Bài tập pt tư duy01

Để có thể phát triển khả năng tu duy và sáng tạo trong việc học toán và giải
toán cho hoc sinh, thì việc tìm ra kết quả của một bài toán có cha thể coi là kết
thúc đợc, mà cần phải tiến hành mổ xẻ, phân tích bài toán đó. Nhng khai
thác, phát triển một bài toán nh thế nào?
Ta biết rằng một số bài toán có thể phát biểu tóm tắt dới dạng nếu A thì B.
Do đó để khai thác phát triển một bài toán ở dạng trên thì vấn đề đặt ra là:
i/ Ngoài B ra thì còn có thể thu đợc kết quả nào khác na không?
ii/ Đảo lại nếu có B thì có A không?
iii/ Thay đổi một số dữ kiện của giả thiết A thì kếtquả thu đợc của bài toán
có gì mới không?
Đó là một số hớng để khai thác, phát triển, mở rộng một bài toán để thể
phát triển khả năng t duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán cho hoc
sinh
I . bài toán mở đầu.
1. Bài toán mở đầu thứ nhất .
Từ một điểm M thuộc đáy BC của tam giác cân ABC(AB = AC), vẽ
ME, MF theo thứ tự vuông góc với AB, AC
( )
E AC,F AC
.
Chứng minh tổng
+
ME MF
là không đổi khi M di động trên cạnh BC.
Vài cách giải tóm tắt của bài toán trên
Để chứng minh +ME MF là không đổi , ta có thể giải theo hai hớng
sau.

J
H
K

I F
E
M
C
B
A
1. Hớng thứ nhất (Đặc biệt hóa).
Gọi BH, CK là các đờng cao của
VABC
cân thì
= =BH CK h
không đổi.
Chọn M trùng với B thì
= =ME 0;MF BH
ta có
+ =ME MF BH
Tơng tự, nếu M trùng với C thì
= =MF 0;ME CK
nên
+ =
ME MF CK
Ta có cách giải thứ nhất
Vẽ đờng cao BH và vẽ
MI BH

Khi đó
= =V VBME MBI ME BI
Ta có
+ = + = =ME MF BI IH BH h
Cách giải thứ hai

Vẽ đờng cao BH và vẽ
BJ FM
Khi đó
= =V VBME BMJ ME MJ
+ = + = = =ME MF MJ MF JF BH h
Cách giải thứ 3
Vẽ đờng cao BH và nối A với M. kí hiệu S là diện tích tam giác
Ta có
+ = + = + = =
MAB MAC ABC
S S S ME.AB MF.AC BH.AC ME MF BH h
2. Hớng giải thứ hai

I'
I
F'
E'
M'
A
B
C
M
E
F
Cách giải thứ t
Gọi M,M là hai điểm bất kì thuộc cạnh BC, giả sử M nằm giữa C và M. Vẽ
M'E' AB;M'F' AC
, vẽ
MI M'E';M'I' MF
Khi đó

= =V VMIM' M' I' M MI' M' I
Ta có
+ = + + = + + = +ME MF E'I MI' I'F E' I M' I I'F M'E' M'F'
Do M và M là hai điểm bất kì thuộc BC nên ta kết luận đợc
+
ME MF
là
không đổi.
Khai thác và phát triển bài toán trên
Trớc hết, ta viết lại giả thiết của bài toán nh sau:

( )
( )
( )



=




V
M BC 1
ABC;AB AC 2
ME AB;MF AC 3
1. Khai thác kết luận
*Theo cách giải thứ nhất, khi chứng minh
=V VBME MBI
ta còn chứng minh

đợc
= =
BE MI HF
Do đó
( ) ( )
+ = + + = +AE AF AB BE AH HF AB AH
không đổi, từ đó và
kết quả của bài toán 1 ta nhận thấy
+ + + =
ME EA AF FM c
không đổi.
Vậy ta có thể chứng minh chu vi tứ giác AEMF không đổi.
*Mặt khác cùng từ cách giải thứ nhất ta có:
( ) ( )
= = = =AE CF AB BE AC AF AF BE AF FH AH
không
đổi.
Nh vậy từ giả thiết của bài toán trên ta có thể chứng minh thêm đợc:
a) Chu vi tứ giác AEMF không đổi.
b)
AE CF
không đổi.
2. Thay đổi giả thiết (1)
Ta giữ nguyên giả thiết (2) và (3). Kiểm tra kết luận.
Nếu ta bỏ dữ kiện M thuôc đoạn thẳng BC và thay bằng M thuộc đờng thẳng
BC.
Giả sử M thuộc tia đối của tia BC

J
M

F
H
E
C
B
A
Theo cách giải thứ hai vẽ
BJ MF
ta đợc
=MJ ME
và
=JF BH
. Khi đó
nhận xét thấy
= = =
MF ME MF MJ BH h
không đổi. Nếu lấy M thuộc
tia đối của tia CB ta cũng có kết quả
= =ME MF CK h
không đổi.
Từ đó ta có bài toán mới
Bài toán 2.
Cho tam giác ABC cân AB = AC. Lấy điểm M nằm trên đờng thẳng BC nhng
không thuộc đoạn BC. Gọi E và F là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống các
đờng thẳng AB, AC. Chứng minh
ME MF
không đổi
3. Thay đổi giả thiết (2)
Giữ nguyên giả thiết (1) và (3). Kiểm tra kết luận
Nếu thay dữ kiện tam giác ABC cân tại đỉnh A, tổng quát hóa giả thiết tam

giác ABC không cân. Giả sử AB > AC