Tính ổn định của nghiệm kỳ dị của mô hình tăng trưởng solow

Nguyễn Văn Minh và Đtg

Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

124(10): 45 - 47

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM KỲ DỊ CỦA MÔ HÌNH
TĂNG TRƯỞNG SOLOW
Nguyễn Văn Minh1*, Nguyễn Văn Thảo2 Nguyễn Thị Thu Hằng1
1Trường

Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh - ĐH Thái Nguyên
2Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên

TÓM TẮT
Mô hình Solow nghiên cứu sự tăng trưởng kinh tế được mô tả bởi bài toán Cauchy của phương
trình vi phân Bernoulli có nghiệm kỳ dị. Bài toán này với điều kiện ban đầu y (0)  0 luôn luôn
cho hai nghiệm, trong đó có một nghiệm kỳ dị. Người ta chỉ quan tâm tới nghiệm thường của bài
toán. Việc nghiên cứu sâu hơn về nghiệm kỳ dị chưa được quan tâm. Trong bài báo này chúng tôi
nghiên cứu về tính ổn định của các nghiệm, kể cả nghiệm kỳ dị, của mô hình Solow.
Từ khóa: Bài toán Cauchy, phương trình vi phân, tăng trưởng kinh tế, mô hình kinh tế, mô hình
tăng trưởng Solow, trạng thái ổn định

MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW*
Mô hình tăng trưởng Solow được mô tả bởi
bài toán Cauchy sau đây

(1.1)
k (t )  s. f (k (t ))  .k (t )

(1.2)

k (0)  k0

K (t )
Với k (t ) 
là tỷ số vốn/lao động. Biến
L(t )
này biểu thị hàm lượng vốn tính bình quân
trên một đơn vị lao động. s là hằng số dương
nhỏ hơn 1, biểu thị tiết kiệm cận biên.  là
hệ số tăng trưởng lao động. k0 

K (0)
là
L(0)

điều kiện ban đầu, biểu thị tỷ số vốn/lao động
tính tại thời điểm ban đầu.
Nghiên cứu về định tính của bài toán (1.1)(1.2) đã được trình bày trong hầu hết các tài
liệu về toán kinh tế.
Trong bài báo này ta quan tâm phân tích định
lượng và đặc biệt là tính không ổn định của
nghiệm kỳ dị của bài toán (1.1)-(1.2).
PHÂN TÍCH ĐỊNH LƯỢNG
Xét trường hợp hàm sản xuất là hàm CobbDouglas có dạng

Q(t )  aK (t ) L(t )1

(a  0;0    1)

Khi đó bài toán (1.1)-(1.2) được viết lại:

*

k (t )  .k (t )  s.ak (t )

k (0)  k0


(2.3)
(2.4)

Phương trình (1.3) là phương trình Bernoulli.
Phương trình này luôn luôn có hai nghiệm,
trong đó một nghiệm là nghiệm tổng quát,
một nghiệm là nghiệm kỳ dị:
Nghiệm tổng quát
1

sa  1

y  c.e  (1 )t   ,


ở đây c là hằng số tích phân.
Nghiệm kỳ dị y  0.
Bài toán Cauchy (2.3)-(2.4) tùy theo giá trị
của k0 mà bài toán có duy nhất nghiệm hay
hai nghiệm, có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1. Nếu k0  0 , bài toán (2.3)(2.4) cho nghiệm duy nhất là:
1


s.a    (1 ) t s.a  1
k (t )   k01 
e

 
 

Trường hợp 2. Nếu k0  0 , bài toán (2.3)(2.4) có hai nghiệm là:
k1 (t )  0
(2.5)
1

1

1
s.a 1  sa 1
 s.a
k2 (t )   e (1 )t      1  e (1 )t 1
 
 

(2.6)

Tel: 0912 119767, Email:

45


Nguyễn Văn Minh và Đtg

nghĩa

Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

Từ

ý

của điều kiện ban đầu

k0 

K (0)
, ta thấy khi k0  0 , dẫn tới
L(0)

K(0)=0.
Ta xét giới hạn của (2.5) và (2.6)
lim k1 (t )  0
t 

 s.a   (1 )t s.a 
lim k2 (t )  lim  
e

t 
t 
 
 

 as 
 


1
1

(2.7)
1
1

i  1,..., n

Nếu trong số các nghiệm của phương trình
đặc trưng của xấp xỉ thứ nhất tồn tại dù chỉ
một nghiệm có phần thực dương thì nghiệm
không của hệ không ổn định.
n
dyi
  aij y j  Y i ( y1 ,... yn ),
dt
j 1

i  1,..., n

f (k )  k  s.a.k 

Từ hai giới hạn ở trên xuất hiện một vấn đề:
mô hình tăng trưởng Solow với điều kiện ban
đầu không có vốn, trạng thái của nền kinh tế

có thể rơi vào (2.7) hoặc (2.8). Một câu hỏi
được đặt ra: khi thời gian đủ lớn, k(t) tiến tới
đâu? Tiến tới (2.7) hay (2.8)?
Để trả lời cho câu hỏi trên, ta phải xét tính ổn
định theo nghĩa Liapunov của mỗi nghiệm

(4.1)

Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2, ta được
f '(k )    s.a. k  1

f ''(k )  s.a. (  1)k   2
Vì 0    1,  f ''(k )  0 k  0 , do đó
f '(k ) là hàm nghịch biến theo k. Mà phương
trình
f '(k )    s.a. k  1  0 có nghiệm
1

k1 (t ); k2 (t ).
ỔN ĐỊNH LIAPUNOV
Để dễ theo dõi, chúng tôi nhắc lại một số
khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định.
Trong mục này chúng ta xét phương trình

(3.1)

Định nghĩa 3.1
a) Nghiệm không của phương trình (3.1) được
gọi là ổn định theo nghĩa Liapunov nếu với
  0;   0 sao cho từ bất đẳng thức

|| y (0) ||  , suy ra bất đẳng thức
|| y (t ) ||  t  0 ; ở đây, y(t) là ký hiệu
một nghiệm bất kỳ của (3.1), xác định bởi
điều kiện y(0).
b) Nghiệm không được gọi là ổn định tiệm
cận theo nghĩa Liapunov, nếu nó ổn định và

lim || y (t ) || 0

t 

Định lý 3.1
Nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc
trưng của xấp xỉ thứ nhất có phần thực âm thì
nghiệm không của hệ ổn định tiệm cận.
46

n
dyi
  aij y j  Y i ( y1 ,... yn ),
dt
j 1

ỔN ĐỊNH CỦA MÔ HÌNH SOLOW
k (t )  .k (t )  s.a.k (t )
Đặt

(2.8)

dy(t )

 Y ( y(t ), t )
dt

124(10): 45 - 47

 sa 1 .
k  k*  

  
Từ lập luận trên ta thấy f '( k )  0 với
k  (0;1) và f (0)  0; f '(0)   .
Sau đây ta phân tích định tính bằng phương
pháp mặt phẳng pha, muốn vậy, ta dựng hệ
trục tọa đồ đề các vuông góc Okf, trên mặt
phẳng tọa độ này ta vẽ đồ thị của hàm (4.1).

Định lý 4.1 Nghiệm k1 (t )  0 là trạng thái
không ổn định của mô hình tăng trưởng Solow.
Tiếp theo, ta khảo sát tính ổn định của trạng
thái (2.6), muốn vậy, ta xét dấu của f ' (k2 ) :
f ' (k2 )  s.a. .k2 1   
1

1
1
sa


s.a. 
1  e   (1 ) t 1



  

  (1  e   (1 ) t ) 1  






 1




Nguyễn Văn Minh và Đtg

Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

Chuyển qua giới hạn
lim f ' (k2 )  lim( (1  e (1 )t )1   )  ( 1)  0
t 

t 

Điều này chứng tỏ f ' (k2 ) sẽ âm với t đủ lớn.
Từ hình vẽ trên cho ta hình ảnh trực quan về
tính ổn định của trạng thái k2(t) và tính không
ổn định của trạng thái k1(t)

Định lý 4.2. Trạng thái
 sa 
k2 (t )  

  

1
1

1  e

  (1 ) t

1
1



là trạng thái ổn định.
Kết luận: Mô hình tăng trưởng Solow được
mô tả bởi phương trình vi phân dạng
Bernoulli (2.3). Phương trình này luôn luôn
cho hai nghiệm: một nghiệm tổng quát và một
nghiệm kỳ dị. Bài toán Cauchy của phương
trình (2.3) với điều kiện ban đầu y (0)  0
luôn luôn có hai nghiệm, trong đó nghiệm
(2.5) luôn là nghiệm không ổn định theo

124(10): 45 - 47

nghĩa Liapunov. Còn nghiệm (2.6) luôn luôn
là nghiệm ổn định theo nghĩa Liapunov.
Từ đó ta rút ta khẳng định: mặc dù ban đầu
doanh nghiệp không có vốn nhưng sau một
khoảng thời gian nào đó sẽ thoát khỏi trạng
thái tĩnh, và khi đó tỷ số đơn vị vốn trên một
đơn vị lao động k(t)=K(t)/L(t) sẽ dần đến một
1

 sa 1
giá trị gọi là giá trị tới hạn, đó là  
 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương
trình vi phân, Nxb ĐH và THCN.
2. E. A. Barbasin (1973), Mở đầu Lý thuyết ổn
định, Nxb KHKT.
3. I. V. Matveev (1978), Các phương pháp tích
phân phương trình vi phân, Nxb Mir.
4. Kevin Lee, M. Hashem Pesaran, Ron Smith
(1077), Growth and convergence in a multycountry empirical stochastic Solow mode;,
Applied Econometrics, vol 12

SUMMARY
STABILITY OF SINGULAR SOLUTION IN SOLOW GROWTH MODEL
Nguyen Van Minh1*, Nguyen Van Thao2, Nguyen Thi Thu Hang1
1College

of Economics and Business Administration - TNU
2College of Technology - TNU

Solow model researches the economic growth which is described by Cauchy problem of Bernoulli
difference equation has the singular solution. This proplem always has two solutions including a
singular solution, in the case initial condition as y(0) = 0. Usually, the regular solution of the
problem is only concerned. In this paper, however, we research stability of solutions, including
singular solution of Solow model.
Keywords: Cauchy problem, differential equation, economic growth, model economy, Solow
growth model, steady state

Ngày nhận bài:15/8/2014; Ngày phản biện:3/9/2014; Ngày duyệt đăng: 15/9/2014
Phản biện khoa học: TS. Phạm Hồng Trường – Trường Đại học Kinh tế & Quản trị kinh doanh - ĐHTN
*

Tel: 0912 119767, Email:

47