luận văn thạc sĩ một số bài toán tối ưu trên đồ thị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Lê Thị Phương Loan

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Lê Thị Phương Loan

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS Nguyễn Hoàng Thạch

Hà Nội - 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những nội dung trong luận văn là do sự tìm hiểu, nghiên
cứu của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Hoàng Thạch. Các
kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích
dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội
đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa được công bố trên bất kỳ một
phương tiện nào.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.

Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2019
Người cam đoan

Lê Thị Phương Loan


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn
Hoàng Thạch. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn
hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của Học viện

Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam trong
quá trình tôi thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán học và các thầy cô anh chị trong phòng
Cơ sở Toán học của Tin học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
học tập và nghiên cứu.
Xin cảm ơn các bạn học viên chuyên ngành Toán ứng dụng khoá 2017- 2019 đã
giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Cuối cùng, luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết. Vì vậy
tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.


1

MỤC LỤC

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục

1

Lời nói đầu

3

Danh sách bảng

5

Danh sách hình vẽ

6

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

7

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1 Các định nghĩa và thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2 Biểu diễn đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2 ĐƯỜNG ĐI VÀ TÍNH LIÊN THÔNG . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.1 Đường đi và chu trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.2 Tính liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2 BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ

19

2.1 BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT . . . . . . . . . . .

20

2.2 THUẬT TOÁN DIJKSTRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.1 Mô tả thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.2 Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán . . . . . . . . . .

23

2.2.3 Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . .

27


2
2.2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3 THUẬT TOÁN BELLMAN-FORD . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.1 Mô tả thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.2 Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán . . . . . . . . . .

30

2.3.3 Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4 SO SÁNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3 ỨNG DỤNG: BÀI TOÁN LẬP KẾ HOẠCH

34

3.1 MÔ TẢ BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2 MÔ HÌNH ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2.1 Phương pháp thế năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2.2 Phương pháp PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

46

4.1 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.2 KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

TÀI LIỆU THAM KHẢO

47


3

LỜI NÓI ĐẦU
Trong khi tối ưu luôn là một trong những lĩnh vực quan trọng và có lịch sử
lâu đời của toán học ứng dụng, thì tối ưu tổ hợp lại là một nhánh khá "trẻ" chỉ
bắt đầu phát triển mạnh từ khoảng đầu thế kỷ 20, do nhu cầu phát sinh từ một
nền sản xuất hiện đại, quy mô lớn. Các bài toán tối ưu tổ hợp hiện diện khắp
nơi trong cuộc sống hiện đại, từ việc lên kế hoạch, tổ chức các dây chuyền sản
xuất, kho bãi đến những khía cạnh đời thường gần gũi hơn như giao thông đô
thị, sắp xếp thời khóa biểu, . . .
Cũng được phát triển mạnh trong thế kỷ 20 là lý thuyết đồ thị. Các mô hình đồ
thị cho phép thể hiện một cách trực quan các tập hợp các đối tượng rời rạc và
các mối quan hệ giữa chúng. Ban đầu gắn liền với khoa học máy tính, hiện nay
lý thuyết đồ thị bản thân nó đã trở thành một lĩnh vực toán học riêng và vẫn
phát triển mạnh. Các mô hình đồ thị có thể được tìm thấy trong thiết kế máy
tính và phần mềm, trong mạng viễn thông, trong sinh học, trong các nghiên cứu
về mạng xã hội, trong kinh tế, . . .
Một số bài toán tối ưu tổ hợp có thể được mô hình hóa (và giải) một cách rất
tự nhiên bằng ngôn ngữ đồ thị. Luận văn này sẽ tập trung vào một lớp bài toán
tiêu biểu trong số đó.
Trong khuôn khổ luận văn, tôi sẽ trình bày mô hình toán học và phương pháp
giải, sau đó minh họa bằng một ứng dụng thực tiễn.
Luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trình bày các khái niệm, tính chất, mệnh đề,
các nội dung cơ bản để phục vụ cho nội dung trong luận văn.

4
Chương 2 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị Đây là phần chính
của luận văn. Trong chương này sẽ nêu ra bài toán, phương pháp giải, giả mã và
chứng minh tính đúng đắn của các thuật toán.
Chương 3 Ứng dụng: Bài toán lập kế hoạch Nêu ra một mô hình thực tiễn,
và cách áp dụng từ bài toán tìm đường đi ngắn nhất bên trên để giải quyết mô
hình đó.
Các khái niệm, nội dung trong luận văn được tham khảo từ các tài liệu [1], [2],
[3], [4], [5], [6] và viết lại theo ý hiểu của tác giả.


5

Danh sách bảng
3.1 Ví dụ mô hình dự án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36


6

Danh sách hình vẽ
1.1 Đơn đồ thị vô hướng(a) và có hướng(b) . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2 Đơn đồ thị vô hướng có trọng số(a) và có hướng có trọng số (b) . . . .

9

1.3 Hai phép biểu diễn đồ thị vô hướng trong hình 1.1a . . . . . . . . . .

12

1.4 Hai phép biểu diễn đồ thị có hướng trong hình 1.1b . . . . . . . . . .

13

1.5 Hai phép biểu diễn đồ thị có trọng số trong hình 1.2a . . . . . . . . .

14

1.6 Ví dụ về một đồ thị có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1 Minh họa cho chứng minh ý 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2 Minh họa cho chứng minh ý 2 trường hợp 1.

. . . . . . . . . . . . .

24

2.3 Minh họa cho chứng minh ý 2 trường hợp 2.

. . . . . . . . . . . . .

25

2.4 Minh họa cho chứng minh ý 2 trường hợp 3.

. . . . . . . . . . . . .

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.6 Minh họa cho chứng minh trường hợp 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.7 Thực thi thuật toán Bellman-Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.1 Đồ thị Conjunctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2 Biểu diễn đồ thị của bảng 3.1 bằng phương pháp thế năng . . . . . . .

39

3.3 Biểu diễn kết quả bằng phương pháp thế năng . . . . . . . . . . . . .

42

3.4 Biểu diễn đồ thị của bảng 3.1 bằng phương pháp PERT . . . . . . . .

44

3.5 Biểu diễn kết quả bằng phương pháp PERT . . . . . . . . . . . . . .

44

. . . . . . . . . . . . . .

45

2.5 Thực thi thuật toán Dijkstra

3.6 Biểu diễn của bài toán bằng biểu đồ Gantt


7

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ

Các khái niệm, nội dung được trình bày sau đây nhằm phục vụ cho nội dung
trong khuôn khổ luận văn. Để tìm hiểu thêm các kiến thức về đồ thị, độc giả có

thể tham khảo các tài liệu trong mục tài liệu tham khảo.

1.1.1

Các định nghĩa và thí dụ

Định nghĩa 1.1.1. Một đồ thị vô hướng G = (V, E) được xác định bởi:
• V là một tập khác rỗng gồm các đỉnh,
• E là tập các cặp đỉnh (không thứ tự), được gọi là cạnh. Hai đỉnh thuộc một
cạnh được gọi là các đầu mút của cạnh đó.
Trong khuôn khổ luận văn, ta xét các đồ thị hữu hạn, tức là có tập hợp đỉnh
hữu hạn.


8
Nếu giữa hai đỉnh bất kỳ có không quá một cạnh thì G được gọi là một đồ thị
đơn.
Định nghĩa 1.1.2. Một đồ thị có hướng G = (V, E) được xác định bởi:
• V là một tập khác rỗng gồm các đỉnh,
• E là một tập gồm các cạnh có hướng (hay cung), mỗi cạnh đi từ một đỉnh
đầu tới một đỉnh cuối.
Nếu với hai đỉnh u, v bất kỳ, có nhiều nhất một cạnh đi từ u tới v thì G được
gọi là một đồ thị đơn có hướng.
Nếu (a, b) ∈ E thì (a, b) được gọi là cạnh (cung) của G với đỉnh đầu là a, đỉnh
cuối là b và có hướng đi từ a tới b.
Ví dụ 1.1.1. a. Đồ thị vô hướng G = (V, E) trong đó:
V = {a, b, c, d, e, f },
E = {(a, b), (a, e), (b, e), (c, d)} (Hình 1.1.a)
b. Đồ thị có hướng G = (V, E) trong đó:
V = {a, b, c, d, e, f },

E = {(a, b), (b, e), (c, d), (d, c), (e, a), (f, f )} (Hình 1.1b)
Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị có trọng số (hay trọng đồ), nếu mỗi
cạnh có một trọng số kết hợp, thường được cung cấp bởi một hàm trọng số
w : E → R.
Ví dụ 1.1.2. a. Đồ thị vô hướng G = (V, E) trong đó:
V = {a, b, c, d, e, f },
E = {(a, b), (a, e), (b, e), (c, d)}


9

(a) Đơn đồ thị vô hướng

(b) Đơn đồ thị có hướng

Hình 1.1: Đơn đồ thị vô hướng(a) và có hướng(b)

và w(a, b) = 3, w(a, e) = 4, w(b, e) = 4.5, w(c, d) = 6 (Hình 1.2a)
b. Đồ thị có hướng G = (V, E) trong đó:
V = {a, b, c, d, e, f },
E = {(a, b), (b, e), (c, d), (d, c), (e, a), (f, f )}
w(a, b) = 1.5, w(b, e) = 2, w(c, d) = 5,w(d, c) = 3.2, w(e, a) = 4, w(f, f ) =
8 (Hình 1.2b)

(a)

(b)

Hình 1.2: Đơn đồ thị vô hướng có trọng số(a) và có hướng có trọng số (b)

Định nghĩa 1.1.3. Một đồ thị con của đồ thị G là một đồ thị H = (W, F ) sao
cho W ⊂ V, F ⊂ E.
Tiếp sau đây là một số thuật ngữ cơ bản của lý thuyết đồ thị.


10
Trước tiên, ta xét các thuật ngữ mô tả các đỉnh và các cạnh của đồ thị vô hướng.
Nếu (u, v) là một cạnh nằm trong đồ thị G = (V, E) ta nói đỉnh v kề với đỉnh
u. Trong đồ thị vô hướng, quan hệ kề là đối xứng.
Nếu e = (u, v) là cạnh của đồ thị ta nói cạnh này là liên thuộc với hai đỉnh u và
v, hoặc cũng nói là nối đỉnh u và đỉnh v, đồng thời các đỉnh u và v sẽ được gọi
là các đỉnh đầu của cạnh (u, v).
Để biết có bao nhiêu cạnh liên thuộc với một đỉnh, ta dựa vào định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.4. Bậc của một đỉnh trong một đồ thị vô hướng là số lượng các
cạnh liên thuộc trên nó.
Ký hiệu: deg(v).
Đỉnh v được gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v) = 0.
Đỉnh v được gọi là đỉnh treo nếu deg(v) = 1.
Ta xét các thuật ngữ tương tự cho đồ thị có hướng
Tương tự với đồ thị vô hướng, ta có khái niệm về quan hệ kề đối với đồ thị có
hướng. Và trong một đồ thị có hướng, quan hệ kề không nhất thiết đối xứng.
Nếu v kề với u trong một đồ thị có hướng, đôi lúc ta viết u → v.
Nếu (u, v) là một cạnh trong một đồ thị G = (V, E) , ta nói rằng (u, v) liên
thuộc từ (incident from) đỉnh u và liên thuộc đến (incident to) đỉnh v.
Định nghĩa 1.1.5. Trong một đồ thị có hướng, bậc đi ra của một đỉnh là số
lượng cạnh rời khỏi nó, bậc đi vào của một đỉnh là số lượng cạnh nhập vào nó.
Bậc của một đỉnh trong đồ thị có hướng là bậc đi ra cộng bậc đi vào của nó.
Hay ta còn có thể viết dưới dạng sau:
Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng và v ∈ V . Kí hiệu:

11
d+ (v) = {x ∈ V |(v, x) ∈ E}
d− (v) = {y ∈ V |(y, v) ∈ E}
Khi đó |d+ (v)| được gọi là bậc đi ra, |d− (v)| được gọi là bậc đi vào của v.
d(v) = d+ (v) + d− (v)
Đỉnh v được gọi là đỉnh cô lập nếu d+ (v) + d− (v) = 0.
Đỉnh v được gọi là đỉnh treo nếu d+ (v) + d− (v) = 1.

1.1.2

Biểu diễn đồ thị

Biểu diễn đồ thị trên mặt phẳng là một biểu diễn cho ta phép nhìn nhận đối
tượng này một cách khá trực quan. Tuy nhiên, ta vẫn cần tới các biểu diễn khác
của đồ thị để đáp ứng các đòi hỏi khác nhau của các ứng dụng. Và có hai cách
thường dùng để biểu diễn một đồ thị G = (V, E) : sử dụng một danh sách kề
hoặc sử dụng một ma trận kề. Phép biểu diễn danh sách kề cung cấp một cách
gắn gọn để biểu diễn các đồ thị thưa - là những đồ thị mà |E| nhỏ hơn nhiều
so với |V |2 . Phép biểu diễn ma trận kề được ưa dùng khi đồ thị là trù mật -|E|
sát với |V |2 hoặc khi ta cần nhanh chóng biết một cạnh nối hai đỉnh đã cho hay
không.
Biểu diễn đồ thị bằng danh sách kề
Trong khoa học máy tính, danh sách kề là một cấu trúc dữ liệu gắn bó chặt chẽ
với việc biểu diễn đồ thị.
Phép biểu diễn danh sách kề của một đồ thị G = (V, E) gồm một mảng Adj
có độ lớn là |V |, ứng với các đỉnh của V . Với mỗi đỉnh u của đồ thị, ta cho
tương ứng với nó một danh sách các đỉnh kề với u, nghĩa là sao cho có cạnh

12
(u, v) ∈ E.
Nếu G là một đồ thị có hướng thì tổng các chiều dài của tất cả các danh sách kề
là |E|, bởi mỗi cạnh (u, v) thể hiện v xuất hiện trong Adj[u].
Nếu G là một đồ thị vô hướng thì tổng các chiều dài của tất danh sách kề là
2|E|, vì nếu (u, v) là một cạnh vô hướng thì u xuất hiện trong danh sách kề của
v và ngược lại.
Danh sách kề có thể thay đổi để biểu diễn đồ thị có trọng số. Khi đó, trọng số
w(u, v) của cạnh (u, v) được lưu trữ với đỉnh v trong danh sách kề của u.
Một nhược điểm của phép biểu diễn danh sách kề đó là để xác định xem một
cạnh đã cho (u, v) có tồn tại trong đồ thị hay không, ta không còn cách nào
nhanh hơn là tìm kiếm v trong danh sách kề Adj[u].Có thể khắc phục nhược
điểm này bằng một phép biểu diễn ma trận kề của đồ thị, để đổi lại, ta phải
dùng nhiều bộ nhớ hơn.
Ví dụ 1.1.3. Hai phép biểu diễn đồ thị vô hướng Hình 1.1a.

(a) Biểu diễn danh sách kề của G

(b) Biểu diễn ma trận kề của G

Hình 1.3: Hai phép biểu diễn đồ thị vô hướng trong hình 1.1a

Ví dụ 1.1.4. Hai phép biểu diễn của đồ thị có hướng Hình 1.1b


13

(a) Biểu diễn danh sách kề của G

(b) Biểu diễn ma trận kề của G

Hình 1.4: Hai phép biểu diễn đồ thị có hướng trong hình 1.1b

Biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề
Xét đơn đồ thị vô hướng G = (V, E) với tập đỉnh V = {v1 , v2 , . . . , vn }. Khi đó
ma trận kề của đồ thị G là ma trận



A = (aij )n×n

 a11 a12 . . . a1n 


 a21 a22 . . . a2n 


=

. . .





an1 an2 . . . ann

trong đó:

aij =






1, nếu (vi , vj ) ∈ E


0, nếu (vi , vj ) ∈
/E


14
Dễ thấy rằng ma trận kề A của đồ thị có hướng G hoàn toàn xác định G. Vì
vậy, ma trận kề được coi là một biểu diễn của G. Ta có một số tính chất:
Tính chất 1.1.1.

i. Ma trận kề của đồ thị vô hướng là một ma trận đối xứng.

ii. Tổng các phần tử trên dòng i (cột j) bằng bậc của đỉnh tương ứng.
Cũng tương tự phép biểu diễn danh sách kề của một đồ thị, phép biểu diễn
ma trận kề có thể được dùng cho các đồ thị có trọng số. Khi đó, nếu G là một
đồ thị có trọng số, ta có ma trận
A = (aij )n×n
trong đó:

aij =





w(vi , vj ), nếu (vi , vj ) ∈ E


0,

nếu (vi , vj ) ∈
/E

Ví dụ 1.1.5. Ví dụ về danh sách kề và ma trận kề có trọng số cho đồ thị trong
ví dụ 1.2a.

(a) Biểu diễn danh sách kề của G

(b) Biểu diễn ma trận kề của G

Hình 1.5: Hai phép biểu diễn đồ thị có trọng số trong hình 1.2a


15

1.2

ĐƯỜNG ĐI VÀ TÍNH LIÊN THÔNG

1.2.1

Đường đi và chu trình

Xét một đồ thị vô hướng
Giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng. Một đường đi trong G là một dãy
v0 e1 v1 e2 v2 . . . en vn sao cho:
+ Với mọi i = 0, 1, 2, .., n, vi ∈ V ,
+ Với mọi i = 1, 2, . . . , n, ei ∈ E và ei = (vi−1 , vi ) hoặc ei = (vi , vi−1 ).
Khi đó, n được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, đỉnh vn được gọi là
đỉnh cuối của đường đi trên.
Một chu trình là một đường có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Một đường đi đơn (chu trình đơn) là một đường đi (chu trình) không đi qua
cạnh nào quá một lần.
Xét một đồ thị có hướng
Hoàn toàn tương tự, ta có các định nghĩa với đồ thị có hướng.
Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng. Một đường đi trong G là một dãy
v0 e1 v1 e2 v2 . . . en vn sao cho:
+ Với mọi i = 0, 1, 2, .., n, vi ∈ V ,
+ Với mọi i = 1, 2, . . . , n, ei ∈ E và ei = (vi−1 , vi ).
Khi đó n được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, đỉnh vn được gọi là
đỉnh cuối của đường có htoán lựa chọn đường truyền tin với chi phí nhỏ nhất trong mạng
thông tin,. . . Và để giải quyết những bài toán đó, các thuật toán được xây dựng
dựa trên cơ sở lý thuyết đồ thị tỏ ra là các thuật toán có hiệu quả. Trong chương
này chúng ta sẽ xét một số thuật toán như vậy.


20

2.1

BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

Cho một đồ thị có hướng có trọng số G = (V, E, w). Độ dài một đường đi

p = (v0 v1 ...vk ) được định nghĩa bởi:
w(p) =

k
1

w(vi−1 , vi )

Ta định nghĩa khoảng cách đường đi ngắn nhất δ(u, v) từ u đến v bởi công thức:

δ(u, v) =




min w(p), nếu có một lộ trình từ u đến v


∞,

nếu không có một lộ trình từ u đến v

Khi đó, một đường đi p từ u đến v là ngắn nhất nếu w(p) = δ(u, v).
Ta có thể có các dạng của bài toán:
1. Cho trước 2 đỉnh. Tìm một đường đi ngắn nhất giữa chúng.
2. Cho trước 1 đỉnh. Tìm một đường đi ngắn nhất từ đỉnh đó đến các đỉnh còn
lại.
3. Cho trước 1 đỉnh. Tìm một đường đi ngắn nhất từ mỗi đỉnh đến đỉnh đó.
4. Tìm một đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh.
Ta dễ dàng nhận thấy, bài toán thứ hai và thứ ba là bài toán ngược của nhau, nên

độ khó là tương đương.
Bài toán thứ nhất là trường hợp con của bài toán thứ hai, và bài toán thứ hai là
trường hợp con của bài toán thứ tư.
Tuy nhiên, ta sẽ thấy rằng thực chất việc giải bài toán thứ nhất không đơn giản


21
hơn giải bài toán thứ hai, vì muốn tìm đường ngắn nhất giữa hai đỉnh, ta vẫn
phải khảo sát cả đồ thị.
Ngược lại, việc giải bài toán thứ hai lại thực sự đơn giản hơn bài toán thứ tư, và
một trong những thuật toán có độ phức tạp thấp để giải bài toán thứ tư là gọi n
lần bài toán thứ hai, mỗi lần chọn đỉnh nguồn là một đỉnh của đồ thị.

2.2

THUẬT TOÁN DIJKSTRA

Thuật toán Dijkstra được mang tên nhà khoa học máy tính người Hà Lan
Edsger Dijkstra vào năm 1956 và công bố năm 1959, là một thuật toán giải
quyết bài toán đường đi ngắn nhất nguồn đơn trong một đồ thị có hướng liên
thông không có cạnh mang trọng số âm.
Dữ kiện của bài toán quy về việc xét bài toán thứ nhất.
Trong phần này, ta sẽ tập trung vào mô tả thuật toán và chứng minh tính đúng
đắn của thuật toán. Độ phức tạp sẽ thừa nhận, không chứng minh.

2.2.1

Mô tả thuật toán

Thuật toán áp dụng cho các đồ thị liên thông có trọng số không âm.

Trong thuật toán này, ở mỗi bước, ta đã xét thêm được một đỉnh v, xác định
được đường đi ngắn nhất từ s đến v. Mục đích của việc cập nhật là để xét các
đỉnh lân cận u với v xem đường đi mới từ s đến u và thông qua v có ngắn hơn
đường đi cũ hay không, nếu ngắn hơn thì ta thay thế nó cho đường đi cũ, và v
sẽ được gán cho p[u].


22
Giả mã:
Input: G = (V, E, w); s ∈ V
Output: Một đường đi ngắn nhất từ s đến v SP (s, v); ∀v ∈ V ;
begin
d[v]: độ dài đường đi ngắn nhất từ s đến v;
p[v]: đỉnh trước v trong đường đi từ s đến v;
S := ∅;
Q := {s};
foreach {v ∈ V } do
if {v = s} then
d[v] := 0;
else
d[v] := ∞;
p[v] := null;
Q := Q ∪ {v}
end
end
while {Q = ∅} do
v := đỉnh trong Q sao cho d[v] nhỏ nhất
for {u ∈ Adj(v) and u ∈
/ S} do
if {d[u] > d[v] + d[v, u]} then

d[u] := d[v] + d[v, u];
p[u] := v;
if {u ∈
/ Q} then
Q := Q ∪ {u};
end
end
end
S := S ∪ {v};
Q := Q \ {v};
end
end
Algorithm 1: Thuật toán Dijkstra


23

2.2.2

Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán

Ta có nhận xét sau:
Nếu tại thời điểm t, d[u] < ∞ thì tồn tại một đường đi từ s đến u mà chỉ đi qua
những đỉnh thuộc S.
Trong quá trình chứng minh, ta kí kiệu thêm biến chỉ số thời gian, St , Qt , dt [v]
là S, Q, d[v] tại thời điểm t.
Gọi δ(v) là độ dài đường đi ngắn nhất từ s đến v trên đồ thị G.
Để chứng minh thuật toán trên đúng đắn, ta sẽ chứng minh các điều sau:
1. Nếu v ∈ St thì dt [v] = δ(v).
2. Nếu u ∈ Qt thì dt (u) là độ dài đường đi ngắn nhất từ s đến u mà chỉ đi qua

các đỉnh trong St .
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo t ≥ 1.
Giả sử ý 1 và ý 2 đúng đến thời điểm t − 1. Ta cần chứng minh ý 1 và ý 2 đúng
tại thời điểm t.
* Chứng minh 1
Giả sử v là điểm được thêm vào tại thời điểm t:
St = St−1 ∪ {v}
Giả sử có một đường đi p∗ từ s đến v sao cho w(p∗ ) < dt [v].

Hình 2.1: Minh họa cho chứng minh ý 1.


24
Vì dt [v] = dt−1 [v] là độ dài đường đi ngắn nhất từ s đến v và chỉ đi qua các đỉnh
thuộc St−1 (dựa vào tính chất 2 trong thời gian t − 1) nên p∗ chứa ít nhất 1 đỉnh
nằm ngoài St−1 .
Gọi z là đỉnh đầu tiên như thế trên p (tính từ s).
Gọi p1 là một đường đi từ s đến z chỉ đi qua các đỉnh thuộc St−1 , p2 là một
đường đi từ z đến v. Khi đó:
w(p∗ ) = w(p1 ) + w(p2 ) > w(p1 ) ≥ dt−1 [z]
(Vì p1 là đường đi từ s đến z chỉ đi qua các đỉnh thuộc St−1 nên w(p1 ) ≥ d[z].)
Mặt khác, w(p∗ ) < dt [v] = dt−1 [v].
Suy ra dt−1 [v] > dt−1 [z], mâu thuẫn với cách chọn v.
Vậy điều giả sử là sai, hay dt [v] = δ(v).
* Chứng minh 2
Ta có, dt [u] = min{dt−1 [u], dt [v] + d[v, u]}, với u ∈ Adj(v).
Gọi p là một đường ngắn nhất từ s đến u chỉ đi qua các đỉnh thuộc St .Ta phải
chứng minh dt [u] = w(p).
Mà theo định nghĩa, dt [u] ≥ w(p), nên ta chỉ cần chứng minh dt [u] ≤ w(p).
Trường hợp 1: p không đi qua v thì p chỉ đi qua các đỉnh thuộc St−1 , nên theo

giả thiết quy nạp, ta có:
w(p) ≥ dt−1 [u] ≥ dt [u].

Hình 2.2: Minh họa cho chứng minh ý 2 trường hợp 1.


25
Trường hợp 2: Nếu p đi qua v nhưng v không phải đỉnh kề trước của u trong
p.
Gọi z là đỉnh liền trước u trong p (z = v).

Hình 2.3: Minh họa cho chứng minh ý 2 trường hợp 2.
Vì z thêm vào tại thời điểm t ≤ t − 1 nên theo giả thiết quy nạp, tồn tại một
đường đi ngắn nhất p từ s đến z sao cho p nằm trọn trong St−1 .
Suy ra δ(z) = dt−1 [z] = w(p ).
Ta gọi p1 là một đường đi từ s đến z qua v.
Khi đó, w(p1 ) ≥ dt−1 [z].
Đường p + (z, u) là một đường từ s đến u mà chỉ đi qua các đỉnh thuộc St−1
nên:
w(p + (z, u)) ≥ dt−1 [u].
Khi đó ta có:
w(p) = w(p1 ) + d[z, u]
≥ w(p ) + d[z, u]
≥ dt−1 [u]
≥ dt [u].
Vậy w(p) ≥ dt [u].