Đề tài cấp Thị Xã

Trang 1
I. Lý do chọn đề tài
Học toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề
trừu tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều rất cần thiết cho
mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trường THCS.
Trong môn toán ở trường THCS có rất nhiều bài toán chưa hoặc không
có thuật toán để giải. Đối với những bài toán đó, phải cố gắng hướng dẫn học
sinh cách suy nghó, tìm tòi lời giải. Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có
nhiều thời gianvà kinh nghiệm sư phạm, phải có lần tận tâm và phương pháp
đúng đắn. Đây là những cơ hội rất tốt để trang bò dần cho học sinh một số tri
thức, phương pháp, phương pháp giải toán nhằm rèn luyện và phát triển ở các
em năm lực tư duy. Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi
gợi mở sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng học sinh.
Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức còn cần phải
có phương pháp suy nghó khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích
lũy được qua quá trình học tập, rèn luyện.
Mỗi bài toán trong thực tế cũng như những bài toán, bài tập trong học
tập ta phải tìm một cách tiếp cận, một cách giải, nhiều khi phải trải qua nhiều
cách thử giải ta mới chọn được một cách giải thích hợp nhất hoặc là kết hợp
nhiều cách giải cho 1 bài tập. Nhưng không ai cũng biết được hết cách giải
các bài toán trong toán học, ngoài ra biết rồi còn phải áp dụng chúng như thế
nào lai là một vấn đề khó. Nhằm cung cấp các cách giải cho các dạng toán
Trang 2
tìm cực trò của biểu thức đại số tôi tiến hành nghiên cứu đề tài "Tìm giá trò
lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của biểu thức đại số".
C¸c bµi to¸n vỊ cùc trÞ ®¹i sè ë cÊp 2 cã ý nghÜa rÊt quan träng ®èi víi häc
sinh ë bËc häc nµy. §Ĩ gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ
nhá nhÊt cđa biĨu thøc ®¹i sè ngêi lµm to¸n ph¶i sư dơng c¸c phÐp biÕn ®ỉi ®ång
nhÊt c¸c biĨu thøc ®¹i sè , ph¶i biÕn ®ỉi vµ sư dơng kh¸ nhiỊu c¸c d¹ng h»ng ®¼ng
thøc tõ c¸c d¹ng ®¬n gi¶n ®Õn c¸c d¹ng phøc t¹p. Bëi thÕ, cã thĨ nãi c¸c bµi to¸n
cùc trÞ ®¹i sè ë cÊp 2 t¹o ra kh¶ n¨ng gióp häc sinh cã ®iỊu kiƯn rÌn lun kü n¨ng

biÕn ®ỉi ®ång nhÊt c¸c biĨu thøc ®¹i sè.
II. Nội dung đề tài
1. "Phương pháp chung" khi tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của
biểu thức đại số :
Nếu với mọi giá trò của biến thuộc một khoảng xác đònh nào đó mà giá
trò của
( )A k≥ ≤
và tồn tại giá trò biến để A = k thì k gọi là GTNN (GTLN) của
biểu thức A ứng với giá trò của biến thuộc khoảng xác đònh trên.
Để tìm GTNN của biểu thức A ta cần :
- Chứng minh rằng
A k
≥
với k là hằng số.
- Chỉ ra trường hợp dấu "=" có thể xảy ra.
- Min A là GTNN của A.
Để tìm GTLN của biểu thức A ta cần :
- Chứng minh rằng
A k
≤
với k là hằng số.
Trang 3
- Chỉ ra trường hợp dấu "=" có thể xảy ra.
- Max A là GTLN của A.
Ví dụ : Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : A = (x – 1)
2
+ (x – 3)
2

Giải :

Chú ý :
( )
2
1 0(1)x − ≥
;
( )
2
3 0(2)x − ≥
Nhưng không thể kết luận được giá trò nhỏ nhất của A bằng 0 vì không
đồng thời xảy ra dấu đẳng thức ở (1) và (2).
Ta có : A = (x – 1)
2
+ (x – 3)
2

= x
2
– 2x + 1 + x
2
– 6x + 9
= 2x
2
– 8x + 10
= 2(x
2
– 4x + 5)
= 2(x – 2)
2
+ 2
Vì

( )
2
2 0x − ≥
nên 2.
( )
2
2 0x − ≥
Suy ra
2A ≥

Do đó : A = 2 khi x – 2 = 0
2x
⇔ =
Vậy : Min A = 2 khi x = 2
2. Các dạng bài tập tìm GTNN, GTLN thường gặp:
D¹ng 1 : Tìm GTNN, GTLN của tam thức bậc hai dạng ax
2
+ bx + c (
0a
≠
)
VÝ dơ 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A= 3x
2
- 30x +88
Gi¶i:
§KX§:
∀
x
∈
R

A = 3x
2
- 30x + 88
Trang 4
A = 3(x
2
- 10x) + 88
A = 3(x
2
- 10x +25) - 75 + 88
A = 3(x- 5)
2
+13

min A= 13

x= 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của B = - 7x
2
+12x -3
Giải:
ĐKXĐ:

x

R
B = -7(x
2
-
12

7
x) -3
B = -7(x
2
-
12
7
x +
36
49
) +
36
7
-3
B = -7(x -
6
7
)
2
+
15
7


15
7


max B =
15

7

x-
6
7
= 0

x =
6
7
Nhận xét : Qua hai ví dụ trên, muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
tam thức bậc hai dạng ax
2
+bx + c (a

0), ta làm nh sau:
+ Bớc 1: Tìm ĐKXĐ
+ Bớc 2: Nhóm các hạng tử chứa ẩn
+ Bớc 3: Đặt hệ số a làm nhân tử chung
+ Bớc 4: Thêm bớt vào trong ngoặc để bài toán trở thành bình phơng một
nhị thức và một hạng tử tự do
+ Bớc 5: Dựa vào "phơng pháp chung" kết luận GTNN, GTLN
* Tổng quát : Cho tam thức bậc hai : P = ax
2
+ bx + c (
0a

)
Giải :
P = ax

2
+ bx + c = a(x
2
+
b
a
x) + c = a(x +
2
b
a
)
2
+ c -
2
4
b
a
Trang 5
Đặt k = c -
2
4
b
a
Do (x +
2
b
a
)
2

0 nên :
- Nếu a

0 thì a(x +
2
b
a
)
2


0

P

k
Do đó Min P = k khi x +
2
b
a
= 0

x = -
2
b
a
- Nếu a

0 thì a(x +

2
b
a
)
2


0

P

k
Do đó Max P = k khi x +
2
b
a
= 0

x = -
2
b
a
Dạng 2: Đặt ẩn phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
đại số.
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7)
Giải:
ĐKXĐ :

x

R
Ta có : A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x
2
7x)(x
2
7x + 12)
Đặt t = x
2
7x + 6
Nên : x
2
7x = t 6 và x
2
7x + 12 = t + 6
Do đó : A = (t 6)(t + 6) = t
2
36

- 36
Vây Min A = - 36 Khi t = 0

x
2
7x + 6 = 0


x = 1 hoặc x = 6
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất
Trang 6
B = 2x -

3x
Giải:
ĐKXĐ: x 3

0

x

3
Đặt t =
3x
(t

0)
Ta có : t
2
= x 3


x = t
2
+ 3
Do đó B = 2(t
2
+ 3) - t
B = 2t
2
t + 6
B = 2(t
2

-
1
2
t +
1
16
)+
47
8
B = 2(t -
1
4
)
2
+
47
8

47
8
Vậy max B=
47
8


t -
1
4
= 0

t =
1
4

t
2
=
1
16
Do đó : x 3 =
1
16

x =
49
16
(Thoả mãn)
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = y
4
- 6y
2
- 7
Giải:
Đặt y
2
= x

0
Vậy C = x
2

- 6x - 7
= (x
2
- 6x +9) - 9 - 7
= (x -3)
2
- 16

- 16
Vậy min C = -16 Khi x - 3 = 0

x = 3(Thoả mãn)
Do đó y
2
= 3

y =
3

Tổng quát : Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các dạng đa thức
đặt biệt ta có thể đặt ẩn phụ bằng cách thực hiện các bớc sau :
+ Bớc 1: Tìm điều kiện xác định