Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 6: Discrete probability distributions

6 ­ 1

Discrete Probability Distributions

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


6 ­ 2

When you have completed this chapter, you will be able to:

1.

Define the terms probability distribution and 

2.

Distinguish between discrete and                          

3.

Calculate the mean, variance, and standard deviation of 

4.

Describe the characteristics and compute probabilities 

random variable.  

continuous random variables.

a discrete probability distribution.

using the Poisson probability distribution.

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Terminology
Random Variable

…is a numerical value determined by 
…is a numerical value determined by 
the outcome of an experiment.
the outcome of an experiment.

Probability Distribution
…is the listing of all possible outcomes  
…is the listing of all possible outcomes  
of an experiment                                   
of an experiment                                   
and the corresponding probability.
and the corresponding probability.

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

6 ­ 3


Types of Probability Distributions 
6 ­ 4

Discrete
Discrete
Under this distribution 
Under this distribution 
the random variable
random variable  
the 
has a                               
has a                               
countable number       
       
countable number
    of possible outcomes
    of possible outcomes

Continuous
ontinuous
C
Under this distribution 
Under this distribution 
the random variable
random variable  
the 
has an                                 
has an                                 
infinite number            
            
infinite number
    of possible outcomes

    of possible outcomes

Examples
Examples
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Types of Probability Distributions 
6 ­ 5

Discrete
Discrete
Students in a class

Examples
Examples

Continuous
ontinuous
C

Distance driven by an 
executive to get to work
Number of children 
in a family
Mortgage Loan

Number of Mortgages 
approved in a month
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

The length of time of a 
particular phone call
The length of 
time of an 
afternoon nap!


Distinguishing featuress         
         
Distinguishing feature

6 ­ 6

  of a                                           
  of a                                           
Discrete Distribution:
 Distribution:
Discrete

The sum of the probabilities of the various 
outcomes is 1.00
The probability of a particular outcome                
        is between 0 and 1.00
The outcomes are mutually exclusive

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


6 ­ 7

 Consider a random experiment in which    
 Consider a random experiment in which    
       a coin is tossed three times
       a coin is tossed three times
Let x be the number of

Heads

Let H represent the outcome of a
Let T represent the outcome of

Head 
Tails

Determine the probability distribution
Determine the probability distribution
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Listing the possibilities
Listing the possibilities

6 ­ 8

Heads

Heads Heads

Heads

Heads

Tails

Heads

Tails

Heads

Tails

Heads

Heads

Heads

Tails

Tails

Tails

Heads

Tails

Tails

Tails

Heads

Tails

Tails

Tails

… the possible values of x                          
… the possible values of x                          
  (number of heads) are 0,1,2,3.
  (number of heads) are 0,1,2,3.
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


6 ­ 9

Probability Distribution
Probability Distribution

 Consider a 
 Consider a 

random 
random 
experiment in 
experiment in 

which a coin is 
which a coin is 
tossed three times. 
tossed three times. 
Determine the 
Determine the 
probability 
probability 
distribution.
distribution.
What is the 
probability of  
tossing 2 heads in 
3 flips?

 P(x)

0

# of 
Outcomes
1

1

3

3/8

2

3

3/8

3

1

1/8

8

8/8 = 1

x

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

1/8


Mean of a Discrete              
Mean of a Discrete              
                                        
                                        
Probability Distribution
Probability Distribution

6 ­ 10

reports the central location of the data
    is denoted by the Greek symbol  , mu
is the long­run average value of 
the random variable
also referred to as its expected value, E(X), 
in a probability distribution
is a weighted average
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Mean of a Discrete              
Mean of a Discrete              
                                        
                                        
Probability Distribution
Probability Distribution
Formula 
Formula 

6 ­ 11

[xP( x))]

x

 P(x)

 xP(x)

1/8

0

1

3/8

3/8

2

3/8

6/8

3

1/8

3/8

8/8 = 1

12/8=1.5

Flip a coin three times  0

Let x be the 
Let x be the 

number of heads  
number of heads  

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Variance of a Discrete      
 of a Discrete      
Variance

                                             
                                             
   Probability Distribution
   Probability Distribution
…measures the amount of spread  
               (variation) of a 
distribution.
…denoted by the Greek 
letter  

2 

(sigma squared).

…the standard deviation is     
                              the square 
root of 
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

2  

 

6 ­ 12


Variance of a Discrete      
 of a Discrete      
Variance

6 ­ 13

                                             
                                             
   Probability Distribution
   Probability Distribution
     Flip a coin three times.  
     Flip a coin three times.  
     Let x be the number of heads    
     Let x be the number of heads
Formula 
Formula 

x
0
1
2
3

 P(x)

1/8
3/8
3/8
1/8
8/8 = 1

[( x

  2

xP(x)  X­
0
3/8
6/8
3/8

=1.5

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

­ 1.5
­ 0.5
0.5
1.5

2

) P (( x)
x)]

2
(X­   )2 (X­    )  P(x)

2.25
0.25
0.25
2.25

.28125
.09375
.09375
.28125
0.75


6 ­ 14

Dan Desch, owner  # of Painted 
Dan Desch, owner 
 
Weeks
 P(x)
Houses
of College Painters, 
x
of College Painters, 
studied his records 
studied his records 
5

5/20 = 0.25
10
for the past                
for the past                
     20 weeks               
6
6/20 = 0.30
11
     20 weeks               
      and reported 
      and reported 
12
7
7/20 = 0.35
the following             
the following             
                                   
                                   
2
2/20 = 0.10
13
                 number 
                 number 
of houses painted 
20
of houses painted 
20/20 = 1.0
per week:
per week:
Determine the Probability distribution and its mean and variance.

Determine the Probability distribution and its mean and variance.

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Computing the 
Computing the 


Computing the 
Computing the 

6 ­ 15

 [xP( x))]

Formula 
Formula 
# of Painted 
Houses

 P(x)

 xP(x)

10

5/20 = 0.25

2.5

11

6/20 = 0.30

3.3

12

7/20 = 0.35

4.2

13

2/20 = 0.10

1.3
11.3

20/20 = 1.0 
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Computing the  
Computing the

  2


Computing the 
Computing the 

Formula 
Formula 

x

  2

[((xx

  2

6 ­ 16

2

) P( x)
x)]

2
 P(x) xP(x) (x ­    )2 (x ­     )  P(x)
22
1.69
(10­11.3)
(10­11.3)

10

  0.25

2.5

11

  0.30

3.3

0.09

.0270

12

  0.35

4.2

0.49

.1715

13

  0.10

1.3
11.3

2.89

.2890
0.91
0.91

1.0

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

.4225


6 ­ 17

Binomial 
Binomial 
Probability 
Probability 
Distribution
Distribution
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


TBernoulli Trial
erminology
…is a random experiment in which the 
…is a random experiment in which the 
number of possible outcomes                   
                   
number of possible outcomes
                                          is precisely two!

precisely two!
                                          is 
For Example…

Course Grade…

Heads

Tails

Right

Wrong

A

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

B or C or D or…!

6 ­ 18


Binomial Probability 
Binomial Probability 
Distribution
Distribution

6 ­ 19

The experiment consists of n Bernoulli trials
The outcomes are classified into               
                one of two mutually exclusive 
categories,                                           …
such as success or failure
The probability of success                         
          stays the same for each trial  
The trials are independent  
Interested in the number of successes
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Binomial Probability 
Binomial Probability 
Distribution
Distribution

6 ­ 20

Let…
n  be the number of trials
x  be the number of observed successes 
 p  be the probability of success on each trial
Formula 
Formula 

P(x)

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

 x

(n  x)

C
p
(
 1
p
)
n x


6 ­ 21

The Department of Labour reports that               
20% of the workforce                                                       
     aged between 15 and 19 years is unemployed.
From a sample of 10 workers in this age group, 
calculate the following probabilities:
   Exactly three are unemployed
   Exactly three are unemployed
   At least three are unemployed
   At least three are unemployed
   None are unemployed
   None are unemployed
   At least one is unemployed
   At least one is unemployed
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Calculations
Calculations


P( x)

x

(n  x)

C
p
(
 1
p
)
n x

6 ­ 22

DATA: 20% Unemployed & Sample of 10

 Exactly three are unemployed
P ( 3)

3

    10­3

C 3 (. 20 ) (1 . 20 )

(120)(.0080)(.2097)
.2013 or  20.13%

10

At least three are unemployed
P(x 3)

10

3

    10­3

C3 (.20) (.80)

...

0

C (.20) (.80)

10 10

.2013 .0881 ... .000
.322 or  32.2%
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

10

More…
More…


P( x)

x

(n  x)

C
p
(
 1
p
)
n x

6 ­ 23

DATA: 20% Unemployed & Sample of 10

 None are unemployed
P ( 0)

   10­0
0
C
(
1

.
20
)
10 0 (. 20 )

(1)(1) (.1074)
.1074 or  10.74%

 At least one is unemployed

…same as “all the time”(100%)
“all the time”(100%) except when   
 except when   
…same as 
                                “none are unemployed”
“none are unemployed”
                                
i.e. P (
=

 1)  1 – P(0) = 1 ­ .1074 = .8926 or 89.26%
89.26%

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Binomial Probability 
Binomial Probability 
Distribution
Distribution

Table 6.2

6 ­ 24

n =  10

Probability

X   0.05     0.10     0.20     0.30    0.40    0.50     0.60     0.70     0.80     0.90     0.95 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0.599   0.349   0.107   0.028  0.006 0.001   0.000   0.000   0.000   0.000  0.000
0.315   0.387   0.268   0.121 0.040 0.010 0.002 0.000 0.000   0.000  0.000 
0.075   0.194   0.302   0.233  0.121  0.044   0.011  0.000   0.000  0.000  0.000 
0.010   0.057   0.201   0.267  0.215  0.117   0.042  0.009   0.001  0.000  0.000 
0.001   0.011   0.088   0.200  0.251  0.205   0.111  0.037  0.006  0.000  0.000 
                                                 
0.000   0.001   0.026   0.103  0.201  0.246  0.201  0.103   0.026  0.001  0.000 
0.000   0.000   0.006   0.037  0.111  0.205   0.251  0.200   0.088  0.011  0.001 
0.000   0.000   0.001   0.009  0.042  0.117   0.215  0.267   0.201  0.057  0.010 
0.000   0.001   0.000   0.001  0.011  0.044  0.121 0.233   0.302  0.194  0.075 

0.000   0.000   0.000   0.000  0.002  0.010   0.040  0.121   0.268  0.387  0.315 

10

0.000   0.001   0.000   0.000  0.000  0.001   0.006  0.028   0.107  0.349  0.599

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Binomial Probability 
Binomial Probability 
Distribution
Distribution

6 ­ 25

n =  10

From text Appendix A Probability
X

  0.05     0.10     0.20     0.30    0.40    0.50     0.60     0.70     0.80     0.90     0.95 

0
1
2
3
4

0.599   0.349   0.107   0.028  0.006 0.001   0.000   0.000   0.000   0.000  0.000

0.315   0.387   0.268   0.121
Where   represents the 
0.040 0.010 0.002 0.000 0.000   0.000  0.000 
0.075   0.194   0.302   0.233  0.121  0.044   0.011  0.000   0.000  0.000  0.000 
Represents the 
0.010   0.057   0.201   0.267  0.215  0.117  
0.042  0.009   0.001  0.000  0.000 
0.001   0.011   0.088   0.200  0.251  0.205   0.111  0.037  0.006  0.000  0.000 
                                                 
0.000   0.001   0.026   0.103  0.201  0.246  0.201  0.103   0.026  0.001  0.000 
0.000   0.000   0.006   0.037  0.111  0.205   0.251  0.200   0.088  0.011  0.001 
0.000   0.000   0.001   0.009  0.042  0.117   0.215  0.267   0.201  0.057  0.010 
0.000   0.001   0.000   0.001  0.011  0.044 
0.121 0.233   0.302  0.194
 0.075 
Represents the ‘ PROBABILITY’
 when 
0.000   0.000   0.000   0.000  0.002  0.010   0.040  0.121   0.268  0.387  0.315 

5
6
7
8
9
10

X

‘Number Unemployed’
‘Probability’

Explanations
Explanations

n = 10

0.000   0.001   0.000   0.000  0.000  0.001   0.006  0.028   0.107  0.349
 0.599
Using Appendix A

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Using Appendix A