Một số kết quả dạng farkas cho hệ hàm vector và ứng dụng vào tối ưu vectơ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

LÊ THANH SƠN
MỘT SỐ KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO
HỆ HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG VÀO
TỐI ƯU VECTƠ
Chuyền ngành: Toán ứng dụng
Ma số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

LÊ THANH SƠN

MỘT SỐ KÊT QUẢ DẠNG FARKAS CHO
HỆ HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG VÀO
TỐI ƯU VECTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Ma số: 60460112

GIẢNG VIÊN HƯỞNG DẪN

PGS. TSKH. NGUYỄN ĐỊNH

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2017


CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS. TSKH. NGUYỄN ĐỊNH
Cán bộ chấm nhận xét 1 : TS. NGUYỄN BÁ THI
Cán bộ chấm nhận xét 2 : PGS. TS. TÔ ANH DŨNG
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG
Tp. HCM ngày 03 tháng 8 năm 2017.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. Chủ tịch: PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY
2. Thư ký: TS. ĐẶNG VĂN VINH
3. Phản biện 1: TS. NGUYỄN BÁ THI
4. Phản biện 2: PGS. TS. TÔ ANH DŨNG
5. ủy viên: TS. LÊ XUÂN ĐẠI
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau
khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY

PGS. TS. HUỲNH QUANG LINH


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: LÊ THANH SƠN
Ngày, tháng, năm sinh: 05/09/1986
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số học viên: 1570760
Nơi sinh: Kiên Giang
Mã số: 60460112

I. TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO
HỆ HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG VÀO TỐI ƯU VECTƠ
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Kiến thức cơ sở.
- Các kết quả dạng Farkas cho hệ hàm vectơ và ứng dụng vào tối ưu vectơ.

III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/11/2016
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 10/07/2017
V.

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TSKH. NGUYỄN ĐỊNH
Tp. HCM, Ngày ............. tháng .......... năm .............

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

(Họ tên và chữ ký)

(Họ tên và chữ ký)

PGS. TSKH. NGUYỄN ĐỊNH

PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY

TRƯỞNG KHOA
(Họ tên và chữ ký)

PGS. TS. HUỲNH QUANG LINH


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng kính gửi đến Thầy, PGS. TSKH. Nguyễn Định - Trường
Đại học Quốc Tế Tp. Hồ Chí Minh, Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, lời cảm ơn sâu
sắc nhất, người đã luôn tận tụy, nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy, quan tâm giúp đỡ, truyền
đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô trong Bộ môn Toán ứng Dụng, khoa Khoa học ứng
dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh đã hết lòng giảng dạy, truyền
thụ kiến thức và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn của mình.
Tôi xin cảm ơn các anh chị, các bạn lớp Cao học ngành Toán ứng Dụng khóa 2015 và
nhóm seminar đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học và quá trình thực hiện
luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người đã luôn ở bên
cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi suốt thời gian học tập.
Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong
nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cô và bạn đọc để bổ sung và hoàn thiện đề tài tốt hơn.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2017

Tác giả

Lê Thanh Sơn

i


TÓM TĂT LUẬN VĂN
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề sau:
1. Bài toán tối ưu vectơ.
2. Các kết quả dạng Farkas cho hệ các hàm vectơ.
3. Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán tối ưu vectơ.

ABSTRACT
In this thesis, we research these following subjects:
1. The vetor optimization problem.
2. Farkas-type results for vector functions.
3. Optimality conditions and dual for the vetor optimization problem.

ii


LỜI CAM ĐOAN
Tôi tên là Lê Thanh Sơn, mã học viên: 1570760, học viên cao học chuyên ngành Toán
ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh khóa 2015 - 2017. Tôi xin
cam đoan rằng ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong
luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướng
dẫn của PGS. TSKH. Nguyễn Định và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm tính trung thực về đề
tài nghiên cứu này.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 8 năm 2011
Học viên thực hiện

Lê Thanh Sơn

3


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
Kỷ hiệu

Ý nghĩa

ILLLCL

nửa liên tục dưới

N

Tập các số tự nhiên

R

Trường các số thực

R+

Tập hợp các số thực không âm

RP

Không gian véc tơ thực p-chiều

K

K = R hoặc K = c

£(x,y)
y

Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y
Y u {+ooy, —OOy}

r(x)
X*

Tập các hàm lồi n.l.t.d xác định trên X
không gian đối ngẫu của X

r

Ánh xạ liên hợp của /

ic

Ánh xạ chỉ của tập c

K+

Nón liên hợp của nón K

df(x)

Dưới vi phân của / tại X

c\ư

Bao đóng của tập u

COĨNƯ

Bao lồi của tập ư

cl conv ư

Bao lồi đóng của tập ư

affZ7

Bao affine của tập ư

cone [7

Bao nón của tập u

qriỉ/

Tựa phần trong tương đối của tập ư

qiĩ/

Tựa phần trong của tập ư

sqriỉí

Tựa phần trong tương đối mạnh của tập ư

ri u

Phần trong tương đối của tập ư

WMinM

Tập gồm các phần tử nhỏ nhất yếu của M

WMaxM

Tập gồm các phần tử lớn nhất yếu của M

4


WInfM

Tập gồm các phần tử infimum yếu của M

WSupM
MinM

Tập gồm các phần tử supremum yếu của M

Tập gồm các phần tử nhỏ nhất Pareto của M

StrMinM

Tập gồm các phần tử nhỏ nhất mạnh của M

linE

Bao tuyến tính của tập E

dimV

Số chiều của không gian V


LỜI MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lý thuyết tối ưu ngày càng đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và ứng
dụng. Trong những thập niên vừa qua nhiều công trình nghiên cứu phát triển các kết quả
dạng Farkas vectơ đã được áp dụng thành công vào các lớp bài toán tối ưu. Gần đây PGS.
TSKH. Nguyễn Định và các đồng tác giả đã phát triển các dạng Farkas cho hệ hàm vectơ.
Vấn đề phát triển các kết quả dạng Farkas cho các hệ hàm vectơ và áp dụng vào bài toán
tối ưu vectơ mới chỉ là khởi đầu và còn nhiều hứa hẹn.
Áp dụng các kết quả Farkas cho hệ hàm vectơ ta có thể ứng dụng giải các bài toán tối ưu
vectơ và áp dụng giải các bài toán kinh tế thực tiễn.

II. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1. Ý nghĩa khoa học
Kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ đưa ra các kết quả Farkas cho hệ hàm vectơ, các giá trị
về mặt lý thuyết. Từ đó có thể áp dụng vào các lớp bài toán tối ưu vectơ. Và các lớp bài toán

này có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán kinh tế và tài chính. Các lớp bài toán khác nhau
sẽ cho nhiều áp dụng vào các bài toán tối ưu vectơ. Các điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài
toán dạng này cũng sẽ được nghiên cứu.

2. Ý nghĩa thực tiễn
Đề tài có thể sử dụng để giải quyết hầu hết các bài toán tối ưu vectơ và có thể áp dụng
cho nhiều bài toán kinh tế và tài chính thực tế. Do tính tổng quát, các dạng Farkas hàm
vectơ được tìm hiểu có đủ khả năng để giải quyết những vấn đề phát sinh trong tương lai
gần. Một áp dụng minh chứng cho điều đó nằm trong phần áp dụng vào việc giải quyết bài
toán tối ưu vectơ.

III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp tham khảo tài liệu: Tìm hiểu về giải tích lồi, tối ưu lồi, các điều kiện chính
quy dạng đồ thị epi, các bổ đề Farkas vectơ, các điều kiện tối ưu và đối ngẫu, đối ngẫu
mạnh cho bài toán tối ưu vectơ. ...
Phương pháp seminar: Tìm hiểu về một số dạng Farkas vectơ, từ đó áp dụng giải quyết
vi


bài toán tối ưu vectơ, thảo luận ứng dụng đề tài trong một số bài toán thự tế cụ thể. Áp dụng
phương pháp khái quát hóa để tìm hiểu và phân tích vào bài toán tối ưu vectơ bằng Farkas.

IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Cho X, Y, z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, s là nón lồi không
rỗng trong z và K là nón lồi đóng có phần trong không rỗng. Chúng tôi nghiên cứu bài toán
tối ưu vectơ có dạng:
(VOP) “ Min” {/(x) : X € c, g(x) e -S} ,

(1)

trong đó f: X -ì Y u {+ooy}, g : X -> z u {+ooz}, c G X khác rỗng và ký hiệu “Min” chỉ
tập hợp các phần tử nhỏ nhất theo một nghĩa nào đó.
Kí hiệu A là tập chấp nhận được của (VOP), tức là

Ta luôn giả sử rằng A n dom f ± 0, hay nói cách khác, bài toán (VOP) là chấp nhận được và
không tầm thường.
Ta gọi một điểm chấp nhận được X e A là một nghiệm của bài toán (VOP) nếu /(.r) là “phần
tử nhỏ nhất” của tập f(A). Như vậy, ứng với một khái niệm về phần tử nhỏ nhất sẽ cho ta
một khái niệm nghiệm của bài toán (VOP).
Chương 2 của luận văn sẽ trình bày tổng quan về tình hình nghiên cứu bài toán (VOP)
trong thời gian gần đây. Trong luận văn này, Chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán (VOP)
với nghiệm yếu, với mong muốn thiết lập được các điều kiện tối ưu (điều kiện cần và đủ để
một điểm chấp nhận được là nghiệm của bài toán) và các kết quả đối ngẫu cho (VOP).
Công cụ chính sử dụng cho mục tiêu trên là các kết quả dạng Farkas cho hệ hàm vectơ
(các kết quả này sẽ được trình bày ỏ chương 3 của luận văn). Luận văn này chủ yếu là tìm
hiểu và trình bày lại các kết quả nghiên cứu của các tác giả: PGS. TSKH. Nguyễn Định, M.
A. Goberna, M. A. Lopez, TS. Trần Hồng Mơ, được trình bày trong bài báo: "Farkas-Type
Results for vecto-Valued Functions With Applications" và một phần các kết quả về đối ngẫu
của nhóm tác giả: PGS. TSKH. Nguyễn Định, Ths. Đặng Hải Long, M. A. Goberna, M. A.
Lopez, được trình bày trong bài báo:"Non-abstract vecto Farkas lemmas via conjugate
vii


mappings and applications".
Luận văn này được trình bày theo các chương mục sau:

• Nội dung thứ nhất: Các kiến thức chuẩn bị bao gồm một số kiến thức cơ bản về
giải tích lồi, cùng với một số kết quả đã được chứng minh trong các tài liệu tham
khảo.

• Nội dung thứ hai: Trình bày các loại nghiệm và các hướng nghiên cứu bài toán cân
bằng vectơ, áp dụng vào bài toán tối ưu vectơ tìm các loại nghiệm cụ thể.

• Nội dung thứ ba: Trình bày các kết quả dạng Farkas cho các hệ hàm vectơ.
• Nội dung thứ tư: Trình bày các điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán tối ưu
vectơ.

viii


Mục lục
LƠT CẢM ƠN
ỉỉỉ

LỐT CAM ĐOAN

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
viii

LỜI MỞ ĐẦU

1

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Một số yếu tố cơ bản của giải tích lồi .....................................................

1

1.1.1 Tập lỗi, hàm lỗi .............................................................................

1

1.1.2 Nón và thứ tự sinh bôi nón, ánh xạ lồi .........................................

2

1.1.3 Hàm liên hợp ................................................................................

4

1.1.4 Các khái niệm về điểm trong, nón đối ngẫu .................................

4
5

1.2 Các định nghĩa WSup, WInf, WMax, WMin ........................................
1.3 Các tính chất của WSup, WInf, WMax, WMin ......................................

7

1.4 Anh xạ liên hợp và dưói vi phân của hàm giá trị vectơ ..........................

12

Chương 2. BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ

17

2.1 Giói thiệu bài toán tối ưu vecto

17

2.2 Các khái niệm về nghiệm........................................................................

17

2.3 Các hưóng nghiên cứu về bài toán tối ưu vectơ......................................

22

2.3.1 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm.............................

22

2.3.2 Dối ngẫu .......................................................................................

24

2.3.3 Diều kiện tối ưu ............................................................................

ix

27


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Chương này giới thiệu các kiến thức nền tảng để xây dựng nội dung chính của luận văn.
Trong chương này, trước tiên, chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản của giải tích lồi bao
gồm: tập lồi, nón, thứ tự sinh bởi nón, hàm lồi, ánh xạ lồi, miền hữu hiệu và trên đồ thị của
một ánh xạ, ... Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu các khái niệm phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ
nhất, phần tử cực đại, phần tử cực tiểu theo “quan hệ thứ tự yếu” sinh bởi nón trong một
không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương và một vài tính chất cơ bản liên quan đến
các khái niệm này. Cuối cùng, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về ánh
xạ liên hợp và dưới vi phân của các hàm giá trị vectơ.

1.1

Một số yếu tố cơ bản của giải tích lồi

1.1.1

Tạp lồi, hàm lồi

Cho X là một không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, có gốc là vectơ OxKhông gian đối ngẫu của X ký hiệu là X*.
Tập c c X được gọi là lồi nếu
Vx, X G X, VA E [0,1], Xx + (1 — Xx') E c.
Chú ý rằng, giao của một họ tùy ý các tập lồi cũng là một tập lồi.
Cho A c X, ta gọi bao lồi của A, ký hiệu con V 71, là giao của tất cả các tập lồi chứa A.
Từ định nghĩa này, ta có conv/1 là tập lồi bé nhất (theo quan hệ

Lê Thanh Sơn

1

Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

bao hàm) chứa A và
m

'm

conv A = < Ajflj : m e N*,
„ j=i

dị e A, Xi e R+, Aj = 1 >.
i=l

Cho A G X là một tập lồi và hàm f: X -> R := R u {±oo}, các tập hợp sau lần lượt được
gọi là miền hữu hiệu (domain) và trên đồ thị (epigraph) của f:
dom / := {x e X : f(x) +oo};
epi/ := {(®,r) e X X R : Ị(x) < r}.
Ta nói hàm / là
- chân chính nếu epi/ ± 0 và —(X) ị f(X);
- lồi nếu epi / là tập lồi trong X X R;
- nứa liên tục dưới (viết tắt là n.l.t.d) nếu epi/ là tập đóng trong X X R.
Ta ký hiệu r(X) là tập hợp tất cả các hàm lồi, chân chính và n.l.t.d xác định trên X.
1.1.2

Nón và thứ tự sinh bởi nón, ánh xạ lồi

Bây giờ ta xét thêm Y là một không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, có gốc là

vectơ Oy và không gian đối ngẫu là Y*.
Tập K c y được gọi là nón nếu XK c K với mọi A > 0.
Cho K là nón trong Y. Khi đó:
- Nếu K là tập đóng thì ta gọi K là nón đóng.
- Nếu K n (—K) = {0y} thì ta gọi K là nón

nhọn.

- Nếu K là tập lồi thì ta gọi K là nón lồi.
- Nếu int K Ạ 0 thì ta gọi K là nón có phần

trong không rỗng.

Chú ý rằng, K là nón lồi khi và chỉ khi XK c

K với mọi A >0 và K + K c K.

Nếu K là nón lồi thì int K cũng là nón lồi, và do đó int K + int K = int K
Nón đối ngẫu của nón K, ký hiệu là K+, được định nghĩa là
Lê Thanh Sơn

2


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

K+ = {y* e Y* : {y*, k) > 0, VA: e K}.
Xét K là một nón đóng, nhọn, lồi trong Y và có phần trong không rỗng. Ta định nghĩa một

thứ tự yếu (weak ordering) trong Y như sau:
yi hay một cách tương đương, 7/1 V2 nếu và chỉ nếu 7/1 — 7/2 ị — int K.
Ta mở rộng Y bằng cách thêm vào một phần tử lớn nhất +ooy và một phần tứ bé nhất —
ooy theo thứ tứ yếu —00y} và quy ước — ooy — (+ooy) = —OOy,

— ( —OOy) = +ooy,

(+ooy) + y = y + (+ooy) = +ooy, VT/ e Y u {+ooy},
(—OOy) + y = y + (—OOy) = -OOy, VT/ EY u {-OOy}.
Trong luận văn này, ta không xét các tổng (—ooy) + (+ooy) và (+oo) + (—oo).
Xét ánh xạ giá trị vectơ f: X -> y*. Tương tự như trường hợp f là hàm giá trị thực, các tập
hợp sau lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và trên đồ thị của fdom / := {x E X : f(x) 7^ +ooy};
epijTa cũng nói / là
- hàm chân chính nếu cpiK / Ạ 0 và —ooy ị f(xy,
- hàm K-lồi nếu cpiK / là tập lồi trong X X Y, tức là
Vxi, X2 e Ấ, V/7 E [0,1], ĩ(pxỵ + (1 - ịì)x2) -

- (1 - p)f(x2) e -K;

- K-epi đóng nếu cpiK / là tập đóng trong X xY.
1.1.3

Hàm liên hợp

Xét hàm giá trị thực f: X -> R, liên hợp Legendre-Fenchel của f là hàm f*: X* R := R u {00, +00} được xác định như sau:
Lê Thanh Sơn

3


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

= sup ({x*, x) - f(x)), Yx* e X*.
xeX
Ta có các tính chất sau:
- Giả sử /1, /2 € r(X) và (dom/1) n (dom/2) / 0- Khi đó
epi(/i + /2)* = cl(epi/* + epi/;).
Nếu có thêm điều kiện một trong hai hàm này liên tục tại một điểm nào đó thuộc (dom/1)
n (dom/2) thì (xem [ ])
epi(/i + /2)* = epi/* + epi/;.
- Giả sử {fi, i e 1} c r(X) (với I là một tập chỉ số tùy ý) và tồn tại Xo e X sao cho sup/j(a?o)
< +00. Khi đó, theo Bổ đề 2.2 trong [ ], ta có
iei
epi (sup/ộ = clconv

1.1.4

•

(i-l)

Các khái niệm về điểm trong, nón đối ngẫu

Cho X, Y, z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, s là nón lồi không

rỗng trong z và K là nón lồi đóng có phần trong không rỗng. Cho u là một tập con của X.
Tập đóng (tương ứng lồi, lồi đóng, affine, nón) nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa u
được gọi là bao đóng (tương ứng bao lồi, bao lồi đóng, bao affine, bao nón) của u và được
ký hiệu là cl u (tương ứng conv u, cl conv u, aff u, cone u).
Tựa phần trong tương đối (quasi relative interior), tựa phần trong (quasi interior), tựa
phần trong tương đối mạnh (strong quasi relative interior), phần

Lê Thanh Sơn

4


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

qri(ư) := {x EU : cl(cone((/ — ư?)) là không gian vectơ con của X},
qi(t/) := {x e u : cl(cone((/ — ư?)) = X},
sqrit/ := {x e u : cone((/ — rr) là không gian vectơ con đóng của X},
ri(í/) := {x e aff(ư) : 3V là lân cận của X sao cho V n aff((/) c u}.
Với T e £(Z, Y), ta định nghĩa hàm hợp T o g ; X Y* như sau:
ĩrr „
ịTog)(x)=ỉ

_

T

(Ổ(*)), nếu g(x) e z,

+ooy, nếu g(x) = +ooz-

Anh xạ chỉ iũ ■ X -+Y* của tập D c X được định nghĩa bởi
Oy,

nếu X e D,

+ooy, còn lại.
Trong trường hợp Y = R, ip là hàm chỉ thông thường.
Ký hiệu ([ Ị tr. 6-7])
r+(S, K) := {T e £(z, Y) : T(S) c K},
£™(S, K) := {T e £(z, y) : T(S) n (- int K) = 0}.
Nếu Y = R và K = R_|_ thì £_|_(S, K) = £Ỵ(S, K) = s+, trong đó s+ là nón đối ngẫu (dương)
của s theo nghĩa giải tích lồi, tức là
s+ = {z* e z* : {z*, s) > 0, Vs e S}.

1.2

Các định nghĩa WSup, WInf, WMax, WMin

Xét Y là một không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, K là một nón đóng, nhọn,
lồi trong Y và có phần trong không rỗng.
Cho M c Y*, ta có các khái niệm sau:

uu
(a) Phần tử V e Y được gọi là một phần tứ infimum yếu (weakly infimal element) của M
Lê Thanh Sơn

5

Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

nếu:
— với mọi VEM thì V -£K V ,
— với mọi ĨEY* mà V Tập hợp tất cả các phần tử cực tiểu yếu của M được ký hiệu là WInf M và được gọi là
tập infimum yếu (weak infimum) của M.
(b) Phần tử V e Y được gọi là một phần tử supremum yếu (weakly supremal element) của
M nếu:
— với mọi VEM thì V -£K V ;
— với mọi V e y’ mà V Tập hợp tất cả các phần tử cực đại yếu của M được ký hiệu là WSup M và được gọi là
tập supremum yếu (weak supremum) của M.

Định nghĩa 1.2.2. [

, Definition 2.2]

a) Tập gồm các phần tứ nhỏ nhất yếu (weak minimum) của M, ký hiệu là WMinA/, là tập
hợp xác định bởi
WMin Al = Al n WInf AI
và các phần tử của nó được gọi là các phần tử nhỏ nhất yếu (weakly minimal element)
của M.
b) Tập gồm cấc phần tử lớn nhất yếu (weak maximum) của M, ký hiệu là WMaxAf, là
tập hợp xác định bỏi
WMax M = M n WSup M
và các phần tử của nó được gọi là các phần tử lớn nhất yếu (weakly maximal element)

của M.

Lê Thanh Sơn

6


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Nhận xét 1.2.1.
(a) Với tập M c Y bất kỳ, sứ dụng quy ước —ooy kiểm tra được rằng
WInf M = WInf(M u {+ooy}),

WMinM = WMin(M u {+ooy}),

WSup M = WSup(M u {+ooy}),

WMaxM = WMax(M u {+ooy}).

(b) Nếu M ± ty, vĩ V Ngược lại, nếu M = ty thì ta định nghĩa WỈ.-ũiM = {+ooy} và WSup M = {—00y}.
(c) (y*, supremum và inỊimum của chúng theo quan hệ luôn tồn tại.
(d) Nếu M Ạ ty và WSupM ± {+ooy}; dễ thấy rằng V e WSupAf nếu và chỉ nếu V EY\ (M
— int K) và V — int K c M — int K. Tương tự, nếu M ty và WInf M V {—00y} thĩ V e
WInf M nếu và chỉ nếu V e Y \ (M + int K) và V + int K c M + int K.

1.3

Các tính chất của WSup, WInf, WMax, WMin

Bổ đề sau đây giới thiệu lại các công thức (7), (8) trong [ ] và cung cấp chứng minh chi
tiết hơn cho các công thức này.

Bổ đề 1.3.1. Nếu K là nón đóng, lồi trong Y và có phần trong không rỗng thì
K + int K = int K,
và do đó
ycK
ị int K

Lê Thanh Sơn

> y + y' ỳ ị int K.

7


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

................................
C17V + V = N + V.

(1.2)

Ta có int K là tập mở khác rỗng, áp dụng (I D với N = V = int K, ta được
cl(int K) + int K = int K + int K.
Mặt khác vì K là nón lồi nên int K + int K = int K và vì K là tập lồi đóng có phần trong không
rỗng nên cl(int K) = cl K = K. Do đó K + int K = int K. □ Định nghĩa 1.3.1. [ , Definition
2.4] Cho trước 0 ± M c Y*, ta định nghĩa
A(M) là tập gồm các điểm phía trên M và Ỉ3(M) là tập gồm các điểm phía dưới
M như sau
A(M) = {v EY* :3v E M, V Ỉ3(M') = {VEY' :3VEM, V Từ định nghĩa trên ta suy ra
Y u {+ooy},

nếu — ooy € M,
nếu M = {+ooy},

0,

{+ooy} u (M + int K),

các trường hợp còn lại,

Y u { —OOy},

nếu + ooy e M,

0,

nếu M = {—ooy},

{—ooy} u (M — int K),

các trường hợp còn lại.

và

Đặc biệt, ta có
— OOy ị\J Ạ {+ooy}
+ ooy ị M

Lê Thanh Sơn

A(M} = {+ooy} u (M + int K),

{ — OOy} =>

) = { — OOy} u (M — int K).

(1.3)
(1-4)

8


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Hơn nữa, ta dễ dàng kiểm tra được rằng
WSupM = {+ooy}

= Y u {-00y}
+00y € M hoặc M — int K = Y
-<=> Vi; E y. dí € M : V
Tương tự, ta cũng có
WInf M = {-00y} A(M) = Y u {+ooy}
■<=>■ —00y € M hoặc M + int K = Y
^VEY, 3V E M : V
(1-5)

Bổ đề 1.3.2. I I Lemma 2.6] Giả sứ $ ± M c y và V e y. Khi đó
(v — int K c M — int K) V € cl(A/ — int K).
Chứng minh. [=>] Giả sử V—int K c M—int K. Ta chứng minh V e cl(M—int K).
Xét u là một lân cận của Oy, ta sẽ chỉ ra rằng (v + U) r\ (M - int K) ± 0. Lấy kữ e
intK (có thể lấy được do intK 0). Khi đó, tồn tại A > 0 sao cho — Xk$ € u. Vì Xkũ € int
K, ta được V — Xkữ € V — int K c M — int K. Do đó, V — Xkũ e (í + U) n (M — int K)
nên (v + ĩ/) n (M — int K) ± 0 và ta được
V € cl(A/ — int K).
[<=] Giả sử V E CỈ(M — int KỴ Ta chứng minh V — int K c M — int K.
Lấy k E int K tùy ý, ta sẽ chỉ ra rằng V — k E M — int K. Vì Oy E — k+int K (do k
E int K) nên tồn tại lân cận u của Oy sao cho u c — A + int K. Khi đó, v + u c
V — k + int K. Bây giờ, vì V E CỈ(M — int K) nên (v — k + int K) n (M — int K) 0.
Do đó, tồn tại k' E int K sao cho V — k + k' E M — int K và ta được
V — k E M — int K — k' c M — int K — int K c M — int K
(bao hàm thức cuối cùng xảy ra do int K là nón lồi).

□

u

(z) 0 / WSup M c Y u {+ooy}. Nếu WSupM ± {+ooy} thĩ
Lê Thanh Sơn

9


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

WSupM = {í e Y \ (M - intK) : V - intK c M - intK}
= cl(M-intK)\(M-intK),

(1.6)

hay nói cách khác, WSupM là biên (trong Y) của tập M — intK.
(zz) Đẳng thức sau là đúng:
WMax M = M \ (M - int K),
và vĩ thế WMaxAi là tập đóng (hoặc compact) nếu M là tập đóng (hoặc compact)
trong Y.
(Hi) Đẳng thức sau là đúng:
Y* = {-ooy) u (M - int K) u (WSup M) u X(WSup M).
Hơn nữa, nếu WSup M ± {+ooy} thĩ
Y = (M — int K) u (WSup M) u (WSup M + int K)

(1.7)

và ba tập ở vế phải là rời nhau.
(w) Lấy M c Y sao cho CÌM = cl(intM) (chẳng hạn, xét M là tập lồi và có phần trong
không rỗng) thĩ ta có

WSup(int M) = WSupM = WSup(clM).
Chứng minh. Từ các giả thiết cho M ta có M n Y Ạ 0.
(z) Rõ ràng WSupM Ạ và — ooy ị WSupM (theo Nhận xét I ________ ). Do đó,
0 Ạ WSup M c Y u {+ooy} và ta được khẳng định đầu tiên.
Giả sử WSup M ± {+ooy}, theo (_

y u {—ooy}. Đẳng thức đầu

tiên trong o được suy ra từ Nhậ I Ịvà giả thiết WSup M ± {+ooy}, còn đẳng thức thứ
hai được suy ra từ đẳng thức thứ nhất và Bổ đề I 1
(zz) Suy ra từ định nghĩa của WMaxAf: WMaxAf = M n WSup M.
□□
Lê Thanh Sơn

10


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Y* = (WSup M) u 23(WSup M) u «4(WSup M)
= (WSup M) u £(M) u «4(WSup M)
= {-00y} u (M - int K) u (WSup M) u «4(WSup M).

(1.8)

Do vậy, ta có khẳng định đầu tiên trong (iiiỴ
Bây giờ, giả sử rằng WSupM ± {-00y}. Áp dụng (

|| cho tập WSupM

(chú ý rằng —ooy ị WSupM) ta có
X(WSupM) = (WSupM + intK)U{+ooy}.

(1.9)

Theo ( I) và d I),
Y* = {-00y} u (M - int K) u (WSup M) u (WSup M + int K) u {+ooy}.
Bỏ -ooy và +ooy ở hai vế, ta được (I I) cùng với kết luận rằng ba tập ở vế phải của (
____________ I rời nhau (xem lại Mệnh đề 7.4.1 (d) trong [ ]).
(w) Th I I), ta có
WSup M = cl(M - int K)\(M — int K),
WSup(int M) = cl(int M — int K) \ (int M — int K),
WSup(cl M) = cl(cl M - int K) \ (cl M - int K).
Mặt khác, áp dụng ( ) với N := int M và V := — int K, ta được
int M — int K = cl(int M) — int K = cl M — int K.

(1.10)

Chú ý rằng int M — int K c M — int K c cl M — int K, nên từ ( I
int M — int K = M — iĩítK = cl M — int K.
Do đó, ta được điều phải chứng minh.

□

Bằng lập luận tương tự như chứng minh trên, chỉ cần thay WSup, WMax, int K,
+ooy, — ooy, M, B lần lượt bỏi WInf, WMin, — int K, — ooy, +ooy, B, A, ta có kết
quả sau:
...

M ± {+ooy}. Khi đó:
Lê Thanh Sơn

11


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

(í) 0 í WLaiM c Y u {-00y}. Nếu WInf M í {-00y} thĩ
WInf M = {í € y \ (M + intK) : V + intK c M + intK}
= cl(M + int/f) \ (M + intK),

(1.11)

hay nói cách khác, WInf M là biên trong Y của tập M + int K.
(ii) Đẳng thức sau là đúng:
WMinM = M\(M + intK),
và vĩ thế WMinM là tập đóng (hoặc compact) nếu M là tập đóng (hoặc compact) trong
Y.
(iií) Đẳng thức sau là đúng:
Y* = {+ooy) u (M + intK) u (WInf M) u ổ(WSup M).
Hơn nữa, nếu WInfM ± {—00y} thĩ
Y = (M + int/f) u (WInf M) u (WInf M — int A")

(1.12)

và ba tập ở vế phải là rời nhau.
(w) Lấy M c Y sao cho clM = cl(intM) (chẳng hạn, xét M là tập lồi và có phần trong

không rỗng). Khi đó
Wlnf(intM) = WInf M = Wlnf(clM).

1.4

Ánh xạ liên hợp và dưới vi phân của hàm giá trị vectơ

Ta ký hiệu C{x, y) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào y, và e £\x,
y) là ánh xạ không (tức là ánh xạ được xác định bỏi 0/:(x) = 0 với mọi X e X). Dễ thấy
rằng khi y = R thì £(X,Y) chính là không gian đối ngẫu X*.
Ánh xạ đa trị f*: £(X, Y) =4 Y* xác định bởi
/*(L) := WSup{L(rr) - f(x) : X e X} = WSup{(L - /)(X)}
được gọi là ánh xạ liên hợp (conjugate map) của Ị. Miền hữu hiệu (domain) của ĩ* là
Lê Thanh Sơn

12