .
Khi đó:
d
( 〈 X , Y 〉.c ) 0
dt
〈 X .c(t ), Y .c (t )〉 − 〈 X p , Yp 〉

Z p 〈 X , Y 〉 = c (0)〈 X , Y 〉 =
= lim

t

t →0

(2)

Với mỗi t ∈ J , xét các trường vectơ song song dọc c X (t ) , Y (t ) ∈Vc , thỏa
mãn điều kiện X t(t ) = X .c(t ), Yt (t ) = Y .c (t ) . Do liên thông ∇ là liên thông
Riemann nên 〈 X t (t ) , Yt (t ) 〉 = 〈 X 0 (t ) , Y0( t ) 〉 , từ (2) ta có
Z p 〈 X , Y 〉 = lim
t →0

= lim
t →0

〈 X 0(t ) , Y0(t ) 〉 − 〈 X p , Yp 〉

t
〈 X 0(t ) , Y0(t ) 〉

− 〈 X p , Y0(t ) 〉 + 〈 X p , Y0(t ) 〉 − 〈 X p , Yp 〉
t