Chuyên đề giải toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình

Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
PHẦN I. LÝ THUYẾT
1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình)
Bước 1 : Lập phương trình (hệ phương trình)

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng mà bài toán yêu cầu
tìm).
2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
3) Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các lượng.
Bước 2 : Giải phương trình (hệ phương trình)
Bước 3 : Kết luận bài toán.
2. Các dạng toán
Các bài giải toán bằng cách lập phương trình ( hệ phương trình) này có nội dung rất đa dạng và phong
phú. Dưới đây chúng tôi chỉ thống kê các bài thường gặp theo các dạng, mỗi dạng có những ví dụ minh họa
có lời giải chi tiết và một số bài tập tự luyện có tính chất tham khảo.
Dạng 1: Toán chuyển động

* Phương pháp : Toán chuyển động có ba đại lượng:

Quãng đường  Vận tốc  Thời gian


Vận tốc  Quãng đường : Thời gian



Thời gian  Quãng đường : Vận tốc.



Các đơn vị của ba đại lượng phải phù hợp với nhau. Nếu quãng đường tính bằng ki-

lô-mét, vận tốc tính bằng ki-lô-mét/giờ thì thời gian phải tính bằng giờ.
* Chú ý:

 Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi được là như
nhau; tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.
 Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe
từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu
quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng
đường AB
 Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý:
- Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước.
- Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước.
- Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước
(Vận tốc riêng của vật đó bằng 0)

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 1


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Ví dụ 1: Hai ôtô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 400 km đi ngược chiều và
gặp nhau sau 5h. Nếu vận tốc của mỗi xe vẫn không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe
kia 40 phút thì 2 xe gặp nhau sau 5h 22phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc của xe đi nhanh hơn là x ( km / h ) (Điều kiện : x > 0)
Gọi vận tốc của xe đi chậm hơn là y ( km / h )

(Điều kiện : y > 0)

Hai xe cùng khởi hành 1 lúc và đi ngược chiều sau 5h gặp nhau nên ta có phương trình :

5  x  y   400

(1)

Thời gian xe đi chậm đi được là: 5h22 phút
Vì xe đi chậm hơn xuất phát trước 40’ 
Thời gian xe đi nhanh đi được là :

=

161
giờ
30

40 2
 h
60 3

161 2 141

 
giờ
30 3
3

Quãng đường xe đi chậm hơn đi được là
Quãng đường xe đi nhanh đi được là

161
y (km)
30

141
x (km)
30

141
161
x
y  400 (2)
30
30
 5( x  y )  400

Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình : 141x 161y
 30  30  400
Cả 2 xe đi được 400 km nên ta có phương trình :

141x  161y  1200
 x  44



 x  y  80
 y  36
 x  44
Kết hợp điều kiên  
( thỏa mãn điều kiện).
 y  36
Vậy vận tốc của xe nhanh là 44km/h ; vận tốc chậm là 36km/h.
Ví dụ 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu ô tô chạy mỗi giờ nhanh
hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, nếu ô tô chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm
mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.
Hướng dẫn giải
Gọi thời gian dự định là x (giờ), vận tốc của xe lúc đầu là y (km/h) ( x  3, y  10 )
Chiều dài quãng đường AB là xy (km)
Khi xe chạy nhanh hơn 10km mỗi giờ thì:
+) Vận tốc của xe lúc này là: y + 10 (km/h)
+) Thời gian xe đi hết Quãng đường AB là: x – 3 (giờ)
Ta có phương trình: (x – 3)(y + 10) = xy (1)
Khi xe chạy chậm hơn 10km mỗi giờ thì:

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 2


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

+) Vận tốc của xe lúc này là: y – 10 (km/h)
+) Thời gian xe đi hết quãng đường AB là: x + 5 (giờ)
Ta có phương trình: (x + 5)(y – 10) = xy (2)

 x  3 y  10   xy
 x  5  y  10   xy

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

 xy  10 x  3 y  30  xy
10 x  3 y  30


 xy  10 x  5 y  50  xy
10 x  5 y  50
10 x  3 y  30
 x  15


 y  20
2 y  80
 x  15
( thỏa mãn điều kiện)
 y  20

Kết hợp điều kiện  

Vậy thời gian xe dự định đi hết quãng đường AB là 15 giờ.
Vận tốc của xe lúc đầu là 40km/h.
Quãng đường AB có độ dài là: 15 . 40 = 600 (km).

Ví dụ 3 : Một chiếc thuyền đi xuôi dòng trên một khúc sông dài 40km và ngược dòng về vị trị ban
đầu hết 4giờ 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km.
Tính vận tốc dòng nước ?
Hướng dẫn giải
Gọi vận của thuyền khi nước yên lặng là x (km/h) (điều kiện: x  0 )
Gọi vận tốc của dòng nước là y (km/h) (điều kiện: 0  y  x )
Thời gian thuyền xuôi dòng 5 km là :

5
(giờ).
x y

4
(giờ).
x y

Thời gian thuyền ngược dòng 4 km là:

Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km nên ta có phương
trình :

5
4

x y x y

(1)

Thời gian thuyền xuôi dòng 40 km là:

40
(giờ).
x y

Thời gian thuyền ngược dòng 40 km là:

40
(giờ).
x y

Thời gian đi cả xuôi và ngược dòng khúc sông hết 4 h 30 phút 
trình:

40
40
9


x y x y 2

9
giờ nên ta có phương
2

(2)

4
 5
x y  x y


Từ (1) và (2) a có hệ phương trình : 
 40  40  9
 x  y x  y 2

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

I 

Page 3


Phiếu bài tập chuyên đề 9
Đặt a 

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

1
1
, b
( điều kiện: a, b  0 )
x y
x y

5a  4b  0
50a  40b  0


Hệ phương trình (I) trở thành: 
9
9

40a  4b0  2
40a  40b  2

1

50a  40b  0 a 
50a  40b  0



20


1

9
90a  2
a  20
b  1
 16
 x  y  20
 x  18
 

 x  y  16
y  2
 x  18
Kết hợp điều kiện:  
(thỏa mãn điều kiện)
y  2

Vậy vận tốc dòng nước là 2km/h.
Ví dụ 4: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đi đến B xe tải đi với vận tốc 40km/h xe con
đi với vận tốc 60km/h. Sau khi mỗi xe đi được nửa quãng đường xe con nghỉ 40 phút rồi chạy tiếp
đển B. Xe tải trên quãng đường còn lại đã tăng vận tốc thêm 10km/h nữa nhưng vẫn đến B chậm
chậm hơn xe con nửa giờ . Tính quãng đường AB
Hướng dẫn giải
Gọi nửa quãng đường AB là x (km) (điều kiên: x  0 )
Thời gian xe con đi nửa quãng đường đầu với vận tốc 60km/h là:
Xe con nghỉ 40 phút =

x
(giờ)
60

2
giờ.
3

Thời gian xe con đi tiếp nửa quãng đường còn lại với vận tố 60km/h là:
xe con đi từ A đến B là:

x
(giờ). Vậy thời gian
60

x
x 2 x 2
  
 (giờ).
60 60 3 30 3

Thời gian xe tải nửa quãng đường đầu với vận tốc 40 km/h là

x
(giờ).
40

Thời gian đi nửa quãng đường còn lại sau khi tăng thêm 10km/h nữa là

x
(giờ).
50

Vi xe tải đến chậm hơn xe con nửa giờ. Vậy ta có phương trình:

x 2 x
x 1
 
 
30 3 40 50 2
20 x 400 15 x 12 x 300





 20 x  400  15 x  12 x  300
600 600 600 600 600
 7 x  700  x  100
Kết hợp điều kiện  x  100 (thỏa mãn)

Vậy chiều dài quãng đường AB là : 2.100  200 (km).

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 4


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Ví dụ 5: Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định. Nếu vận
tốc của ô tô giảm 10 km/h thì thời gian tăng 45 phút. Nếu vận tốc của ô tô tăng 10 km/h thì thời gian
giảm 30 phút. Tính vận tốc và thời gian dự định đi của ôtô?
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h)
Gọi thời gian dự định của ô tô là y (km/h)

Điều kiện : x > 10; y >

1
2

Độ dài quãng đường AB là x.y (km)
Nếu ô tô giảm vận tốc 10 km/h thì thời gian tăng 45 phút =
Do đó ta có phương trình: (x + 10)(y -

3
giờ.
2

3
) = xy
4

 3x – 40y = 30 (1)
Nếu ô tô tăng vận tốc 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút (=
Do đó ta có phương trình (x + 10)(y -

1
giờ)
2

1
) = xy
2

 -x + 20 y = 10 (2)

3 x  40 y  30
 x  20 y  10

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

3 x  40 y  30
3 x  40 y  30
 x  50




2 x  40 y  20
 x  50
y  3
 x  50
(thỏa mãn).
y  3

Kết hợp điều kiện  

Vậy: Vận tốc dự định của ô tô là 50 km/h
Thời gian dự định của ôtô là 3 giờ.
Ví dụ 6 : Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường, sau 3 giờ thì hai xe
gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính
vận tốc xe đạp và ô tô . Biết quãng đường dài 156 km.
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc của ô tô là y (km/h). Điều kiên: x  0; y  0
Sau 3 giờ xe đạp đi được quãng đường là 3x (km).
Sau 3 giờ xe ô tô đi được quãng đường là 3y (km).
Hai xe gặp nhau thì tổng quãng đường 2 xe đi được bằng 156 km Vậy ta có phương
trình: 3 x  3 y  156 x  y  52

(1)

Sau 1 giờ xe đạp đi được x (km).
Sau 1 giờ ô tô đi được y (km).
Do hai xe đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm sau 1 giờ cách nhau 28 km. Ta có
phương trình: y  x  28

(2)

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 5


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736
 x  y  52
 y  x  28

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

 x  y  52
 x  y  52
 x  12



 y  x  28 2 y  80
 y  40
 x  12
(thỏa mãn điều kiện).
 y  40

Kết hợp điều kiện: 

Vậy vận tốc xe đạp là 12 (km/h), vận tốc của ô tô là 40 (km/h).
Ví dụ 7 : Hai ca nô cùng khởi hành từ A và B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40
phút thì gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi

dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3km/h.
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc thực của ca nô đi xuôi dòng là x (km/h) (điều kiện : x > 0)
Vận tốc của thực ca nô đi ngược dòng là y (km/h) (điều kiện: y > 3)
Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng là x+3 (km/h).
Vận tốc của ca nô đi ngược dòng là y-3 (km/h).
Đổi:1 giờ 40 phút =

5
giờ
3

5
5
giờ là  x  3 km.
3
3
5
5
Quãng đường ca nô đi ngược dòng giờ là  y  3 km.
3
3
Quãng đường ca nô đi xuôi dòng

Hai ca nô gặp nhau thì tổng quãng đường của 2 ca nô bằng tổng quãng đường AB. Vây a có
phương trình:

5
5
 x  3   y  3  85 (1)

3
3

Có vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9 km/h. Ta có phương
trình: x  3   y  3  9 (2)

 x  3   y  3  9

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  5
5
  x  3   y  3  85
3
3
x  y  3
 x  27


 x  y  51  y  24
 x  12
(thỏa mãn).
 y  40

Kết hợp điều kiện  

Vậy vận tốc thật của ca nô xuôi dòng khi nước yên lặng là 27(km/h) và vận tốc của ca nô
ngược dòng khi nước yên lặng là 24(km/h).

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 6

Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Ví dụ 8 : Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ A và B và đi ngược chiều nhau. Tính quãng đường
AB và vận tốc của mỗi xe biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính giữa quãng
đường AB là 10km. Nếu xe đi chậm tăng gấp đôi vận tốc thì sau 1 giờ 24 phút thì hai xe gặp nhau ?
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc của xe đi nhanh hơn là x (km/h) (điều kiện x > 0)
Gọi vận tốc xe đi chậm hơn là y (km/h) (điều kiện y > 0)
Quãng đường sau 2 giờ xe đi nhanh đi được là 2x (km)
Quãng đường sau 2 giờ xe đi chậm đi được là 2y (km)
Sau 2 giờ hai xe đi hết quãng đường AB = 2x + 2y (km)
Nửa quãng đường AB là

2 x  2 y 2( x  y )

 x  y (km)
2
2

Vi hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính giữa quãng đường AB là 10km. Vậy ta có phương
trình: x  y  2 y  10  x  y  10

(1)

Sau khi xe đi chậm tăng vận tốc lên gấp 2 lần là 2y (km/h) thì sau 1h24 phút =
đi được quãng đường là

Sau

7
giờ xe chậm
5

7
.2 x (km).
5

7
7
giờ xe nhanh đi được quãng đường . y (km).
5
5

Hai xe gặp nhau thì tổng quãng đường hai xe đi bằng quãng đường AB. Vậy ta có phương

7
 x  2 y   2  x  y   3x  4 y  0 (2)
5
 x  y  10
 x  40
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 

 3 x  4 y  0
 y  30
 x  40
Kết hợp điều kiện  
(thỏa mãn).

 y  30

trinh :

Vậy vận tốc xe đi nhanh hơn là 40(km/h) và vận tốc xe đi chậm là (30km/h).
Dạng 2: Bài toán về năng suất
Phương pháp: Loại toán này có ba đại lượng:

1. Khối lượng công việc = Năng suất  Thời gian.
2. Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian.

3. Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất.
Ví dụ 1 : Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ 1 may trong 3 ngày, tổ thứ 2 may trong
5 ngày thì 2 tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn
tổ thứ 2 là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong 1 ngày may được bao nhiêu chiếc áo ?
Hướng dẫn giải
Gọi số áo tổ 1 may được trong 1 ngày là x (chiếc áo) (điều kiện : x  N * , x > 10 )
Số áo tổ 2 may được trong 1 ngày là y (chiếc áo) (điều kiện : y  N * )
Số áo tổ 1 may trong 3 ngày là : 3x (chiếc áo).
Số áo tổ 2 may trong 5 ngày là : 5y (chiếc áo).
Vì hai tổ may được 1310 chiếc áo nên ta có phương trình : 3 x  5 y  1310 (1)

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 7


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ 2 là 10 chiếc áo. Vậy ta có phương
trình : x  y  10 (2)

3 x  5 y  1310
 x  y  10

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 

3 x  5 y  1310
8 y  1280
 y  160
 x  170




3 x  3 y  30
 x  y  10
 x  y  10
 y  160
 x  170
Kết hợp điều kiên  
(thỏa mãn).
 y  160
Vậy : Số áo tổ 1 may được trong 1 ngày là 170 (chiếc áo)
Số áo tổ 2 may được trong 1 ngày là 160 (chiếc áo)
Ví dụ 2 : Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo trong một thời gian quy
định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đó may được nhiều hơn 5 bộ quần áo so với số bộ quần áo
phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, xưởng đó hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi

theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu bộ quần áo?
Hướng dẫn giải
Gọi số bộ quần áo xưởng may được trong một ngày theo kế hoạch là x (bộ)
(Điều kiên: x  N * )
Số ngày hoàn thành công việc theo kế hoạch là

280
x

Số bộ quần áo may trong một ngày khi thực hiện là
Số ngày hoàn thành công việc khi thực hiện là

(ngày).

x5

280
x5

(bộ).

(ngày).

Vì xưởng đó hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

280 280

1
x
x5

 280  x  5   280 x  x  x  5 
 x 2  5 x  1400  0
  x  35 x  40   0
 x  35

 x  40
Kết hợp điều kiện  x  35 (thỏa mãn) ; x  40 (loại).
Vậy : Số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là 35 bộ.

Ví dụ 3 : Một máy bơm theo kế hoạch bơm đầy nước vào một bể chứa 50 m 3 trong một thời gian
nhất định. Do người công nhân đã cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm 5m 3 /h. Nên
đã bơm đầy bể sớm hơn dự định là 1h 40 phút. Tính công suất của máy bơm theo kế hoạch ?
Hướng dẫn giải
Gọi năng suất của máy bơm theo kế hoạch là x (m 3 /h) (điều kiện x > 0)

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 8


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là

50
(giờ).
x

50
(giờ).
x5
5
Vì máy bơm đã bơm đầy bể sớm hơn dự định là 1h 40 phút= giờ nên ta có phương trình:
3
50 50
5


x x5 3
150  x  5 
5x  x  5
150 x



 150 x  750  150  5 x 2  25 x
3x  x  5  3x  x  5 3x  x  5
Thời gian sau hoạt động công suất tăng thêm 5m 3 /h là

 5 x 2  25 x  750  0  x 2  5 x  150  0   x  10  x  15  0

 x  10

 x  15
Kết hợp điều kiện  x  10 (điều kiện) ; x  15 (loại).
Vậy công suất của máy bơm theo kế hoạch là 10m 3 .
Ví dụ 4 : Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm đúng theo

kế hoạch đề ra những ngày còn lại họ đã làm vượt mức 20 sản phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm
2 ngày. Hỏi theo kế hoạch nhóm thợ mỗi ngày cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm ?
Hướng dẫn giải
Gọi số sản phẩm làm theo kế hoạch trong 1 ngày là x (sản phầm). (điều kiện: x  * )
Số ngày hoàn thành theo kế hoạch là

120
(ngày).
x

Số ngày để hoàn thành công việc sau khi đã làm được 12 ngày là

1200  12 x
(ngày).
x  20

Nhóm thợ hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Vậy ta có phương trình :

1200
1200  12 x
 12 
2
x
x  20


1200  x  20  1200  12 x  x 14 x  x  20 
1200 1200  12 x

 14 



x
x  20
x  x  20 
x  x  20 
x  x  20 

 1200 x  24000  1200 x  12 x 2  14 x 2  280 x
 2 x 2  280 x  24000  0

  x  60  x  200   0
 x  60

 x  200
Kết hợp điều kiện  x  60 (thỏa mãn); x  200 (loại).
Vậy theo kế hoạch nhóm thợ mỗi ngày cần sản xuất là 60 ngày.

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 9


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Ví dụ 5 : Một tổ có kế hoạch sản suất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng suất 10
sản phẩm một ngày thì tổ đó hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày.
Tính năng suất dự kiến.

Hướng dẫn giải
Gọi năng suất dự kiến tổ làm trong 1 ngày là x (sản phẩm / ngày)
(điều kiện: x  * ; x > 10)

350
(ngày).
x  10
350
Nếu giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày thì thì thời gian hoàn thành là:
(ngày).
x  10
Nếu tăng năng suất 10 sản phẩm một ngày thì thì thời gian hoàn thành là:

Thời gian làm tăng năng suất hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với thời gian làm giảm năng

350
350

2
x  10 x  10
 350  x  10   350  x  10   2  x  10  x  10 

suất. Vậy ta có phương trình:

 350 x  3500  350 x  3500  2 x 2  200
 2 x 2  7200  x 2  3600  x  60
Kết hợp điều kiện: x  60 (thỏa mãn); x  60 (loại)
Vậy năng suất dự kiến là 60 (sản phẩm / ngày).
Dạng 3: Bài toán về công việc đồng thời ( bể nước- làm chung làm riêng)
Phương pháp: Để giải loại toán này, ta thường coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.

Suy ra năng suất bằng nghịch đảo của thời gian.
Lập phương trình theo mẫu :
Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung.
Ví dụ 1: Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc nếu người thứ
nhất làm trong 4h ngừơì thứ hai làm trong 3h thì đựơc 50% công việc Hỏi mỗi ngừơi làm một
mình trong mấy giờ thì xong công việc.
Hướng dẫn giải
Đổi 7h 12 phút =

36
(h) .
5

Gọi thời gian người thứ nhất làm 1 mình xong công việc là x (giờ)
goị thời gian người thứ hai làm 1 mình xong công việc là y (giờ) (điều kiện : x, y 
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được
Trong 1 giờ người thứ hai làm được

1
(công việc).
x

1
(công việc).
y

Hai người cùng làm một công việc trong
Trong 1 giờ cả 2 người làm đựơc

36

)
5

36
(h) thì xong công việc .
5

5
1 1 5
(công việc). Vậy ta có phương trình :  
36
x y 36

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

(1)

Page 10


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Người thứ nhất làm trong 4h được
Người thứ hai làm trong 3h được

4
(công viêc).
x

3
(công việc).
y

Vì cả hai người làm được đựơc 50% 

4 3 1
1
(công việc) . Ta có phương trình :  
2
x y 2

(2)

1 1 5
 x  y  36

Từ (1) và (2) a có hệ phương trình 
4  3  1
 x y 2
Đặt a 

1
1
và b  ( điều kiện: a  0 và b  0 )
x
y

5

1


a  b  36
a  12
 x  12
Ta có hệ phương trình: 

 
 y  18
4a  3b  1
b  1

2
 18
 x  12
(thỏa mãn).
 y  18

Kết hợp điều kiện  

Vậy người thứ nhất làm xong công việc một mình hết 12 giờ và người thứ hai làm xong công
việc một mình hết 18 giờ.
Ví dụ 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể cạn sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ I
trong 9 giờ sau đó mở vòi thứ II thêm

6
giờ nữa thì đầy bể . Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình trong
5

bao nhiêu lâu thì đầy bể.
Hướng dẫn giải
Đổi 4h48 phút =

24
giờ.
5

Gọi thời gian vòi I một mình đầy bể lần lượt là x (giờ).
Gọi thời gian vòi II một mình đầy bể lần lượt là y (giờ). (điều kiên : x, y 

24
)
5

1
(bể).
x
1
Trong 1 giờ vòi II chảy được (bể).
y
Trong 1 giờ vòi I chảy được

24
5
h thì đầy bể thì trong 1 giờ cả 2 vòi chảy được
(bể). Vậy ta có
5
24
1 1 5

phương trình :  
(1)
x y 24
Hai vòi cùng chảy

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 11


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Mở vòi thứ I trong 9 giờ vòi I chảy được
Sau đó mở thêm vòi thứ II

9
(bể).
x

61 1 
6
giờ nữa thì hai vòi chảy được    (bể).
5
5 x y

Vì hai vòi chả đầy bể . Vậy ta có phương trình :

9 61 1 

     1 (2)
x 5 x y

1 1 5
 x  y  24

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
9  6  1  1  1
 x 5  x y 
Đặt a 

1
1
và b  ( điều kiện: a  0 và b  0 )
x
y

5
1


a  b  24
a  12
Ta có hệ phương trình: 

6
9a   a  b   1 b  1
5
8



 x  12
 
y  8
 x  12
(thỏa mãn).
y  8

Kết hợp điều kiện  

Vậy vòi I chảy một mình đầy bể trong 12 giờ và vòi II chảy một mình đầy bể trong 8 giờ.
Ví dụ 3 : Ở một nông trường, có hai máy cày cùng cày chung 1 thửa ruộng sau 2 giờ thì xong. Nếu
mỗi máy cày riêng thửa ruộng đó thì máy thứ I cày xong trước máy II là 3 giờ. Tính thời gian mỗi
máy cày riêng để xong thửa ruộng đó ?
Hướng dẫn giải
Gọi thời gian máy I cày một mình xong thửa ruộng là x (giờ)
Gọi thời gian máy I cày một mình xong thửa ruộng là y (giờ). (Điều kiên: x, y  2 )

1
(công việc).
x
1
Trong 1 giờ máy II cầy được (công việc).
y
Trong 1 giờ máy I cầy được

Hai máy cùng cầy chung thì 2 giờ xong. Vậy ta có phương trình:

1 1 1
(1)

 
x y 2

Mỗi máy cày riêng thửa ruộng đó thì máy thứ I cày xong trước máy II là 3 giờ. Vậy ta có
phương trình: y  x  3 (2)

1 1 1
  
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  x y 2
y  x  3


TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

1
 2
Page 12


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736
1
1
1


x x3 2

Thế phương trình (2) vào (1) ta có:



x  x  3
2( x  3)
2x
 2 x  6  2 x  x 2  3x  x 2  x  6  0


2 x  x  3 2 x  x  3 2 x  x  3

x  3
  x  3 x  2   0  
 x  2
Kết hợp điều kiện :  x  3 (thỏa mãn) ; x  2 (loại).
Với x  3 thay vào (2)  y  6 (thỏa mãn).
Vậy máy I cày một mình hết 3 giờ và máy II cày một mình hết 6 giờ thì xong thửa ruộng.
Dạng 4: Bài toán về số và chữ số.
Phương pháp :

Biểu diễn số có hai chữ số xy được biểu diễn thành tổng 10 x  y, trong đó

x  ; 0  x  9 và y  ; 0  y  9. Số viết theo thứ tự ngược lại là yx  10 y  x.
Biểu diễn số có ba chữ số: abc  100a  10b  c trong đó a là chữ số hàng trăm và
0  a  9 , a   , b là chữ số hàng chục và 0  b  9, b   , c là chữ số hàng đơn vị và

0  c  9, c   .
Nếu sô a chia sô b được số c dư só d thì ta có a  b.c  d .
Ví dụ 1 : Tìm 2 số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 1006. Nếu lấy số lớn chia cho số bé được
thương là 2 và số dư 124.

Hướng dẫn giải
Gọi số lớn là x và gọi số bé là y (điều kiên: x  y ; x  ; y  * )
Tổng của chúng bằng 1006. Vậy ta có phương trình: x  y  1006 (1)
Lấy số lớn chia cho số bé được thương là 2 và số dư 124. Vậy ta có phương trình:

x  2 y  124 (2)

 x  y  1006
 x  2 y  124

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

2 y  124  y  1006
 y  294
 x  712



 x  2 y  124
 x  2 y  124
 y  294
 x  712
(thỏa mãn).
 y  294

Kết hợp điều kiên  

Vậy số lớn là 712 và số bé là 294.
Ví dụ 2 : Tìm một số có hai chữ số nếu chia số đó cho tổng hai chữ số được thương là 6 còn nếu đổi
chỗ hai chữ số ta được số mới bằng tích hai chữ số cộng với 25.

Hướng dẫn giải
Gọi chữ số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y.

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 13


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

(Điều kiên : x  * ; y  ; x  9; y  9)
Vậy số cần tìm có giá trị bằng 10x+y.
Nếu chia số đó cho tổng 2 chữ số được thương là 6. Vậy ta có phương trình:

10 x  y
6
x y

(1)

Nếu đổi chỗ hai chữ số ta được số mới là 10 y  x bằng tích hai chữ số cộng với 25. Vậy ta có
phương trình : xy  25  10 y  x (2)

10 x  y
6

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :  x  y
 xy  25  10 y  x


5

(3)
10 x  y  6 x  6 y
x  y


4
 xy  25  10 y  x
 xy  25  10 y  x (4)
Thay (3) vào (4) ta có :

y  5
5 2
5
y  25  10 y  y  5 y 2  45 y  100  0  
4
4
y  4

25
( không thỏa mãn điều kiện)
4
Với y  4  x  5 ( thỏa mãn)
Với y  5  x 

Vậy số cần tìm là 54.
Ví dụ 3: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho
là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.

Hướng dẫn giải
*
Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y. Điều kiện: x, y  N ; x, y  9

Số đã cho là 10x + y
Số mới đã đổi chỗ hai chữ số là 10y + x
Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Vậy ta có phương trình:

10 y  x  63  10 x  y  9 x  9 y  63   x  y  7

(1)

Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Vậy ta có phương trình:

10 x  y  10 y  x  99  11x  11 y  99  x  y  9 (2)

 x  y  7
x  1

x  y  9
y  8

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

x  1
y  8

Kết hợp điều kiện  
Vậy số đã cho là: 18

Ví dụ 4 : Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng
chục là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34.
Hướng dẫn giải
Gọi chữ số phải tìm là ab ; điều kiện xác định: a  * ; b  ; x  9; y  9.
Vì chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2, do đó ta có phương trình:

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 14


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

a–b = 2 (1)
Vì tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34, do đó ta
có phương trình:

a.b – ( a + b) = 34

(2)

a  b  2
ab  a  b  34

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

a  b  2
a  b  2

a  b  2
a  b  2
a  8

 2
 2


ab  a  b  34
ab  a  b  34
b  6
b  2b  b  2  b  34
b  36
a  8
(thỏa mãn).
b  6

Kết hợp điều kiên  
Vậy số phải tìm là 86.
Dạng 5: Toán phần trăm

Phương pháp: Nếu gọi số sản phẩm là x thì số sản phẩm đội đó khi tăng a% là

(1  a%) x , số sản phẩm đội đó khi giảm a% là (1  a%) x .
Ví dụ 1 : Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy sang tháng thứ 2 tổ I vượt mức 15%
tổ II vượt mức 20% do đó cuối tháng hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi
tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy
Hướng dẫn giải
Goị tháng 1 tổ I sản xuất được là x (chi tiết máy) (đk : x  N * ) và tổ II sản xuât được là y (chi
tiết máy) (đ/k : y  N * ) .

Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy . Vậy ta có phương trình :

x  y  8 (1)
Tổ I vượt mức 15% nên tổ I sản xuất được 1  15%  x  1,15 x (chi tiết máy).
Tổ II vượt mức 20% nên tổ II sản xuất được 1  20%  y  1, 2 y (chi tiết máy).
Vì cuối tháng hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Ta có phương trình :

1,15 x  1, 2 y  945 (2)

 x  y  800
 x  300

1,15 x  1, 2 y  945
 y  500

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 

 x  300
(thỏa mãn).
 y  500

Kết hợp điêu kiện  

Vậy tháng 1 tổ I sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 500 chi tiết máy.
Ví dụ 2 : Một người mua hai loại mặt hàng A và B. Nếu tăng giá mặt hàng A thêm 10% và mặt hàng
B thêm 20% thì người đó phải trả 232 nghìn đồng. Nhưng nếu giảm giá cả hai mặt hàng là 10% thì
người đó phải trả tất cả 180 nghìn đồng. Tính giá tiền mỗi loại lúc đầu ?
Hướng dẫn giải
Gọi giá mặt hàng A và B lúc đầu lần lượt là x,y (nghìn đồng) (điều kiện: x  N * , y  N * ).
Tăng giá mặt hàng A thêm 10% thì giá mặt hàng A là 1  10%  x  1,1x (nghìn đồng).

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 15


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736
Tăng giá mặt hàng B thêm 20% thì giá của mặt hàng B là 1  20%  y  1, 2 y (nghìn đồng).

Vì người đó phải trả 232 nghìn đồng. Vậy ta có phương trình : 1,1x  1, 2 y  232 (1)
Giảm giá cả hai mặt hàng là 10% thì giá của mặt hàng A là 1  10%  x  0,9 x (nghìn đồng).
Giảm giá của mặt hàng B là 1  10%  y  0,9 y (nghìn đồng).
Vì người đó phải trả 180 nghìn đồng. Vậy ta có phương trình: 0, 9 x  0,9 y  180 (2)

1,1x  1, 2 y  232
 x  80


0, 9 x  0, 9 y  180
 y  120

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

 x  80
(thỏa mãn).
 y  120

Kết hợp điều kiện  

Vậy giá lúc ban đầu của mặt hàng A là 80 nghìn đồng và mặt hàng B là 120 nghìn đồng.
Ví dụ 3 : Trong tháng 1 hai tổ làm được 900 sản phẩm sang tháng 2 tổ I làm vượt mức 15% tổ II
vượt mức 10% vì vậy 2 tổ làm được 1010 sản phẩm. Hỏi trong tháng 1 mỗi tổ làm được bao nhiêu
sản phẩm.
Hướng dẫn giải
Gọi số sản phẩm tổ 1 làm trong tháng đầu là x (sản phẩm) (điều kiện : x  N * ; x<900 )
Vậy số sản phẩm tổ II làm trong tháng 1 là 900-x (sản phẩm).
Sang tháng 2 tổ I làm được : 1,15x (sản phẩm).
Sang tháng 2 tổ II làm được 1,1 (900-x).
Tháng 2 cả hai tổ làm được 1010, ta có phương trình : 1,15 x  1,1 900  x   1010 

x  400 (thỏa mãn).
Vậy tháng 1 tổ I làm được 400 sản phẩm và tổ II làm được 500 sản phẩm.
Dạng 6: Toán có nội dung hình học
Phương pháp :
-Với hình chữ nhật:
Diện tích = Chiều dài x Chiều rộng
Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng) x 2
-Với tam giác:
Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy) : 2
Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh
-Với hình vuông :
Diện tích = bình phương 1 cạnh
Chu vi = (Chiều dài cạnh ) x 4
-Với hình thang :
Diện tích =

1
(Độ dài đáy lớn+độ dài đáy nhỏ): chiều cao

2

Chu vi = tổng 4 cạnh
Ví dụ 1 : Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài là 45m. Tính diện tích
thửa ruộng. Biết rằng nếu giảm chiều dài đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3lần thì chu vi thửa ruộng
không thay đổi.

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 16


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài thửa ruộng là x (m) . Chiều rộng là y (m) (điều kiện: x  45; x  y  0 )
Có chiều rộng ngắn hơn chiều dài là 45m. Ta có phương trình : x  y  45 (1)
Ta có chu vi thửa ruộng là : 2  x  y  m.

x

 3y  .
2



Giảm chiều dài đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng là: 2 
Vì chu vi thửa ruộng không đổi ta có phương trình:

x
 3 y  x  y (2)
2

 x  y  45
 x  60


 2  3 y  x  y  y  15

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình  x

 x  60
(thỏa mãn).
 y  15

Kết hợp điều kiện  

 

Vậy diện tích thửa ruộng là 60.15  900 m 2 .
Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích 600m 2 , tính các kích thước của hình chữ nhật. Biết rằng
nếu giảm bớt mỗi cạnh 4m thì diện tích còn 416m 2 .
Hướng dẫn giải
Gọi chiều rộng là x (m) ; chiều dài là y (m) (điều kiện : y>x >0)
Diện tích hình chữ nhật là 600m 2 . Vậy ta có phương trình: x.y  600
(1)
Giảm mỗi cạnh đi 4m. Vậy chiều rộng là x-4 (m), chiều dài là y-4 (m).



Diện tích hình chữ nhật là 416m 2 . Vậy ta có phương trình : x  4

 y  4   416

(2)

 x.y  600
 x  4  y  4   416

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 

 x.y  600
 x.y  600
 x.y  600



 x  y  50
 x.y  4  x  y   400
600  4  x  y   400
50x-x 2  600
x 2 -50x+600  0
 x.y  600



 y  50  x
 y  50  x

 y  50  x
  x  30

 x  20  x  30   0
 y  20



 x  20
 y  50  x

  y  30
 x  30
Kết hợp điều kiện  
(loại) ;
 y  20

 x  20
(thỏa mãn).

 y  30

Vậy các kích thước của hình chữ nhật là: chiều rộng là 20m ; chiều dài là 30m.

Ví dụ 3: Một hình chữ nhật có chu vi là 70 m, nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài 5m thì
diện tích như cũ. Hãy tìm chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật ?
Hướng dẫn giải
Gọi chiều rộng là x (m) ; chiều dài là y (m) (điều kiện y>x>0)

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 17


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Nửa chu vi là 70 : 2 = 35 (m). Vậy ta có phương trình: x  y  35 (1)
Giảm chiều rộng 3m thì chiều rộng là x-3 (m).
Tăng chiều dài 5m thì chiều dài là y+5 (m).







Vì diện tích không đổi nên ta có phương trình: x  3 y  5  xy (2)

 x  y  35
 x  3  y  5   xy

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 

 x  y  35
3 x  3y  105 8 x  120
 x  15





5 x  3y  15 5 x  3y  15
5 x  3y  15  y  20
 x  15
Kết hợp điều kiện  
(thỏa mãn).
 y  20
Vậy :

Chiều rộng của hình chữ nhật là 15m.
Chiều dài của hình chữ nhật là 20m.
Giải ra ta có x=15 ; y=20
Ví dụ 4: Một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 280m người ta làm đường đi xung quanh rộng 2m
nên diện tích phần còn lại để trồng vườn là 4256m 2 . Tính kích thước ban đầu của khu vườn.
Hướng dẫn giải
Gọi chiều rộng khu vườn là x  m  (điều kiện x  0 )
Chiều dài khu vườn là y  m  (điều kiện y  x  0 )

 

Nửa chu vi hình chữ nhật là : x  y m

Nửa chu vi là 280 : 2  140  m  . Vậy ta có phương trình : x  y  140

(1)

Làm đường đi xung quanh vườn thì chiều dài và chiều rộng đều bớt đi 4m.
Khi bớt chiều rộng đi 4m thì chiều rộng là : x  4  m 
Khi bớt chiều dài đi 4 (m) là chiều dài là : y  4  m 

Diện tích phần còn lại để trồng vườn là 4256m 2 . Vậy ta có phương trình :
(2)
 x  4  y  4   4256

 x  y  140
 x  60

 x  4  y  4   4256
 y  80

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 

 x  60
(thỏa mãn).
 y  80

Kết hợp điều kiện  

Vậy chiều rộng khu vườn là 60m, chiều dài khu vườn là 80m.
Dạng 7: Tăng giảm các đại lượng
Phương pháp :

Tích số chỗ 1 dẫy và số dãy bằng tổng số chỗ ngồi
Tích số cây 1 hàng và số hàng bằng tổng số cây
Tích số xe và số hàng 1 xe trở bằng tổng số hàng
Ví dụ 1 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được trao nhiệm vụ trồng 56 cây. Vì có
1 bạn trong tổ được phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây được giao, mỗi bạn còn lại
trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây với dự định lúc đầu. Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn biết số cây
được phân cho mỗi bạn đều bằng nhau.
Hướng dẫn giải

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 18


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Gọi số cây mỗi người trồng theo dự định là x (cây) (điều kiện: x  N * )
Gọi số người trong tổ là y (người) (điều kiện: y  N * , y  1 )
Tổ học sinh được giao nhiệm vụ trồng 56 cây. Vậy ta có phương trình: x. y  56 (1)
Tổ đó trồng thêm 1 cây với dự đình. Vậy số cây thực tế trồng là : x+1 (cây).
Một bạn trong tổ được phân công làm việc khác nên số học sinh còn lại là y-1 ( học sinh).
Vì số cây được trồng không đổi nên ta có phương trình :  x  1 y  1  56 (2)

 x. y  56
 x  1 y  1  56

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 

 x 2  x  56  0
 x. y  56
 x. y  56



 xy  x  y  1  56
 y  x 1  y  x 1

 x  7
 x  7

 x  7  x  8   56

y  8

   x  8  

 y  x  1
 y  x  1   x  8


  y  7
x  7
 x  8
Kết hợp điều kiện  
(thỏa mãn) ; 
(loại).
y  8
 y  7
Vậy : Số cây mỗi bạn trồng là 7cây và số người trong tổ là 8 người.
Ví dụ 2 : Một rạp hát có 300 chỗ ngồi. Nếu mỗi dãy ghế thêm 2 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy ghế thì rạp
hát sẽ giảm đi 11 chỗ ngồi. Hãy tính xem trước khi có dự kiến sắp xếp trong rạp hát có mấy dẫy ghế
?
Hướng dẫn giải
Gọi số chỗ ngồi trong 1 dãy là x (chỗ ngồi) (điều kiện: x  N * )
Gọi số dãy ghế là y (dãy ghế) (điều kiện: y  N * , y  3 )
Số chỗ ngồi ban đầu là x.y (chỗ ngồi).
Vì rạp hát có 300 chỗ ngồi nên ta có phương trình : x. y  300

(1)

Dẫy ghế thêm 2 chỗ thì số chỗ ngồi 1 dãy là x+2 ( chỗ ngồi).
Bớt đi 3 dãy thì số dãy ghế là y-3 (dãy ghế).
Số dãy ghế của rạp hát sau khi thay đổi là :  x  2  y  3 (chỗ ngồi).
Rạp hát giảm đi 11 chỗ ngồi còn 300-11=289 (chỗ ngồi). Vậy ta có phương trình :

 x  2 y  3  289 (2).
 x. y  300
 x  2  y  3  289

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 

2 y 2  5 y  900  0
 x. y  300
 x. y  300
3x. y  900




 x. y  3x  2 y  6  289
3x  2 y  5 3x  5  2 y
3 x  5  2 y
  x  15

  y  20
  y  20


 y  20  .  2 y  45  0


45

  y  
   x  40

2
3 x  5  2 y
3

 
3 x  5  2 y

45
 y 
2


TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 19


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

 x  15

Kết hợp điều kiên  
(thỏa mãn);
 y  20

40

 x  3
(loại).

 y  45

2

Vậy trước khi có dự kiến sắp xếp trong rạp hát có : 20 dẫy ghế
Ví dụ 3 : Một đội xe cần chở 480 tấn hàng khi sắp khởi hành đội được điều thêm 3 xe nữa nên mỗi
xe chở ít hơn dự định 8 tấn. Hỏi lúc đầu đọi có bao nhiêu chiếc xe? Biết rằng các xe chỏ như nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi số xe dự định là x (xe).
Gọi số hàng chở được của mỗi xe dự định là y (tấn).
(điều kiên: x  N * ; y  N * , y  8 ).
Vậy số hàng theo dự định chở được là x.y (tấn).
Đội xe cần chở 480 tấn hàng. Vậy ta có phương trình : x. y  480

(1)

Điều thêm 3 xe vậy số xe thực tế là : x+3
Mỗi xe chở ít 8 tấn. Vậy số hàng chở được của mỗi xe thực tế là y-8 (tấn).
Số hàng không đổi vậy ta có phương trình :  x  3 y  8   480

(2)

 x. y  480
 x  3 y  8   480

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 

 x. y  480
 x. y  480
 x.3 y  1440
 x  12
(thỏa mãn).




 xy  8 x  3 y  24  480
8 x  3 y  24
3 y  24  8 x
 y  40
Vậy ban đầu đội có 12 xe.
Ví dụ 4 : Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày qui định. Do mỗi ngày
đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian qui định 1 ngày và
chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày ?
Hướng dẫn giải
Gọi thời gian mà đội xe chở hàng theo kế hoạch là x (ngày) (điều kiện : x>1)
+) Theo kế hoạch
Số hàng mà đội phải chở là 140 tấn
Mỗi ngày đội xe chở được

140

(tấn hàng )
x

Thực tế
Số hàng mà đội phải chở là 140 +10 =150 (tấn hàng )
Số ngày mà đội xe chở hết số hàng là x-1 ( ngày )
Mỗi ngày đội xe chở được

150
(tấn hàng )
x 1

Vì thực tế mỗi ngày đội chở được nhiều hơn kế hoạch là 5 tấn nên ta có phương trình :

150 140

5
x 1 x
140  x  1 5 x  x  1
150 x



 150 x  140 x  140  5 x 2  5 x
x  x  1
x  x  1
x  x  1
x  7
 5 x 2  15 x  140  0   x  7  x  4   0  
 x  4

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 20


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Kết hợp điều kiện  x  7 (thỏa mãn); x  4 (loại).
Vậy đội xe chở theo kế hoạch hết 7 ngày.

Dạng 8: Các dạng khác
Ví dụ 1: Một dung dịch chứa 30% a xít nitơ ríc ( tính theo thể tích ) vào một dung dịch khác chứa
55% a xít ni tơ ríc .Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại I vào loại II để được 100 lít dung
dịch 50% a xít nitơ ríc.
Hướng dẫn giải
Gọi số lít dung dịch loại I là x (lít).
Gọi số lít dung dịch loại II là y(lít). Điều kiện : x, y  0 .
Trộng dung dịch loại I và II ta được : x  y (lít).
Trộn hai dung dịch được 100 lít. Ta có phương trình : x  y  100 (1)

30
55
x (lít) và loại II là
y (lít).
100
100
30

55
x
y  50
Dung dịch được tạo thành có 50% a xít nitơ ríc. Vậy ta có phương trình :
100
100
Lượng a xit chứa trong dung dịc loại I là

(2).

 x  y  100
 x  20

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :  30

55
 y  80
100 x  100 y  50
 x  20
Kết hợp điều kiện  
(thỏa mãn).
 y  80
Vậy cần : 20 lít dung dịch loại I và 80 lít dung dịch loạn II.
Ví dụ 2 : Có 45 người gồm bác sĩ và luật sư tuổi trung bình của họ là 40 . Tính số bác sĩ và luật sư
biết rằng tuổi trung bình của bác sĩ là 35 tuổi trung bình của luật sư là 50 .
Hướng dẫn giải
Gọi số bác sĩ là x ( người ) (điều kiên : x  N * )
Gọi số luật sư là y ( người ) (điều kiện: y  N * )
Có 45 người gồm bác sĩ và luật sư . Vậy ta có phương trình : x  y  45

(1)

Tuổi trung bình của bác sĩ là 35. Vậy tổng số tuổi của các bác sĩ là 35.x (tuổi).
Tuổi tuổi trung bình của luật sư là 50 . Vậy tổng số tuổi của các luật sư là 50.y(tuổi).
Tổng số tuổi của 45 người là 40.45=1800(người). Vậy ta có phương trình: 35 x  50 y  1800 (2)

 x  y  45
35 x  50 y  1800

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 

 y  45  x
 y  45  x
 y  45  x
 x  30




7 x  10 y  360
7 x  450  10 x  360
 x  30
 y  15
 x  30
Kết hợp điều kiện  
(thỏa mãn).
 y  15
Vậy số bác sĩ là 30 người ; số luật sư là 15 người.

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 21


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Ví dụ 3 : Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển
84%. Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90%. Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học sinh
lớp 9 dự thi?
Hướng dẫn giải
Gọi số học sinh trường A là x (học sinh) (đk: x  N * ; x < 210)
Gọi số học sinh trường B là y (học sinh) (đk: y  N * ; x < 210)
Tổng số học sinh của cả hai trường là :

210 84

 TSHS  210.100 : 84  250
Tshs 100
Do đó ta có phương trình : x + y = 250
(1)
Trường A đỗ 80% trường B đỗ 90% , ta có PT 80%.x +90%.y = 210

(2)

 x  y  250
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
0,8 x  0, 9 y  210
0,8 x  0,8 y  200

 x  y  250
 x  y  250
 x  150
.




0,8 x  0,9 y  210
0,1 y  10
 y  100
 y  100
 x  150
(thỏa mãn).
 y  100

Kết hợp điều kiện  
Vậy:

Số học sinh trường A là 150 học sinh.
Số học sinh trường B là 100 học sinh.

Ví dụ 4 : Tuổi của ông An hơn An 56 tuổi , cách đây 5 năm tuổi của ông An gấp 8 lần tuổi An. Hỏi
tuổi của An hiện nay bao nhiêu tuổi ?
Hướng dẫn giải
Gọi tuổi An hiện nay là x (tuổi) (đ/k x  N * )
Tuổi cua ông An là 56 + x (tuổi)
Cách đây 5 năm tuổi An là x- 5 (tuổi)
Cách đây 5 năm tuổi của ông An là 56+ x -5 = 51 + x (tuổi)
Cách đây 5 năm tuổi của ông An gấp 8 lần tuổi An. Vậy ta có phương trình : 51  x  8  x  5 

 x  13 (thỏa mãn).
Vậy tuổi An hiện nay là 13 tuổi

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 22


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 45km/h. sau 1 giờ 30 phút thì một xe con cũng xuất phát
đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng lúc với xe tải. Tính quãng đường AB.
Bài 2. Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. vận tốc của họ hơn kém nhau
3km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người, biết quãng đường AB
dài 30km/h.
Bài 3. Hai tỉnh A,B cách nhau 180km/h. Cùng một lúc, ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về
A. Hai xe gặp nhau ở thị trấn C. Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30
phút. Tính vận tốc của ô tô và xe máy biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không
đổi.
Bài 4. Trong một cuộc đua, ba tay đua mô tô đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ người thứ hai
chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3 km. người thứ ba đến đích chậm
hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính thời gian chạy hết quãng đường
đua của các tay đua.
Bài 5. Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu vận tốc tằng 20km/h thì đến sớm 1
giờ, nếu vận tốc giảm đi 10km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính quãng đường AB.
Bài 6. Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc, một ô tô khác đi từ B đến A với vận tốc bằng

2
vận tốc
3

ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu?
Bài 7. Hai bến sông A và B cách nhau 40km. cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè
trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sauk hi đến bến B, ca nô quay trở về bến A ngay và gặp bè, khi đó
bè đã trôi được 8km. tính vận tốc riêng của ca nô.
Bài 8. Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày. Hỏi nếu A làm một
mình 3 ngày rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một
mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày.
Bài 9. Trong một kỳ thi, hai trường A,B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả là hai trường có
tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh dự
thi trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu thí sinh dự thi?
Bài 10. Có hai loại quặng sắt. quặng loại A chứa 60% sắt, quặng loại B chứa 50% sắt. người ta trộn
một lượng quặng loại A với một lượng quặng loại B thì được hỗn hợp chứa

8
sắt. Nếu lấy tăng
15

hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại A và lấy giảm hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại B thì được hỗn hợp
quặng chứa

17
sắt. Tính khối lượng quặng mỗi loại đem trộn lúc đầu.
30

Bài 11. Hai người cùng đi quãng đường AB dài 450 km và cùng khởi hành một lúc. Vận tốc của

người thứ nhất ít hơn vận tốc của người thứ hai là 30 km/h nên người thứ nhất đến B sau người thứ
hai 4 giờ. Tính vận tốc và thời gian đi quãng đường AB của mỗi người.
Bài 12. Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 7 và tổng các bình phương của chúng bằng 289.
Bi 13. Tìm một số biết số đó nhỏ hơn số nghịch đảo của nó là 2,1.
Bài 14. Tìm hai số lẻ liên tiếp, biết tổng các bình phương của chúng bằng 202.

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 23


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Bài 15. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 13 và nếu cộng 34
vào tích của hai chữ số đó thì ta được chính số đó.
Bài 16. Một ca nô đi xuôi một khúc sông dài 40 km và ngược khúc sông ấy, thời gian cả đi lẫn về
tổng cộng hết 4 giờ 30 phút. Biết vận tốc thực của ca nô là 18 km/h. Tính vận tốc của dòng nước.
Bài 17. Quãng sông từ A đến B dài 36 km. Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng từ B
về A hết tổng cộng 5 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô, biết vận tốc dòng nước bằng 3 km/h.
Bài 18. Một ô tô đi quãng đường AB dài 150 km với một thời gian đã định. Sau khi xe đi được

1
2

quãng đường thì ô tô dừng lại 10 phút. Do đó, để đến B đúng hẹn, xe phải tăng tốc thêm 5km/h trên
quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định của ô tô.
Bài 19. Hai vòi nước chảy vào hai bể có dung tích như nhau là 2400 lít. Mỗi phút vòi thứ hai chảy
nhiều hơn vòi thứ nhất là 8 lít nên thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể ít hơn vòi thứ nhất là 10

phút. Tính xem trong mỗi phút mỗi vòi chảy được bao nhiêu lít?
Bài 20. Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ. Do ba công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi
người còn lại phải làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ.
Bài 21. Một công nhân phải làm 420 dụng cụ. Do mỗi ngày người đó tăng năng suất 5 dụng cụ nên
đã hoàn thành công việc sớm được 7 ngày . Tính số ngày người đó đã làm.
Bài 22. Hai đội thủy lợi gồm tổng cộng 25 người đào đắp một con mương. Đội I đào được 45 m3 đất,
đội II đào được 40 m3 đất. Biết mỗi công nhân đội II đào được nhiều hơn mỗi công nhân đội I là 1
m3. Tính số đất mỗi công nhân đội I đào được.
Bài 23. Một tổ sản xuất phải làm 300 dụng cụ. Nếu số công nhân giảm 5 nguời thì mỗi người phải
làm thêm 2 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ.
Bài 24. Hai người công nhân được giao làm mỗi người 60 dụng cụ. Mỗi ngày, người thứ nhất làm
nhiều hơn người thứ hai là 2 dụng cụ nên người thứ nhất đã hoàn thành công việc với thời gian ít
hơn người thứ hai là 1 ngày . Tính thời gian mỗi người đã làm.
Bài 25. Tính các kích thước của hình chữ nhật biết rằng nó có chu vi bằng 120m, diện tích bằng 875
m2.
Bài 26. Một hình chữ nhật có chu vi 100m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dài 10 m thì
diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200 m2. Tính chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu.
Bài 27. Một sân hình tam giác có diện tích 180m2. Tính cạnh đáy của hình tam giác, biết rằng nếu
tăng cạnh đáy thêm 4 m và giảm chiều cao tương ứng đi 1 m thì diện tích của hình tam giác không
đổi.
Bài 28. Tính độ dài các cạnh của một tam giác vuông, biết rằng chúng là ba số tự nhiên liên tiếp.
Bài 29. Một tam giác có chu vi 30m, cạnh huyền 13 m. Tính mỗi cạnh góc vuông.

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 24


Phiếu bài tập chuyên đề 9

Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736

Bài 30. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là
2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1.
Bài 31. Một phòng họp có 500 chỗ ngồi. Do phải xếp 616 chỗ ngồi, người ta kê thêm 3 dãy ghế và
mỗi dãy xếp thêm 2 chỗ. Tính số dãy ghế lúc đầu của phòng họp.
Bài 32. Tính số cạnh của một đa giác biết rằng số đường chéo của đa giác là 35.
Bài 33. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m, chiều rộng 20m. Ở chung quanh về phía
trong mảnh dất, người ta để một lối đi có chiều rộng không đổi, phần còn lại là một hình chữ nhật
được trồng hoa. Biết rằng diện tích vườn hoa bằng 84 % diện tích mảnh đất, tính chiều rộng của lối
đi.
Bài 34. Người ta hòa lẫn 7 kg chất lỏng I với 5 kg chất lỏng II thì được một hỗn hợp có khối lượng
riêng 600 kg/m3. Biết khổi lượng riêng của chất lỏng I lớn hơn khổi lượng riêng của chất lỏng II là
200 kg/ m3. Tính khổi lượng riêng của mỗi chất lỏng .
Bài 35. Hai dung dịch muối có khối lượng tổng cộng bằng 220 kg. Lượng muối trong dung dịch I là
5 kg, lượng muối trong dung dịch II là 4,8 kg. Biết nồng độ muối trong dung dịch I nhiều hơn nồng
độ muối trong dung dịch II là 1%. Tính khối lượng của mỗi dung dịch trên.
Bài 36. Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong sau 2 giờ. Biết rằng thời gian để đội
thứ nhất làm một mình xong công việc ấy ít hơn thời gian để đội thứ hai làm một mình xong công
việc ấy là 3 giờ. Tính thời gian để mỗi đội làm một mình xong công việc.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Gọi độ dài quãng đường AB là x (km, x  0 )

x
(giờ)
45
x
Thời gian xe con đi từ A đến B là
(giờ)

60
Thời gian ô tô tải đi từ A đến B là

Vì xe con xuất phát sau xe tải 1 giờ 30 phút 

3
giờ nên ta có phương trình:
2

x
x 3

  x  270 (thỏa mãn điều kiện)
45 60 2
Vậy độ dài quãng đường AB là 270km.
Bài 2. Gọi vận tốc của người đi chậm là x  km / h  ( x  0) .
Vận tốc của người đi nhanh là x  3 (giờ).

1
30 30
1
giờ nên ta có phương trình:


2
x x3 2
2
2
 60  x  3   60 x  x  3 x  x  3x  180  0
Vì người đi chậm đến muộn hơn 30 phút =

  32  4.  180   729  27 2    27

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 25