đề và đáp án HSG lớp 10 ( cực hay !)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN - LỚP 10
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3điểm)
Giải phương trình:
2 2
3
3 2 3 2 ( 1)
2
x x x x
+ − − + = +
Bài 2: (3,5điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y

+ + =


+ =



Bài 3: (3,5điểm)
Cho a và b là hai số thực dương , m là số tự nhiên.
Chứng minh:
1
1 1 2

m m
m
b a
a b
+
   
+ + + ≥
 ÷  ÷
   

Bài 4: (3điểm)
Tìm m để phương trình:
2 2
3 0x mx m
− + − =
có hai nghiệm
1 2
,x x
là độ dài các
cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 2.
Bài 5: (3,5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A , gọi l là đường phân giác trong của góc A.
Chứng minh:
2bc
l
b c
=
+
Bài 6: (3,5điểm)
Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(4;6) cắt trục Ox , Oy theo

thứ tự tại
( ) ( )
a;0 , 0;A B b
(với a > 0 , b > 0) và sao cho diện tích tam giác OAB bé nhất.

……………………Hết…………………..
ĐÁP ÁN
Bài1: Giải phương trình
*Đưa pt về:
2 2
2 3 3 2 2 3 2 0x x x x− + − − + =
*Đặt :
2
2 3 2,t x x t o= − + ≥
3đ
05
05
05
*Nên:
1
1 1 2 4 2
m m
m m
b a
a b
+
   
+ + + ≥ =
 ÷  ÷
   

Bài 4: Định m
075
3đ
*Đưa pt về:
2
2 1 0t t− + =
*Giải được:
1t =
*Giải được:
1
1,
2
x x= =
*Kết luận.
Bài2: Giải hệ phương trình
*Điều kiện:
0, 0x y≥ ≥

*Đặt:
, .S x y P x y xy= + = =

*Theo đề: S = 4
*Nên: x + y = 16 – 2P
*Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:

2
(x+y) 2 2 8 2xy xy− + =
*Hay:
( )
2

2
16 2 2 2 8 2P P P− − + =

( )
2
2 32 128 8 2 2P P P⇔ − + = −

2
32 128 8P P P⇔ − + = −

( )
2
2
8
32 128 8
P
P P P
≤


⇔

− + = −



4P
⇔ =
*Nên
;x y

là nghiệm của pt:

2
1 2
4 4 0 2X X X X− + = ⇔ = =

*Kết luận:Nghiệm của hệ:
4
4
x
y
=


=

Bài 3:Chứng minh bđt
* a > 0,b > 0 nên
1 0,1 0
b a
a b
+ > + >
*Áp dụng bđt Cosi :

1 1 2 1 1
m m m m
b a b a
a b a b
       
+ + + ≥ + +

 ÷  ÷  ÷  ÷
       

*Hay:
1 1 2 2
m m m
b a b a
a b a b
     
+ + + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
* Áp dụng bđt Cosi cho 2 số
0, 0
b a
a b
> >
:
05
05
05
35đ
025
025
025
025
025
05
025
05

025
025
05
3đ
05
075
05
05
3,5đ
*Điều kiện:
1 2
0
0 0
0
x x P
S
∆ ≥


< ≤ ⇔ >


>


( )
2 2
2
4 3 0
3 0

0
m m
m
m

− − ≥


⇔ − >


>



2
2
4
3
0
m
m
m

≤

⇔ >


>



3 2m⇔ < <
*Theo Pitago và giả thiết:
2 2
1 2
4x x+ =

( )
( )
2
1 2 1 2
2 2
2
2 4
2 3 4
2
2
x x x x
m m
m
m
⇔ + − =
⇔ − − =
⇔ =
⇔ = ±
*Kết luận:Không có giá trị nào của m để
1, 2
x x
Là hai cạnh góc vuông của một tam giác

có cạnh huyền là 2.
Bài 5: Chứng minh
*Ta có:
1
2
ABC
S bc=

1 1 2
sin 45
2 2 2
ABD
S cl cl= =
o

1 1 2
sin 45
2 2 2
ACD
S bl bl= =
o

ABC ABD ACD
S S S= +
*Nên:
2 2
2 2
bc cl bl= +

( )

2
2
2
bc l b c
bc
l
b c
⇔ = +
⇔ =
+
05
05
05
05
025
025
025
025
025
025
3,5đ
05
05
05
05
05
05
05
Ta có:
2

b a
a b
+ ≥

Bài 6:Viết phương trình đường thẳng d
*Ta có pt AB có dạng:
1
x y
a b
+ =
*
( )
4 6
4;6 1M AB
a b
∈ ⇒ + =
*Mà :
4 6 24
2
a b ab
+ ≥
(Theo Cosi)
*Nên:
24 1 24
1 2 96
4
ab
ab ab
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
*Do đó:

48dt OAB∆ ≥
*Dấu “ = “ xảy ra khi:

4 6 3
2
a
b
a b
= ⇔ =
*Suy ra:
8
8( ai)
a
a lo
=


= −


*Nên:
8 12a b
= ⇒ =
*Diện tích tam giác OAB bé nhất là 48 khi :

8, 12a b= =
*Vậy pt AB là:
1
8 12
x y

+ =
05
025
025
05
025
05
025
025
05
025
*Kết luận.