Bài tập pt tư duy 04

Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
2. Bài tập II. (Bài số 9 sgk Toán 9 tập 1 trang 70):
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia
CB cắt nhau ở K. Kẻ đơng thẳng qua D, vuông góc với DI. Đờng thẳng này cắt
đờng thẳng BC tại L. Chứng minh:
a.
DILV
cân.
b. Tổng
2 2
1 1
DI DK
+
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
H ớng dẫn:

K
Q
L
A
D
C
B
I
P

a.Ta có
ADI CDL=V V
(g.c.g)
DI DL DIL=ị ị V
cân tại D

b.Ta có
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
DI DK DL DK DC
+ = + =
(hệ thức lợng trong tam
giác vuông,do DI = DL,
DKLV
vuông ở D và
DC KL^
)
Nhận xét: Với mọi điểm P thuộc đờng thẳng AD, Q thuộc đờng thẳng BC
mà PQ//DL thì
PQ DI^
và PQ = DI (do PQ = DL tính chất đoạn chắn).
Từ đó ta chứng minh đợc các tính chất sau:
Tính chất 1: Hai đoạn thẳng PQ và DI bị chắn bởi các đờng
thẳng chứa các cặp cạnh đối của một hình vuông và vuông góc
với nhau thì bằng nhau.
S
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Tính chất 2: Hai đoạn thẳng PQ và DI bị chắn bởi các đờng
thẳng chứa các cặp cạnh đối của một hình vuông và nhau thì
bằng nhau thì vuông góc với nhau.
Tính chất 3: Hai đoạn thẳng PQ và DI bị chắn bởi các đờng
thẳng chứa các cặp cạnh đối của một hình chữ nhật bằng nhau
và vuông góc với nhau thì hình chữ nhật đó là hình vuông.
Với những tính chất đó có thể giúp ta giải đợc nhiều bài tập hay về hình
vuông.
Sau đây, tôi xin giới thiệu một số bài toán có vận dụng khai thác các tính

chất trên
Bài toán 1.
Hãy dựng hình vuông ABCD diết dỉnh D và điểm I thuộc cạnh AB sao cho
IA
k
IB
=
( k là hằng số cho trớc).
Lời giải

Q
P
A
D
C
B
I
d
Phân tích:
Giả sử đã dựng đợc hình vuông thoả man yêu cầu. Qua I kẻ đờng thẳng vuông
góc với DI, cắt đờng thẳng AD, BC lần lợt tại P, Q.
Theo tính chất 1, ta có ID = PQ
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Mặt khác ta có
AIPV

BIQV
(g.g)
IP IA IP IQ
k k 1

IQ IB IQ
+
= = = +ị ị
PQ ID ID k.ID
k 1 k 1 IQ ;IP (*)
IQ IQ k 1 k 1
= + = + = =ị ị ị
+ +
Dựng hình:
Qua I dựng đờng thẳng d vuông góc với DI. Trên d xác định P, Q thoả mãn
(*) và I thuộc đoạn PQ.
Nối DP, qua I dựng đờng thẳng vuông góc với DP, cắt DP tại A; qua Q dựng
đờng thẳng vuông góc với IA, cắt IA tại B; qua D dựng đờng thẳng vuông góc
với BQ, cắt BQ tại C.
Tứ giác ABCD chính là hình vuông cần dựng.
Chứng minh:
Theo cách dựng ta có
IA
k
IB
=
và tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Do đó theo tính chất 3 thì ABCD là hình vuông
Chú ý bài toán có hai nghiệm hình
Bài toán 2.
Cho hình vuông ABCD, điểmb E bất kì trên đờng chéo AC. Dựng EF, EG lần
lợt vuông góc với AD, DC (F thuộc AD, G thuộc DC). Chứng minh rằng AG,
BE, CF đồng quy.
H ớng dẫn
S

Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T

H
F
G
A
D
B
C
E
Từ giả thiết ta có EFDG là hình chữ nhật;
AEFV
vuông cân tại F.
Suy ra
AF DG BAF ADG BF AG= = =ị ịV V
; Do BF cắt AG, theo tính
chất 2
ta có
BF AG^
Hoàn toàn tơng tự, ta chứng minh đợc
BG CF^
Gọi H là giao điểm của EF và BC, ta chứng minh đợc
ã
ã
FDG EHB DGE HBE= =ịV V
mà
DG BH^
nên
BE CF^
Vậy AG, BE, CF lần lợt chứa ba đờng cao của

GBFV
nên suy ra ba đờng
thẳng này đồng quy.
Bài toán 3.
Cho hình vuông ABCD, trên AB, BC lấy các điểm I, K sao cho
ã
0
IDM 45=

quay quanh D. Chứng minh rằng
IBMV
có chu vi không đổi
H ớng dẫn
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T

H
L
M
A
D
C
B
I
H ớng dẫn
Dựng
DL DI^
(L thuộc đơng thẳng BC)
Theo tính chất 1 ta có
DI DL ADI CDL= =ị V V
do đó

AI CL=
(1)
DL DI^
mà
ã
0
IDM 45=
suy ra
ã
ã
0
LDM IDM 45 IDM LDM= = =ị V V

(c.g.c)
MI ML=ị
(2)
Từ (1) và (2) suy ra chu vi của
BIMV
bằng:
BI BM IM BI BM ML BI BM MC CL BI IA BC
AB BC 2AB
+ + = + + = + + + = + +
= + =
Vậy chu vi của
BIMV
bằng hai lần cạnh hình vuông ABCD, không đổi.
Đặt câu hỏi ngợc lại với kết quả bài toán 3, nếu chu vi
BIMV
bằng hai lần
cạnh hình vuông không đổi thì số đo của

ã
0
IDM 45=
có đúng không?
Khi đó ta lại có bài toán mới
Bài toán 4.
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh AB, BC lần lợt
lấy các điểm I và M sao cho chu vi
BIMV
bằng 2a.
Chứng minh rằng
ã
0
IDM 45=