Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 3: Describing Data: measures of central tendency

3 ­ 1

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


3 ­ 2

When you have completed this chapter, you will be able to:

1.

Calculate the arithmetic mean, the weighted mean, the median, 
the mode, and the geometric mean of a given data set.

2.

Identify the relative positions of the arithmetic mean, median 
and mode for both symmetric and skewed distributions.

3.

Point out the proper uses and common misuses of each 
measure. 

4.

Explain your choice of the measure of central tendency of 
data.

5.

Explain the result of your analysis.

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Five    Measures of
Measures of                        
                        
Five
                    Central 
Central 
                    
Tendency
Tendency
arithmetic mean
mode
    median
weighted mean
Average price of a house in 
Average price of a house in 
Ottawa (2000) was $126 000
Ottawa (2000) was $126 000
The average income of two 
The average income of two 
parent families with children in 
parent families with children in 
Canada was $65,847 in 1995 and  
Canada was $65,847 in 1995 and  
          $72,910 in 1999. (StatCan)
(StatCan)

          $72,910 in 1999. 
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

3 ­ 3

geometric mean
The average price of a 
The average price of a 
house in Toronto in 1996 
house in Toronto in 1996 
was $238,511 (StatCan)
(StatCan)
was $238,511 
My grade point average 
My grade point average 
for last semester was 4.0
for last semester was 4.0


Arithmetic Mean
Arithmetic Mean

3 ­ 4

…is the most widely used measure of location.
…is the most widely used measure of location.
It is calculated by summing the values and       
      dividing by the number of values 
It requires the interval scale 
All values are used  

It is unique 
The sum of the deviations from the mean is 0 

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Population Mean
Population Mean
Formula 
Formula 

x
µ =
N

… is the population mean 
(pronounced mu)

N

… is the total number of observations

x

… is a particular value
… indicates the operation of adding 
(sigma)

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

3 ­ 5


Terminology
Parameter
…is a measurable characteristic of a 
is a measurable characteristic of a 
…

opulation
PPopulation

Statistic
…is a measurable characteristic of a 
is a measurable characteristic of a 
…

Sample
Sample

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

3 ­ 6


Population Mean
Population Mean
Formula 
Formula 

     The Kiers family 
The Kiers family 
     

3 ­ 7

x
µ =
N

owns four cars. 
Find the mean 
owns four cars. 
Find the mean 
mileage for the cars.
The following is 
mileage for the cars.
The following is 
the current mileage 
the current mileage 
on each of the four 
on each of the four 
    56000 + 23000 + 42000 + 73000
cars:
    56000 + 23000 + 42000 + 73000
cars:
=                        4
56,000    23,000                          4

42,000    73,000 

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

 48 500
== 48 500


Sample Mean
Sample Mean
Formula 
Formula 

x

x =

3 ­ 8

x
n

…is the sample mean (read “x bar”)

n

… is the number of sample observations

x

… is a particular value

… indicates the operation of adding 
 (sigma)

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


3 ­ 9

A sample of five executives received the 
following bonuses last year ($000):

14.0       15.0       17.0       16.0        15.0
Determine the average bonus given last year:
Formula 
Formula 

x =

x
n

    14 + 15 + 17 + 16 + 15
    14 + 15 + 17 + 16 + 15
=                   5
                   5
 77 / 5 == 15.4
 15.4
== 77 / 5

   The average bonus given last year was $15 400

   The average bonus given last year was $15 400
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Properties of an         
 of an         
Properties

3 ­ 10

Arithmetic  Mean
Arithmetic  Mean

…Every set of interval­level and ratio­
level data has a mean
… All the values are included in 
computing the mean
…A set of data has a unique mean

…The mean is affected by unusually 

large or small data values
…The arithmetic mean is the                                   
                                          only measure of central 
tendency where                                                          
                                      the sum of the deviations     
                                                                                 

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Arithmetic  Mean                  
Arithmetic  Mean                  
as a Balance Point
as a Balance Point

3 ­ 11

Illustrate the mean of the values 3, 8 and 4.
 15 / 3 == 5 
 5 
== 15 / 3

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


3 ­ 12

Determining 

259
 the Mean                 
3
1
1
      

in Excel

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Using

3 ­ 13

ls
o
o
 T
n
o
 
k
c
i
l
C

See
See

Click on DATA 
Click on DATA 
ANALYSIS
ANALYSIS
See…
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Using

3 ­ 14

See
See

Highlight DESCRIPTIVE STATISTICS              
…Click OK
See…
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Using

3 ­ 15

Cl

See 
See 

K
O
 
n
o
 
k
ic

 INPUT NEEDS
 INPUT NEEDS
A3:A42

See…
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


See Solution
See Solution

Using

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

3 ­ 16

Alternate solution…


Using

3 ­ 17

CLICK ON
CLICK ON

CLICK ON PASTE FUCTION
PASTE FUCTION

CLICK ON 

See 
See 

See…
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Using

3 ­ 18

 SCROLL DOWN TO STATISTICAL
 SCROLL DOWN TO STATISTICAL

See…
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Using

3 ­ 19

 HIGHLIGHT AVERAGE IN RIGHT MENU
 HIGHLIGHT AVERAGE IN RIGHT MENU

See 
See 

K
O
 
n
o
 
k
c
i
l
C
See…
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


See 
See 

Using

3 ­ 20

The mean (average) is placed                         
                     in the cell on the worksheet 
where                                                     your 
cursor was when you began.

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Weighted Mean
Weighted Mean

3 ­ 21

The weighted mean of a set of numbers         
The weighted mean of a set of numbers         
              x
, x
, ... x
,                                        
1
2
n
              x1, x2, ... xn,                                        
                             with corresponding 
                             with corresponding 
weights w, w
1, w, ...,w
2, ...,w,                      is 
n,                      is 
weights w
1
2
n
computed from the following formula:   
computed from the following formula:   

w1 x1 + w2 x2 + ... + wn xn
µw =

w1 + w2 + w3 + ... + wn xn

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


3 ­ 22

During a one hour period on a hot Saturday 
afternoon cabana boy Chris served fifty drinks.  
                                                         He sold:
       …five drinks for $0.50 
…fifteen for $0.75
…fifteen for $0.90  
…fifteen for $1.10                                                        
                
Compute:
   ­ the weighted mean of the price of the drinks ­

μw

5($0.50) 15($0.75) 15($0.90) 15($1.15)
5 15 15 15
$44.50
$ 0 . 89
50

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


The 

Median
The Median

3 ­ 23

The Median is the midpoint of the 
The Median is the midpoint of the 
values after they have been ordered 
values after they have been ordered 
from the smallest to the largest
from the smallest to the largest
There are as many values                                    
There are as many values                                    
          above the median as below it in the data 
          above the median as below it in the data 
array  
array  
For an even set of values,                                    
For an even set of values,                                    
                                                                   the 
                                                                   the 
median will be the                                               
median will be the                                               
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


3 ­ 24

The ages for a sample of five college students are:
21, 25, 19, 20, 22

Arranging the data in ascending order gives:               
  19, 20, 21, 22, 25
Thus the median is 21
The heights of four basketball players, in inches, are: 
 
             76, 73, 80, 75
Arranging the data in ascending order gives:                
          73, 75, 76, 80
Thus the median is 75.5 
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Properties of the Median
Properties of the Median

3 ­ 25

  There is a unique median for each data set
  It is not affected  by extremely large or small 
values and is therefore a valuable measure of 
central tendency when such values occur
  It can be computed for ratio­level,                  

 interval­level, and ordinal­level data

  It can be computed for an                                     
                     open­ended frequency distribution   
                                                    if the median          
                                                   does not lie in an 
open­ended class 

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.