Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về một số hướng mở rộng của định lý Wedderburn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
KHOA TOÁN

HUỲNH HUY VIỆT

VỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNG
CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN
LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ
MÃ SỐ 1.01.03

THÁNG 12 NĂM 1997


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
KHOA TOÁN

HUỲNH HUY VIỆT

VỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNG
CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN
LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ
MÃ SỐ 1.01.03

THÁNG 12 NĂM 1997

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
KHOA TOÁN

HUỲNH HUY VIỆT

VỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNG
CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN
LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC
GIÁO SƢ HƢỚNG DẪN : PGS. PTS BÙI TƢỜNG
TRÍ CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ
MÃ SỐ 1.01.02

THÁNG 12 NĂM 1997


LỜI NÓI ĐẦU
Vào năm 1905, Wedderburn J.H.M. đã chứng minh một định lý nổi tiếng: “Mọi thể hữu
hạn là một trường” (A theorem on finite algebbras, Trans, Amer. Math. Soc. 6 (1905) 349 –
352). Sau kết quả quan trọng này, nhiều nhà toán học lớn trên thế giới đã phát triển và mở rộng
định lý ấy theo nhiều hƣớng. Một trong những ngƣời có công lớn có thể kể đến là Z.N.
Herstein, C.Taith, Rowen…, trong đó đặc biệt phải kể đến khái niệm: SIÊU TÂM
(HYPERCENTER) của Z.N Herstein đƣợc trình bày vào năm 1975.
Mục đích của luận văn này là trình bày một cách có hệ thống các hƣớng mở rộng đó và
chứng minh lại một số vấn đề mà tác giả bỏ qua không chứng minh, đồng thời đƣa ra một số thí
dụ và phản thí dụ để làm sáng tỏ hƣớng mở rộng đó. Luận văn một mặt sẽ trình bày lại toàn bộ
kết quả của Herstein với phép chứng minh đầy đủ, tiến hành chứng minh chi tiết một số vấn đề
mà Herstein đã bỏ qua (đƣợc in nghiêng trong luận văn), đồng thời nêu ra một số thí dụ và phản

thí dụ, để thấy rõ ý nghĩa của sự mở rộng siêu tâm so với khái niệm tâm của một vành.
Luận văn đƣợc chia làm ba phần:
Phần I: Trình bày cơ sở lý luận của các vành không giao hoán.
Các khái niệm cơ bản và lý thuyết cơ bản để chuẩn bị cho phần II và phần III nhƣ:
Radiacal Jacobson của một vành, vành nửa đơn, vành nguyên thủy, vành nguyên tố,… các mối
liên hệ giữa chúng.
Phần II: Trình bày định lý Wedderburn và một số hƣớng mở rộng cổ điển từ định l ý
ấy, các điều kiện đƣợc xét nhƣ là một tiêu chuẩn để một vành là vành giao hóa. Trong phần này
ta đặc biệt chú ý đến các kỹ thuật chứng minh – cách đặt vấn đề - cách phân tích vấn đề và từng
bƣớc giải quyết vấn đề: đi từ hẹp đến mở rộng dần.


Phần III. Trình bày khái niệm siêu tâm của một vành Herstein và các kết quả cơ bản
về siêu tâm. Đó là một mở rộng của khái niệm tâm của một vành. Ở đây Herstein đã định nghĩa
siêu tâm và đã chứng minh đƣợc một số kết quả: ―Trong điều kiện nào thì siêu tâm sẽ trùng với
tâm của một vành?‖ Ông đã đi đết kết quả cuối cùng : ―Trong một vành không có nil-ideal ta sẽ
có siêu tâm trung với tâm‖
Trong vấn dề này, tôi có xây dựng một ví dụ để chứng tỏ rằng : ―Trong một vành nil thì
khái niệm siêu tâm thực sự khác với khái niệm tâm‖ Thí dụ cũng đã làm sáng tỏ vấn đề: ―Khái
niệm siêu tâm là mở rộng thực sự khái niệm tâm‖ mà tôi chƣa tìm thấy đƣợc chứng minh của
Herstein.
Luận văn đƣợc hoàn thành phần lớn là nhờ sự hƣớng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy
hƣớng dẫn của quý thầy Bùi Xuân Hải, Mỵ Vinh Quang và sự tạo điều kiện hết lòng của quý
thầy cô Phòng nghiên cứu khoa học, cũng nhƣ Ban chủ nhiệm khoa Toán Trƣờng Đại học sƣ
phạm Tp. Hồ Chí Minh. Nhân đây tôi xin kính bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Bùi
Tƣờng Trí và quý thầy cô đã giúp đỡ và tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận án này, xin cảm
ơn quý bạn bè gần xa đã có những giây phút động viên quý báu và thiết thực.
Do trình độ còn hạn chế, do lần đầu viết một luận án khá lớn, chắc chắn bài viết sẽ
không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong đƣợc sự hƣớng dẫn giúp đỡ của quý thầy cô và của các
bạn.

PHẦN 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VÀNH KHÔNG
GIAO HOÁN
Trước hết cần nhắc lại một số cơ sở l ý luận của các vành không giao hoán như Radical
Jacobson của mội vành, vành nửa đơn, vành nguyên thủy, ... , và các vấn đề có liên quan đến
việc chứng minh định l ý Wedderburn.
Trong phần này ký hiệu R để chí đến một vành không giao hoán và M là một R-môđun
nào đ ó .

I.1 Bổ đề : Ta ký hiệu E(M) : E(M) = { : M —> M /

là đồng cấu }: nhóm

cộng các tự đồng cấu từ M vào M .

I.2. Định nghĩa : Ta gọi tập hợp A(M) là tập hợp tất cả các phần tử của R linh
hóa đƣợc toàn bộ M , A(M) = {x R / Mx = (0) } .

I.3 Bổ đề: Tập A(M) = {x

R / Mx = {O}} là ideal 2 phía của R trong đó M

là modun trung thành (faithfu) trên vành thƣơng R / A(M).
Chứng minh : • Để c/m A (M) là ideal 2 phía của R.
* x, y
* x

A (M) => M (X - y) = Mx - My = 0 => x - y

A (M), Vì

R.

M (xr) = (Mx)r = {0}r = { 0 } = > xr
M (rx) = (Mr)x
→ rx

A (M).

M x = { 0 } = > M(rx) = {0}.

A (M).

• Nhắc lại tính Trung thành :

1

A (M).


(M trung thành trên R/A(M)

{x

R/A(M) : Mx = {0}} = {0})

Giả sử có lớp r +A (M) linh hóa toàn bộ M.
Nghĩa là M (r + A (M)) = {0}

Mr = {0}

r

A (M).

r + A (M) = 0 .

Trên E(M) ta định nghĩa hai phép toán :
ψ

*.

E(M) , m

*.

M m(

+ ψ) = m

m(

)= (m

+ mψ

ψ

Lúc đó E(M) cùng hai phép toán trên lập thành một vành .

1.4. Bổ đề :
R/A(M) đẳng cấu với một vành con của vành các tự đồng cấu E (M) .
R →E(M)

Chứng minh : X é t ánh xạ f :

r→T r : M→M
m →mr
• f l à một đồng cấu. Thật vậy :
f ( r l + r 2 ) = T r l + r 2 = Trl + Tr2
f (rl.r2)=f (rl).f (r2)
m

M t a có : mTrlr2 = mrlr2 = (mrl)r2 ...

Theo định l ý Noether R/kerf
Kerf= {r
= {r

E ( M ) . Nhưng

Imf

R / T r = đồng cấu 0 } = { r

R / T r ( m ) = mr = 0

m

M}

R / M r = 0} = A ( M )

Vậy R / A ( M )
LƯU Ý : f đơn cấu

Imf

E(M)

A{M) = { 0 }

kerf= { 0 } .

Về khái niệm tâm t ậ p của một R-môđun : t ậ p hợp các t ự đồng cấu của E ( M ) giao
hoán được với mọi t ự đồng cấu của E ( M ) , ta có một số kết quả sau , đặc biệt là bổ đề Schur:

1.5. Đinh nghĩa : • Cho M là R - module
Ta gọi tâm tập của M trên R là tập hợp :
C (M) = {

E (M) /

Tr = Tr

• M đƣợc gọi là module bất khả quy nếu : MR
thật sự nào.

2

, Vr

R}

{0} và M không có module con


I.6. Định lý (Bổ đề Schur):….
Nếu M là R-module bất khả quy thì C(M) là 1 thể .
Chứng minh : C(M) là 1 vành (rõ ràng).
Ta cần cmr

Đặt (M) = W = M

C (M) và
r

0 đều có phần tử khả nghịch . Thật vậy, Giả sử

C(M) và

R ta có Wr = WTr = (M )Tr = (MTr)

W cũng là module con của R do và
Nói cách khác

0 nên M

là một đẳng cấu

Lại do

C(M)
-1

Tr =

Tr

-1

=

-1

r
Tr

r

M = W. Để ý rằng

C (M)

(0), và vì M bất khả quy nên M
-1

có tự đồng cấu nghịch đảo

Tr = Tr
Tr

vì

-1

R
R

-1

(M).
-1

.

= M.

Tr

C(M) (đpcm)

I.7. Bổ đề :
Nếu M là R - module bất khả quy thì M đẳng cấu (nhƣ là 1 module) với module thƣơng
R/ρ trong đó ρ là 1 ideal phải tối đại nào đó của R, và hơn nữa tồn tại phần tử a
x- ax

ρ

x

R sao cho

R . Ngƣợc lại nếu ρ là ideal phải tối đại thỏa mãn tính chất trên thì R- module

R/ ρ là bất khả quy.
Chứng minh : Giả sử M bất khả quy
Đặt S = {u
(vì M bất khả quy)

MR

M / uR = (0)} dễ kiểm tra S là module con của M. Nếu S
MR = {0} Mâu thuẫn. Vậy S ={0}. Do đó

Nhƣng uR là module con của M và M là bất khả quy
Xét ánh xạ

(0)

u

thì uR

.

uR = M

:RM

r

Dễ kiểm tra

= ur
toàn cấu. Đặt ρ = ker :

là đồng cấu module, nhƣng uR = M

module phải của R.
• CM ρ : tối đại
Giả sử có ρ l

M và u

S=M

ρ, ρ l cũng là ideal phải của R, khác với ρ

Theo định lý Noether : Im  = M

R/p (để ý

toàn cấu)

=> ρ l/ ρ ={x + ρ / x ρl}:là module con của R/ ρ và

3

0

M bất khả quy thì R/ ρ cũng bất khả quy

R/ ρ

ρ l/ ρ

ρl

R. Vậy ρ là ideal tối

đại
* Từ đẳng thức uR = M
u (x - ax) = 0

a

x - ax

R : ua = u. Do đó

Ker

x

R uax = ux

=ρ

Lưu ý rằng : Nếu R có đơn vị, tính chất: a

R:

x

R sao cho x – ax

không

cần thiết, vì lấy chẳng hạn lấy a = 1. Nhưng :
* Nếu R không có đơn vị, phần tử a có cái gì đó giống phần tử đơn vị (nếu a là phần tử
đơn vị thì x - ax = 0

)

Một Ideal phải

có tính chất này ( a

R:

x

R thì x - ax

ρ) đƣợc gọi là ideal

phải chính quy (regular).
(Khái niệm chính quy (regular) mà tác giả I.N HERSTEIN dùng ở đây chính là khái

niệm modular mà JACOBSON đã sử dụng ).
Ngƣợc lại, giả sử ρ là ideal phải, tối đại, chính quy của R.
• (R/ ρ).R
Suy ra :

{0}. Thật vậy, giả sử (R/ ρ).R = {0}
x

Mặt khác

R,
x

y

R

R, a

từ đẳng thức (*) cho ta :
Vậy

x R

x

ρ

(y + ρ).x = 0
ρ sao cho x- ax

ax

ρ

R

ρ

yx

ρ (*)

ρ
x

ρ

R = ρ Mâu thuẫn.

• R/p không có module con thật sự nào, điều này hiển nhiên do ρ là tối đại.
Liên quan đến các kỹ thuật chứng minh của Wedderburn và Herstein , ta cần xét thêm
một số khái niệm như sau :

II. RADICAL CỦA VÀNH :
Ta định nghĩa Radical Jacobson của một vành không giao hoán, không có đơn vị nhƣ
sau :

II.l Đinh nghĩa : Ta gọi Radical của vành R là tập tất cả các phần tử của R linh hóa
đƣợc tất cả các module bất khả quy trên R. Ký hiệu là J(R) hoặc Rad(R).
J(R) = {a

R / Ma = {0} với mọi M là R module bất khả quy }

Ta có : A (M) = {

R / Ma ={0}, M là R-môđun bất khả quy}

A (M) là ideal hai phía của R, vậy J (R) có thể định nghĩa khác :

4


J(R)= ⋂
•

Vì M đƣợc hiểu là R - module phải nên J (R) còn đƣợc gọi là Radical

Jacobson phải.
• Tƣơng tự ta có định nghĩa về Radical Jacobson trái.
Để hiểu rõ hơn cấu trúc Radical Jacobson của một vành không giao hoán , chúng ta cố
gắng mô tả chi tiết cấu trúc của chính nó

MÔ TẢ CẤU TRÚC J(R) :
II.2 Bổ đề :
M bất khả quy

R/ ρ với ρ là ideal phải, tối đại, chính quy.

M

• Nếu R không có module bất khả quy thì J (R) = R. Lúc đó vành R gọi là vành
Radical.Vành R là vành Radical nếu trên R không có ideal phải, tối đại, chính quy.
Nhận xét : Nếu vành R có đơn vị, R không thể là vành Radical. Mọi ideal đều
chính quy trên vành có đơn vị .
Chứng minh : Giả sử R có đơn vị, xét tập.
X

= {tất cả các ideal phải thực sự của R}
= {các ideal phải ρ của R / 1

ρ}

vì có ideal 0

X.

X thỏa mãn bổ đề Zorn. Lấy một dãy tăng vô hạn các ideal phải thực sự nhƣ sau:
ρ1
của R. Để ý 1

ρ2

….
ρ

ρ

X

lấy ⋃

X có ideal tối đại

là một ideal phải thật sự
chính là ideal phải tối đại,

chính quy (chính quy hiển nhiên vì R có đơn vị) .
R có ideal phải, tối đại, chính quy nên R không là vành Radical.
(đpcm)
Bản chất của Radical Jacobson chính là : Nó là phần giao của một lớp các ideal đặc
biệt:

II.3 Đinh nghĩa :
Cho

là ideal phải của R. Ta định nghĩa ( :R) = { x R / R x

Kiểm tra đƣợc rằng (

: R) là một ideal phải của vành R.

5

}


• Xét trƣờng hợp

là ideal phải, tối đại, chính quy và giả sử M = R/ .

Theo bổ đề 1.7 ta có :
A(M) = {x

R/(R/ ).X= {0}}

= {x

R/

= {x

R/

y
y

R : (y +
R : yx

) X=0 +
} = {x

yx

R / Rx

}
}

II.4 Đinh lý :

trong đó ( : R) là ideal hai phía lớn nhất của R còn

J (R) =⋂
nằm trong

.

Chứng minh : Theo trên J (R) =

( :R)

Ta chỉ cần cmr ( : R) là ideal tối đại, chính quy, hai phía, lớn nhất còn nằm
trong

.
* Dễ kiểm tra (
* x

(

: R)

* Vậy (

: R)

*(

: R) là ideal hai phía.
. Đặc biệt ax

Rx

: R) lớn nhất. Thật vậy, giả sử có

* Ta chứng minh
x

l => Rx

l

do x – ax

x

.

l là ideal hai phía của R mà

l

.

(p :R)

l

=> x

( : R) (đpcm)

II.5 Bổ đề :
là ideal phải, chính quy, thực sự, bất kỳ của vành R thì bao giờ p cũng

Nếu

nằm trong mội ideal phải tối đại, chính quy nào đó.
Chứng minh : gọi M = tập các ideal phải, chính quy, thực sự, chứa
M

vì

M={

Lƣu ý : Phần tử a

j

là ideal phải của R /

vì nếu a

= R Mâu thuẫn giả thiết
(vì nếu a

j

=>

j

j

R,

j

}

x-ax
là ideal thực sự của R và tất nhiên a

j

= R Mâu thuẫn) .

Họ M thỏa mãn bổ đề Zorn
(Zorn's Lemna : Nếu có dãy các ideal phải tăng
M thì: ta có : ⋃

l

2

... các ideal

Lúc đó trong M tồn tại ideal tối đại)

6

j

j


Hiển nhiên, nếu có 1

... thì ⋃

2

⋃

. Vì a

⋃

. Theo

bổ đề Zorn, trong M phải có phần tử tối đại là ’
* ’ là ideal thực sự của R (vì a

’

’

* ’ cũng tối đại trong R vì nếu có ideal
suy ra a

1’

1

1’

R)
mà ’ là con thật sự của

1’

1’

thì

= R . Mâu thuẫn

Vậy ' tối đại và chứa

(đpcm).

Hơn thế nữa , có thể thấy Radical Jacobson của vành R chính là :

II.6 Đinh lý :

: ideal phải, tối đại, chính quy.

J(R) =

Chứng minh :

 Theo định lý 1.2.1 : J(R) =
 Mặt khác, đặt

=

xét tập ’ = {xy + y / y

x

J(R)

( : R)

R} ta cm ’ trùng R. Thật vậy, nếu ’ R

ideal phải, chính quy của R (Chứng minh tính chính quy : Lấy a = - x. Ta có

y

’ là

R ta có : y -

’) và do đó theo bổ đề II.5 thì ’ đƣợc nhúng vào trong 1 ideal phải tối đại

ay = y + xy
nào đó.
Ta có x

=

xy

0

0

và y + xy

( trái với giả thiết
Do đó

x

Vậy x

0

suy ra y

tối đại.) Vậy ’

0

0.

w

x

Vậy

0

y

R

y

R=

0

0

R

’ = {xy + y / y

=
,

(do tính chính quy)

R}

R

R : xw + w = -x hay x + w + xw = 0.

Đây là một tính chất quan trọng của 1 phần tử của .
Bây giờ ta chứng minh rằng :
Giả sử ngƣợc lại :
{0}

m M:m

Vậy t

sao cho m

J (R) →

linh hóa : M

là module con của R vì M bkq

= -m
s

R : t + s + ts = 0

m (t + s + ts) = mo =0
-m + ms - ms = 0
=

module bất khả quy M không bị

{0}. Dễ kiểm tra m

Nhƣng vì t

Vậy

J (R) bằng phản chứng.

mt + ms + mts = 0
-m = 0

m = 0 . Mâu thuẫn với m

J (R) Tóm lại: J(R) =

7

{0}

m

= M.


Phần trên , chúng ta đã khảo sát Radical Jacobson trên cơ sở M là một R-môđun phải.
Trong trường hợp M là R-môđun trái ta có những kết qua hoàn toàn tương tự : Radical
Jacobson trái . Vấn đề là quan hệ giữa Radical Jacobson trái và Radical Jacobson phải như
thể nào ?

II. 7 Đinh nghĩa : Phần tử a

R đƣợc gọi là phần tử tựa chính qui phải nếu

a'

R

sao cho a + a' + aa' = 0. Phần tử a' đƣợc gọi là tựa nghịch đảo phải của a.
• Tƣơng tự ta có định nghĩa chính qui trái.
♦ Lƣu ý rằng : nếu vành R có đơn vị 1, thì phần tử a

R là tựa chính qui phải khi và

chỉ khi 1 + a có nghịch đảo trong R.
Chứng minh : giả sử a tựa chính qui phải => a’ R : a + a’+ aa’ = 0
1 + a + a’ + aa' = 1

(1 + a ) ( 1 + a ’ ) = 1

(1 + a ) + ( 1 + a). a' = 1

Do vậy,1 + a có nghịch đảo phải là 1 + a’
Ngược lại giả sử 1 + a có phần tử tựa chính quy phải

x

R : ( 1 + a)x = 1

(x- 1 ) + ax = 0 Đặt a' = x - 1 từ đẳng thức cuối: a’ + a (a' + 1 ) = 0

x + ax = 1

a + a' + aa' = 0

a là phần tử tựa chính qui phải

• Một ideal phải trong R đƣợc gọi là tựa chính qui phải nếu mỗi phần tử của nó đều tựa
chính qui phải.
Dựa vào phép chứng minh định lý II.6 ta suy ra 2 mệnh đề :
(1) ideal J(R) tựa chính qui phải .
(2) Nếu

là ideal phải tựa chính qui của vành R thì

Chứng Minh : Giả sử
M : m

0 .Vì m

Vậy

module bkq M : M

là module con của M và vì M bkq

cho mx = -m . Vì x
m x ’ – mx’= 0

J (R)

x

J(R) .

R : x+ x' + xx’= 0

m = 0 Mâu thuẫn.
J(R).

Ta có những kết quả mạnh hơn nữa như sau :

II.8. Định lý :

8

m

=M

{0}

m
x

,

mx + mx’ + mxx’ = 0

0,m
x

0 sao

-m+


J(R) là ideal phải tựa chính quy phải của R và nó chứa tất cả các ideal phải tựa chính
quy phải của vành R, do đó J(R) là ideal phải tựa chính quy phải lớn nhất của R.
Chứng minh : Giả sử phần tử a
R : a + b + ba = 0 :
c

R là tựa nghịch đảo trái & tựa nghịch đảo phải

b

ac + bc + bac = 0

R : a + c + ac = 0

ba + bc + bac = 0

ac = ba

b=c

Nghĩa là phần tử tựa nghịch đảo trái và tựa nghịch đảo phải của cùng một phần tử (nếu
có) thì trùng nhau.
Bây giờ giả sử a

J (R) theo định lý II.2

Do a

aa'

J (R)

J (R)

R : a + a' +aa' = 0

a' = a + a' + aa' - a - aa'

R : a' + a‖ + a’ . a‖ = 0. Do đó a‖

a"

a'

J (R). Nhƣng do a’

J (R)

J (R) .

Nhƣ vậy, a' có phần tử tựa chính quy phải là a‖ và a’ cũng có phần tử tựa chính quy trái
là a. Do đó a

a‖ . Từ đẳng thức a' + a + a'a = 0. Suy ra rằng a' không những là phần tử tựa

chính quy phải mà còn là phần tử tựa chính quy trái của a. Nói cách khác ta đã chứng minh rằng
J (R) cũng là ideal tựa chính quy trái của R.

Vậy mọi phần tử a

J (R) vừa tựa nghịch đảo phải vừa tựa nghịch đảo trái của cùng

một phần tử .
*

J(R) cũng là ideal trái tựa chính quy trái.

*

Tƣơng tự xây dựng J(R) bên trái là 1 ideal 2 phía, lớn nhất trong tất cả các ideal

trái tựa chính quy trái.
Tóm lại ta đi đến một kết luận mạnh mẽ : Jphải (R) = Jtrái (R)
Chuyển sang phần sau, ta tiếp tục khảo sát thêm về Radical Jacobson của một đại số

II.9 Đinh nghĩa :
a) Phần tử a R đƣợc gọi là lũy linh nếu

số nguyên m > 0 sao cho am = 0

b) Ideal trái (phải, hai phía) đƣợc gọi là nil - ideal nếu mọi phần tử của nó đều là lũy
linh.
đƣợc gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên m > 0 sao cho

c) Ideal phải (trái, hai phía)
a1 .a2 ... am = 0
*

a1 , a2,….., am

.

Nếu I, J là 2 ideal phải (trái, hai phía) của vành R thì tập hợp :

9


IJ = {<ab> / ael, b J} nhóm cộng sinh bởi cặp phần tử a,b
Lúc đó IJ cũng là ideal phải (trái, 2 phía) của vành R.
Bằng quy nạp ta định nghĩa : I1 = I; In= In-1.I .
đƣợc gọi là lũy linh nếu

d) Ideal phải

IJ = {∑

số nguyên m > 0 sao cho
/ ai

m

= (0).

}

, bi

Rõ ràng IJ là ideal phải (trái, hai phía ) .

Nếu I, J là ideal 2 phía
X 1 :  Nếu

IJ

I

I; IJ

: là ideal lũy linh (

m

J.

= 0) thì nó là nil - ideal.

 Điều ngƣợc lại không luôn đúng .

II.10: Mối quan hệ giữa phần tử lũy linh và tựa chính quy
NX : Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy phải, tựa chính quy trái.
Chứng minh : Vì a lũy linh

m > 0 : am = 0

Đặt b = -a + a2 - a3 + ... + (-l)m-1. am-1
ab = -a2 + a3 - a4 + ... + (-l)m-2.am-1
b + ab = -a
Tƣơng tự

a + b + ab = 0

a + b + ba = 0

lƣu ý rằng : Hai phần tử a, b này có thể giao hoán nhau.

II.11Bổ đề : J(R) chứa mọi nil - ideal 1 phía.
Chứng Minh : Nếu
phần tử của

là một nil-ideal phải

là tựa chính quy phải . Suy ra

J(R)

II.12 Radical Jacobson của một đại số
A đƣợc gọi là đại số trên F nếu :
+ A vành.
+ A không gian véc tơ trên F.
+

a, b

A,

Fα (ab) = (αa) b = a (α b).

• Nếu A có đơn 1 thì (α .1) x = x (α .1).

10

mọi phần tử của nó lũy linh

mọi


Chứng minh : x= 1 . x = x . 1 (*)
α.x = α (1 . x) = α (x . 1) = (α. 1) . x = x (α. 1)
Lƣu ý 2 ánh xạ : Ta, L = a : A → A.
x →Ta (x) = x . a
x → La (x) = a . x
Là các phép biến đổi thuộc tính
• Một đại số vừa có cấu trúc là một vành , vừa có cấu trúc không gian véc tơ
Ta có định nghĩa Radical Jacobson của một đại số hoàn toàn tƣơng tự nhƣ định nghĩa
Radical Jacobson của một vành, chỉ có một lƣu ý quan trọng là : Các khái niệm ideal ở đây
được hiểu theo nghĩa ideal của một đại số (vừa có cấu trúc ideal của vành vừa có cấu trúc
không gian vectơ con .
Xây dựng khái niệm Radical Jacobson của một đại số :
 Giả sử R là một đại số trên trƣờng F nào đó .
 Tập hợp M đƣợc gọi là môđun trên đại số R nếu nó là môđun trên vành A và thỏa mãn
điều kiện:
m M,

F ta có (ma) α = m(a) α = (m α)a

a A,

 Ta gọi tập hợp A(M) là lập hợp tất cả các phần tử của R linh hóa đƣợc toàn bộ M ,
A(M) = {x

R / Mx = (0) } .

Bổ đề : Tập A(M) ={x

R/Mx = {O}} là ideal 2 phía của R trong đó M là modun trung

thành (faithful) trên vành thƣơng R / A(M).
 M đƣợc gọi là R-môđun bất khả quy trên đại số R nếu :
*. MA

(0)

*. M không có môđun con thật sự .
 Ta gọi Radical của đại số R là tập tất cả các phần tử của R linh hóa đƣợc tất cả các
module bất khả quy trên R. Ký hiệu là J(R) hoặc Rad(R).
 J(R) = {a

R / Ma = {0} với mọi M là R module bất khả quy }

 Ta gọi : A (M) = {a

R / Ma = {0}, M là R-môđun bất khả quy}

 A (M) là Ideal hai phía của R, vậy J (R) có thế định nghĩa khác :
 J (R) = ⋂
 J(R) =

,

là ideal phải, tối đại, chính quy của đại số R.

11


Một vấn đề đặt ra là : Nếu A là đại số trên trường F thì cũng có Radical - Jacobson
của đại số A, nó khác thế nào so với Radical - Jacobson của vành A ?
Giả sử A : đại số trên trƣờng F
*. Nếu xét A nhƣ là một vành
J(A) =

là ideal phải tối đại chính quy của vành A.

,

*. Nếu xét A nhƣ là một đại số :
trong đó

Suy ra J(A) =

: ideal phải tối đại chính quy của vành A và là không

gian véc tơ con.
Jđạisố(A)

Vậy Jvành(A)

Nhƣng thực ra chúng bằng nhau. Thật vậy ta cần chứng minh rằng mọi ideal phải tối đại
chính quy của vành A cũng là không gian véc tơ trên trƣờng F.
không là không gian vectơ con trong trƣờng F → F

Giả sử
*Ta có F
*Do

là ideal phải của A.

tối đại mà F

A2 = (F

+ ). A

Vì p chính quy
Nhƣng ax

A=F

2

A

+

F .A + .A =

a

A : x - ax

(FA) + .A
x

. Vậy x

A

A

Mâu thuẫn với tính tối đại của

A=
cũng là không gian véc tơ

.Tóm lại

Do vậy ta có : Jvành (A) = Jđạisố (A)

II.13. Định lý : J(R/J(R)) = (0)
Chứng Minh : Đặt
J(R)

= R / J (R), và gọi p ideal phải, tối đại, chính quy của R . Ta có

, mặt khác theo định lý đồng cấu

chính quy vì nếu x - ax
Vì J(R) =

(0) =

các ideal phải tối đại chính quy của

=
,

x

/ J(R) là ideal phải tối đại trong

, nó

̅

. Theo định lý II.6 thì J( ) trùng với phần giao của tất cả
và do đó nằm trong

12

J( ) = (0) (đpcm) .


III. VÀNH NỬA ĐƠN
Đến đây việc xuất hiện Radical Jacobson J(R) đã có một ý nghĩa . Nhưng nếu J(R) = (0)
điều gì sẽ xảy ra ? Người ta đi đến khái niệm vành nửa đơn như sau:

III.1 Đinh nghĩa : Vành R gọi là nửa đơn nếu J(R) = (0) .
Theo định lý II.13 vành R / J(R) nửa đơn với mọi vành R.

III.2 Bổ đề Mọi ideal 2 phía A của vành nửa đơn R thì A là nửa đơn .

Chứng Minh : Vì A là ideal 2 phía của R nên J(A) cũng là ideal 2 phía của A. Ta có :
J(A).R ideal phải của R và J(A).R A (Lƣu ý rằng A là ideal 2 phía nhƣng không bảo đảm luôn
luôn có J(A) R

J(A).) .

Giả sử J(A)

(0)

Nếu I1 = J(A).R = 0 mà J(A)

J(A). R là ideal phải của R và I1 = J(A).R
0 thì J(A)2

0 vì nếu I1 = 0 thì :

J(A)2= 0 suy ra J(A) là ideal lũy

J(A).R = 0

linh (Lƣu ý rằng J(A) chỉ là ideal của A chứ không là ideal của R) . Nhƣng do J(A).R = 0 nên
J(A) cũng là ideal phải của R , nhƣ vậy ta có :
J(A) là ideal phải của R , J(A)

0 và J(A)2 = 0 suy ra J(A)

J(R) (vì J(R) chứa mọi

nil-ideal) Mâu thuẫn với giả thiết R là nửa đơn .

Nghĩa là I1
của
ra I12

0 . Nhƣng I12 = J(A).[R.J(A).R]

đều tựa chính quy phải ( vì I12

J(A).A

J(A) do đó mọi phần tử

J(A) ) . Lại do I12 là ideal phải , tựa chính quy phải suy

J(R) = 0 do đó I12 = 0 . Mâu thuẫn với giả thiết vành R có ideal phải I1

0 và I1 là lũy

linh và R là nửa đơn (đpcm) .
Từ đó có thể mô tả một cách chính xác hơn về Radical Jacobson của một ideal hai phía
A của vành R .

III.3. Đinh lý: Nếu A là ideal của vành R thì J(A) = J(R) A .
Chứng minh : Ta có : J(R) A

J(A) .

Ta nhận xét rằng : Nếu f là đồng cấu từ : R → R’, và nếu A là ideal tựa chính quy phải
trong R thì f(A) cũng là ideal tựa chính quy phải trong f(R)
Dựa vào nhận xét đó ta xét đồng cấu phép chiếu :

: R→

= R/J(R)

A → f(A) là ideal tựa chính quy của
Đồng cấu

cảm sinh

* : A→ R/J(R)

13

và Ker

= J(R)


Với R/J(R) là vành nửa đơn và Ker
Theo định lý No ̈ ther A/Ker

* = A J(R)
(A) . Nghĩa là :

*

*(A)

là nửa đơn

Vậy

Xét phép chiếu chính tắc : A →

: nửa đơn
(J(A)) cũng tựa chính quy .

Do J(A) là tựa chính quy trong A nên
Đặt

=

suy ra

(J(A))

J(A) = (0) do đó J(A)

Theo giả thiết A là một ideal của R . Xét vành thƣơng
Tồn tại

= {a

J(R) A .

= R/J(R) .

A } cũng là một ideal của R . Hơn nữa

J(R) / a

f:A→

(vì có toàn cấu

a → a+J(R) , trong đó Kerf = A
No ̈ ther ta có

J(R) nên theo định lý

))

Định lý đã được chứng minh cho ideal hai phía A , trường hợp A là ideal một phía thì
sao ? Chúng ta nhớ lại rằng : Jphải(R) = Jtrái(R).
Nhận xét: Định lý chỉ đúng nếu A là một ideal hai phía . Nếu A chỉ là một ideal một phía
định lý III.3 có thể không còn đúng .
Chẳng hạn ta lấy R = F2 ma trận vuông cấp 2 lấy hệ tử trên trƣờng các số thực . Vì R có
đơn vị là (

) nên J(R)

R . Để ý rằng R là vành đơn nên không thể có ideal hai phía ( Thật

vậy , giả sử A là ideal hai phía của R và A

Gọi e11 = (

Vì A

); e12

(

(0).

) ; e21 = (

) ;e22

(0) nên tồn tại ma trận (aij)  (0) mà (aij)

Ví dụ chọn a12

0 và ma trận a = (aij) = (

(

)

A
) Rõ ràng ta có:

a= a11e11 + a12e12 + a21e21 + a21e21 và eijekl = {
Vì a12 0 nên 21.a.e22

A.Ta có :

e21.a. = e21.a11.e11.e21+…+ e21.a12.e12.e22 +0+0 = a12.(e21.e12e22) = a12.e22
Do đó

e22

A suy ra e22

. Do e22

14

A nên e12.e22.e21 = e11

A

A. Tóm lại


e11 và e22 cùng thuộc A suy ra e11+e22 = (

) = ma trận đơn vị cũng thuộc A , do đó R là vành

đơn . Mâu thuẫn . Vậy J(R) = 0 : Vành ma trận vuông cấp 2 các hệ tử thực là vành nửa đơn
Qua phần ví dụ và phân tích trên , chúng ta có thể tổng quát hóa và thu được một kết
quả đặc sắc như sau :
Nhận xét: Lập luận tƣơng tự , ta thấy rằng : Mọi vành ma trận cấp n : Mn(F) đều là
vành đơn (Ký hiệu Mn(F) chỉ vành ma trận cấp n lấy hệ tử trên trƣờng F) .
Bây giờ xét ρ = {(
vì (
ρ

)

)/α ,

, rõ ràng

F}, rõ ràng là ideal phải của R và J(ρ)

0 bởi

J(ρ) . Nghĩa là định lý III.3 không còn đúng trong trƣờng hợp này, vì rằng J(ρ) =

J(R)=

0 = 0. Mâu thuẫn

Để ý rằng : ρ1 = {(

) /

F } là một ideal phải của

linh , hơn thế nữa 1 là nil-ideal phải khác 0 của

suy ra J( )

. Mọi phần tử của
0 vì 

1

đều lũy

J( ) (đpcm) .

Lý luận hoàn toàn tương tự, chúng ta đi đến kết quả :

III.4.Định lý : J(Mn(R)) = Mn(J(R))
Trong đó Mn(R)là vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong một vành không giao
hoán R nào đó
Trong một loạt các chứng minh được sử dụng trong khi mở rộng định lý Wedderburn ,
nhiều khái niệm mới còn được sử dụng một cách có hiệu quả như Vành Artin, vành nguyên
thủy, vành nguyên tố, ...

IV. VÀNH ARTIN
IV.l Đinh nghĩa : Ta gọi một vành là Artin phải, nếu mọi tập các ideal phải khác trống
đều có ideal phải tối tiểu .
Từ đây về sau , ta gọi vành Artin phải là vành Artin .

15


Từ định nghĩa trên ,ta có ngay một số kết quả sau :
* Trƣờng, Thể là các vành Artin .
* Mọi vành chỉ có một số hữu hạn các ideal phải là vành Artin .
* Vành các ma trận vuông cấp n trên một trƣờng hay trên một thể là các vành
Artin (Để ý rằng , nếu R = Fn : vành các ma trận vuông cấp n trên 1 trƣờng là một vành
Artin , suy ra tập các ideal phải của Fn là hữu hạn ).
* Tổng trực tiếp một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin .
Tương tự , chúng ta định nghĩa đại số Artin như sau : Cho R là một đại số trên trường F,
đại số R được gọi là Artin nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải ( 0 ) của R đều có phần tử tối
tiểu .

* Nhân xét:
Nếu A là một đại số hữu hạn chiều trên một trƣờng thì A là đại số Artin . (Vì 1
ideal phải của một đại số là một không gian vectơ con . Do đó nếu A có hữu hạn chiều,
2

thì một dãy hữu hạn các dãy giảm đại số ρ1

…pn... là không thể kéo dài vô hạn do

dim(A) hữu hạn , do đó dãy có phần tử tối tiểu) .
Nhƣng nếu xem A là một vành thì có thể A không là Artin . Ví dụ,
Giả sử u là một ký hiệu nào đó, ta định nghĩa một phép toán nhƣ sau u 2 = u.u = 0.
Gọi Q là trƣờng các số hữu tỉ và gọi Qu = {ru/r Q }, trên Qu ta định nghĩa hai phép
toán:
r1u + r2 u = (r1 + r2 )u
(r1 u) (r2u) = (r1r2) u2
Qu với hai phép toán trên trở thành một vành giao hoán (trong đó tích hai phần
tử bất kỳ là bằng 0) . Ngoài ra Qu có cấu trúc không gian vectơ trên trƣờng số hữu tỉ Q,
và có số chiều dim Qu = 1 ( vì Qu có một cơ sở là u: mọi phần tử đều biểu diễn đƣợc qua
u) Do đó Qu là một đại số, chính là đại số Artin. Nhƣng nếu xem Qu nhƣ một vành thì
nó không là Artin (Thật vậy , do tính chất của chính trƣờng số hữu tỉ Q , ta có thể thiết
lập một dãy giảm các ideal không bao giờ dừng nhƣ sau :
1=
i



2=

<

là ideal sinh bởi phần tử

2

i

u>

3

=<

3

u>

(I = 1,2,3,...) , trong đó p là một số nguyên tố nào đó . Để

ý rằng , không thể xem

là đại số vì nếu nó là một đại số thì p 2 u = (pu)(pu) = 0 và
< p 2 u > = {kp 2 u / k Z } .
Nghĩa là Qu là đại số Artin mà không là vành Artin .

16


Về mối quan hệ giữa khái niệm vành Artin và Radical Jacobson của một vành, chúng
ta thu được một số kết quả sau :

IV.2 Định lý :Nếu R là vành Artin thì J(R) là ideal lũy linh .

Chứng minh :
J2 … Jn … là vành Artin nên

Đặt J = J(R) . Xét dãy các ideal phải lồng nhau : J

tồn tại n > 0 sao cho Jn = Jn+1 = Jn+2= ... Ta chứng minh rằng Jn = 0
Đặt W = {x R/x.Jn = (0) } kiểm chứng đƣợc rằng W là một ideal hai phía của R . Có
hai trƣờng hợp có thể xảy ra :
Trƣờng hợp 1 : Nếu W Jn suy ra Jn . Jn = (0) do đó J2n = ... = Jn = (0)
Trƣờng hợp 2 : Nếu W

Jn →

(0)
Jn } là ideal khác 0 của R , vì rằng

= {r+w/r
mọi ideal

của

khác (0) của

/

} có ideal tối tiểu là

W , vì vậy mà ta có :

(0) . Nghĩa là

W suy ra

J( ) suy ra .

cũng Artin , do đó tập

. Do R là vành Artin suy ra

tiểu nên nó hoặc bất khả quy hoặc .
Jn

= R/W và đồng cấu

R→

chính tắc :

ra

Jn . Xét vành thƣơng

. Xét

= (0) Với
= {

xem nhƣ là mô đun trên

= (0) . trong cả hai trƣờng hợp là đều có

ideal

, vì

tối

= (0) suy

Jn . Jn = .J2n = (0) . Nhƣng chính là do Jn = J2n mà . Jn =

= (0). Mâu thuẫn Trƣờng hợp 2 không thể xảy ra và định lý

đƣợc chứng minh.
Hệ quả : Trong một vành Artin, mọi nil-ideal đều là ideal lũy linh .
Thật vậy , nếu A là nil-ideal của vành Artin R thì A

J(R) , nhƣng chính J(R) lũy linh,

nên A cũng lũy linh.
Nhân xét: Nếu vành tùy ý R có p là ideal phải lũy linh của R ,
(0) . Nếu R

= (0) thì R

(0) , và giả sử

m

=

là một ideal hai phía lũy linh của R .

Chứng minh : (R )m = R R ...R = R( R)( R)...( R)
Trƣờng hợp R = (0) thì

R

m

= (0).

là ideal hai phía khác 0 của vành R. Do vậy mà bất kỳ

trƣờng hợp nào ta cũng có : " Nếu vành R đã có ideal phải lũy linh
ideal hai phía lũy linh khác 0 " (đó chính là

hoặc

17

).

0 , thì chắc chắn cũng có


Để ý rằng , đã từ lâu có giả thiết của Kete rằng : Nếu vành đã có nil-ideal phải khác 0,
thì nó cũng có nil-ideal hai phía ? Đáng tiếc là chúng ta chưa tìm thấy được chứng minh giả
thiết này .
Bây giờ , kết hợp khái niệm Radical Jacobson của một vành và khái niệm về vành Artin

để khảo sát sâu hơn lớp các vành nửa đơn , mối quan hệ giữa chúng để sau này vận dụng trong
các phép chứng minh cho định lý Wedderburn và các mở rộng của chúng .

IV.3 Định nghĩa : Phần tử e R và e

0 đƣợc gọi là lũy đẳng nếu e2 = e .

IV.4. Bổ đề : Giả sử R là vành không có ideal lũy linh khác 0 (ideal hai phía) , và giả
sử

0 của R . Khi đó

là ideal phải tối tiểu

đó:

là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng nào

= eR .
Chứng minh : Ta phải có :

2

(0) vì nếu

2

là ideal phải lũy linh khác 0

= (0) thì

của R suy ra R có ideal hai phía lũy linh khác 0 . Mâu thuẫn . Vậy
(0) nhƣng {x
=

0

vì nếu

: xe = x

x

=

Do e-e2
vì rằng 0 e = e2

xe = xe2

x
0=

=0

:x
suy ra x

x(e – e2) = 0 .

/xa = 0} đây là một ideal phải của R. Ngoài ra ta còn có :

= {a
0

0 nên

} là một ideal phải của R , nằm trong . Do tính tối tiểu của

suy ra tồn tại e
Gọi

0

/x

2

= 0. Mâu thuẫn ) . Vì

tối tiểu suy ra

0

0

=0.

0 nên e – e2 = 0 hay e = e2 : phần tử e lũy đẳng . Hơn nữa e
eR suy ra eR

(0), do tính tối tiểu của p ta suy ra

( và

eR

= eR.

Nhận xét : Từ bổ đề trên suy ra : Trong vành không có ideal lũy linh khác 0 thì mọi
ideal phải khác 0 tối tiểu đều là ideal chính sinh bởi một phần tử lũy đẳng.
Nếu ideal phải của vành Artin chứa các phần tử lũy linh thì đó cũng là ideal lũy linh .
Từ đó một câu hỏi tự nhiên được đặt ra : " Phải chăng ideal phải mà chứa phần tử không lũy
linh trong vành Artin thì trong đó thế nào cũng tìm được phần tử lũy đẳng ?

IV.5 Bổ đề : Cho R là vành tùy ý , a R sao cho a2-a lũy linh . Khi đó hoặc chính a lũy
linh, hoặc tồn tại đa thức q(x) với hệ số nguyên sao cho e = aq(a) là phần tử lũy đẳng.
Chứng minh : Giả sử (a2-a)k = 0 . Khai triển vế trái ta đƣợc ak = ak+1.p(a) trong đó p(x) là
đa thức với hệ số nguyên . Vậy:

18


ak = ak.ap(a) = ak.ap(a).ap(a) = ak[ap(a)]2 =…= ak[ap(a)]k = a2k[p(a)]k
*. Nếu ak = 0 thì a lũy linh.
*. Nếu ak

0 và do đó e2 = (a2k[p(a)]k)[p(a)]k = e , suy ra e là phần

0 => e = ak[p(a)]k

tử lũy đẳng .

IV.6 Định lý : Nếu vành R Arlin và

là ideal phải khác 0, không lũy linh của R, thế

thì  chứa phần tử lũy đẳng.

IV.7 Định lý : Nếu R là vành tùy ý và e là phần tử lũy đẳng .
Thế thì J(eRe) = eJ(R)e .
Nhận xét: R là vành tùy ý , nhƣng eRe = { exe/x R}

R lại là vành con của R có đơn

vị .

IV.8 Định lý : Giả sử R là vành không có ideal lũy linh khác 0, e là phần tử lũy đẳng
khác 0 của R. Khi đó eR là ideal phải tối tiểu của R khi và chỉ khi eRe là một thể .

IV.9 Định lý: Giả sử G là một nhóm hữu hạn bậc 0(G) và F là trƣờng có đặc số 0 hoặc
có đặc số p . Thế thì J(F(G)) = (0) .
Chứng minh :
(Trƣớc hết ta nhắc lại định nghĩa đại số nhóm F(G) :
Cho G là một nhóm hữu hạn : G = {g1,g2,g2..,g2} ; F là một trƣờng bất kỳ . Ta gọi tập
hợp ký hiệu F(G) là tập hợp các phần tử , mỗi phần tử là một tổng hình thức có dạng
với

i

và

i

i

i

G. Trên F(G) ta định nghĩa các phép toán :
i

i i=

i

∑

.∑

(

i

i

)

i

=∑

Lúc đó (F(G),+) trở thành một nhóm Abel . Hơn nữa F(G) còn là không gian vectơ trên
F . F(G) đƣợc gọi là đại số nhóm và dimF(G) = n = cấp của nhóm G , trong đó một cơ sở của
không gian F(G) là gl, g2,..., gn ).
Bây giờ ta chứng minh định lý IV.9
Nếu a

F(G) ta định nghĩa ánh xạ : Ta :

F(G→F(G)
x →xa = xTa

Ta trở thành một phép biến đổi tuyến tính không gian vectơ của đại số F(G). Xét ánh
xạ

F(G) → Hom(F(G),F(G)).
a→a

19

= Ta


trở thành phép nhúng đẳng cấu ( Thật vậy rõ ràng

là một toàn cấu . Ta cmr Ker

chính là ánh xạ không , do đó xa = 0

= {0}. Lấy Ta

Ta = 0 do đó Ker

xa = a = 0

x

F , đặt biệt lấy x = 1.e

= {0} ( Để ý rằng 1.e (một cách hình thức) là đơn vị của

đại số F(G)) Vậy F(G) đơn cấu và suy ra F(G) đẳng cấu.
Với mọi phép biến đổi tuyến tính , ta biết rằng đều có một ma trận tƣơng ứng . Do đó ,
với gi

G , tƣơng ứng ta có Tgi , chính Tgi lại có ma trận đối với cơ sở G = {g1=e,g2,...,gn} là :

Suy ra Tgi ma trận có kiểu :A = (

) mỗi hàng có 1 số 1

mỗi cột không có hai số 1 ( để ý rằng trong G có luật gián ƣớc . nên nếu gmgi = gngi

gm= gn)

Vết của ma trận A là tr(A) = a11 + a22 + … + ann
Đặc biệt Tgl = Te= ma trận đơn vị, nên ta có tr(Tg1) = cấp của nhóm G = 0(G)
g1 = e thì Tgi = 0 vì ma trận Tgi có đƣờng chéo chính toàn là số 0 (thật vậy ,

Nếu gi

giả sử a22 = 1

g2gi

g2 và g3 gi

Nếu x J và x 0

g3

x lũy linh . Do đó Tx cũng lũy linh . Phép 1 biến đổi tuyến tính

Tx lũy linh , thì vết của nó tr(Tx) = 0 . Giả sử x
x=

1

+

2g2

+….+

ng n với

1

0

0 , có thể giả thiết x có dạng :

tr( Tx) = 0 =

1tr(Tg1)

+ ….+

ntr(Tg1)

. Mâu thuẫn (đpcm)
Nhận xét: Lớp các vành nửa đơn khá rộng .
Ngoài các khái niệm Radicad Jacobson , vành nửa đơn , vành Artin , một lớp vành khá
đặc biệt cũng được dùng như công cụ nhằm chứng minh và mở rộng định l ý Wedderburn , đó
là vành nguyên thủy được xây dựng như sau:

20