Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đại số ngoài trên không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Lệ Thi

ĐẠI SỐ NGOÀI
TRÊN KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành : Hình học và Tôpô
Mã số

: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và
hỗ trợ. Tôi xin chân thành cảm ơn TS.Nguyễn Hà Thanh đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ rất nhiều để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôi
cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong tổ Hình học thuộc khoa
Toán –Tin Trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình
giúp đỡ và góp ý cho luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã
dành thời gian quan tâm và góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Kế hoạch

tài chính, Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học của trường Đại học Sư
Phạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như Ban giám hiệu trường THPT Chuyên
Hùng Vương đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn tất chương trình cao học
và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồng
nghiệp đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
thành luận văn thạc sĩ này.


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết tích tenxơ của khơng gian Banach là một trong những cơng
cụ để hiểu được cấu trúc của khơng gian Banach và được nghiên cứu hơn nửa
thế kỷ qua. Người nghiên cứu đầu tiên là Alexander Grothendieck. Trên lý
thuyết

chuẩn không gian tuyến tính, chuẩn không gian Banach

Grothendieck đã xây dựng được mộât đẳng cấu tự nhiên giữa không gian
tuyến tính L( X  Y ; Z ) và không gian Banach B( X  Y ; Z ) , khi đó tích tenxơ

có thể xem như là khơng gian tuyến tính. Trên cơ sở đó Grothendieck đã
xây dựng được chuẩn tenxơ trên không gian Banach, trên đó cảm sinh hai

chuẩn : chuẩn nội xạ và chuẩn xạ ảnh. Nó là chìa khoá để Grothendieck
đại số hoá hình học, xây dựng thành cơng tích tenxơ tơpơ, khơng gian

hạch, K- lí thuyết, tơpơ Grothendieck, ….
Sau đó, dựa vào các kết quả của Grothendieck . Joe Diestel, Jan H
.Fourie, Johan Swart, Andreas Defant, …. thác triễn rộng ra chuẩn xạ ảnh,

chuẩn nội xạ trên không gian C(K), không gian Lp, chuẩn xạ ảnh, chuẩn
nội xạ bên trái và bên phải, chuẩn tenxơ trên không gian Hilbert, tốn tử

ideal, khơng gian độ đo, …cùng nhiều ứng dụng khác.
Một vấn đề đặt ra là chuẩn nội xạ, chuẩn xạ ảnh của Grothendieck
liệu có còn đúng hay không trên tích ngoài, đại số ngoài trong không
gian Banach hay khơng? Chúng tôi thấy vấn đề này rất quan trọng để
được nghiên cứu. Và đây chính là đề tài nghiên cứu luận văn của chúng
tôi.

Trong luận văn này, chúng tơi đặc biệt quan tâm đến việc trả lời các
câu hỏi sau đây:


+ Cách xây dựng mộât đẳng cấu tự nhiên giữa không gian tuyến tính

L( X  Y ; Z ) và không gian Banach B( X  Y ; Z ) của Grothendieck như thế
nào?
+ Chuẩn tenxơ trên không gian Banach, cùng với hai chuẩn hợp lý là
chuẩn nội xạ, chuẩn xạ ảnh, tính phổ dụng ánh xạ trên hai chuẩn đó được
Grothendieck xây dựng như thế nào?
+ Những kết quả của Grothendieck được kế thừa như thế nào khi ta
xây dựng chuẩn xạ ảnh ,chuẩn nội xạ trên tích ngoài, đại số ngoài? Cùng
với một số ví dụ và ứng dụng của nó.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài này, chúng tơi muốn làm rõ hơn về chuẩn tenxơ trên
khơng gian Banach theo kết quả nghiên cứu của Grothendieck, trên cơ sở mơ
phỏng kết quả đó, chúng tơi xây dựng chuẩn xạ ảnh, chuẩn nội xạ trên tích
ngồi. Luận văn này được thực hiện nhằm chứng minh một cách đầy đủ một

số định lý và mệnh đề về chuẩn tenxơ trên khơng gian Banach, và hai chuẩn
nội xạ, chuẩn xạ ảnh cảm sinh trên tích ngồi.
3. Đối tượng nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu một số vấn đề về chuẩn trên tích ngồi
khơng gian Banach, cụ thể là nghiên cứu về chuẩn tenxơ trên khơng gian
Banach , chuẩn nội xạ và xạ ảnh trên tích ngồi.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu về
đại số ngồi trên khơng gian Banach.


5. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm ba chương :
Chương 1: Hệ thống lại các kiến thức chuẩn bị về tenxơ và tích ngoài,
các khái niệm cơ bản làm nền tảng xây dựng chương 2 và chương 3.
Chương 2: Nghiên cứu về chuẩn tenxơ trên không gian Banach, chuẩn
nội xạ và chuẩn xạ ảnh cảm sinh trên đó, cùng với tính phổ dụng trên hai
chuẩn này, theo kết quả nghiên cứu của Grothendieck.
Chương 3: Nghiên cứu về chuẩn nội xạ, chuẩn xạ ảnh trên tích ngoài
trên tinh thần mô phỏng theo kết quả nghiên cứu của Grothendieck .


Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này sẽ cung cấp các kiến thức cơ bản để chúng ta hiểu được
các chương sau :

1.1. Đại số tenxơ

Nhắc lại không gian vectơ và không gian đối ngẫu với các ký hiệu
tenxơ.
Cho K=  ( hoặc  )

e  (e1 ,..., en ) là cơ sở của V .
V   Homlin (V , K )  { f : V  K / f là ánh xạ tuyến tính }

e  (e1 ,..., e n ) : đối ngẫu của V.

0 , i  j
 ei , e j   i j  
1 , i  j
n

f V  : f   f i ei  f i ei
i 1

n

 f , x  x, f   f i xi  f i xi
i 1

Đổi cơ sở :
(e)'  (e1 ,..., en )
n

n

i 1

i 1

x   x i 'ei '  x i 'ei ' , ei '   Ci 'ei  Ci 'i ei
C  (Ci 'i ) n ma trận đổi cơ sở
1
1
1
C1' C2' .....Cn ' 
C 2 C 2 .. ..C 2 
n' 
1'
2'
Với C  
... ... ...


n
n
C1' C2' .. Cn ' 


Công thức đổi toạ độ
n

x   Ci 'i x i ' (theo luật tenxơ)
i

i'

n

(e )'  (e1' ,...., e n ' ); f   f i 'ei '
i '1





n

ei '   C i 'i ei (i '  1...n)  C  (Ci i ' ) n ,
i 1

Ma trận đổi cơ sở
e*  (e )'
Ta có C  (C t ) 1  (C 1 )t
n

f i   Ci i ' f i '
i 1

1.1.1. Tenxơ kiểu (p, q)


a/ Đặt : Tp q (V )  Hom pol (V
 
.... 
V  V


...  V
 ; K ) (tập hợp các ánh xạ
P

q



 
.... 
V  V

...  V
đa tuyến tính cấp p+q từ V

 vào K ).
P

q

T  Tp q (V ) gọi là tenxơ kiểu (p, q) hay một tenxơ p lần hiệp biến, q lần
phản biến. Tức là :


T : V
 
.... 
V V


...  V

K
P

q

(v1 ,..., v p ; f 1 ,..., f q )  T (v1 ,..., v p ; f 1 ,... f q )  K
và T tuyến tính đối với từng biến một.
* Tp q (V ) là một không gian vectơ trên K với các phép toán sau:

T , S  Tp q (V ),   K
(T  S )(v1 ,..., v p ; f 1 ,..., f q )  T (v1 ,..., v p ; f 1 ,..., f q )  S (v1 ,..., v p ; f 1 ,..., f q )
 (T )(v1 ,..., v p ; f 1 ,..., f q )  T (v1 ,..., v p ; f 1 ,..., f q )


b/ Tenxơ khai triển được
KH

T   1  ......   p  x1  ....  x p ,( 1 ,....,  p V  , x1 ,...., xq V )
sao cho :
dn

T (v1 ,..., v p ; f 1 ,...., f q )    1 , v1  ...   p , v p  .....  xq , f p  K
v1 ,..., v p V ; f 1 ,...., f q V *
T gọi là tenxơ kiểu (p, q) khai triển thành tích tenxơ của

1 ,....,  p V  , x1 ,...., xq V
*Tính chất

Với mọi tenxơ kiểu (p, q) đều là tổ hợp tuyến tính của các tenxơ khai
triển được .
Chọn (e)  (e1 ,...., en ) là cơ sở của V
(e* )  (e1 ,..., e n ) là cơ sở của V 

c/ Định lý (số chiều và cơ sở của Tp q (V ) )

Tp q (V ) nhận
{ei  ....  e  e j  ....  e j / i1 ,..., i p  1...n; j1 ,...., j p  1...n}
ip

1

i

q

làm cơ sở .
* dim Tp q (V )  n p  q

Tp q (V ) : không gian các kiểu (p, q) trên V.
* Với mọi tenxơ T kiểu (p, q) có:

T

T

i1 ,...,i p

e  .....  e  e j  .....  e j

j1. jq i1
i1...i p

ip

1

q

j1 .... j q

tắt T  (T i ...i ) gọi là thành phần của T trong (e)
1

p

j1 .... j q

Ta sẽ cho hình dung cụ thể của T  (T i ...i )
1

v1 ,..., v p V ; f 1 ,...., f q V *

p


n

vi   xi j e j , tức là vi  ( xi1 ,...., xi n ), i  1... p trong (e)

j 1

n

f   f j i e j , f i ( f1i ,..., f n i ) trong ( e )
i

j 1

Lúc đó : T (v1 ,..., v p ; f 1 ,..., f q )  T i .....i x1i ....x p f 1 j .... f j q
j1 .... jq

1

1

ip

1

p

q

+TH1:p=1, q=0
kh

*
T 1 (V )  Homlin (V , K )  V  T1 (V )
0

+TH2: p=0, q=1
KH

T01 (V )  Homlin (V * , K )  V **  V  T 1 (V )
+TH3: p=1, q=1

T11 (V )  Homlin (V  V * , K )  n p  q  n 2

e  (e1 ,..., en ) , v  ( x1 ,..., x n ) trong (e)
e*  (e1 ,..., e n ) trong(e* )
f  ( f1 ,...., f n ) trong (e* )
T11 T21.....Tn1   x1 
 2 2
 
T1 T2 .....Tn 2   x 2 
j
j i

T  (Ti ) n ; T (v; f )   Ti x f j  [ f1 ,..., f n ]
...........
 . 
 n
 n
n
T1 ...........Tn   x 
Ta đồng nhất T  (Ti j ) n trùng với toán tử tuyến tính từ V vào V mà ma
trận nó trong (e) chính là Ti j
Tức là T11 (V )  End (V ) không gian các toán tử tuyến tính trên V.
+TH4: p=2, q=0

KH

T2 0 (V )  Hombil (V  V  K )  T2 (V ) :không gian các dạng song tuyến
tính trên V.
+TH5: p = 0, q = 0


QU

T0 (V )  K
0

*Kết luận :

Đại số tuyến tính là môn học nghiên cứu các tenxơ cấp bé (bé hơn
bằng 2). Đại số đa tuyến tính là môn học nghiên cứu cấp tenxơ cấp tuỳ ý
Tp q (V )
Ta có công thức đổi thành phần:

T

j1 ..... jq
i1 ....i p

  C j j ' ....C
1

1



jq

C i ' i ......C
1

j 'q

1


i 'p

ip

T

j1' ...... jq '
i '1 ....i p '

luật tenxơ

1.1.2./ Đại số tenxơ

Đặt:


T (V )   Tp q (V )
p ,q 0

T , q, p, Tp q  T (V )
là không gian vectơ trên K.
* Ta định nghĩa tích tenxơ của các tenxơ:

T  Tp q (V )  T (V ); S  Tr s (V )  T (V )
T  S  Tp  r q  s (V )
Sao cho :
T  S (v1 ,..., v p , v p 1 ,..., v p  r ; f 1 ,... f q  s )
 T (v1 ,..., v p ; f 1 ,..., f q )  S (v p 1 ,..., v p  r ; f q 1 ,... f q  s )
*Tính chất

+Tính kết hợp : (T  S )  R  T  ( S  R)
+Tính phân phối :
(T1  T2 )  S  T1  S  T2  S
T  ( S1  S 2 )  T  S1  T  S 2

+Tính kết hợp với phép vô hướng : (T )  S  T  ( S )   (T  S )
* Chú ý : T  S  S  T


T(V) là đại số gọi là đại số tenxơ trên V.
1.2. Đại số các dạng ngoài
1.2.1. Các p-dạng (ngoài) trên X

Cho X là không gian vectơ n - chiều trên K
 p  {w : X  X  ...  X  K / w : đa tuyến tính phản xứng}  Tp ( X )

   p ( X )   : X  X  ...  X  K
sao cho tuyến tính được trên từng biến
với :  (..., vi ,..., v j ,....)   (....., v j ,..., vi ,...)

Ta có :
 p ( X )  {0}, khi p  n
Do đó chỉ cần xét  p ( X )  {0}, p  0, n
Với mỗi    p ( X ) gọi là một p- dạng (ngoài ) trên X . Hay một dạng
cấp p trên X.
* Đặt biệt :

Khi p=1,  p ( X )  X  (dạng tuyến tính thông thường cấp 1 )
1.2.3. Tích ngoài
a/Tích ngoài của hai dạng (cấp 1) trên X

Cho  1 ,  2  X   1 ( X )  Homlin (V , K )
Ta đã có :

1   2 : X  K
(v1 , v2 )  ( 1   2 )(v1 , v 2 )
Ta định nghĩa tích ngoài của  1 ,  2 :

1   2 : X  X  K
(v1 , v2 )  ( 1   2 )(v1 , v2 )


Xác định bởi:
  1 , v1 
1
   (v1 , v2 )  det  2
2!   , v1 
1

2

  1 , v2  

  2 , v2  

Ta dễ dàng nhận thấy:  1 ,  2  1 ( X )   1   2   2 ( X )
b/Tích ngoài của n dạng ( cấp 1 ) trên X

Cho  1 ,...,  p  1 ( X )
Khi đó, tích ngoài  1   2  ....   p   p ( X ) định nghĩa như sau:

 1   2  ...   p : 
X 
X 
 .... 
X K
p

( 1   2  ...   p )(v1 ,...., v p ) 

1
det(  i , v j ) p , v1 ,..., v p  X
p!

Và  (1)   ( 2)  ...   ( p )  sgn( )1  2  ...   p , với sgn( ) là dấu của
hoán vị  .
Lấy  là một p-dạng ngoài trên X,  là q-dạng ngoài trên X. Khi đó
tích ngoài    là (p+q)- dạng trên X,
+Với p  q  n , định nghĩa bởi :

   ( X 1 , X 2 ,..., X p  q ) 

1
 sgn( ) ( X  (1) ,..., X  ( p ) )
p !q !  ( p ,q )
 ( X  ( p 1) ,..., X  ( p  q ) )

với  ( p, q ) là hoán vị của tập {1, 2, …., p+q} ,
sao cho:

 (1)   (2)  ...   ( p),
 ( p  1)   ( p  2)  ...   ( p  q)
+Với p+q > n thì     0


   m ( X ), i ....i  K sao cho :  
1

m

i
 i ....i e  ....  e , (i
1

1i1 ..i p  n

1

ip

p

11 .....i p

)1i i

m n

là thành phần của  trong (e)=( e1 , e2 ,..., ek )

* Đặt biệt: m=n
 n (V ) là không gian Cn n  1 - chiều , cơ sở của nó gồm một dạng cấp
n- duy nhất e1  ...  e n
x11 x21.. xn1
e1  ....  e n ( x1 ,..., x n ) 

1 .. .. ... ..
n! .. .. .. ..

x1n x2 n ... xn n
Ở đây có một liên thông đóng giữa simple m- vectơ và không gian con
tuyến tính m chiều của X.
Lấy    m X , khi đó không gian con tuyến tính liên kết là

Y={ x  X :   x  0} .
Nếu   0, k  dim(Y )  m, mỗi cơ sở vectơ e1 , e2 ,..., ek của Y thì sẽ
tồn tại một  '   m k X :   e1  e2  ...  ek   ' .
(i) 0     m X là phân tích được nếu và chỉ nếu không gian con Y
liên kết của nó là m chiều,

 có thể nghĩ như không gian sinh bởi tập

( e1 ,..., em ) (tức là  là không gian con nhỏ nhất chứa tập ( e1 ,..., em ) ).
(ii) Không gian con liên kết của hai  ,  với 0   ,   m X là phân
tích được m –vectơ là phụ thuộc nếu và chỉ nếu   c ,0  c  R .
(iii) Nếu  khác 0 phân tích được m – vectơ,  khác 0 phân tích được
n- vectơ thì     0 nếu và chỉ nếu không gian con liên kết với    là
tổng trực tiếp của hai không gian con liên kết  và  .
(iv) Không gian con liên kết với  khác 0 phân tích được m-vectơ


được chứa trong một không gian con liên kết với  khác 0 phân tích được nvectơ nếu và chỉ nếu      ,    mn X
1.3. Số chiều

dim( X )  n   , gọi ( e1 ,..., en ) là cơ sở của X .
Cho mỗi m  n , đặt (n, m)  { :  là ánh xạ mở rộng từ tập {1, 2, …,
m} đến tập {1, 2, …, n}}.
Khi đó { e :   (n, m)}, e  e (1)  ...  e ( m ) là cơ sở của  m X .

dim(  m X ) = Cn m ,khi 0  m  n
dim  m X  0 ,khi m  n .
dim(X)=  , {ei }iI cơ sở Hamel của X, với luật “  ” có thứ tự tốt trên I.

{e :   ( I , m)} là cơ sở của  m X , dim (  m X )=  , m  1 .
Tập các ánh xạ liên kết ở trên được xét trên đa tạp Grassman G(X, m)
của tất cả không gian vectơ con m- chiều X.
n
Đặt  ( X )   0  m X là không gian vectơ 2n .

1.4. Các định nghĩa

Định nghĩa 1: Nếu X, Y là không gian tuyến tính, dim(X)=m và ánh

xạ tuyến tính f : X  Y thì ánh xạ tuyến tính  m f :  m X   m Y

được định

nghĩa bởi :
 m f ( x1  ...  xm )  f ( x1 )  ....  f ( xm )
 (det f )( x1  ...  xm ) , x1 ,..., xm  X

+ Lấy X là không gian vectơ Hilbert m-chiều với dim(X)=n, lấy
(e1 ,..., em ) là cơ sở trực chuẩn của X, khi đó {e :   ( I , m)} là cơ sở của

m X .
Với m  n
Lấy  ,   m X ,     ( m ,n )   e ,    ( m ,n ) e ,   , e  R


Định nghĩa 2 :  ,  :  m X   m X  R bởi :

  ,    
 ( m , n )

Khi đó  ,  là tích trong trên  m X , {e :   ( I , m)} là một cơ sở trực
chuẩn của  m X . Chuẩn cảm sinh trên  m X ký hiệu là . và

   ,   
1/2

  

2

 ( m , n )

1/2



,    m X

Với X , Y là không gian Hilbert số chiều hữu hạn, nếu f : X  Y là
ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ tuyến tính  m f :  m X   m Y

m f  f

m

thoả :

, m .

. là chuẩn tóan tử cảm sinh bởi tích trong .
+Lấy (e1 ,..., em ) là cơ sở trực chuẩn của X.

w ,..., w 
1

n

1 , i  j

là cơ sở trực chuẩn của X * sao cho :  ei , w j  
0 , i  j

Định nghĩa 3:  ,  :  m X   m X   R bởi:

    e ,    w  
 ( n , m )

 ( n , m )

1
với  e , w  
0
Định nghĩa 4: Khi X,

 ( n , m

     e , w 

 ( n , m

,  
,  

Y là không gian Banach. Ta định nghĩa

 ,  :  m X   m X   R bởi :
x1 ( x1 ) .... x1 ( xm )

 x1  ...  xm , x1  ...  xm 

..
..


....

..

.....

..

xm ( x1 ).... xm ( xm )

 det( xi  ( x j ))


với mọi x1  ...  xm   m X , x1  ...  xm    m X  và tuyến tính có thể
mở rộng đến tích đầy đủ.
Xem  m X  như không gian con của  m ( X , R ) , với  m ( X , R ) là không
gian vectơ của tất cả hàm m- tuyến tính luân phiên từ X  X  X ...  X  R .
Lấy  i x1i   ....  x mi   m X  , ( x1 ,..., xm )  X  ....  X
Khi đó  x1i  ...  xm ( x1 ,..., xm, )  x1  ...  xm ,  x1i  ....  xmi 
i

i

i

Ta dễ thấy nó là m-tuyến tính luân phiên.
Định nghĩa 5: Cho p < q, ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính trên chuỗi:

:  p X  q X   q p X 
:  q X   p X    q p X
Cho bởi :

x1  ...  xq  p , xq  p 1  ...  xq

x1  ....  xp  xp 1  ...  xq

 x1  ...  xq  p  xq  p 1  ...  xq , x1  ...  xp  xp 1  ...  xq
x1  ...  xq  p   q  p X , xq  p 1  ...  xq   p X
x1  ....  xp  xp 1  ...  xq   q X 
và có thể mở rộng tuyến tính đến tích đầy đủ.
x1  ...  xq

x1  ....  xp , xp 1  ...  xq

 x1  ...  xq  p  xq  p 1  ...xq , x1  ...  xp  xp 1  ...  xq
xp 1  ...  xq   q  p X  , x1  ...  xq   q X
x1  ....  xp   p X 
Ánh xạ tuyến tính f : X  Y với X, Y là không gian Banach thì ánh xạ
tuyến tính  m f :  m X   m Y ( do f có tương ứng 1-1 nên  m f là tương ứng
1-1).
Lấy{ e1 ,..., em } là cơ sở của X
Khi đó :  m f ( ai ....i ei  ....  ei )   ai ....i f (ei )  .....  f (ei )  0
1

p

1

m

1

p

1

m


Do f tương ứng 1-1 nên  f (ei )iI  là độc lập tuyến tính và

 f (e )  ....  f (e ) : i
i1

ip

m



 in , m, n, i1 ,....i p  I là cơ sở của  m f (X),

Do đó ai ...i  0 ,  i j ,  ai ...i ei  ei  0
1

p

1

p

1

p

Nếu f là toàn ánh thì  m f cũng là toàn ánh .
Định nghĩa 6: Ta định nghĩa một cách tự nhiên như sau:

f1  f 2  ...  f m :  m X   m Y thoả:
( f1  f 2  ....  f m )( x1  ...  xm ) 

1
sgn
f1 ( x (1) )  ....  f m ( x ( m ) )
 (1)
m!

 m ( X , Y ) là không gian vectơ của tất cả m- tuyến tính luân phiên từ
X  X  X ...  X  Y .
Định nghĩa 7: Cho không gian vectơ V trên trường K , không gian con

tuyến tính sinh bởi tập S (không cần hữu hạn ) được định nghĩa là giao của tất
cả các không gian con của V chứa S.
Nếu S  {v1 , v2 ,..., vr } là tập con hữu hạn của V
Span( S )  span(v1 ,..., vr )

 {1v1  ....  r vr / 1 ,..., r  K }

Ví dụ : Không gian vectơ thực R 3 có {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} là
tập sinh.
Định nghĩa 8: (toán tử )

Không gian tuyến tính T gọi là liên tục nếu và chỉ nếu
M  0 : Tx  M x , x  X .
Ta dùng từ “toán tử” có nghĩa là “ toán tử tuyến tính liên tục”. Không
gian toán tử từ X  Y , ký hiệu là L( X ;Y )
Ta viết L( X ) cho L( X ; X ) .
Chuẩn toán tử định nghĩa trên L( X ;Y ) :


T  sup{ Tx : x  BX } , ở đó có một chuẩn và TS  T S
+ Toán tử T là phép đẳng cự nếu Tx  x , x
Không gian X, Y được gọi là đẳng cự nếu có một phép đẳng cự từ
X Y .
+ Một toán tử T gọi là đẳng cấu nếu nó là một song tuyến tính và T , T 1
là liên tục .
Không gian X, Y gọi là đẳng cấu nếu nó có một phép đẳng cấu từ
X Y .
Định nghĩa 9: Một hàm tuyến tính bị chặn L trên H là một hàm tuyến tính

khi tồn tại hằng số c >0 thoả L(h)  c h , h  H .
Và ta có một hàm tuyến tính bị chặn nếu và chỉ nếu nó là liên tục .
Cho một hàm tuyến tính bị chặn L : H  F , được định nghĩa :
L  sup{ L(h) : h  1} với L   là một chuẩn của L.

Chương 2

CHUẨN TENXƠ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH
2.1. Mở đầu

Lấy X, Y, Z là không gian tuyến tính trên trường K (K=  hay  ).
Hàm  : X  Y  Z là song tuyến tính nếu  ( x,.) : Y  Z là tuyến tính
cho mỗi x thuộc X và  (., y ) : X  Z cho mỗi y thuộc Y.
Ta ký hiệu :
+ B(X, Y;Z) là không gian tuyến tính của tất cả các hàm song tuyến tính
từ X  Y vào Z .
+ B(X, Y) là không gian của tất cả các hàm song tuyến tính từ X  Y vào
trường K.
+L(X, Z) là không gian tuyến tính của tất cả các hàm tuyến tính từ X
vào Z
+ X  là đại số đối ngẫu của X , là không gian của tất cả hàm tuyến tính
trên X.
+ BX là quả cầu đơn vị của không gian X.
Một câu hỏi cơ bản đặt ra trên cấu trúc tích tenxơ là:
Có hay không một không gian tuyến tính V sao cho L(V;Z) là đẳng cấu
(đẳng cấu tự nhiên ) với B(X, Y;Z)?
Câu trả lời là “có”.Và bây giờ chúng ta sẽ đi xây dựng đẳng cấu
đó.Trên không gian vectơ V , ta có một đối ngẫu B ( X , Y ) của B(X, Y) , với
x  y  B( X , Y ) , x  X , y  Y

và giá trị của nó tại   B ( X , Y ) là

( x  y )( )   ( x, y ) .
X  Y là khoảng cách tuyến tính của tập {x  y : x  X , y  Y } .
u  X  Y thì u có dạng

n

 x
1

i

i

 yi ,


1 ,..., n  K ; x1 ,..., xn  X ; y1 ,..., yn  Y .
2.1.1. Tính chất 1

(i ) ( x1  x2 )  y  ( x1  y )  ( x2  y )
(ii ) x  ( y1  y2 )  ( x  y1 )  ( x  y2 )
(iii )  ( x  y )   x  y  x   y
(iv) 0  y  x  0  0 X Y
2.1.2. Tính chất 2

Nếu E là tập con độc lập tuyến tính của X, F là tập con độc lập tuyến
tính của Y thì tập E  F  {e  f : e  E , f  F } là độc lập tuyến tính trên
X Y .
Chứng minh :
Lấy thành phần tuyến tính có dạng

 ef

iI , jJ

ij i

j

là đại diện của

E  F ( với I , J là hữu hạn).
Ta sẽ chỉ ra nếu

 ef
ij i

iI , jJ

j

=0 thì ij  0

  e  f )(  )=0 ,   B( X ,Y )

Thật vậy, ta có (

ij i

iI , jJ

j

Nếu x  X  , y   Y  thì hàm tuyến tính ( x , y ) có giá trị tại




(x, y)  X  Y cho bởi : ( x , y ) ( x, y )  x ( x) y  ( y )


Do đó: (

  e  f )( 

iI , jJ

Suy ra : 0 

ij i

j



( x , y  )

  x (e ) y ( f


iI , jJ

ij

)=0



i

j

)  x (



iI , jJ

ij

y  ( f j )ei )

x  X  , y   Y  .

 
iI ,

ij

y  ( f j )ei   ( ij y  ( f j ))ei  0
iI ,

Do E là độc lập tuyến tính, nên ta có:


iI ,

ij

y  ( f j )  y  (  (ij f j )  0 , i  I ,
jJ ,

do y   Y  ,suy ra


jJ ,

ij

fj  0

Mà F là độc lập tuyến tính, nên ta có ij  0 , i  I , j  J . .
* Cơ sở thiết lập nên tenxơ X  Y là hàm song tuyến tính :

Xét   B( X , Y ) , ta định nghĩa : U  : X  Y  K
U  ( x  y )   ( x, y )
n

n

n

1

1

1

với u   xi  yi  X  Y ,U  (u )    ( xi , yi )  U  ( xi , yi )
Do đó U  là tuyến tính và thoả sơ đồ sau :


X Y


K
U

X Y

Ánh xạ X  Y  X  Y là hàm song tuyến tính .
Nếu ta bắt đầu với một hàm song tuyến tính U trên X  Y và định
nghĩa U trên X  Y bởi hàm U ( x, y )  U ( x  y ) , khi đó ta thấy U là hàm
song tuyến tính .
B(X, Y) và X  Y là đẳng cấu đẳng cự tự nhiên theo sơ đồ sau:
X Y





K

U
X Y

Nếu Z là không gian mọi hàm tuyến tính (cùng trường X, Y). Ta sẽ có
sơ đồ sau :
XY




Z
U

XY


Thiết lập nên phép đẳng cự tự nhiên giữa B(X, Y;Z) và L(X  Y ;Z) bởi
hàm  ( x, y )  U ( x  y ) .
Điều gì xảy ra khi X, Y là không gian Banch ? Ở đây ta đã thiết lập nên
phép đẳng cấu tự nhiên giữa B(X, Y;Z) và L(X  Y;Z) bởi hàm

 ( x, y )  U ( x  y ) .
Tích tenxơ của hai vectơ có liên quan khác nhau vào đặc tưng thành
phần của không gian
n

n

(1) : X   Y   ( X  Y ) ;( xi  yi )( x  y )   xi ( x) yi ( y )

i 1

i 1

n

n

i 1

i 1

(2) : X  Y  B ( X  , Y  );( xi  yi )( x , y  )   x ( xi ) y  ( yi )
n

n

i 1

i 1

(3) : X   Y   B( X , Y );( xi  yi )( x, y )   xi ( x) yi ( y )
n

n

(4) : (2) : X  Y  L( X  ;Y );( xi  yi )( x )   x ( xi )( yi )
i 1

i 1

n

n

i 1

i 1

n

n

i 1

i 1

(5) : X   Y   L( X ;Y  );( xi  yi )( x)   xi ( x) yi
(6) : X   Y  L( X ;Y );( xi  yi )( x)   xi ( x) yi
2.2. Chuẩn tenxơ

Định nghĩa : Lấy X, Y là không gian Banach ( trên cùng trường ), một
chuẩn  trên tích tenxơ X  Y được gọi là chuẩn hợp lý nếu thoả điều kiện
sau:

(a )x  X , y  Y

 ( x  y)  x y
(b)x  X  , y   Y  , x  y   ( X  Y , )
x  y 

( X Y , )

 x

2.2.1.Mệnh đề (Grothendieck)

y


Nếu  là một chuẩn hợp lý trên X  Y , thì  thoả các điều kiện sau:

(a ')x  X , y  Y

 ( x  y)  x y
(b ')x  X  , y   Y  , x  y   ( X  Y , )
x  y 

( X Y , )

 x

y

Chứng minh :
Ta sẽ kiểm tra hai đều kiện (a) và (b) của chuẩn tenxơ
(a’) Lấy x  X , y  Y
đặt x  BX , y   BY sao cho : x ( x)  x , y  ( y )  y




theo(b) , x  y 

( X Y , )

1

Khi đó x y  x ( x) y  ( y )  ( x  y  )( x  y )   ( x  y )
Kết hợp (a) ta suy ra được (a’).
(b’) Lấy x  X  , y   Y  , chọn ( xn )  S X ,( yn )  SY sao
cho: x  lim x ( xn ) ,lim y  ( yn )  y 
n
n
Theo (a’) có  ( xn  yn )  1, n
từ (b) ta có : ( x  y  )( xn  yn )  x  y 

( X Y , )

Mà ta lại có :
x y   lim x ( xn ) lim y  ( yn )
n

n

 lim
( x  y  )( xn  yn )
n
 x  y 

( X Y , )

kết hợp với (b) ta suy ra (b’). 
* Vì mỗi u   X   Y  là thành phần tuyến tính của tenxơ x  y  , theo

(b) trên thì mỗi u   X   Y  là một thành phần của ( X  Y , ) .


2.2.2.Mệnh đề

Chuẩn . ( X Y , ) hạn chế trên X   Y  là một chuẩn hợp lý.


Chứng minh :
Rõ ràng là . ( X Y , ) thoả điều kiện (a).


Ta cần chứng minh chuẩn này thoả điều kiện (b)
Lấy x  X  , y   Y 
Theo định lý của Goldstine, ta sẽ có dãy ( xd ) dD ,( yd ' ) d 'D ' trên X, Y sao
cho x  X  , y   Y  thì x ( x )  lim x ( xd ) , y  ( y  )  lim y  ( yd )
d

d'

Ở đó d thuộc D, d’ thuộc D’ và xd  x , yd '  y 

u   X   Y  , u    x  y 
in

Khi đó, ta có: ( x  y  (u  ) 

x



in



( xi  ) y  ( yi  )

 lim x ( x

i

in



 lim x ( x

i

in

d

d

)lim yi  ( yd ' )
d'

)lim yi  ( yd ' )
d'

 lim  xi ( xd ) yi ( yd ' )
d ,d '

 lim ( xd  yd )(u  )
d ,d '

 lim

d ,d '

xd yd ' u 

 x y  u 

( X Y , )

( X Y , )

điều kiện (b) thoả 
* Nếu X, Y là không gian Banach,  là một chuẩn hợp lý trên X  Y ,


thì ta ký hiệu X  Y .

*B(X  Y ;Z): Không gian ( Banach) của tất cả toán tử song tuyến tính bị
chặn từ X  Y vào không gian Banach Z. Nếu Z=K, ta ký hiệu B(X, Y) .
L(X, Y) : là không gian tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X đến Y.
2.2.3.Định lý ( Grothendieck)

Lấy X, Y là không gian Banach
(i) Trên X  Y sẽ tồn tại một chuẩn nhỏ nhất hợp lý .  và một chuẩn
lớn nhất hợp lý .  .
(ii) Chuẩn .  là chuẩn cảm sinh trên X  Y , được xem như không gian
con của B ( X  , Y  ) :
u   sup{ u ( x , y  ) : x  BX , y   BY } , u  X  Y .




(iii) Chuẩn .  là chuẩn cảm sinh trên X  Y bởi đối ngẫu với
B(X, Y) :

u   sup{v(u ) : v  B ( X , Y ), v  1}, u  X  Y
(iv) .  cũng có thể được định nghĩa như sau:
u  X  Y thì u   inf{ xi yi }
in

Với inf trên tất cả các đại diện hữu hạn của u ( u có dạng
u   xi  yi ).
in

Chứng minh :
(ii) Đầu tiên ta chỉ hàm trên X  Y , cho bởi :

u   sup{ u ( x , y  ) : x  BX , y   BY } là chuẩn bé nhất, hợp lý trên




X Y .
Ta nhận thấy .  là một nửa chuẩn hợp lý trên X  Y .

u   0 , tức là: ( x  y  )(u )  0, x  X  , y   Y  ,