Bài giảng Xử lý tín hiệu nâng cao - Chương 3: Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

Xử lý tín hiệu số nâng cao

CHƯƠNG III
Biến đổi Fourier của
tín hiệu rời rạc
 

 


Xử lý tín hiệu số nâng cao

Biến đổi Fourier của
tín hiệu rời rạc một chiều

 

 


Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

T
Y
Không gian
đặc trưng

X
Miền không
gian ban đầu

T­1

3


Định nghĩa
 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc được
định nghĩa như sau:
j

X (e )

x ( n)e

j n

n

 Toán tử FT:

4


Biến đổi Fourier ngược
 Từ miền tần số tín hiệu cũng có thể biến đổi ngược
lại miền thời gian bằng phép biến đổi Fourier
ngược:

x ( n)

1
2

X (e j )e j n d

 Ta sử dụng ký hiệu IFT để biểu diễn biến đổi
Fourier ngược:

5


Các phương pháp thể hiện của X(ejω)
 Thể hiện dưới dạng phần thực và
phần ảo:

6


Các phương pháp thể hiện của X(ejω)
 Thể hiện dưới dạng module và argument:
j

X (e )

j

X (e ) e

j arg X ( e j )

 Khi đó:
 |X(ejω)| được gọi là phổ biên độ của x(n)
 arg[X(ejω)]= gọi là phổ pha của x(n)

7


Các phương pháp thể hiện của X(ejω)
 Ta cũng có quan hệ giữa phổ pha và phổ biên
độ với thành phần thực và ảo của X(ejω):
 Phổ biên độ:

X (e j )

Re 2 X (e j )

Im 2 X (e j )

 Phổ pha:

arg X (e j )

Im X (e j )
arctg
Re X (e j )
8


Tính chất quan trọng của X(ejω)
 Tuần hoàn: Biến đổi Fourier của tín hiệu

X(ejω) tuần hoàn với chu kỳ 2π.
 Tính đối xứng:

9


Ví dụ 1
 Thực hiện biến đổi Fourier của tín hiệu:
0.5 n u (n)

x ( n)

 Áp dụng công thức, sẽ có:
X (e j )

x ( n)e

j n

0.5n e

j n

0

(0.5e
0

j

)

n

1
1 0.5e

j

10


Ví dụ 1 (tiếp)
 Biểu diễn trong Matlab:
w=linspace(-pi,pi,500);
X=ones(1,500)./(ones(1,500)-0.5*exp(-j*w));
subplot(2,2,1);plot(w,abs(X));
title('Bien do');grid;
subplot(2,2,2);plot(w,real(X));
title('Phan thuc'); grid;
subplot(2,2,3);plot(w,imag(X));
title('Phan ao'); grid;
subplot(2,2,4);plot(w,angle(X));
title('Pha'); grid;
11


Ví dụ 1 (tiếp)

12

Ví dụ 2
 Thực hiện biến đổi Fourier của tín hiệu:
x(n)={1,2,3,4,5} với n=[-1:3]
 Áp dụng công thức, sẽ có:

X (e j )

x ( n )e

j n

ej

2 3e

j

4e

j2

5e

j3

13

Ví dụ 2
 Xét tín hiệu x có N mẫu trong khoảng n1≤ n ≤ nN,
và cần tính giá trị X(ejω) tại các điểm
k=0,1,…,M

k , với
M

k

 Như vậy công thức ban đầu sẽ được viết lại thành:
j

X (e )

x ( n)e

j n

N

x(nh )e

j

M

k n

h 1

 Công thức tổng quát:

X=x*W
14


Ví dụ 2 (tiếp)
 Trên Matlab:
n=-1:3; x=1:5; k=0:500; w=(pi/500)*k;
X=x*(exp(-j*pi*(n'*k)/500));
subplot(2,2,1); plot(k,abs(X));
title('Bien do'); grid;
subplot(2,2,2); plot(k,real(X));
title('Phan thuc'); grid;
subplot(2,2,3); plot(k,imag(X));
title('Phan ao'); grid;
subplot(2,2,4); plot(k,angle(X));
title('Pha'); grid;

15


Biến đổi Fourier ngược
 Công thức

x ( n)

1
Xe

N

j * pi*( n '*k )
N

16


Các tính chất của biến đổi Fourier
 Tuyến tính: Giả sử ta có hai tín hiệu x1(n) và
x2(n) và biến đổi Fourier tương ứng là:
FT[x1(n)]=X1(ejω)
FT[x2(n)]=X2(ejω)
 Khi đó 1 tín hiệu là tổ hợp tuyến tính của tín hiệu
x1 và x2: x(n)=a*x1(n)+b*x2(n) và biến đổi Fourier
của x(n) là X(ejω) thì:
X(ejω)=a* X1(ejω)+b* X2(ejω)
17


Các tính chất của biến đổi Fourier
 Tính chất trễ:
 Ta có:

FT x n

X e

j

 Khi đó:

FT x n n0

e

j n0

j

X (e )
18


Các tính chất của biến đổi Fourier
 Trễ tần số:
 Ta có:

FT x n

X e

j

 Khi đó:

FT x n e

j

on

X e

j

0

19


Các tính chất của biến đổi Fourier
 Liên hợp phức:

20


Nhân chập và tích đại số
 Nhân chập:
FT[x1(n)

x2(n)]=X1(ejω)* X2(ejω)

 Tích đại số:
FT[x1(n). x2(n)]=X1(ejω)

X2(ejω)

21

Biến đổi Fourier nhanh
 Trong Matlab hàm fft để tính Fourier nhanh:
n=-1:3;
x=1:5;
k=0:500;
X=x*exp(-j*2*pi*(n'*k)/500);
X1=fft(x,501);
subplot(221);plot(2*k/500,abs(X));
subplot(222);plot(2*k/500,abs(X1));
subplot(223);plot(2*k/500,angle(X));
subplot(224);plot(2*k/500,angle(X1));
22


Biểu diễn hệ thống trong miền tần số liên tục
y ( n)

ej

h ( n)
h ( k )e

j

k

n

ej

h( k )e j
n

(n k )

FT h(n) e j

n

H ( e j )e j

n

 Đáp ứng tần số:
H (e j )

FT h n

h ( n )e

j n

n

h( n)

j

IFT H (e )

1
2

H (e j )e j n d
23


Biểu diễn H(ejω)
 H(ejω) là hàm biến số phức:
j

j

H (e )

Re H (e )

j

H (e )

j

H (e ) e

j

j Im H (e )

j arg H ( e j )

24


Biểu diễn H(ejω)
 Ta cũng có quan hệ giữa đáp ứng tần số và
đáp ứng pha của hệ thống với phần thực và
phần ảo của H(ejω)
 Phổ biên độ:

H (e j )

Re 2 H (e j )

Im 2 H (e j )

 Phổ pha:

arg H (e j )

Im H (e j )
arctg
Re H (e j )
25