bài tập pt tư duy 05

Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
3.Bài tập III. (B i 30 sgk Toán 9, tập 1-trang 116)
Cho nửa đờng tròn tâm O có đờng kính AB. Gọi Ax, By là các tiếp
tuyến (Ax, By và nử đờng tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ AB).
Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn(M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với
nửa đờng tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh
rằng:
a)
ã
=
0
COD 90
b)
= +
CD AC BD
c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn.
*** Chúng ta quy ớc ký hiệu giả thiết của bài toán là (1)
Hớng dẫn

y
x
M
O
D
C
B
A
a) Theo tính chất tiếp tuyến của đờng tròn, ta có:

ã
ã

ã
ã
ã
= + = + = =
0 0
1 1 1
COD COM DOM AOM BOM 180 90
2 2 2
b) Ta có
= + = +
CD CM DM CA BD
c) áp dụng hệ thức lợng trong
VCOD
vuông tại O với đờng cao
OM
, ta có:

=
2
MC.MD MO
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Suy ra
=
2
AC.BD OM
, không đổi.
Với giả thiết (1) của bài toán. Gọi E và F là giao điểm của AM, BM tơng ứng
với Ax, By ta nhận thấy CF = CM, DE = DM và các tứ giác CDEF và
ABDC là hình thang. Câu hỏi đặt ra là diện tích của các hình thang đó thay
đổi nh thế nào khi M di động trên nửa đờng tròn? Từ đó ta có thêm kết luận

cho bài toán là:
d.Tìm giá trị nhỏ nhất của
CDEF
S
khi M di động trên nửa đờng tròn

E
F
y
x
M
O
D
C
B
A
H ớng dẫn
Vì
= VCM CA CAM
cân tại C
ã
ã
ã
ã
= = VCAM CMA CFM CMF CFM

cân tại C
=CF CM
chứng minh tơng tự
=DE DM

.
Do tứ giác CDEF là hình thang nên
( ) ( )
= + = + =
2
CDEF
1 1 1 1
S CF DE AB CM DM AB CD.AB AB
2 2 2 2
GTNN của
CDEF
S
là
2
1
AB
2
, đạt đợc khi và chỉ khi M là điểm chính giữa của
ằ
AB
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Bây giờ ta quay trở lại kết luận c) của bài toán, ta đã chứng minh đợc
= =
2 2
AC.BD OM R
( R là bán kính của đờng tròn), vấn đề đặt ra ở đây là
nếu ta có
=
2
AC.BD R

thì CD có còn là tiếp tuyến của đờng tròn (O) không?
Ta có bài toán ngợc:
Bài toán 2.
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R có các tiếp tuyến Ax, By nằm cùng
phía với AB. Gọi C, D lần lợt là các điểm trên Ax, By sao cho
=
2
AC.BD R
Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (O).
Nhận xét thấy
VAMB
VCOD , do đó nếu biết diện tích VCOD thì ta tính
đợc diện tích
VAMB
. Ta có bài toán mở rộng
Bài toán 3.
Với giả thiết (1) của bài toán. Biết
= =MC 4cm,MD 9cm
. Tính diện tích
VAMB

y
x M
O
D
C
B
A
H ớng dẫn
Ta có

= + = = = =
2
CD MC MD 13cm;MO MC.MD 36 OM 6cm
Vì
ã
ã
= =
0
OMC OAC 90
nên tứ giác OMCA nội tiếp
ã
ã
=OCM OMA
Tơng tự
ã
ã
=ODM OBM
Suy ra
VAMB
VCOD (g-g)
Do đó

= = = =
ữ

2
2 3
2
AMB COD
2

AB 1 4.OM 2.OM 432
S S . .CD.OM. 33,23(cm )
CD 2 CD CD 13
S
S
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Ta còn có thể tính đợc bán kính r của đờng tròn nội tiếp VCOD nhờ công
thức
=S p.r
trong đó S, p, r thứ tự là diện tích, nửa chu vi, và bán kính đờng
tròn nội tiếp của tam giác.
H ớng dẫn
áp dụng địng lí Pi-ta-go, ta có
= + = + =
2 2 2 2
OC OM MC 6 4 2 13

= + = + =
2 2 2 2
OD OM MD 6 9 3 13
Vận dụng công thức
=S p.r
ta có

=
5 13 13
r cm
2