Bài giảng Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

§1: Đại lượng ngẫu nhiên
• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu 
nhiên nhân một số giá trị với xác suất tương ứng xác định.
• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là 
hữu hạn hoặc vô hạn đếm được
• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá 
trị có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số.

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

1


§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên
1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)
 Định nghĩa 2.1:                                                             (…)  vô 
x1
pi , i 1,2,3,...k
hạn
...
Χ x x ... x

Chú ý: 

pi

1

Ρx

1

2

p1

p2

k

...

pk

...

i

• Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với 
xác suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì 
3 ấ...t của skố đ...ạn đã bắn ra 
Χ 1 ố2i xác su
dừng. Hãy lập bảng phân ph
cho đến khi dừng lạΡi x p qp q 2 p ... q k −1 p...
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

2


Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng 
thì ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng
1

 
x

p

2
pq

3. . . 19
pq 2 .. . pq18

20
q19

• 2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):
• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu 
X x
nhiên X là:  FX ( x) F x
Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm
                 2.                                                các t/c đ

ặc trưng
F
0, F
1
                 3. a X b FX b FX a
Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì                
FX x
liên tục trên toàn trục số
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

3


• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì X x0 0, x0
• Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất 
như trên.Khi ấy

FX x

pi

xi x

• Ví dụ 2.3: 

2
5 7

0,1 0,5 0,4

x
0
                                     nếu 
2
0
,
1
                                     n
ếu
FX x
5
0
,
6
                                     nếu
1
                                     n
ếu 7
Khoa Khoa Học và Máy Tính

2
x 5
x 7
x
Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

4

FX x 0
Chú ý: Hàm phân phối                      bên trái mi
ền giá trị của X 
và                         bên ph
ải miền giá trị của X.
FX x 1

• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu
nhiên liên tục)
• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu
/
nhiên X liên tục là:
fX ( x) = f ( x) = �
FX ( x ) �
�
�
x
x
• Định lý 2.1:
FX ( x ) = f X ( t ) dt
• Tính chất:

( 1)
( 2)

−

f ( x) 0

+



� t/c đặc trưng
f ( x)dx = 1

−

(3) P (a < X < b) =

b

f X ( x ).dx
a

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

5


Chú ý: 1.Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm
không có ý nghĩa.
2. Hàm mật độ f X ( x ) = 0 bên ngoài miền giá trị của X.
• Ví dụ 2.4:
2
•

( 1) a = ?
+

X : f ( x) =
π /2

a cos x, x

0,

x

a
1= �
f ( x)dx = �
a cos xdx =
2
−
0
2

[ 0, π / 2]
[ 0, π / 2]

π /2

�( 1 + cos 2 x ) dx
0

a � s in2x �π /2 a π
4
= �x +
� = . �a=
2�
2 �0
2 2
π
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

6


2. Hãy tìm hàm phân phối

0
x

FX ( x )
nếu x<0

x

4 2
2 � sin 2 x �
FX ( x ) = �
f ( t ) dt = �cos tdt = �x +

,nếu 0 x π / 2
�
π
π�
2 �
−
0
,nếu x > π /
3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:

1

2

( −π / 4, π / 4 )

Ρ ( −π / 4 < X < π / 4 ) = F ( π / 4 ) − F ( −π / 4 )
=

π /4

π /4

−π / 4

0

�f ( x ) dx =

Khoa Khoa Học và Máy Tính

2
(4
/
π
)
cos
xdx
�

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

7


• Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ
cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi. Lập dãy
phân phối của số lần ném của mỗi người nếu xác suất lọt
rổ của người thứ nhất,hai là p1, p2 .
• Giải: Gọi q1 , q2 là xác suất ném trượt bóng của người 1,2
• X là số bóng của người thứ 1
• Y là số bóng của người thứ 2
• Z là tổng số bóng của cả 2 người

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

8


X
Ρ

X

1

2

. . .

k

. .

.

p1 + q1 p2 . q1q2 ( p1 + q2 p1 ) ..... q1k −1q2k −2 ( p1 + p2 q1 ) . . .

Y

0

ΡY

k −1 k −1
�

p1 q1 ( p2 + q2 p1 ) q1q2 �
q
p
+
q
p
.
.
.
q
[
]
1 q2 [ ....] . . .
�1 2 2 1 �

Z

2k − 1

Ρ

Z

1

q1k −1q2k −1 p1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

. . .

k

. . .

2k
q1k q2k −1 p2

,

k = 1, 2,...

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

9


§3: Véc tơ ngẫu nhiên

I. Vectơ ngẫu nhiên
Giả sử X 1 , X 2 ,..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên được xác
định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy X = ( X 1 , X 2 ,..., X n )
được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều
II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).
1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:

Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij , i = 1, k ; j = 1, h

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

10


Y

y1

y2

…

yh

Px

x
x1

P11

P12

P1h

P1

x2

P21

P22

P2h

P2

xk

Pk1

Pk2

Pkh

Pk

PY

q1

q2

qh

1

…

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

11


2.Bảng phân phối xác suất lề của X và Y
pi = Ρ ( Χ = xi
q j = Ρ ( Y = yi

)
)

=

h
j =1

=

k
i =1

pij , i = 1, k

pij , j = 1, h

3.Điều kiện độc lập của X và Y
� ∀i , j : pij = pi .q j
Định lý 3.1: X,Y độc lập
4.Các bảng phân phối xác suất có điều kiện.
Ρ ( X = xi / Y = y j ) =
Ρ (Y = y j / X = xi ) =
Khoa Khoa Học và Máy Tính

pij

qj
pij
pi

, i = 1, k
, j = 1, h

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

12


5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)
Định nghĩa 3.1:
F ( x, y ) = Ρ ( X < x , Y < y )
Tính chất:
(1) F ( x, y ) là một hàm không giảm theo từng biến

(2) F (− , − ) = 0, F (+ , + ) = 1
(3) Ρ(a x < b, c y < d ) = F (a, c) + F (b, d ) − F (a, b) − F (b, c)
Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn bộ
mặt phẳng.
(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như
trên, khi ấy ta có:
F ( x, y ) =
p
xi < x
yj Khoa Khoa Học và Máy Tính

ij

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

13


Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau:

y

3

5

0

0,1

0,2

0,3

2

0,3

0,4

0,7

0,4

0.6

1

ΡX

X

Ρ

Y

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

14


X

0 2

(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:
P X 0,3 0,7
(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
0,1 0, 3 − 0, 4
X , Y là phụ thuộc
X
0
2
(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:
0.2 0.4
(4)Tìm hàm phân phối:
P X /Y =5
0,

x ��
0 y 3

0.1,

0< x

0.6

0.6

2,3 < y 5

F ( x, y ) = 0.1 + 0.2, 0 < x 2,5 < y
0.1 + 0.3, 2 < x,3 < y 5
1,
2 < x,5 < y
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

15


III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)
1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)
2.Hàm mật độ xác suất đồng thời:
Định nghĩa 3.2:
2
F ( x, y )
f ( x, y ) =
x y
x

Định lý 3.2:

y

F ( x, y ) = � � f ( u , v ) dudv
−
−
142
43
Dxy

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

16


.
HINH 3.1
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

17


Tính chất:
(1) f

( x, y )

0


TCDT
�
(2) �
f
(
x
,
y
)
dxdy
=
1
�
R2

(3)

Ρ ( ( x, y ) �D ) = �
f ( x, y ) dxdy
�
D

3. Các hàm mật độ xác suất lề.

fX
fY

( x)
( y)

Khoa Khoa Học và Máy Tính

=
=

+
−
+
−

f

( x, y ) dy

f

( x, y ) dx

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

18

.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề:

FX
FY

( x)
( y)

( x, + )
F ( + , y)

= F
=

4.Điều kiện độc lập của X và Y
X,Y độc lập
� f ( x, y ) = f X ( x ) . f Y ( y )

� F ( x, y ) = FX ( x ) .FY ( y )
5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện:

f X / Y = y0 ( x ) =
fY / X = x0
Khoa Khoa Học và Máy Tính

f

(

fY

x , y0 )

(

y0 )

f ( x0 , y )
( y) =
f X ( x0 )

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

19


Ví dụ 3.2: Cho

f ( x, y ) =
(1) Xác định tham số a.

1=

0
+

+

− x− y

f
x
,
y
dxdy
=
a
dx
e
dy
(
)
�
�
� �
R

=a

a.e

− x− y

6 44 7Ω 4 48
,nếu 0   x    y <+
,nếu trái lại

0

2

+
0

e

−2 x

x

a
dx =
�a =2
2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

20


(2).Tìm các hàm mật độ xác suất lề.

fx ( x) =

+
−

f ( x, y ) dx =

0

, nếu x<0
+

x

Khoa Khoa Học và Máy Tính

2e

− x− y

−2 x

dy = 2e , x 0

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

21


HÌNH 3.2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

@Copyright 2010

22


HÌNH 3.3

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

23


fy ( y) =

0

, nếu y<0
y

0

e− x − y dx = 2 ( e − y − e −2 y ) , y 0

3.Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
Vậy ta có: f ( x, y )

Khoa Khoa Học và Máy Tính

f X ( x ) . fY ( y )

X , Y phụ thuộc

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

24


4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2

f ( x, 2 )
f X /Y = 2 ( x) =
=
fY ( 2 )

0,

x

<

0

2 x − x−2
,0
−2
−4

2( e − e )

<

� 2
x

x

2

Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3
0
nếu y<3

f ( 3, y )
fY / X = 3 ( y ) =
= 2e −3− y
f X ( 3)
2e −6

Khoa Khoa Học và Máy Tính

nếu y 3

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

25