Bài giảng Tin học ứng dụng: Chương 5 - Lê Hữu Hùng

5.1. MA TRẬN

Chương 5

MA TRẬN

 

Trong thực tế ta thường gặp phải các bảng số
thống kê các số liệu. Thí dụ như bảng thống kê
về mức độ sử dụng các loại nguyên liệu để sản
xuất các loại sản phẩm.
loại sản phẩm

ĐỊNH THỨC

HỆ PT
TUYẾN

TÍNH

loại
nguyên liệu

1
2
...
m

1

2

a11 a12
a21 a22
...
...
am1 am2

...

n

...
...
...
...

a1n
a2n
...
amn


Số

aij (i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n) là số
lượng đơn vị nguyên liệu thứ i cần dùng để
sản xuất một đơn vị sản phẩm thứ j.
Thống kê các số aij như trên thành một bảng
số tỏ ra rất tiện lợi, nó giúp ta nắm được nhu

cầu và khả năng của sản xuất một cách trực
quan và thuận tiện. Trong toán học, người ta
gọi các bảng số như trên là ma trận.


 1)

Ma trận: Cho m và n là 2 số nguyên dương.
Một ma trận A cấp m x n là một bảng gồm m x n
số được xếp thành m hàng và n cột, nghĩa là:
a11
�
�
a21
�
A=
�...
�
am1
�

a12
a22
...
am 2

... a1n �
... a2 n �
�
... ... �

�
... amn �

aij �
viết gọn ma trận A, ta dùng kí hiệu A = �
�
�
m n
 Số aij R gọi là phần tử nằm ở hàng thứ i và cột
thứ j của A (do đó i thường gọi là chỉ số hàng và j
gọi là chỉ số cột).
 Tập hợp tất cả ma trận cấp m x n, kí hiệu là
Mmxn.
 Để


Ma

trận vuông, là ma trận có số hàng bằng số
cột. Ma trận vuông có n hàng và n cột gọi là
ma trận vuông cấp n.

Tập

hợp tất cả các ma trận vuông cấp n, kí
hiệu là Mn.
2) Các phép toán trên ma trận:
Ma trận bằng nhau: Hai ma trận A, B
Mmxn
gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B, nếu

( A)ij = (B )ij , i = 1, m ; j = 1, n.


Nhân

một số với ma trận
Cho A Mmxn và k
R. Tích của k với A, kí
hiệu kA, là ma trận cấp m x n, xác định bởi:
(kA)ij = k ( A)ij , i=1,m; j=1,n.

Ví dụ 5.1 vd5-1.ppt
Qui ước: (-1)A viết thành -A và gọi là ma trận
đối của A.
Phép cộng ma trận. Cho A, B Mmxn. Tổng
của A và B, kí hiệu A + B, là ma trận cấp mxn,
xác định bởi:
( A + B )ij = ( A)ij + (B )ij , i=1,m; j=1,n.
Ví

dụ 5.2


Định

nghĩa: Hiệu của hai ma trận cùng cấp A
và B, kí hiệu A - B, được xác định:
A − B = A + (− B )
Nhân hai ma trận. Cho A Mmxn và B Mnxr
(số cột của A bằng số hàng của B). Tích của A

và B, kí hiệu AB, là ma trận cấp m x r, xác định
n
bởi:
( AB )ij =

Sơ

k =1

đồ:

Ví dụ 5.3

vd5-3.ppt

( A)ik (B )kj , i=1,m; j=1,r.


 Chú

ý:
 Thông thường AB
BA khi chúng cùng xác định,
 Nếu ab = 0 với a, b
R thì a = 0 hoặc b = 0.
Nhưng tích ma trận AB = 0 chưa kết luận được A
= 0 hoặc B = 0, vì dễ dàng tìm thấy hai ma trận
khác ma trận không mà tích của chúng là ma trận
không, chẳng hạn:
4 1

0 0

1

0

0 0

4 0

0 0

 Chuyển

vị ma trận. Cho A Mmxn. Ma trận
chuyển vị của A, kí hiệu AT, là ma trận cấp nxm
nhận được từ A bằng cách đổi hàng thành cột, tức
là:
T

( A ) = ( A)
ij

Ví dụ 5.4

ji

, i = 1, m ; j = 1, n.

Giải toán ma trận trên EXCEL
Xét các ma trận A, B và C ở bảng tính sau:

1. Lập ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) của A: AT
Các bước thực hiện:
Quét chọn khối ma trận A (vùng A3:D5)
Thực hiện lệnh Edit – Copy (hoặc gõ
Ctrl+C)
Chọn vị trí lập ma trận chuyển vị (ô A15)
Dùng lệnh Edit – Paste Special.
Xuất hiện hộp thoại.
Chọn Transpose, và OK.


Ta có kết quả:

2. Nhân (multiply) hai ma trận A và B: A.B
Các bước thực hiện:
Chọn vị trí lập ma trận tích (ô A27)
Dùng lệnh MMULT (hoặc Click biểu tượng
Math & Trig, rồi chọn lệnh MMULT). Xuất hiện hộp thoại:

trên Toolbar. Chọn


 Chọn vùng xác định ma trận A (A3:D5) trong khung 

Array1; Chọn vùng xác định ma trận B (F3:H6) trong 
khung Array2.

 Click OK.
Lưu  ý:  Sau  khi  Click  OK,  tại  vị  trí  con  trỏ  ô  hiện  hành  (ô 
A27) chỉ xuất hiện số hạng ở dòng 1, cột 1 của ma trận AB. 
Để  hiển  thị  toàn  bộ  ma  trận  AB,  ta  phải  quét  chọn  khối 
xuất  hiện  của  AB  (3  dòng  và  3  cột,  vì  A  cấp  3x3  –  B  cấp 
4x3), bắt đầu từ số đầu tiên vừa xuất hiện. Tiếp đến gõ F2, 
rồi thực hiện đồng thời: Ctrl + Shift + Enter.

Ta có kết quả:

tich­chvi matran.xls


Khái  niệm  định  thức  xuất  hiện  đầu  tiên  gắn  với 
5.2. 
ĐỊNH
việc  gi
ải  hệ THỨC
phương  trình  đại  số  tuyến  tính  có  số 
phương  trình  bằng  số  ẩn.  Hệ  này  có  một  nghiệm 
duy  nhất  khi  và  chỉ  khi  định  thức  của  ma  trận 
tương ứng với hệ phương trình này khác 0.
Ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn:
có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận vuông:

định thức của nó là: det(A)=ad­bc  


qNếu

qNếu

det(A)

0, hệ có nghiệm duy nhất:

det(A) = 0 hệ có thể có vô số nghiệm
hoặc không có nghiệm nào.
Có nhiều cách định nghĩa định thức và trong
giáo trình này, định thức được xây dựng
trên phép hoán vị.
1. Hoán vị Xét n số tự nhiên 1, 2, 3, ..., n.
Một cách sắp xếp các số 1, 2, 3, ..., n theo
một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị
của n số đó.
Các hoán vị của 3 số 1, 2, 3 là:
(1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1).


Kí

hiệu Sn là tập hợp tất cả các hoán vị của n
số 1, 2, 3, ..., n. Tập Sn có n! phần tử.
Chẳng hạn tập S2 có 2! = 2 phần tử, tập S3
có 3! = 6 phần tử.
2. Nghịch thế
Trong hoán vị ( 1 2 ... n) của n số tự nhiên,
ta nói i tạo với j một nghịch thế nếu i < j
mà i > j.
Hay nói cách khác, trong một hoán vị số lớn

hơn đứng trước số nhỏ hơn tạo thành một
nghịch thế.
Tổng số nghịch thế trong hoán vị ( 1 2 ...
n), kí hiệu là N( 1 2 ... n).


3 .  Định

nghĩa Định thức
Cho ma trận vng cấp n A = [aij]nxn. Định
thức của A, kí hiệu detA hay A , là một số
thực được xác định như sau:

det A =
(α1α 2 ...α n ) Sn

trong

(−1)N (α1α2 ...α n )a1α1 a2α2 ...anα n

đó
chỉtổ
ng chạy qua n! hoá
n vòcủ
a Sn , vàaiαi

(α1α2 ...αn ) Sn

làphầ
n tửnằ

m ởhà
ng i vàcộ
t αi củ
a A.


a11 a12 �
�
Ví du 5.6 Cho A = �
�
a
a
�21 22 �

Ta có S2 = {(1 2),(2 1)}

detA =(-1)N(12)a11a22 + (1)N(21)a12a21
= a11a22 - a12a21.

Vậy:

a11 a12
= a11a22 − a12a21
a21 a22

1 tính
2 định thức cấp 2)
(Công thức

Chaúng haïn

−1 4

= 4 − (−2) = 6.

Ví du 5.7 Tính định thức cấp 3.


4. Ứng dụng của định thức: Ma trận nghịch
đảo
Một số định nghĩa:
a) Cho A = (aij)n. Trong A, bỏ đi các hàng và cột
chứa phần tử aij (tức là bỏ hàng thứ i và cột
thứ j). Phần còn lại tạo một ma trận vuông cấp
n-1, định thức của nó được gọi là định thức con
bù của phần tử aij, và ký hiệu là ij.
Đại lượng
i j

Aij

( 1)

ij

được gọi là phần bù đại số của aij.
Ví dụ 5.8
A

2

1
0

3
2
5

4
1
3

23

2 3
,
0 5

A23

( 1) 2

3

23

10


b)  Cho

MT vng cấp n: A = (aij)n và Aij là
phần bù đại số của aij. Ta lập ma trận
~
A

A11
A12

A21
A22

... An1
... An 2

...
A1n

...
A2 n

... ...
... Ann

A% gọi làma trậ
n phụhợp củ
a A.
c) Ma

trận vng A gọi là khơng suy biến nếu


detA 0.
d) Cho A Mn. Nếu tồn tại ma trận B sao cho

AB = BA = In
thì B gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu
B =  A­1 .


Tính định thức & tìm MT nghịch đảo trên
EXCEL
Xét ma trận C ở bảng tính sau:

1. Tính định thức của ma trận vuông
Để tính định thức của ma trận (Matrix determinant) 
vuông C (detC), ta thực hiện các bước:
 Chọn vị trí tính định thức (ô F3).
 Dùng lệnh MDETERM (hoặc Click biểu tượng
trên  Toolbar.  Chọn  Math  &  Trig,  rồi  chọn  lệnh 
MDETERM).


Xuất hiện hộp thoại:


Chọn  vùng  xác  định  ma  trận  C  (A2:C4)  trong 
khung Array.
Click OK.
Kết quả:

2. Lập ma trận nghịch đảo (Inverse Matrix)
Để lập ma trận nghịch đảo (Inverse Matrix) của C (C­
1) ta thực hiện các bước sau:
Chọn vị trí lập ma trận nghịch đảo (ô A7)
Dùng lệnh  MINVERSE (hoặc  Click  biểu  tượng  trên 
Toolbar.  Chọn  Math  &  Trig,  rồi  chọn  lệnh  Minverse). 
Xuất hiện hộp thoại:


vùng  xác  định  ma  trận  C  (A2:C4)  trong 
khung Array.
Click OK.
Lưu  ý:  Sau  khi  Click  OK,  tại  vị  trí  con  trỏ  ô  hiện 
hành  (ô  A7)  chỉ  xuất  hiện  số  hạng  ở  dòng  1,  cột  1 
của  C­1.  Để  hiển  thị  toàn  bộ  ma  trận  C­1,  ta  phải 
quét chọn khối xuất hiện của  C­1(3 dòng và 3 cột), 
bắt đầu từ số đầu tiên vừa xuất hiện (ở đây ta quét 
chọn  khối  A7:C9).  Tiếp  đến  gõ  F2,  rồi  thực  hiện 
đồng thời: Ctrl + Shift + Enter.  Ta có kết quả:
Chọn 

dthuc­ngdao matran.xls


5.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Định nghĩa 1. Một hệ gồm m phương trình tuyến
tính đối với n ẩn số x1, x2, …, xn dạng

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n x n = b2

(1)
................................................
am1 x1 + am 2 x 2 + ... + amn x n = bm
gọi là hệ phương trình tuyến tính.
Nếu b1= b2=… =bm= 0 thì hệ (1) gọi là hệ thuần
nhất;
Ngược lại, nếu i {1, 2, …, m}: bi 0 thì hệ (1)
gọi là hệ không thuần nhất.


Định nghĩa 2.
Nghiệm của hệ (1) là mọi bộ số (x1, x2, …, xn)
thoả mãn tất cả các phương trình của hệ.
Hệ (1) được gọi là tương thích nếu nó có
nghiệm, gọi là xác định nếu có một nghiệm
duy nhất và không xác định (hay vô định)
nếu hệ có nhiều hơn một nghiệm. Trong
trường hợp hệ không có nghiệm ta nói hệ
không tương thích hay hệ vô nghiệm.
Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương
đương nếu nó có cùng chung nghiệm hoặc
cùng vô nghiệm.


Giải hệ PT tuyến tính trên EXCEL
lệnh  Solver  trong  Data  tab  |  Analysis 
group  của  Excel.  Nếu  trong  trường  hợp  trong 
Analysis group chưa có lệnh này, ta thực hiện các 
thao tác sau:
Vào: File tab| 

options | 
Add­Ins…bấm
(excel add­in) Go
Dùng