Phương trình vi phân có chậm và ứng dụng trong nghiên cứu các bài toán về dân số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
*

LÊ NGUYỄN HẠNH VY

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM
VÀ ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU
CÁC BÀI TOÁN VỀ DÂN SỐ
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2016


CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. LÊ XUÂN ĐẠI
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. Nguyễn Bá Thi
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS. TS. Nguyễn Văn Kính
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa - Đại Học Quốc Gia
Tp. Hồ Chí Minh ngày...08..tháng...01...năm...2017...
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)
1. PGS. TS. Nguyễn Đình Huy - Chủ tịch hội đồng.....................................................
2. TS. Nguyễn Bá Thi - Phản biện 1............................................................................

3. PGS. TS. Nguyễn Vãn Kính - Phản biện 2...............................................................
4. TS. Đặng Vãn Vinh - Thư ký...................................................................................
5. TS. Đậu Thế Phiệt - ủy viên ....................................................................................
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Bộ môn quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
Chủ tịch Hội đồng

Trưởng khoa


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc
—oOo—

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
I. TÊN ĐỀ TÀI: Phương trình vi phân có chậm và ứng dụng trong nghiên cứu các bài
Chuyên
ngành:
Toán ứng dụng
MN:sinh:
60 46Định
01 12
Ngày,
tháng,
năm sinh:
27-01Nơi
Bình
toán

về
dân
số
1991
Họ và tên học viên:
LÊ NGUYỄN HẠNH VY
MSHV: 13241382
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Nghiên cứu phương pháp hàm Lyapunov ương bài
toán dân số.
II.

NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: Ngày 15 tháng 08 năm 2016

III.

NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: Ngày 15 tháng 12 năm 2016.

IV.

HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. LÊ XUÂN ĐẠI

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông
qua.
Tp. HCM, ngày .15..tháng.. 12...năm 2016

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

TS. Lê Xuân Đại

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN

NGÀNH
KHOA QUẢN
LÝ
CHUYÊN NGÀNH

PGS. TS. Nguyễn Đình Huy

TS. Huỳnh Quang Linh


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy hướng dẫn - Tiến sĩ Lê Xuân Đại, người đã tận tình
hướng dẫn, cung cấp cho tôi nhiều nguồn tài liệu phong phú và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi
hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tập thể Thầy, Cô giáo Bộ môn Toán ứng Dụng - Khoa Khoa
Học ứng Dụng - Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Tp.Hồ Chí Minh đã tận tình dạy
dỗ, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt khóa học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người thân luôn động viên, khuyến khích
và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian vừa qua.
Tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp cao học Toán ứng Dụng K2013 đã luôn đồng hành,
giúp đỡ và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập.
Vì thời gian thực hiện luận văn và kiến thức còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện khó
tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp tận tình từ quý Thầy Cô và bạn đọc
để luận văn được bổ sung và hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 12 năm 2016
Học viên

Lê Nguyễn Hạnh Vy

2


TÓM TĂT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề sau:
1. Nghiên cứu tính ổn định của phương pháp hàm Lyapunov trong phương trình vi phân có chậm.
2. ứng dụng vào mô hình phát triển ổn định trong bài toán dân số.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu được sử dụng trong luận văn là dựa trên phương pháp hàm
Lyapunov và sử dụng phần mềm Matlab, Maple.
Kết quả thu được ở đây là:
1. Tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân có chậm thông qua hàm Lypunov.
2. Khảo sát tính ổn định của mô hình Lotka-Volterra có chậm đơn và có chậm kép.
3. Mô phỏng quĩ đạo nghiệm cho bài toán Lotka-Volterra trong mặt phẳng Pha.

ABSTRACT THESIS
In our thesis, we study some problems:
1. The stability of Lyapunov function method for delay differential equations.
2. The application for the stable development models in the population problem .
The main method to study in the thesis based on Lyapunov function method and using Matlab and
Maple.
We obtained some results:
1. The stable criterion of delay differential equations through Lyapunov function.
2. To study the stability of the Lotka-Volterra model, which include the single delay model and two
delays model.
3. To simulate the orbit solution for Lotka-Volterra problem in the Phase plane.


Lời cam đoan
Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã tham khảo những tài liệu trong mục tài liệu tham khảo
và các tài liệu này có nguồn gốc rõ ràng, tôi không sao chép luận văn của bất kì ai khác. Tôi cam đoan rằng:

Luận văn này được viết bằng sự tìm hiểu và tổng hợp tài liệu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Lê
Xuân Đại.
Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 12 năm 2016
Học viên

Lê Nguyễn Hạnh Vy

4


Lời mở đầu
Nhiều hiện tượng thực tế cuộc sống trong vật lý, kỹ thuật, sinh học, y học, v.v. có thể được mô
hình hóa bằng một bài toán giá trị ban đầu, cho các phương trình vi phân thường có dạng:
±(t) = g(t,x(tf), t>t0
x(t0) = Xo,
Tuy nhiên, để mô hình phù hợp với thực tế hơn, người ta đã sử dụng mô hình hóa bởi phương trình
vi phân có chậm như sau:
±(t) = fịt,Xi), t>t0
Lý thuyết phương trình vi phân có chậm được phát triển rộng rãi bởi Bellman và Cooke [13],
Hale[14], Dirver [15], El’sgol’ts và Norkin [16] và hiện nay có một số cuốn sách mới nói về vấn đề này của
Hale và Verduyn Lunel [17], Kolmanowskii và Myshkis [18],v.v.
Việc nghiên cứu này yêu cầu đòi hỏi không chỉ về mặt lý thuyết mà cả tính ứng dụng rộng rãi, đã
thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học và đã đưa ra nhiều kết quả quan trọng. Nó đã góp phần
xây dựng lý thuyết chung cho ngành toán học và các ngành khoa học khác. Nó có mặt và góp phần nâng cao
tính hấp dẫn, lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu quả, giá trị của nhiều ngành như tối ưu, điều khiểu tối ưu,
giải tích số, tính toán khoa học,...Vì vậy, lý thuyết này đã trở thành một trong các lĩnh vực toán học hiện đại
nhất, có khả năng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như: Vật lý học, Cơ học, kinh tế học, sinh thái học,
hóa học, .v.v. Luận văn được trình bày dựa vào tài liệu và các bài báo sau:
- [1] Yang Kuang, Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, 1992.
- [4]Yanbin Tang, Edoardo Beretta và Fortunata Solimano ,Stability analysis of a volterra predator prey system with two delays, Volume 9, number 1, Spring 2001.

- [5] Yang Kuang*, Edoardo Berrtta , Convergence Results in a Well-Known Delayed Predator- Prey
Sytem, Received July 25, 1995 .


Đầu thế kỷ 20, mô hình toán về biến động dân số được thiết lập trên mô hình Lotka - Volterra và nhiều mô
hình sinh thái học quan trọng khác.
Luận văn này tập trung nghiên cứu về phương trình vi phân có chậm thông qua việc nghiên cứu
tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận toàn cục dựa trên định lý hàm Lyapunov bằng phương pháp
định tính để ứng dụng vào mô hình dân số. Trong luận văn, chúng ta sử dụng phần mềm Maple để tính các
thông số cần thiết cho mô hình, sau đó ta đưa thông số cần tính vào phần mềm mô phỏng Matlab thông qua
việc lập code. Kết quả thu được là quĩ đạo nghiệm và biểu đồ phase của mô hình. Nó cho ta thấy được mức
độ tăng trưởng dân số phụ thuộc vào thời gian có chậm. Ngoài ra, mô hình này quan trọng trong việc đưa
vào ứng dụng trong thực tiễn: nó thể hiện sự tăng trưởng của từng loài khi không có và có thời gian có
chậm, và tạo ra nhiều bước phát triển mới cho các ngành khoa học khác.
Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương, phụ lục và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn được trình
bày như sau:
Lời nói đầu.
Chương 1: Kiến thức cơ bản về phương trình vi phân có chậm.
Chương 2: Phương pháp Lyapunov đối với phương trình vi phân có chậm.
Chương 3: ứng dụng phương trình vi phân có chậm giải các bài toán mô hình phát triển ổn định
dân số.
Phụ lục.
Kết luận và hướng phát triển.
Tài liệu tham khảo.


Muc luc
Lời mở đầu
1

6

Kiến thức cơ bản về phương trình vi phân có chậm

10

1.1 Giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của phương trình vi phân có chậm............................ 10
1.2 Sơ lược về phương trình vi phân có chậm.......................................................................... 10
1.3 Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm........................................................... 11
1.3.1

Tính dao động:............................................................................................................. 11

1.3.2

Nghiệm trong khoảng thời gian ngắn:........................................................................ 12

1.4 Sự biến động về dân số........................................................................................................ 13
1.5 Hệ có chậm Lotka-Volterra kẻ săn mồi - con mồi.............................................................. 14
1.6 Một số nhận xét quan trọng:................................................................................................ 15

2

Phương pháp Lyapunov đối với phương trình vi phân có chậm

16

2.1 Một số kiến thức cơ bản, định nghĩa và ký hiệu................................................................. 16
2.2 Sự tồn tại và tính duy nhất................................................................................................... 17
2.3 Hệ động lực học và sự bất biến .......................................................................................... 17

2.4 Tính ổn định Lyapunov trong phương trình vi phân có chậm............................................ 18
2.4.1

Định

nghĩa cơ bản về tính ổn định .......................................................................... 18

2.4.2

Định

nghĩa cơ bản về tính ổn định

2.4.3

Định

lý về tính ổn định Lyapunov........................................................................... 19

Lyapunov.................................................... 19

2.5 Tính ổn định toàn cục cho mô hình nhiều loài.................................................................... 23
2.6 Tính ổn định theo hàm Lyapunov........................................................................................ 23

3

Ung dụng phương trình vi phân có chậm giải các bài toán mô hình phát
triển ổn định dân số

28

3.1 Giới thiệu sơ lược................................................................................................................ 28


MỤC LỤC

3.2

MỰC LỤC

Mô hình Lotka - Volterra có chậm: ......................................................................................... 29
3.2.1

Mô hình động vật ăn thịt con mồi Lotka - Volterra có chậm đơn:............................. 29

3.2.2

Mô hình động vật ăn thịt con mồi Lotka - Volterra có chậm kép.............................. 39

Kết luận

56

Phụ lục

57

Tài liệu tham

khảo

63


Bảng ký hiệu
Ký hiệu

Ý nghĩa

PTVP

Phương trình vi phân

PTVPT

Phương trình vi phân thường

PTVPGG

Phương trình vi phân có chậm
Tập các số thực không âm.
Không gian Euclid n chiều với chuẩn ||.|| và tích vô hướng

Tập các hàm liên tục trên [a,b] và nhận giá trị trong Kn.
Đạo hàm trên, bên phải theo t của hàm V(t, (/)) dọc theo nghiệm của
V
PTVPCC
lim
supa:(t)
t- ->oo

Giới hạn trên của x(t).
lim infíc(t) t Giới hạn dưới của x(t).
—»oo
Phần thực của A
ReX

9


Chương 1

Kiến thức cơ bản về phương trình vi phân
có chậm
1.1

Giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của phương trình vi phân có chậm
1.2 Sơ lược về phương trình vi phân có chậm
Hiện nay, để phù hợp với mô hình thực tế trong vật lý, kĩ thuật, sinh học, y học , ... đôi khi ta

cần thay đổi phương trình vi phân thường bằng phương trình vi phân có chậm để thể hiện sự phụ thuộc
X vào các giá trị trong quá khứ của biến trạng thái x(t'). Khi đó, phương trình vi phân thường (PTVPT)
sẽ được chuyển thành phương trình vi phân có chậm (PTVPCC) như sau:
±(t) = f(t,x(t - 71), ...,x(t - Tn)), t > to,
với Ti > 0,Vt > t(Ị,i = 1, ...,n được gọi là các chậm
Dạng tổng quát nhất của các mô hình còn được thể hiện qua PTVPCC như sau:
± = /(i,Xt),

(1.1)

trong đó, Xt = x(t + ớ), 9 E [—r, 0], là một hàm thuộc không gian các hàm liên tục từ [—r, 0] vào Ký

hiệu: c = Co([—r, 0], Rn)
f : Q —>

là hàm cho trước, với Q c R X c.


Luận văn cao học

Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm:

Khi đó, bài toán giá trị ban đầu là :
x(t) = f(t,xt), t>tữ, xữ = x(tữ + ớ) = (f)(0) trong đó, (f)(0) E c biểu
diễn trạng thái ban đầu hoặc trạng thái dữ liệu gốc.

1.3 Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm
Nghiệm PTVPCC không được xác định bởi trạng thái ban đầu của nó tại một thời điểm nào
đó, mà trạng thái ban đầu được xác định là một hàm số liên tục trên đoạn [—T, 0].
Và cách tốt nhất để biết được là ta đi xét PTVP tuyến tính bậc 1. Ta xét bài toán giá trị ban đầu
bậc 1 như sau:
= kx, x(0) = 1

(1.3)

x(t) = exp(kt)

(1.4)

có nghiệm là

Theo quy luật thì việc xét tại x(0) = 1 cho phép ta có thể dự toán ở bất kỳ thời điểm t nào. Tuy nhiên,

đối với PTVPCC, ta có thể xét như sau:
^=kx(t — r), x(t) = 1 khi —T
(1.5)

Phương trình trên phụ thuộc vào X tại thời điểm t — T. Trong đó, T là sự chậm trễ hay thời gian có
chậm. Mặc khác, trạng thái ban đầu được thay thế bởi hàm ban đầu xác định trên khoảng hữu hạn.

1.3.1 Tính dao động:
Ngược với dạng mũ của nghiệm (1.4) thì nghiệm phương trình (1.5) có tính dao động [2],
Điều này có thể được tìm trong dạng nghiệm đặc biệt sau:
x(t) = A sin(cut)

(1.6)

Thay (1.6) vào (1.5), ta được:
Lí) A cos(cưt) = kA sin((Ji — ỪJT)
= &>l[sin((ji) COS(LƯT) — sin((J7“) cos(cưt)]

(1.7)

Cân bằng 0 hệ số của cos(cưt) và sin((Ji), ta tìm được 2 điều kiện:
COS(LƯT)

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

= 0 và u> = — k sin((J7“)

11

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

Sự biến động về dân số

Điều kiện đầu thỏa nếu CƠT = hay CƠT = với điều kiện thứ 2, ta có được:
U)T = — và kr = ——
2
2
37T
37T
CUT = — và KT = —
2
2
Đối với giá trị đặc biệt của kr, PTVPCC (1.5) nhận nghiệm tuần hoàn (1.6).

1.3.2

Nghiệm trong khoảng thời gian ngắn:

Sự khác biệt giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân có chậm là điều kiện
ban đầu. Đối với phương trình vi phân có chậm, ta không chỉ cung cấp giá trị ban đầu, mà nghiệm xữ(t')
tại những thời điểm trước điểm ban đầu.
Xét trường hợp k = — 1 và T = Xo = 1. ta giải phương trình (1.5) trên đoạn hữu hạn [0, T].
Khi đó, (1.5) trở thành:
±(t) = — xịt — 1),
Ta giải với a?(0) = 1 . Nghiệm là:
xịt) = 1 — t, 0 < i < 1

(1-8)

Hình 1.1: Phương pháp từng bước cho việc giải x' = —xịt — 1) với X = 1 trên đoạn hưu hạn [-1, 0]. Nó cung cấp
nghiệm x(t) = 1 - t trên [0, 1] và x(t) = —(t — 1) + 1 (t — l)2 trên [1, 2].

Khi X dần đến 1, ta xét trên đoạn hữu hạn [1, 2] thì phương trình (1.8) trở thành:
±(t) = -1 + (t - 1)
với điều kiện ban đầu thu được tại thời điểm t=l, thì khi đó, x(l) = 0. Nghiệm là:
x(t) = — (t — 1) + l(t — l)2, với 1 < t < 2

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

12

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

Hệ có chậm Lotka-Volterra kẻ săn mồi - con mồi

1.4 Sự biến động về dân số
Năm 1925, Lotka đã phát triển phương trình Verhulst được tái phát hiện bởi Pearl and Reed
(1920), đó gọi là "luật phát triển dân số" và nhà sinh vật học Nga Gause (1934) đã chứng minh giá trị
của nó trong các thí nghiệm của mình. Phương trình logic liên tục được cho bởi:

Trong đó, r và K được xác định là tỉ lệ tăng trưởng và sức chứa dân số. Nghiệm của phương
trình trên có thể được xác định bởi phương pháp tách biến. Nó là một đường xicmoit dạng hàm mũ từ
N(o) c K và bão hòa tại N = K

Hình 1.2: Sự phát triển của Paramecium aurelia trong ống nghiệm chứa Osterhaut trong môi trường nuôi cấy vi khuẩn
làm thực phảm, mỗi ống chứa 0.5ml.

Phương trình logic giả định tỷ lệ sinh hoặc tử phản ứng với những thay đổi trong dân số. Tuy
nhiên, có một số sinh vật biểu hiện sinh sản với sự chậm trễ. Sự chậm trễ xảy ra là do dinh dưỡng, hoặc
từ điều kiện môi trường. Hutchinson là một trong những nhà toán học đầu tiên đưa ra sự chậm trễ trong
phương trình logic. Ông chỉ ra rằng việc quan sát các dao động có thể được giải thích bởi thời gian có
chậm hữu hạn. Cụ thể, ông đã nghiên cứu phương trình sau:
d

Ạ = rN(l

dti
\
K
Phương trình này có thể được viết lại dạng không thứ nguyên nếu ta đặt:
y = N/K và t = ti/r
Khi đó phương trình trở thành:
í=-'))
trong đó, A = rr

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

13

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Hình 1.3: Với À = 1, nghiêm dao động của phương trình vi phân có chậm ở trạng thái ổn định là y = 1

■II________I_______________I_______________
0
2(1 -KỊ w> SỌ 100

t

Hình 1.4: Với À = 1.8, dao động chậm và được duy trì

1.5 Hệ có chậm Lotka-Volterra kẻ săn mồi - con mồi
Khi nghiên cứu mô hình kẻ săn mồi-con mồi, Volterra (1928) đã nghiên cứu hệ sau:
xịt) = xịt)

Fi(0)y(t + 0)d0

F2(0)x(t + 0)d0

ỳ(t) = y(t)
Trong đó: X, y là mật độ con mồi và kẻ săn mồi

Đối với sự tương tác qua lại lẫn nhau, Wangersky và Cunningham (1957) cũng sử dụng phương trình
sau cho mô hình kẻ săn mồi - con mồi .
cx
m—
ỹ(i) = -fiy(i)
+ x(t)
(t - r)y(t - r)
±(t) = ax(t)
— bx(t)y(t),
m

Một cách tổng quát, mô hình có chậm của kẻ săn mồi - con mồi có dạng:

±(t) = x(t)F(t,xt,yt),
ỹơ) = y(ì)G(t,xt,yt),
trong đó, xt(0) = x(t + ớ),

= y(t + ớ) với ớ < 0 ; F , G thỏa mãn điều kiện : dF/dxị <

0, dF/dyt < 0, dG/dxt < 0, dG/dyt < 0.


1.6 Một số nhận xét quan trọng:
- Minorsky (1942) đã chỉ ra tầm quan trọng về việc xem xét tính chậm trễ trong cơ chế phản hồi,
đây chính là tiền đề cho sự phát triển lý thuyết phương trình vi phân phụ thuộc vào trạng thái
trước đó.
- Một số ứng dụng trong kỹ thuật của phương trình vi phân có chậm được nghiên cứu bởi
Kolmanovskii và Nosov (1986)
- Năm 1920, ứng dụng phương trình vi phân vào biến động dân số đã được nghiên cứu lại, mãi đến
năm 1927, Volterra đã nghiên cứu mô hình kẻ săn mồi - con mồi, nhưng không được chấp nhận .
- Năm 1963, việc nghiên cứu này đã được quan tâm trở lại trong bối cảnh biến động dân số và toán
sinh học.
- Cuốn sách của Hale (1977) đẩy mạnh quá trình nghiên cứu mô hình này, ngoài ra Pielou (1977),
May(1974), J.M.Smith (1974) đã cung cấp phần lớn động cơ sinh học cần thiết cho mô hình hóa
và phân tích lý thuyết về các vấn đề biến động dân số trong phương trình vi phân có chậm.


Chương 2

Phương pháp Lyapunov đối với phương
trình vi phân có chậm

2.1 Một số kiến thức cơ bản, định nghĩa và ký hiệu
Với mỗi X thuộc không gian tuyến tính Rn, ký hiệu ||x|| là chuẩn của X trên Rn. Với b > a, ta
xác định C([a, b], Rn) là không gian hàm liên tục từ[ữ, 6] vào R n. Khi (f) € C([a, 6], Rn), thì ộ được xác
định bởi
IHI = sup |ộ(ớ)|,
a<8
Trong trường hợp [a, 6] = [—r, 0], khi đó c = C([—r, 0], Rn).
Với ơ € R, A > 0,X € C([o — r,ơ + J4], Rn), và t € [o, ơ + J4], ta xác định xt € c khi a?t(ớ) = xịt
+ ớ), SE [—r, 0]. Giả sử íì là tập con của R X c, hàm f : íì —> Rn, khi đó ta gọi :
x(.t) =

(2.1)

là phương trình vi phân có chậm. X được gọi là nghiệm của (2.1) trên [o — r, ơ + 4 nếu X e C([o - r, ơ +
/1), Rn), (t, Xt) e và Xt thỏa (2.1), với t E [0,0 + 4.
Với o E R, <Ị> E c thì x(ơ, </>) là nghiệm của (2.1) với giá trị ban đầu <Ị> tại o. Nếu
nghiệm đó là duy nhất thì với mỗi t < 0, ta xác định:
T(t) :

—> a?t(o,ự>)

Rõ ràng, T(t) là ánh xạ đi từ c —> c. Ta gọi T(t) là nghiệm ánh xạ của
i(t} = f(t,Xi), t>ơ
xơ = ộ
1
6


Luận văn cao học

Hệ động lực học và sự bất biến

Trường hợp, phương trình vi phân có chậm hữu hạn::

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

17

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

Hệ động lực học và sự bất biến

18

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

Hệ động lực học và sự bất biến

Do đó,
v(t,xt) < -w(^) ,telfc.

Chú ý:tfc+i — tfc > r. Vì, vậy, ta có thể giả sử rằng L >

. Vì vậy:

v(tk,xtk) - v(ơ,ộ) < -“(ịìịtk ~ 1)Đặt K = K(ỏo, L} là số nguyên thỏa:
u(Jọ)£
Nếu k > 1 + K, ta có:

( điều này không thể xảy ra)
Vì vậy, nếu to = 2r(K + 1) thì với ||ộ|| < đo, IIxt(ơ, ộ} < e, t > ơ + toTa chứng minh được nghiệm tầm thường X = 0 của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận đều.

Ví dụ 1. Ta xét phương trình Lotka-Volterra vô hướng tổng quát với phân phối có chậm:
/>0 />0

±(t) = xịt)

'y — ax(t) + b / x(t + ớ)đ/ti(ớ) — c / x(t + ớ)d/z2(ớ)
J —T

J —T

trong đó, Pi(o), i = 1,2 không giảm và
i = 1,2
7, a, b, c và r là những hằng số không âm.

Ví dụ 2. Theo phương trình ví dụ trên, với pLi,i = 1,2 không giảm và ịii(ũ+) — Hi(—r) =
1, i = 1,2, 7, a, b,c và r là những hằng số không âm. Ta đặt X* = 7/(ữ + c — ồ). Lấy V(x) = |(x-.r*)2,
và x(t) = x(ự>)(t). Ta có:
V(x(t)) = —ax(t)(x(t) — X*)2 + bx(t)(x(t) — X*

(xịt + ớ) —
X*)á/21(Ớ)

— cx(t)(x(t) — X*) f°r(x(t + 0) — x*)dfi2(0).
Nếu |x(t) — x*| > \x(t + ớ) — x*| , 0 G [—r, 0] thì:
V(x(t)) < —(ữ — b — c)(x(t) — X*)2.

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

19

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

Tính ổn định theo hàm Lyapunov

20

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

Tính ổn định theo hàm Lyapunov

21

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

Tính ổn định theo hàm Lyapunov

Định lý 2.6. Giả sử (2.6) thỏa mãn (Hl) và (H2), &1(Ớ), Jỉ2(0) thỏa (H2) - (H3) với bất đẳng thức
đúng trong (H3), và k^O), ki(0) vi phân liên tục trên (0, r) . Giả sử hơn thế nữa, với ớ € (0,r),
(k'^Y/k'^O)(H6)
< 26r_1
k'^ck'^O) - pk'M A„(=b
(H7)
' fc"(ớ)
(^c
A

^(g))2

(
J P r 2fe

2WJ

'

VrI

2pfc"(0)

2pfc"(0) )

Khi đó, lim (m(t), 3/(t)) = (x*,y*)
Chứng minh. Chứng minh này hầu như đều giống với Định lý (2.5), trừ khi ta định nghĩa như sau:
V(ộ,t/))

= p(ộ(o) + X*)-px*/n(ộ(o) + X*) + c(t/)(o) + 7/*)

- q/*Zn(^(0) + y*) - 2 Ị ^í(ớ)[Ị (ị>(-s)ds]2dO
~ 2/0 k'2^/ữ ^(_s)đsl2đổ
Ta có thể thấy rằng

W) = f{-^[0(o)]2 - ^[V(O)12 - Jo '

'

z

- ^k2^)lJữ ý(-s)ds]2}d0
+ í {PkzW(ty[i ý(-s)ds] + (ck'4(0) - pk'2(0Ỵ)ý(Q)
Jo
Jo
rớ

rớ

X [ Ị ỉ/j(—s)ds] — c/cg(ớ)^(ớ)[ / ự>(—s)ds]}dff
Jo
Jo
+ p limJủỉ(ớ)[ í ự>(-s)đs]2 +lim ^(ớ)[ / 7/)(-s)ds]2
2 0—>r
Jg
2 ớ—>r
Jg
Biểu thức bậc hai bên trong {.} đầu tiên rõ ràng không dương . Biểu thức trong {.} thứ hai thì
cũng là phương trình bậc hai trong ự>(0), ĩị>(ừ), Ifg </>(—s)ds], và [fg ý(—s)ds]. Bằng cách thực hiện
bình phương 3 lần với biểu thức trong hai {.} , ta thấy (H7) và k"(0) > 0, k2{0) > 0 cho ta V(ự>,7/>) = 0
nếu và chỉ nếu ự>(s),ĩị>(s) không đồng nhất trên [-r, 0].

■

Ta xét hệ thứ nguyên n như sau:
Tì'
Tì' ny
±i(t) = Xi(t)[ei + '^2pijXj(t) +
/ Sijkij(0)xj(t - 0)d0], i =
J-1
j=i

(2.10)

Trong ăó i,j = 1,..., n, Ci, Pij, Sịj là những hằng số và kij(0) thỏa (Hl) - (H3) và
fg kij^dO = 1

(2.11)

Mặc khác, ta giả sử rằng (2.10) có trạng thái ổn định dương duy nhất (®ĩ, •••,<)• Cho
tíj(i) = Xi(t) — X*, i = 1,..., n . Hệ (2.10) trở thành:
ủjịt) = (Uíịt) +
j=i
IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

+ y? [ 8ijkij(e)uj(t - 0)d0],i = 1,... ,n.
j=i
22

(2.12)

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

Tính ổn định theo hàm Lyapunov

Cho ộ(s) + X* € C([—r, 0], R+) sao cho ộ(0) + X* > 0, i = 1,..., 1Ĩ. . Định nghĩa:
V(Ộ1,..., ộn) = 22

+ X*) - aíi=l
+y Ị sijkij(e)[Ị0 ội(-s)ds]2dỡ}

Ta có:
ý(ội,...,ộn)

= Ỵ^{aiXị 22[ĩ’ó

i=l j=l
do
+ y^aịSii [ kịị(p)[ [ ội(-s)ds][-ội(-0) + Ội(ữ)]d0
Í=1 J0
Jo
22{J2«iÍ=1 j=l
X í 8ijkij(G)<Ị>j(-G)dG
Jo
+ 2' / siik"Mjữ ội(-s)ds]2dG
Ịịm_^(ớ)[f^(-5)^]2}
2 9—>rJo
=

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

23

GVHD: TS. Lê Xuân Đại