Đại Số Sơ Cấp(LTĐH)

LUYN THI I HC _I S S CP Thy on: 01693548377
I S S CP
Bài 1: Hệ phơng trình đại số
Một số loại hệ ph ơng trình th ờng gặp :

I)Hệ đối xứng loại I
1) Dạng: Hệ phơng trình



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
là hệ đối xứng loại I nếu



=
=
);();(
);();(
xygyxg
xyfyxf
2)Cách giải : - Đặt
x y S
xy P
+ =

=

. ĐK:
2
4S P
.
- Biểu thị hệ qua S và P .
- Tìm S ; P thoả mãn điều kiện
PS 4
2

.
Khi đó x; y là 2 nghiệm của phơng trình :
0
2
=+
PStt
. Từ đó có nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý 1 :
+) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng của hệ nên hệ cũng có nghiệm (b; a). Vì vậy hệ có
nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y.
+) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm S, P thỏa mãn
PS 4
2

.
+) Khi
PS 4
2

=
thì x = y = -S/2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy nhất S, P thỏa mãn
PS 4
2
=
.
Chú ý 2 :
Nhiều trờng hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem có
thoả mãn hay không - (Đ/K đủ).
3) Bi tp
S 1, Gii cỏc h phng trỡnh sau.
a,





=+
=+
35
30
33
22
yx
xyyx
b,

=+
=+
1
1
44
yx
yx

c,





=+
=+
35
30
yyxx
xyyx
d,
2 2
11
3( ) 28
x y xy
x y x y
+ + =


+ + + =

e,
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y

+ + =


+ + =


f,





++=+
=
2
)(7
22
33
yxyx
yxyx

Trang
1
Chuyờn 2 :
Chuyờn 1 :
LUYỆN THI ĐẠI HỌC _ĐẠI SỐ SƠ CẤP Thầy Đồn: 01693548377
g,





+=+
+=+
)(3
22
22
yxyx
yyxx
h)



=−−
=−−+
4)1)(1(
4
22
yxxy
yxyx
Số 2, cho hệ phương trình:

5( ) 4 4
1
x y xy
x y xy m
+ − =


+ − = −

. Tìm m để hpt có nghiệm
Số 3, a-Cmr: Hpt có ngh với mọi m :

2 2 2
2 1x y xy m
x y xy m m
+ + = +


+ = +

b) Tìm m hpt có nghiện duy nhất .
Số 4, Cho hƯ ph¬ng tr×nh



=+++
=++
8
)1)(1(
22

yxyx
myxxy

a) Gi¶i hƯ khi m=12
b) T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm
Số 5, Gi¶i hƯ :





+=
−=−
12
11
3
xy
y
y
x
x
II) HƯ ®èi xøng lo¹i II
1)HƯ :



=
=
0);(
0);(

yxg
yxf
lµ hƯ ®èi xøng lo¹i II nÕu :
);();( yxgxyf
=
2)C¸ch gi¶i :
+)§èi víi hÇu hÕt c¸c hƯ d¹ng nµy khi trõ 2 vÕ ta ®Ịu thu ®ỵc ph¬ng t×nh :
(x-y).h(x;y) = 0
Khi ®ã hƯ ®· cho
0 ( ; ) 0
( ; ) 0 ( ; ) 0
x y h x y
f x y f x y
− = =
 
⇔ ∨
 
= =
 
( Chó ý : Cã nh÷ng hƯ ®èi xøng lo¹i II sau khi trõ 2 vÕ cha xt hiƯn ngay x - y = 0 mµ ph¶i suy ln tiÕp
míi cã ®iỊu nµy).
+) Ph¬ng ph¸p ®iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ:
Ph¬ng ph¸p nµy ® ỵc ¸p dơng tèt cho hƯ ®èi xøng víi yªu cÇu : T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
§/k cÇn:
NhËn xÐt r»ng: do tÝnh ®èi xøng cđa hƯ nªn nÕu hƯ cã nghiƯm (x
0
;y
0
) th× (y
0

;x
0
) còng lµ nghiƯm cđa hƯ, do ®ã
hƯ cã nghiƯm duy nhÊt khi x
0
= y
0
(1)
Thay (1) vµo mét ph¬ng tr×nh cđa hƯ, t×m ®/k cđa tham sè ®Ĩ pt` cã nghiƯm x
0
duy nhÊt ,ta ®ỵc gi¸ trÞ cđa
tham sè. §ã lµ ®/k cÇn.

§/k ®đ: thay gi¸ trÞ cđa tham sè vµo hƯ kiĨm tra, råi kÕt ln.
Trang
2
LUYN THI I HC _I S S CP Thy on: 01693548377
3)Bi Tp.
S 1 ) Giaỷi heọ pt :
1)





+=
+=
xyy
yxx
83

83
3
3
2)







=
=
y
x
xy
x
y
yx
43
43

2 2
2 2
2 3 2
3
2 3 2
x x y
y y x

=



=


4)
1 3
2
1 1
2
x
y x
y
x y

+ =




+ =


5,

+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
6)





=+
=+
yxyy

xxyx
32
32
2
2
7)







+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y

y
8)





=++
=++
471
471
xy
yx
S 2) CMR

m < 0 h sau cú nghim duy nht.





=+
=+
22
22
xmxy
ymyx
S 3, Cho h phng trỡnh :

=+
=+
)1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
S 4, CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất







+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2

2
2
2
2
IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y
1) Hệ phơng trình



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
đợc gọi là hệ đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự do)
đều có bậc là 2.
2) Cách giải :
Trang
3
LUYN THI I HC _I S S CP Thy on: 01693548377
- Gii h vi x = 0 ( hoc y = 0)
- Vi x # 0 ( hoc y # 0 ) . t y = tx ( hoc x = ty).
- H vi 2 n x , t. Kh x, gii theo t . Tỡm c t t ú tỡm c x,y
3) Bi tp.
S 1) Gii cỏc h phng trỡnh sau.
a)

=
=
2)(
7
33
yxxy
yx
b)





=+
=
yyxx
xyxy
3)(
3)(2
22
22
c)





=+
=+
1333

13
22
22
yxyx
yxyx
d)





=
=+
0675
0483
22
22
yxyx
yxyx
e)





=
=
0
2)(
33

2
yx
yxy
f)





=+
=+
015132
932
22
22
yxyx
yxyx
g)





=+
=
68119
3453
22
22
xxyy

yxyx
h)





=
=+
1
33
22
22
yxxy
yxyx
S 1. Cho hệ phơng trình :
2 2
2
4 (1)
3 4 (2)
x xy y m
y xy

+ =


=

a) Giải hệ pt` với m = 4
b) Tìm a để hệ có nghiệm

S 3, Gii h phng trỡnh.





=+
=+
22
22
xy
yx


S 5, Gii h pt :





+=
=
)2(5
)1(2010
2
2
yxy

xxy

S 6,





=+
=+
358
152
33
22
yx
xyyx

VI. Một số hệ ph ơng trình khác.
*) Cách giải: Để giải hệ phơng trình không mẫu mực ta thờng áp dụng một số pp :
+ Phân tích thành tích có vế phải bằng 0.
+ Đổi biến (đặt ẩn phụ)
+ Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số.
TNG HP CC QUA CC Kè THI
Trang
4
LUYỆN THI ĐẠI HỌC _ĐẠI SỐ SƠ CẤP Thầy Đoàn: 01693548377
1/ (Döï bò 1 khoái D 2006) :
( )
2 2
x xy y 3(x y)

3
2 2
x xy y 7 x y

− + = −



+ + = −

,
( )
x,y R∈
.
2/ (Döï bò 2 khoái B 2006) :
( )
(
)
( )
(
)
2 2
x y x y 13
2 2
x y x y 25

− + =




+ − =

,
( )
x,y R∈
.
3/ (Döï bò 2 khoái A 2006) :
(
)
3 3
x 8x y 2y
2 2
x 3 3 y 1

− = +


− = +


,
( )
x,y R∈
.
4/ (Döï bò 1 khoái A 2006) :
(
)
( )
(
)

( )
2
x 1 y y x 4y
2
x 1 y x 2 y

+ + + =



+ + − =

,
( )
x,y R∈
.
5/ (Döï bò 1 khoái A 2005) :
( )
2 2
x y x y 4
x x y 1 y(y 1) 2

+ + + =


+ + + + =


,
6/ (Döï bò 2 khoái A 2005) :

2x y 1 x y 1
3x 2y 4

+ + − + =


+ =


.
7/ (Döï bò 2 khoái A 2007) :
4 3 2 2
x x y x y 1
3 2
x y x xy 1

− + =


− + =


.
8/ ( ÑH K
A
-2008):
( )
5
2 3 2
x y x y xy xy

4
5
4 2
x y xy 1 2x
4

+ + + + = −




+ + + = −


,
( )
x,y R∈
.
9/ ( ÑH K
B
-2008):
4 3 2 2
x 2x y x y 2x 9
2
x 2xy 6x 6

+ + = +


+ = +



,
( )
x,y R∈
.
10/ ( ÑH K
D
-2008):
2 2
xy x y x 2y
x 2y y x 1 2x 2y

+ + = −


− − = −


,
( )
x,y R∈
.
11/ ( ÑH K
B
-2002)
3
x y x y
x y x y 2


− = −


+ = + +



12/ (ÑH K
D
-2002)
3x 2
2 5y 4y
x x 1
4 2
y
x
2 2

= −

+

+

=
 +
.
13/ ( ÑH Khoái A -2003)
1 1
x y

x y
3
2y x 1
− = −
= +





.
Trang
5
LUYỆN THI ĐẠI HỌC _ĐẠI SỐ SƠ CẤP Thầy Đồn: 01693548377
14/ (ĐH K
B-
03)
2
y 2
3y
2
x
2
x 2
3x
2
y
+
=
+

=







;
15/ ( ĐH K
A
-2006)
x y xy 3
x 1 y 1 4

+ − =


+ + + =



Bµi 2: Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh §¹i sè
I) PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNH TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
KIẾN THỨC CƠ BẢN :
a-Các dạng cơ bản :

0
A B
A B

A B
B
A B A B
A B
=

= ⇔

= −

≥


= ⇔ =


= −


2 2
A B A B
A B B A B
A B A B A B
< ⇔ <
< ⇔− < <
> <=> <− ∩ >
Tương tự nếu có dấu : “ = “ .
b) Các dạng khác :
- khử dấu trò tuyệt đối bằng pp xét dấu, chia khoảng , rồi bỏ dấu trò tuyệt đối trên từng khoảng .
- Nếu có dạng : f( X ) = m ta có thể dùng KS- hsố để : Biện luận số ngh pt .

BÀI TẬP :GIẢI CÁC PT :
1)
2
2 4 3x x x− + − =

2)
1
3
2
1 3
x
x
+
+ =
+

3) 3x
2
-
3x −
> 9x –2
4)
2
2 3 3 3x x x− + ≤ −

II)PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNHCĂN THỨC
A. PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC
1-Dạng:
2
0

0( 0)
0
0
2
B
A B
A B
A hayB
A B
A B
A
A B C B
A B AB C
≥

= <=>

=

≥ ≥

= <=>

=


≥

+ = <=> ≥



+ + =

Trang
6
LUYỆN THI ĐẠI HỌC _ĐẠI SỐ SƠ CẤP Thầy Đồn: 01693548377
2-Pt có chứa
A
và A thì Đặt : t =
A

0
≥
3-Pt có nhiều căn thức : Đặt ĐK : Nếu x thuộc rổng thì pt vô nghiệm .
Phương Pháp :
- Dùng công thức cơ bản .
- Bình phương, lập phương hai vế .
- -Đặt ẩn phụ => pt theo t .
- Đặt ẩn phụ đưa về hệ pt hai ẩn u , v .
- Dùng bđt Cô-Si .
BÀI TẬP :
Bài 1) Giải các pt: ( Năng lũy thừa thích hợp)
a) x
2
+
1 1x + =
b)
012315
=−−−−−
xxx

c)
4259
+−=+
xx
d)
7916
=++−
xx
e) (4x-1)
=+
9
2
x
2x
2
+2x+1
Bài 2); Giải các PT( đặt ẩn phụ)
a)
2 2
3 3 3 6 3x x x x
− + + − + =
.
b)
2
2
1 1 0 : 0 1
3
x x x x dk x
+ − = + − = ≤ ≤
c)

2
2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x
+ + + = + + + −
2 2 2
2
) 7 2 3 3 19
. 2 7 / 4
5 3 13 4
1; 2
d x x x x x x
t x x
pt t t t t
x x
+ + + + + = + +
= + + ≥
<=> + + = + <=> =
=> = = −

Bµi 3:
1) 1 3 ( 1)(3 )x x x x m
+ + − − + − =
a) Giải pt khi m=2
b) Tìm m pt có nghiệm.
Bµi 4. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm:
2
9 9x x x x m
+ − = − + +
Bµi 5. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm:
4 4
4

4 4 6x x m x x m
+ + + + + =
Bài 6 . Giải pt:
2 2
3 3
3
(2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3x x x x
− + + − − − =
Bài 7.
3
2 1 1x x
− = − −
Mét sè bµi tËp lun tËp:
Bµi 1 : T×m m ®Ĩ
mxxxx
≥++++
)64)(3)(1(
2
Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh sau:
1)
014168
2
≤+−+−
xxx
2)
xxx 2114
−=−−+
: x = 0
3)
2 2

2( 2 ) 2 3 9 0. : 1 5x x x x DS x
− + − − − = = ±
Trang
7