Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 8: Sampling methods and central limit theorem

8­ 1

Sa m p l i n g
Methods
&
Central Limit Theorem
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


8­ 2

When you have completed this chapter, you will be able to:

1.

 Explain under what conditions sampling is the 
proper way to learn something about a population.

2.

Describe methods for selecting a sample. 

3.

Define and construct a sampling distribution 

4.

                           of the sample mean.
Explain the central limit theorem.

5.

Use the central limit theorem to find probabilities of 

selecting possible sample means from                               
      a specified population. 

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


8­ 3

We use sample information               
We use sample information               
                                   to make 
                                   to make 
decisions or inferences                       
decisions or inferences                       
                    about the population.
                    about the population.
Two KEY
KEY steps:
 steps:
Two 
1. Choice of a proper method for selecting sample data
                                             &
2.   Proper analysis of the sample data (more later)

KEY 1.
KEY 1.

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


8­ 4

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


8­ 5

KEY  1.
KEY  1.

If the  proper 
method for selecting 
the sample is              
 NOT MADE … the SAMPLE        

      will not be truly   
             
representative of the 
                         
TOTAL Population! 
… and wrong conclusions can be drawn!
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Why Sample the Population?
Why Sample the Population?

8­ 6

Because…


  …of the physical impossibility of checking           
all items in the population, and,              
            
     also, it would be too time­consuming

$

      …the studying of all the items in a population 
           would NOT be cost effective



…the sample results are usually adequate 



 …the destructive nature of certain tests

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Techniques

8­ 7

with Replacement
with Replacement

without Replacement
without Replacement

Each data unit in the 
Each data unit in the 
population is allowed to 
population is allowed to 
appear in the sample 
appear in the sample 
more than once
more than once

Each data unit in the 
Each data unit in the 
population is allowed to 
population is allowed to 
appear in the sample       
appear in the sample       
no more than once
no more than once

robability SSampling
ampling
PProbability 

Non­Probability Sampling
Non­Probability Sampling

Each data unit in the 
Each data unit in the 
population                                
population                                
          has a known 
has a known 
          
likelihood                               
                               
likelihood
   of being                                  
   of being                                  
  included in the sample
  included in the sample

Does not
not involve                  
 involve                  
Does 
random selection;                 
random selection;                 
           inclusion of an item 
           inclusion of an item 
is                                     
is                                     
based on convenience
convenience
based on 

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Methods
Simple Random
Systematic Random

Stratified Random
Cluster

8­ 8

...each item(person) in the population 
has an equal chance of being included
…items(people) of the population                
        are arranged in some order.  
A random starting point is selected, and 
then every kth member of the population    
                                  is selected for the 
…a population is                                            
sample
           first divided into subgroups, called 
strata, and a sample is selected from each 
strata
…a population is                                    
                  first divided into primary 
units, and                     samples are 
selected from each unit

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Terminology
“Sampling error”

8­ 9

… is the difference between          
… is the difference between          
   a sample statistic                         
   a sample statistic                         
                 and its                             
                 and its                             
   corresponding population 
   corresponding population 
parameter
parameter
“Sampling distribution   … is a probability distribution 
… is a probability distribution 
consisting of  
                  of the sample 
consisting of  
mean”
 all possible sample means             
 all possible sample means             
        of a given sample size          
        of a given sample size          
            selected from a 
            selected from a 
population

population
Example
Example
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


8­ 10

The law firm of Hoya and Associates has five partners.  
At their weekly partners meeting each reported the 
number of hours they billed their clients last week:
Partner
Hours
Example
Example
Dunn
22
Hardy
26
Kiers
30
Malinowski
26
Tillman
22
If two partners are selected randomly…
If two partners are selected randomly…
how many different samples are possible?
how many different samples are possible?
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

8­ 11

If two partners are selected randomly…
If two partners are selected randomly…
how many different samples are possible?
how many different samples are possible?
Partner
Dunn
Hardy
Kiers
Malinowski
Tillman

Hours
22
26
30
26
22

Objects

5

…taken 2 at a time

…for a Total of 10 Samples!

Using 55C
C2 2 …
…
Using 
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


8­ 12

If two partners are selected randomly…
If two partners are selected randomly…
how many different samples are possible?
how many different samples are possible?
Partner
Dunn
Hardy
Kiers
Malinowski
Tillman

Hours
22
26
30
26
22

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Objects

C
C
2 =
55 2 =

5

5!

=

2! (5 – 2!)

=  10 Samples
=  10 Samples


8­ 13

Partners
1&2
1&3
1&4
1&5
2&3
2&4
2&5
3&4
3&5

4&5

Samples of 2

(22+26)/2 =
(22+30)/2 =
(22+26)/2 =
(22+22)/2 =
(26+30)/2 =
(26+26)/2 =
(26+22)/2 =
(30+26)/2 =
(30+22)/2 =
(26+22)/2 =

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Mean

24
26
24
22
28
26
24
28
26
24

8­ 14

Mean
24
26
24
22
28

Example …continued
Example …continued
Organize the sample means
sample means   
Organize the 
into a Sampling Distribution
into a Sampling Distribution
Sample Mean Frequency

Relative frequency

s
e
s
l
e
p
l
p
m

Probability Sam
 Sa
0
 
10
1
1/10

26

22

1

24

24

4

4/10

26

3

3/10

28

2

2/10

28
26
24

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


8­ 15

Example …continued
Example …continued
Compute the mean of the sample means.  
Compute the mean of the sample means.  
Compare it with the population mean
Compare it with the population mean
Frequency

22

1

24

4

26

3

28

2

X

Sample Mean

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

 22(1)+ 24(4)+ 26(3) + 28(2)

10
 = 25.2
 = 25.2


8­ 16

Example …continued
Example …continued
The population mean is also the same as 
Note The population mean is also the same as 
the sample means…25.2 hours!
the sample means…25.2 hours!
Partner
Dunn

Hardy
Kiers
Malinowski
Tillman

Hours
22
26
30
26
22

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

22 26 30 26 22
5
 = 25.2
 = 25.2


8­ 17

entral LLimit 
imit TTheorem
heorem
CCentral 
   The sampling distribution of the means      
                           of all possible samples of 
size n
generated from the population                            

                           will be approximately 
Sampling Distributions:
Sampling Distributions:
normally distributed!
Mean (µx ))
µµ
Mean (µ
x 

Variance
Variance
Standard Deviation    
Standard Deviation 
(standard error of the mean)
(standard error of the mean)
X

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

 /n
 /n

22

/  n


8­ 18

oint EEstimates

stimates
PPoint 
A point estimate is one value ( a single point)       
             that is used to estimate a population 
parameter

sample mean
 sample standard deviation
 sample variance
 sample proportion
 

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

More


8­ 19

oint EEstimates
stimates
PPoint 
opulation follows…                P
Population does NOT follow…   
opulation does NOT follow…   
PPopulation follows…               
         the normal distribution
         the normal distribution

                     the normal 

                     the normal 
distribution
distribution
If the sample is of at least 30 
If the sample is of at least 30 
observations, the sample WILL 
observations, the sample WILL 
follow the normal distribution
follow the normal distribution

The sampling distribution              
The sampling distribution              
  of the sample means also follows  
  of the sample means also follows  
                    the normal 
                    the normal 
distribution
distribution
Probability of a   sample mean  Probability of a   sample mean 
Probability of a   sample mean 
Probability of a   sample mean 
falling within a particular region,  falling within a particular region, 
falling within a particular region, 
falling within a particular region, 
use:
use:
use:
use:
Z = X
Z = X

n
n
s
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


8­ 20

entral LLimit 
imit TTheorem
heorem
CCentral 
Chart 8 – 6   Results for Several Populations
Chart 8 – 6   Results for Several Populations

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


8­ 21

Generating 

259
 Random Numbers  
3
1
1
                      
in Excel

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Using

8­ 22

ls
o
o
 T
n
o
 
k
c
i
l
C

See
See

Click on DATA 
Click on DATA 
ANALYSIS
ANALYSIS
See…
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Using

8­ 23

See
See

Highlight RANDOM NUMBER GENERATION
…Click OK
See…
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Using

8­ 24

See
See
1

0

100

Cl

K
O

 
n
o
 
k
ic

20

 INPUT NEEDS
 INPUT NEEDS

$A:$A
See…
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Using

See
See

8­ 25

If you want whole numbers, use the 
If you want whole numbers, use the 
FUNCTION WIZARD (f
 (fx)         
)         
FUNCTION WIZARD

x
  to ROUND to the nearest integer.
  to ROUND to the nearest integer.

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.