Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 4: Other descriptive measures

4 ­ 1

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


4 ­ 2

When you have completed this chapter, you will be able to:

1.
2.
3.

Compute and interpret the range, the mean 
deviation, the variance, the standard deviation,           
      and the coefficient of variation of ungrouped 
data
Compute and interpret the range, the variance,             
    and the standard deviation from grouped data
Explain the characteristics, uses, advantages,             
           and disadvantages of each measure

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


4 ­ 3

4.
5.

Understand Chebyshev’s theorem and the normal           

      or empirical rule, as it relates to a set of 
observations
Compute and interpret  percentiles, quartiles and the 
interquartile range

6.

Construct and interpret box plots

7.

Compute and describe the coefficient of skewness and 
kurtosis of a data distribution

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Terminology
Range

…is the difference between the   
…is the difference between the
largest and the 
 and the smallest
smallest value. 
 value. 
largest

Only two values are used in its calculation.
Only two values are used in its calculation.


It is influenced by an extreme value.
It is influenced by an extreme value.

It is easy to compute and understand.
It is easy to compute and understand.

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

4 ­ 4


Terminology

4 ­ 5

Mean Deviation

…is the arithmetic mean of the  absolute values of 
…is the arithmetic mean of the  absolute values of 
the deviations from the arithmetic mean. 
the deviations from the arithmetic mean. 

MD =

Σ  x − µ
N

All values are used in the calculation.
All values are used in the calculation.


It is not unduly influenced by large or small values.
It is not unduly influenced by large or small values.

The absolute values are difficult to manipulate.
The absolute values are difficult to manipulate.

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


4 ­ 6

The weights of a sample of crates 
containing books for the bookstore             
(in kg) are:   

103     97    101     106      103
Find the range and the mean deviation.

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


4 ­ 7

103     97    101     106      103
103     97    101     106      103
x
µ=
N

Find the mean weight
Find the mean deviation
103 102

... 103 102
5

Find the range
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

MD =

510
5
Σ  x − µ

1 5 1 4 5
5

106 – 97  =   9

102

N

= 2.4


Terminology

4 ­ 8

Variance

…is the arithmetic mean of the  
…is the arithmetic mean of the  
squared deviations                                   
squared deviations                                   
from the arithmetic mean. 
from the arithmetic mean. 

  All values are used in the calculation.
  All values are used in the calculation.

  It is not influenced by extreme values.
  It is not influenced by extreme values.

  The units are awkward…the square       
  The units are awkward…the square       

                                  
                                  
units.  
units.
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

of the original 
of the original 

Computation

Computing the V
Variance
ariance  
Computing the 
Formula  … for a Population 
Formula 

σ

2

Σ( x − µ )
=
N

2

Formula  … for a Sample 
Formula 

s

2

Σ( x − x )
=
n −1

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

2

4 ­ 9


4 ­ 10

The ages of the Dunn family are: 
    2,  18,  34,  42 
 What is the population mean and variance?

x
µ =
N
σ

2

Σ( x − µ )
=
N

2

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

96
4

24

2 24
944
4
236

2

...
4

42 24

2


 Population Standard Deviation

4 ­ 11

…  is the square root
square root  of the 
  of the 
…  is the 
population variance 
population variance 
From previous example…
2

=  15.36
236 =  15.36
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Example


4 ­ 12

EXAMPLE

The hourly wages earned by a sample of five 
The hourly wages earned by a sample of five 
students are: 
$7,  $5,  $11,  $8,  $6.     
     
students are: 
$7,  $5,  $11,  $8,  $6.
Find the mean, variance, and Standard Deviation.
Find the mean, variance, and Standard Deviation.

x
µ =
N

37
5

2 ... 6 7 . 4 2

2
7
7
.
4
Σ
(
x
−
x
)
s2 =
=
5 1
n −1

s =
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

s2

=  7.40
7.40
=  

21.2
= 5.30
= 5.30
5­1

5.29

=  2.30
=  2.30


The Mean                 
The Mean                 
                            of 
of 
                            
Grouped Data
Grouped Data

4 ­ 13

From chapter 3….
A sample of ten movie theatres in a metropolitan 
A sample of ten movie theatres in a metropolitan 
area tallied the total number of movies 
area tallied the total number of movies 
showing last week.                                         
showing last week.                                         
Compute the mean number of movies showing 
Compute the mean number of movies showing 
per theatre.                                                              
per theatre.                                                              
                 
      
                 

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


        The Mean                      
        The Mean                      
fx
x
                        
                        
N
   
of 
Grouped Data 
   of Grouped Data 

Continued…
Class 
(f)(x)
Midpoint

Movies 
Showing

Frequency

1  to under 3

1

2

2

3 to under 5

2

4

8

5 to under 7

3

6

18

7 to under 9

1

8

8

9 to under 11

3

10

30

Total

10

f

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

66

4 ­ 14


        The Mean                        
The Mean                        
        
fx
x
                      
                      
N
   
of 
Grouped Data
 

   of Grouped Data 
Movies 
Showing

Frequency

Total

10

f
Formula 
Formula 

Now: Compute the 
Now: Compute the 
variance and 
variance and 
standard deviation. 
standard deviation. 
        
        

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Continued…
Class 
Midpoint

4 ­ 15

(f)(x)
66

x

fx
N
66
10

=  6.6
=  6.6


Sample Variance          
Sample Variance          
     for Grouped Data
     for Grouped Data

4 ­ 16

The formula for the sample variance for 
grouped data is:

s

2

2

(
f
x
)
fx 2
n
n 1

e
r
e
wh

f is class frequency and X is class midpoint
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Sample Variance          
Sample Variance          
     for Grouped Data
     for Grouped Data

4 ­ 17

Movies 
Showing

Frequency

1  to under 3

1

2

2

4

3 to under 5

2

4

8

32

5 to under 7

3

18

108

7 to under 9

1

6
8

8

64

9 to under 11

3

10

30

300

Total

10

66

508

f

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

Class 
(f)(x)
Midpoint

(x2)f


Sample Variance          
Sample Variance          
     for Grouped Data
     for Grouped Data
Movies 
Showing

Frequency

Total

10

f

s

2

4 ­ 18

Class 
(f)(x)

Midpoint
66

(x2)f
508

2
(
f
x
)
fx 2
n
n 1

2
66
= 508 ­  10
9
The variance is = 8.04
= 8.04
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

The standard 
The standard 
deviation is
deviation is

8.04 = 2.8

Interpretation and Uses     
Interpretation and Uses     
             of the Standard 
             of the Standard 
Deviation  
Deviation  
Chebyshev’s Theorem:                              
                     For any set of 
observations,                                        
the minimum proportion of the values 
                                                      that 

lie within k standard deviations           
1
Formula  1
Formula 
                       of the mean is at least:
k2

where k2 is any constant greater than 1
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

4 ­ 19


4 ­ 20

Suppose that a wholesale plumbing supply company has 
a group of 50 sales vouchers from a particular day.          

  The amount of these vouchers are:
How well 
How well 
does this 
does this 
data set         
data set         
   fit                
   fit                
      
      
Chebychev’s 
Chebychev’s 
Theorem?
Theorem?
olution
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

S


Solution (continued)

4 ­ 21

Using

Step 1
Step 1

Step 2
Step 2

Determine the  mean and              
Determine the  mean and              
standard deviation of the sample
standard deviation of the sample

Input k =2  
 k =2                       
                     
Input
                                into 
                                into 
Chebyshev’s theorem
Chebyshev’s theorem

1 ­   1
22

Mean = $319        
Mean = $319        
 SD      = $101.78
 SD      = $101.78

= 1 – ¼ = 3/4

i.e. At least .75 of the observations will fall      
i.e. At least .75 of the observations will fall      
                           within 

within 2SD
2SDof the mean.
of the mean.
                          

Step 3
Step 3
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Solution (continued)

4 ­ 22

Step 3
Step 3

Using the mean and SD,      
Using the mean and SD,

Mean = $319        
Mean = $319        
                                        find the   SD      = $101.78
                                        find the 
 SD      = $101.78
range of data values                   
range of data values                   
within 2 SD
2 SD of the mean
 of the mean

within 

(    ­ 2S,    + 2S) = 319 ­ (2)101.78, 319 +2(101.78)
= (115.44, 522.56)
x

x

Now, go back to the sample data,                               
 and see what proportion of the values fall between   
                                  115.44 and 522.5656
Proportion
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Solution (continued)

4 ­ 23

Proportion of the values           
            that fall                           
                              between 
115.44 and 522.56 
We find that 
We find that 

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

48­50                
48­50                

or 96%             
or 96%             
      of the data 
      of the data 
values are in 
values are in 
this range         
this range         
          – 
          – 
certainly           
certainly           
   at least 75%   
   at least 75%   
as the theorem 
as the theorem 
suggests!
suggests!


Interpretation and Uses of the 
Interpretation and Uses of the 

4 ­ 24

Standard Deviation
Standard Deviation
Empirical Rule: 
For any symmetrical, bell­shaped distribution:
…About 68% of the observations 

will lie within 1s of the mean
…About 95% of the observations will 
lie within 2s of the mean
…Virtually all the observations         
          will be within 3s of the mean 
Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 


Bell­Shaped Curve
…showing the relationship between
and 

Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved. 

4 ­ 25