Bài 3: Ứng dụng cực trị hàm 1 biến trong kinh tế

BÀI 3
ỨNG DỤNG CỰC TRỊ HÀM 1 BIẾN

TRONG KINH TẾ

TS. Vương Thị Thảo Bình

V1.0018112205

1


Tình huống dẫn nhập

Một hãng sản xuất, kinh doanh một mặt hàng có hàm
chi phí biên:

TC(Q)  12Q  Q  0,1Q  10
2

3

trong đó Q là sản lượng.

Xác định Q sao cho chi phí trung bình của hãng là
nhỏ nhất;
Tìm lượng cung sao cho lợi nhuận cực đại nếu giá
hàng hóa là p = 50.

V1.0018112205

2


MỤC TIÊU BÀI HỌC

• Nắm được một số hàm 1 biến trong kinh tế thông dụng.
• Nắm được cách tìm cực trị hàm 1 biến và Áp dụng được vào bài tập.

V1.0018112205

3


CẤU TRÚC NỘI DUNG

V1.0018112205

3.1

Khái niệm hàm 1 biến trong kinh tế

3.2

Giới thiệu một số hàm số 1 biến trong kinh tế

3.3

Cực trị của hàm 1 biến

4

3.1. GIỚI THIỆU HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ

V1.0018112205

3.1.1

Biến, hằng số và tham số

3.1.2

Các loại phương trình

5


3.1.1. BIẾN, HẰNG SỐ VÀ THAM SỐ

•
•
•
•
•
•

P: giá cả (price),
: lợi nhuận (profit),
R: doanh thu (revenue),
C: chi phí (cost),

Y: thu nhập (income),

…

V1.0018112205

6


3.1.2. CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH

• Phương trình định nghĩa (definition equation): là một đẳng thức mà hai biểu thức thay thế ở cả hai vế của
nó có cùng một ý nghĩa.
Ví dụ 1. Lợi nhuận được định nghĩa thông qua phương trình định nghĩa sau: 𝜋 = R – C, tức là lợi nhuận thu
được chính là phần dôi ra của doanh thu sau khi đã trừ đi chi phí.

• Phương trình hành vi (behavioral equation): Phương trình hành vi phản ánh cách thức một biến thay đổi
phụ thuộc vào sự thay đổi giá trị của các biến khác.
Ví dụ 2. Chi phí C = 75 + 10Q

Chi phí C = 110 + Q2

• Phương trình cân bằng (equilibrium equation): mô tả điều kiện cân bằng
Ví dụ 3. Qd=Qs : Lượng cầu phải bằng lượng cung
S = I : Tổng tiết kiệm phải bằng tổng đầu tư

V1.0018112205

7

3.2. GIỚI THIỆU MỘT SỐ HÀM SỐ MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ

V1.0018112205

3.2.1

Hàm cung và hàm cầu

3.2.2

Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận

3.2.3

Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm

8


3.2.1. HÀM CUNG VÀ HÀM CẦU

• Hàm cung: Qs = S(p)
• Hàm cầu: Qd = D(p)
Khi xét xem các mô hình hàm cung và hàm cầu ở dạng nêu trên, người ta giả thiết rằng các yếu tố khác không
thay đổi. Quy luật của thị trường trong kinh tế học nói rằng, đối với các hàng hóa thông thường, hàm cung là
hàm đơn điệu tăng, hàm cầu là hàm đơn điệu giảm. Điều này có nghĩa là: với các yếu tố khác giữ nguyên, khi
giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn và người mua sẽ mua ít đi.

V1.0018112205

9


3.2.2. HÀM DOANH THU, HÀM CHI PHÍ VÀ HÀM LỢI NHUẬN

•
•
•
•
•

Hàm doanh thu: TR = TR(Q)
Hàm chi phí: TC = TC(Q)
Chi phí cố định (FC): FC = TC(Q=0)
Hàm chi phí biến đổi (VC): VC = TC – FC
Hàm lợi nhuận: (Q) = TR(Q) – TC(Q)

V1.0018112205

10


3.2.3. HÀM TIÊU DÙNG VÀ HÀM TIẾT KIỆM

• Hàm tiêu dùng để biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng C (consumption) vào biến thu nhập
Y (Income):

C = C(Y)
Khi thu nhập tăng người ta thường có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn, do đó hàm tiêu dùng là

hàm đồng biến.

• Hàm tiết kiệm là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S và biến thu nhập Y:
S = S(Y)

V1.0018112205

11


3.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN
Cho hàm số y = f(x)
f(x) < f(x0) thì x0 là điểm cực đại
f(x) > f(x0) thì x0 là điểm cực tiểu
Bài toán: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục có đạo hàm trong khoảng (a, b). Tìm điểm cực trị của f(x).
Điều kiện cần: f'(x) = 0  x = x0 điểm dừng.

Điều kiện đủ:

• Cách 1: Xét sự biến thiên dấu của f'(x).
• Cách 2: Tại x0, ta có:
f"(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại;
f"(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.

V1.0018112205

12


3.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN (tiếp theo)

Bài toán 1: Chọn mức sản lượng tối ưu
Giả sử doanh nghiệp có hàm tổng chi phí TC(Q) và hàm tổng doanh thu TR(Q). Hãy chọn mức sản lượng Q0
để thu lợi nhuận tối đa.
Giải
Hàm tổng lợi nhuận của doanh nghiệp:

 = TR(Q) - TC(Q)

Điều kiện cần:

 '  TR '(Q)  TC '(Q)  0 

TR '(Q)  TC '(Q)  MR  MC

Điều kiện đủ:

 ''  TR ''(Q)  TC ''(Q)  0 

TR ''(Q )  TC ''(Q ) 

V1.0018112205

MR '(Q )  MC '(Q )

13


3.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN (tiếp theo)

Bài toán 2: Chọn sử dụng yếu tố đầu vào tối ưu để có lợi nhuận cao nhất
Cho một doanh nghiệp cạnh tranh tiến hành sản xuất với hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), trong điều kiện giá
sản phẩm trên thị trường là p và giá lao động (tiền công) là w. Hãy tìm mức sử dụng lao động để đạt lợi nhuận
tối đa?
Giải:
Hàm tổng lợi nhuận:   pf ( L )  wL  C 0 (C0 là chi phí cố định)
Điều kiện cần:  '  pf '( L )  w  C0  p  MPPL  w
(Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là giá trị bằng tiền
của sản phẩm hiện vật cận biên của lao động bằng giá lao động).
Điều kiện đủ:

V1.0018112205

 ''  pf ''( L )  0  f ''( L )  0
0

0

14


3.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN (tiếp theo)

Bài toán 3: Cực trị của hàm hàm bình quân
Cho hàm số y = f(x) với x, y là các biến số kinh tế.

y
( x  0) được gọi là hàm bình quân.
x
y

y
'

y
y'x  y
x  My  Ay ( x  0)
Ta có: Ay'    

x
x
x
x
Hàm số Ay 

'

2

Giả sử x0 là điểm thỏa mãn My = Ay, tức là Ay’ = 0. Khi đó ta có nhận xét:

• Hàm bình quân tăng khi My > Ay (Tức là đường cận biên nằm trên đường bình quân).
• Hàm bình quân giảm khi My < Ay (Tức là đường cận biên nằm dưới đường bình quân).
• Hàm bình quân đạt cực trị khi My = Ay (đường cận biên giao nhau với đường bình quân).
V1.0018112205

15


3.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN (tiếp theo)

Ví dụ
Một doanh nghiệp có hàm chi phí TC(Q) = 0,3Q3 – 3Q2 + 19Q + 30, với Q là sản lượng.
Hãy xác định hàm chi phí biến đổi bình quân AVC(Q) và mức sản lượng cực tiểu hóa hàm này.
Giải:
FC = TC(0) = 30

VC 0, 3Q  3Q  19Q
Hàm chi phí biến đổi trung bình là: AVC 

 0, 3Q  3Q  19
Q
Q
3

2

2

Điều kiện cần:
Điều kiện đủ:

AVC '  0, 6Q  3  AVC '  0  0, 6Q  3  0  Q  5

AVC "  0, 6  0

Vậy Q = 5 thì chi phí biến đổi trung bình đạt cực tiểu, và Qmin = 11,5.
V1.0018112205

16

Giải quyết tình huống dẫn nhập

C(Q) 12Q  Q  0,1Q
AC 

 0,1Q  Q  12
Q
Q
2

• Chi phí trung bình của hãng là:

3

2

• Điều kiện cần: AC '  0, 2Q  1

AC '  0  0, 2Q  1  0  Q  5
• Điều kiện đủ:

AC "  0, 2  0

• Vậy với Q = 5 thì chi phí trung bình của hãng là nhỏ nhất.

V1.0018112205

17

Giải quyết tình huống dẫn nhập

• Hàm lợi nhuận:   TR  TC  pQ  12Q  Q 2  0,1Q 3   50Q  12Q  Q 2  0,1Q 3 

  0,1Q  Q  38Q
3

• Điều kiện cần:

2

 '  0, 3Q  2Q  38
2


62 
10 1 

5
  15, 07
 '  0  0, 3Q  2Q  38  0  Q  
3
2

• Điều kiện đủ:  "  0, 6Q  2   " 15, 07   0, 6  15, 07  2  7, 042  0
• Vậy với Q = 15,07 thì lợi nhuận đạt cực đại.

V1.0018112205

18


TỔNG KẾT BÀI HỌC

• Giới thiệu một số biến trong kinh tế
• Một số hàm số 1 biến trong kinh tế
• Cực trị của hàm 1 biến

V1.0018112205

19