Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 9: Estimation and confidence intervals

9 ­ 1

Estimation and Confidence Intervals

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


9 ­ 2

When you have completed this chapter, you will be able to:
Define a point estimator, a point estimate, and desirable
properties of a point estimator such as
unbiasedness, efficiency, and consistency. 
Define an interval estimator and an interval estimate
Define a confidence interval, confidence level, margin of 
error, and a confidence interval estimate
Construct a confidence interval for the population mean 
when the population standard deviation is known
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


9 ­ 3

Construct a confidence interval for the population variance 
when the population is normally distributed
Construct a confidence interval for the population mean 
when the population is normally distributed and  the 
population standard deviation is unknown
Construct a confidence interval for a population proportion
Determine the sample size for attribute and                             
     

variable sampling

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Terminology

9 ­ 4

Point Estimate …is a single value (statistic) used to 

estimate a population value (parameter)

Interval Estimate  …states the range within which a 

population parameter probably lies

Confidence Interval …is a range of values  within which       

        the population parameter                
                  is expected to occur

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Desirable properties of a point estimator

9 ­ 5

 efficient

•• efficient

… possible values are concentrated                 
            close to the value of the parameter

 consistent
•• consistent
…values are distributed evenly on              
     both sides of the value of the 
parameter

 unbiased
•• unbiased

…unbiased when the expected value equals the value 
of the population parameter being estimated.              
                                        Otherwise, it is biased!
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Terminology

Standard error of the sample mean 
Standard error of the sample mean 

9 ­ 6

…is the standard deviation                                              
                               of the sampling distribution of the 
sample means

x

It is computed by

n

…is the symbol for the standard error of the 
sample mean

x

…is the standard deviation of the population

n …is the size of the sample
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Standard Error          
Standard Error          
of the Means
of the Means
 is not known and n > 30,                      
IfIf    is not known and n > 30,                      
        the standard deviation of the 
        the standard deviation of the 
sample(ss)                                       is used 
)                                       is used 
sample(
to approximate the population standard 
to approximate the population standard 

deviation
deviation

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

x

Computed by…

s

s

n

9 ­ 7


9 ­ 8

…that determine the width of a confidence interval 
are:

1.
1.
2.
2.

The sample size, n
The sample size, n

The variability in the population, 
The variability in the population, 
usually estimated by ss
usually estimated by 
3. The desired level of confidence
The desired level of confidence
3.

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Constructing 
Constructing 
Confidence Intervals
Confidence Intervals

9 ­ 9

IN GENERAL, 
A confidence interval for a mean is computed 
by:

zα/2

s

n

x

Interpreting…
Interpreting…
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Interpreting 
Interpreting 
Confidence Intervals
Confidence Intervals

9 ­ 10

The Globe

Suppose that you read that
“…the average selling price 
“…the average selling price 
of a family home in              
of a family home in              
York Region is               
York Region is               
$200 000 +/­ $15000               
$200 000 +/­ $15000               
  at  95% confidence!”
  at  95% confidence!”

This means…what?
This means…what?
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Interpreting 
Interpreting 
Confidence Intervals
Confidence Intervals
The Globe
“…the average 
“…the average 
selling price of a 
selling price of a 
family home in 
family home in 
York Region is 
York Region is 
$200 000 +/­          
$200 000 +/­          
  $15 000 at  95% 
  $15 000 at  95% 
confidence!”
confidence!”

9 ­ 11

In statistical terms, this means:

…that we are 95% sure that the 
interval estimate obtained 
contains the value of the 
population mean.
 Lower confidence limit is 

$185 000 ($200 000 ­ $15 000)
 Upper confidence limit is    
$215 000 ($200 000 + $15 000)

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Also…
Also…


Interpreting 
Interpreting 
Confidence Intervals
Confidence Intervals

9 ­ 12

Your newspaper also reports 
that…
You select a random 
“…the mean 
sample of 36 homes sold 
“…the mean 
time to sell a 
during the past year,     
time to sell a 
family home 
and determine a                
family home 
in York 

         90% confidence 
in York 
Region            
interval estimate               
Region            
is 40 days. 
                                  for 
is 40 days. 
the population mean to 
be (31­39) days.
Do your sample results support the paper’s claim?
The Globe

Do your sample results support the paper’s claim?
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Interpreting 
Interpreting 
Confidence Intervals
Confidence Intervals
You select a 
You select a 
random sample         
random sample         
 of 36 homes            
 of 36 homes            
sold during               
sold during               
      the past year,     

      the past year,     
                         and 
                         and 
determine a              
determine a              
           90% 
           90% 
confidence interval 
confidence interval 
estimate                    
estimate                    
                             
                             
for the population 
for the population 

9 ­ 13

 Lower confidence limit 
    is 31 days  
Upper confidence limit 
is 39 days
Our evidence does not support the 
ur evidence does not support the 
O
statement made by the newspaper, 
statement made by the newspaper, 
i.e., the population mean  is not 40 days, 
i.e., the population mean  is not 40 days, 
when using a 90% interval estimate  

when using a 90% interval estimate

There is a 10% chance (100%­90%) 
that the interval estimate            
does not contain the value                   
 of the population mean!

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Interpreting 
Interpreting 
Confidence Intervals
Confidence Intervals

9 ­ 14

90% Confidence Interval
90% Confidence Interval

… 10% chance of falling outside this interval
…or,  focus on 
tail areas …

i.e.    = 0.10
 = 0.10
i.e.

.05

.05

90%
31

39

is the probability of a value falling  
     is the probability of a value falling  
outside the confidence interval
outside the confidence interval

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


9 ­ 15

Find the appropriate value of z:

P( X
1
2

z
n

X

z
n

.92

Locate A
Area on 
rea on 
Locate 
the normal curve
the normal curve
Look up a= 0.46 in Table 
Look up a= 0.46 in Table 
to get the corresponding  
to get the corresponding  
z­score
z­score

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

This is a 92% 
confidence interval

0.92
 ­1.75 0  1.75
Search in the centre of the 
table for the area of 0.46

Z = +/­ 1.75
Z = +/­ 1.75

Constructing 
Confidence Intervals

95% C.I. for 
95% C.I. for 
the mean:
the mean:
99% C.I. for 
99% C.I. for 
the mean:
the mean:

x

Common 
Common 
Confidence 
Confidence 
Intervals
Intervals

zα/2

s

n
s

X

1.96

X

s
2.58
n

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

n

9 ­ 16

Also, 95% of the 
About 95% of 
sample means for 
the constructed 
a specified sample 
intervals will 
size will lie within 
contain the 
1.96 standard 
parameter being 
deviations of the 
estimated.  
hypothesized 
population mean.

Interval Estimates

9 ­ 17

If the population 
standard deviation is 
known or n > 30

If the population 
standard deviation is 
unknown and n<30

Use the z table…

Use the tt­table…
­table…
Use the 

n

x

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

x

zα/2

s

tα/2

s

n

More 
More 
on this 
on this 
later…
later…


9 ­ 18

The Dean of the Business School wants to 
estimate the mean number of hours 
worked per week by students.                    
A sample of 49 students                           
showed a mean of 24 hours                                
   with a standard deviation of 4 hours.             
                                 What is the population 
mean?
Our best estimate is 24 hours.
Our best estimate is 24 hours.
This is a point estimate.
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Find the 95 percent confidence 
95 percent confidence
interval for the population mean.

9 ­ 19

Commonly denoted as 1­
Commonly denoted as 1­

s

zα/2 n

Mean = 24  SD = 4  N = 49 
Mean = 24  SD = 4  N = 49 

Z = +/­ 1.96
Z = +/­ 1.96

x

95% Confidence
95% Confidence
Substitute 
Substitute 
 
24  +  1.96
values:
values:

4
49

= 24 +/­ 
+/­ 1.12
1.12
= 24 

The Confidence Limits range from  22.88 to 25.12
22.88 to 25.12
The Confidence Limits range from
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Interval Estimates
90% confidence level
90% confidence level

1­  = 0.9
or   = 0.10

99% confidence level
99% confidence level

1­  = 0.99
or   = 0.010
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

9 ­ 20

Student’s t­distribution
Student’s t­distribution

9 ­ 21

….used for small sample sizes
Characteristics
Characteristics

…like z, the t­distribution is continuous
…takes values between –4 and +4
…it is bell­shaped and symmetric about zero
…it is more spread out and flatter at the centre 
than the z­distribution
…for larger and larger values of degrees of 
freedom, the t­distribution becomes closer  
and 
closer to the standard normal distribution
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Student’s t­distribution
Student’s t­distribution
Chart 9­1                                                                        
Chart 9­1                                                                        
Comparison of The Standard Normal Distribution 
Comparison of The Standard Normal Distribution 
and the Student’s t t Distribution
Distribution

and the Student’s 
The t t distribution should be flatter and more spread out 
distribution should be flatter and more spread out 
The 
than the zz distribution
 distribution
than the 

t distribution

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Z distribution

9 ­ 22


Student’s t­distribution
Student’s t­distribution

9 ­ 23

…with df = 9 and 0.10 area in the upper tail…

t = 1.383

0.10

t
T ­table

table
T ­
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Student’s t­distribution
Student’s t­distribution
Confidence Intervals
           80%        90%        95%         98%          99%
Level of Significance for One­Tailed Test
         0.100        0.050      0.025        0.010           0.005 
0.10
Level of Significance for Two­Tailed Test
  0.20         0.10       0.05           0.02              0.01

9

1.383

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

9 ­ 24


When?
When?

9 ­ 25

…to use the z Distribution or the t Distribution

Population Normal?
Population Normal?
NO
NO

YES
YES

 30 or more?
nn 30 or more?
NO
NO

YES
YES

Population standard 
Population standard 
deviation known?
deviation known?
NO
NO

Use a 
Use a 
Use the z 
z  Use the 
Use the tt   
Use the 

nonparametric 
nonparametric 
distribution distribution
test                    
distribution
distribution
test                    
          (see 
          (see 
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

YES
YES
Use the z 
z 
Use the 
distribution
distribution