Tóm tắt lý thuyết và bài tập Toán 11 Chương 4 giới hạn có giải chi tiết

Chương 4: Giới hạn – ĐS>11

STBSAQ

PHẦN I: ĐỀ BÀI
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIỚI HẠN HỮU HẠN
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1
lim = 0 lim k = 0 ( k ∈ ¢ + )
n →+∞ n
n →+∞ n
;

lim q n = 0 ( q < 1)

n →+∞

;

lim C = C

n →+∞

2. Định lí :
lim un = a, lim vn = b
a) Nếu
thì
lim ( un + vn ) = a + b

•
lim ( un – vn ) = a – b
•
lim ( un .vn ) = a.b
•
u
a
lim n =
vn b (nếu b ≠ 0)
•

b) Nếu un ≥ 0 , ∀n và lim un = a
lim un = a
thì a ≥ 0 và
u ≤ vn ∀n
c) Nếu n
,
và lim vn = 0
lim un = 0
thì
lim un = a
d) Nếu lim un = a thì
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u
S = u1 + u1q + u1q 2 + … = 1
1 − q ( q < 1)

GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt:
lim n k = +∞ ( k ∈ ¢ + )

lim n = +∞

lim q n = +∞
2. Định lí:
a) Nếu

(q > 1)

lim un = +∞

lim

thì

1
=0
un
lim

lim un = a lim vn = ±∞
,
thì
lim un = a ≠ 0 lim vn = 0
c) Nếu
,
neá
u a.vn > 0
u +∞

lim n = 

vn  −∞ neá
u a.vn < 0
thì
lim un = +∞ lim vn = a ≠ 0
d) Nếu
,
+∞ neá
u a> 0
lim(un.vn ) = 
u a< 0
 −∞ neá
thì
b) Nếu

un
=0
vn

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
0 ∞
định: 0 , ∞ , ∞ – ∞ , 0.∞ thì phải tìm cách khử
dạng vô định.

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp:

• Để chứng minh lim un = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao
u < a ∀n > na
cho n

.
• Để chứng minh lim un = l ta chứng minh lim(un − l ) = 0 .
• Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên
nM
u > M ∀n > nM
sao cho n
.
lim
u
=
−∞
lim(−un ) = +∞
n
• Để chứng minh
ta chứng minh
.
• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Câu 1. Giá trị của

lim

1
n + 1 bằng

Trang 1


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
STBSAQ

A. 0.
B. 1.
1
lim k
n ( k ∈ ¥ *) bằng
Câu 2. Giá trị của
A. 0.

B. 2.
Câu 3. Giá trị của lim(2n + 1) bằng
A. +∞.
B. −∞.

1− n
n bằng
Câu 4. Giá trị của
A. +∞.
B. −∞.
2
lim
n + 1 bằng
Câu 5. Giá trị của
A. +∞.
B. −∞.

C. 2.

D. 3.

C. 4.

D. 5.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 2.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

1
.
C. 2

D. 1.

C. −3.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

2

lim

Câu 6. Giá trị của
A. +∞.

lim

n +1
n + 2 bằng
B. −∞.

3n3 + n
n2
Câu 7. Giá trị của
bằng
A. +∞.
B. −∞.
2−n
lim
n + 1 bằng
Câu 8. Giá trị của
A. +∞.
B. −∞.
2n + 1
A = lim
n − 2 bằng
Câu 9. Giá trị của
lim

B. −∞.
2n + 3
B = lim 2
n + 1 bằng
Câu 10. Giá trị của
A. +∞.

B. −∞.
A. +∞.

Câu 11. Giá trị của
A. +∞.
Câu 12. Giá trị của

C = lim

A = lim

n2 + 1
n + 1 bằng
B. −∞.
n−2 n
2n
bằng

B. −∞.
n sin n − 3n 2
B = lim
n2
Câu 13. Giá trị của
bằng
A. +∞.
B. −∞.
1
C = lim 2
n + 2 n + 7 bằng
Câu 14. Giá trị của

A. +∞.

A. +∞.

B. −∞.

Trang 2


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
STBSAQ
4n + 1
D = lim
n 2 + 3n + 2 bằng
Câu 15. Giá trị của
A. +∞.
B. −∞.

C. 0.

D. 4.

n
Câu 16. Giá trị của lim a với a > 0 bằng
A. +∞.
B. −∞.

C. 0.

D. 1.

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC
GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:
• Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
f (n)
lim
g (n) ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và
• Khi tìm
mẫu.
lim  k f (n) − m g (n) 
• Khi tìm
trong đó lim f ( n) = lim g ( n) = +∞ ta thường tách và sử dụng
phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:

( 3 a − 3 b ) ( 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2 ) = a − b
a − b ) ( a + b ) = a − b;
• Dùng định lí kẹp: Nếu un ≤ vn , ∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
• Nếu bậc của tử < bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
• Nếu bậc của từ = bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa
cao nhất của tử và của mẫu.
• Nếu bậc của tử > bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của tử và
mẫu cùng dấu và kết quả là −∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
(

n cos 2n 

lim  5 − 2

÷
n + 1  là

Câu 17. Kết quả đúng của

A. 4.

B. 5.
2n + 1
A = lim
1 − 3n bằng
Câu 18. Giá trị của
B. −∞.
4n 2 + 3n + 1
B = lim
(3n − 1) 2 bằng
Câu 19. Giá trị của
A. +∞.

B. −∞.
− n 2 + 2n + 1
lim
3n 4 + 2 là
Câu 20. Kết quả đúng của
A. +∞.

A.

−

3
.
3

2
− .
B. 3

C. –4.

1
.
D. 4

2
− .
C. 3

D. 1.

4
.
C. 9

D. 1.

1
− .
C. 2

1
.
D. 2

Trang 3


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
Câu 21. Giới hạn dãy số

( un )

A. −∞.

với

STBSAQ

un =

3n − n 4
4n − 5 là
3
.
C. 4

B. +∞.
n3 − 2n + 5
3 + 5n

lim

Câu 22. Chọn kết quả đúng của

2
.
A. 5.
B. 5
2n 2 + 3n + 1
A = lim 2
3n − n + 2 bằng
Câu 23. Giá trị của

B = lim
Câu 24. Giá trị của
A. +∞.
Câu 25. Giá trị của
A. +∞.

Câu 27. Giá trị của
A. +∞.
F = lim

C = lim

+ 1)

( n + 2)

n17 + 1

4

C. 16.

D. 1.

1− 3 3
.
4
2
−
1
C.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

C. 8.

D. 1.

1
.
C. 4

D. 1.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 1.
Trang 4

bằng

2n 4 + n + 2 − n bằng

4

3n3 + 1 − n

2n 4 + 3n + 1 + n bằng
B. −∞.
(n − 2)7 (2n + 1)3
(n 2 + 2)5
bằng
B. −∞.
n3 + 1
n(2n + 1) 2 bằng

B. −∞.
n3 − 3n 2 + 2
D = lim 4

n + 4n3 + 1 bằng
Câu 30. Giá trị của
A. +∞.
B. −∞.
Câu 31. Giá trị của
A. +∞.

C. 0.

1
.
D. 1 − 3

n 2 + 1 − 3 3n3 + 2

A. +∞.

E = lim

D. 1.

9

B. −∞.

C = lim

Câu 29. Giá trị của

2

4

B. −∞.

A. +∞.

2
.
C. 3

n − 3n 2 + 1 bằng

( 2n
C = lim

Câu 26. Giá trị của

D. +∞.

n 2 + 2n

B. −∞.

D = lim

Câu 28. Giá trị của
A. +∞.

C. −∞.

B. −∞.

A. +∞.

D. 0.

n 3 + 2n + 1
n+2
bằng
B. −∞.


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
F = lim
Câu 32. Giá trị của

4

STBSAQ

n 4 − 2n + 1 + 2 n
3

3n3 + n − n

bằng

B. −∞.

A. +∞.

C.

Câu 35. Tính giới hạn:
A. 1.
Câu 36. Tính giới hạn:

lim

B. 0.
1 + 3 + 5 + .... + ( 2n + 1)

C. −1.

1
.
D. 2

2
.
C. 3

lim 3 +

D. 1.

n2 −1 1
−
3 + n 2 2n .

A. 4.

B. 3.
2 − 5n − 2
lim n
3 + 2.5n là
Câu 38. Kết quả đúng của
5
1
− .
− .
A. 2
B. 50

C. 2.

1
.
D. 2

5
.
C. 2

D.

C. 0.

D. 1.

1
− .
C. 3

D. 1.

B. +∞.

C. 2.

D. −2.

B. 1.

C. 0.

D. −∞.

−

25
.
2

n −1

3 − 4.2 − 3
3.2n + 4n
bằng

n

Câu 39.
A. +∞.

D. −∞.

3n 2 + 4

Câu 37. Chọn kết quả đúng của

lim

C. 0.

n +1 − 4
n +1 + n

1
.
B. 3

A. 0.

D. 1.

4

Câu 33. Cho dãy số
với

A. −∞.
B. 0.
10
lim
n 4 + n 2 + 1 bằng
Câu 34.
A. +∞.
B. 10.

lim

3
.
3 −1

2n + 2
n + n 2 − 1 . Chọn kết quả đúng của lim un là
C. 1.
D. +∞.

un = ( n − 1)

un

3

B. −∞.
3.2n − 3n
C = lim n +1 n +1
2 + 3 bằng

Câu 40. Giá trị của
A. +∞.
Câu 41. Giá trị đúng của
A. −∞.

B. −∞.
lim ( 3n − 5n )

là

5 −1
3n + 1 bằng
n

lim

Câu 42.
A. +∞.

Trang 5


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
Câu 43.

lim 4

STBSAQ

4n + 2n +1

3n + 4n + 2 bằng
1
.
B. 2

A. 0.

1
.
C. 4

D. +∞.

A. +∞.

3.3n + 4 n
3n +1 + 4n +1 bằng
1
.
B. 2

C. 0.

A. +∞.

B. 0.

C. −2.

D. −∞.

C. 3.

D. 1.

1
.
C. 2

D. 1.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 3.

1
.
C. 3

D. 1.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

Câu 44. Giá trị của

C = lim

D. 1.
1 + a + a 2 + ... + a n
I
=
lim
a < 1; b < 1
1 + b + b2 + ... + b n .
Câu 45. Cho các số thực a, b thỏa
. Tìm giới hạn
1− b
.
A. +∞.
B. −∞.
C. 1 − a
D. 1.
nπ


lim  n 2 sin

− 2n 3 ÷
5

 bằng
Câu 46.

Câu 47. Giá trị của
A. +∞.
Câu 48. Giá trị của

M = lim

Câu 49. Giá trị của
A. +∞.

B = lim

Câu 52. Giá trị của

Câu 54. Giá trị của
A. +∞.

n2 + n + 1 − n

B. −∞.

(

2n 2 + 1 − n

(

lim

B = lim

) bằng

) bằng

D = lim

N = lim

3

n3 + 9n 2 − n

) là

) bằng

B. −∞.

(

M = lim

n 2 − 1 − 3n 2 + 2

B. −∞.

(

A. +∞.
Câu 53. Giá trị của
1
− .
A. 12

) bằng

B. −∞.

Câu 50. Giá trị đúng của
A. +∞.
Câu 51. Giá trị của
A. +∞.

n 2 + 6n − n

B. −∞.

(

H = lim

A. +∞.

(

n 2 + 2n − 3 n 3 + 2 n 2

(

(

B. −∞.
3

1 − n 2 − 8n 3 + 2 n

) bằng

B. −∞.
4n 2 + 1 − 3 8n 3 + n

B. −∞.

) bằng

) bằng

Trang 6


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
Câu 55. Giá trị của

K = lim

A. +∞.
Câu 56. Giá trị của
A. +∞.

N = lim

(

(

3

STBSAQ

n 3 + n 2 − 1 − 3 4 n 2 + n + 1 + 5n

B. −∞.
3

n3 + 3n 2 + 1 − n

) bằng

C.

−

) bằng

5
.
12

B. −∞.
C. 0.
lim  n n + 1 − n − 1 

 là
Câu 57. Giá trị đúng của
A. −1.
B. 0.
C. 1.
Câu 58. Giá trị của

(

H = lim n

A. +∞.
Câu 59. Giá trị của
A. +∞.

A = lim

(

3

8n 3 + n − 4 n 2 + 3

B. −∞.

(

n 2 + 2n + 2 + n

D = lim
Câu 61. Giá trị của

Câu 62. Giá trị của
A. +∞.

) bằng

) bằng

B. −∞.

5
5
2
Câu 60. lim 200 − 3n + 2n bằng
A. 0.
B. 1.

A. +∞.

)

n +1

B. −∞.
F = lim n + 1 + n

(

)

D. 1.

C. 2.

D. 1.

C. +∞.

D. −∞.

2
.
3
C.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

bằng

B. −∞.

B = lim

3

D. 1.

n 6 + n + 1 − 4 n 4 + 2n − 1
(2n + 3)2
.

B. −∞.
C. 3.
n. 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
u
=
n
lim un
2n 2 + 1
Câu 65. Tìm
biết
1
.
A. +∞.
B. −∞.
C. 2
A. +∞.

biết

D. +∞.

n 2 ( 3n 2 + 2 − 3n 2 − 1) bằng

Câu 64. Tính giới hạn của dãy số

Câu 66. Tìm
A. +∞.

D. 1.

2
− .
C. 3

(n + 1) 13 + 23 + ... + n 3
un =
3n3 + n + 2
Câu 63. Tính giới hạn của dãy số
.
1
.
A. +∞.
B. −∞.
C. 9

lim un

D. 1.

−3
.
D. 4

D. 1.

un = 2 2... 2
1 42 43
n dau can

B. −∞.

C. 2.

D. 1.
Trang 7


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11

STBSAQ
1
 1 1 1

S = 2 1 + + + + ... + n + ....... ÷
2
 2 4 8

.
Câu 67. Tìm giá trị đúng của
A.

2 + 1.

Câu 68. Tính giới hạn
A. 0.
Câu 69. Tính giới hạn
A. 1.

B. 2.
 1
1
1 
lim  +
+ .... +

n ( n + 1) 
1.2 2.3
B. 1.
 1

1
1
lim  +
+ .... +

n ( 2n + 1) 
1.3 3.5

B. 0.

 1

1
1
lim  +
+ .... +

n ( n + 2) 
1.3 2.4
Câu 70. Tính giới hạn
3
.
A. 4
B. 1.

 1
1
1 
lim  +
+ ... +
n( n + 3)  .
1.4 2.5
Câu 71. Tính giới hạn
11
.
A. 18
B. 2.

C. 2 2.

1
.
D. 2

3
.
C. 2

D. +∞.

2
.
C. 3

D. 2.

C. 0.

2
.
D. 3

C. 1.

3
.
D. 2


1 
1 
1 
lim 1 − 2 ÷ 1 − 2 ÷...  1 − 2 ÷
 2  3   n   .
Câu 72. Tính giới hạn
1
1
.
.
A. 1.
B. 2
C. 4

3
.
D. 2

GIỚI HẠN HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt:
+∞ neá
lim x = x0
lim c = c
u k chaü
n

k
x → x0
x → x0
lim
x
=
k

;
(c :
lim x = +∞ x→−∞
u k leû
−∞ neá
x →+∞
;
hằng số)
c
2. Định lí:
lim k = 0
lim c = c
x
→±∞
x →±∞
x
;
lim f ( x) = L
lim g ( x) = M
x → x0
x → x0
a) Nếu

và
1
1
lim− = −∞
lim+ = +∞
thì:
x →0 x
x →0 x
;
lim [ f ( x) + g ( x) ] = L + M
1
1
lim = lim+ = +∞
• x→ x0
x → 0− x
x→0 x
lim [ f ( x) − g ( x)] = L − M
2. Định lí:
• x → x0
lim f ( x) = L ≠ 0
lim g ( x) = ±∞
x → x0
x → x0
lim [ f ( x).g ( x) ] = L.M
Nếu
và
thì:
x → x0
•

Trang 8


Chng 4: Gii hn S>11
f ( x) L
lim
=
x x0 g ( x )
M (nu M 0 )

b) Nu f ( x) 0 v

STBSAQ

lim f ( x) = L

x x0

lim f ( x ) = L
thỡ L 0 v x x0
lim f ( x) = L
lim f ( x ) = L
c) Nu x x0
thỡ x x0
3. Gii hn mt bờn:
lim f ( x) = lim+ f ( x) = L
lim f ( x) = L
x x0
x x0
x x0

+ neỏ
u L vaứlim g(x) cuứ
ngdaỏ
u
x x0

lim f (x)g(x) =
x x0
u L vaứlim g(x) traự
i daỏ
u
neỏ
x x0
0 neỏ
u lim g(x) =
x x0

f (x)
lim
= + neỏ
u lim g(x) = 0 vaứL .g(x) > 0
x x0 g(x)
x x0

u lim g(x) = 0 vaứL.g(x) < 0
neỏ
x x0

0

* Khi tớnh gii hn cú mt trong cỏc dng vụ nh: 0 ,

, , 0. thỡ phi tỡm cỏch kh dng vụ nh.

B BI TP
DNG 1: TNH GII HN DNG BNG NH NGHA HOC TI MT
IM
Phng phỏp:
+ S dng nh ngha chuyn gii hn ca hm s v gii hn ca dóy s.
f ( x0 )
+ Nu f ( x ) l hm s cho bi mt cụng thc thỡ giỏ tr gii hn bng
.
+ Nu f ( x ) cho bi nhiu cụng thc, khi ú ta s dng iu kin hm s cú gii hn (Gii hn
trỏi bng gii hn phi).
x3 + 2 x 2 + 1
lim
5
Cõu 73. Chn kt qu ỳng trong cỏc kt qu sau ca x 1 2 x + 1 l
A. 2.

1
.
B. 2

1
.
C. 2

D. 2.

4 x3 1
2
Cõu 74. x2 3 x + x + 2 bng
lim

11
11
.
.
A. .
B. 4
C. 4
x +1
lim
Cõu 75. Tỡm gii hn hm s x1 x 2 bng nh ngha.
A. +.
B. .
C. 2.


lim ( x 3 + 1)
Cõu 76. Tỡm gii hn hm s x 2
bng nh ngha.
A. +.
B. .
C. 9.

Cõu 77. Tỡm gii hn hm s
A. +.

lim
x 1

D. +.

D. 1.
D. 1.

x+32
x 1
bng nh ngha.

B. .

C. 2.

2x2 x + 1
lim
Cõu 78. Tỡm gii hn hm s x x + 2
bng nh ngha.
A. +.
B. .
C. 2.

1
.
D. 4

D. 1.
Trang 9

Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
STBSAQ
3x + 2
lim
Câu 79. Tìm giới hạn hàm số x →1 2 x − 1 bằng định nghĩa.
A. +∞.

Câu 80. Cho hàm số

B. −∞.
4 x2 − 3x
f ( x) =
( 2 x − 1) ( x3 − 2 )

C. 5.

D. 1.

. Chọn kết quả đúng của

lim f ( x)
x →2

5
.
A. 9

5

5
.
.
B. 3
C. 9
x+4 −2
lim
2x
Câu 81. Tìm giới hạn hàm số x →0
bằng định nghĩa.
1
.
A. +∞.
B. 8
C. −2.

2
.
D. 9

D. 1.
 x + ax + 1 khi x > 2
f ( x) =  2
 2 x − x + 1 khi x ≤ 2 .
Câu 82. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x → 2
1
.
A. +∞.
B. −∞.
C. 2

D. 1.
2

5ax 2 + 3 x + 2a + 1
f ( x) = 
2
1 + x + x + x + 2
Câu 83. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x = 0
B. −∞.
 x 2 + ax + 1
f ( x) =  2
 2 x − x + 3a
Câu 84. Tìm a để hàm số.
A. +∞.

A. +∞.

B. −∞.

2
.
C. 2
khi x > 1

khi x ≥ 0
khi x < 0 .
D. 1.

khi x ≤ 1

có giới hạn khi x → 1 .
1
− .
C. 6
D. 1.

0
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0
P( x )
L = lim
x → x0 Q ( x )
1.
với P ( x) , Q( x) là các đa thức và P ( x0 ) = Q ( x0 ) = 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Chú ý:
2
x, x
+ Nếu tam thức bậc hai ax + bx+c có hai nghiệm 1 2 thì ta luôn có sự phân tích
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) .
n
n
n −1
n− 2
n−2
n −1
+ a − b = (a − b)(a + a b + ... + ab + b )
P( x )
L = lim
x → x0 Q ( x )
P ( x0 ) = Q ( x0 ) = 0

2.
với
và P ( x ) , Q( x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Các lượng liên hợp:
( a − b )( a + b ) = a − b
+

Trang 10


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
+

STBSAQ

( 3 a ± 3 b )( 3 a 2 m3 ab + 3 b 2 ) = a − b

n n −1
n n−2
n n −1
n
n
+ ( a − b )( a + a b + ... + b ) = a − b
P( x )
L = lim
x → x0 Q ( x )
P ( x0 ) = Q ( x0 ) = 0
3.
với

và P ( x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
m u ( x ) = n v( x ) = a
m u ( x) − n v( x )
0
0
Giả sử: P(x) =
với
.
m u ( x) − a + a − n v( x)
(
) (
).
Ta phân tích P(x) =
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau:
n u ( x ) − m v ( x ) = ( n u ( x ) − m( x )) − ( m v ( x ) − m( x ))
, trong đó m( x) → c .

x2 + 2x + 1
3
Câu 85. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của x →−1 2 x + 2 là
1
.
A. −∞.
B. 0.
C. 2
lim

Câu 86. Tìm giới hạn

A = lim

x →1

x3 − 3x 2 + 2
x2 − 4x + 3

B. −∞.
x4 − 5x2 + 4
B = lim
x →2
x3 − 8
Câu 87. Tìm giới hạn
A. +∞.

B. −∞.
(1 + 3x )3 − (1 − 4 x) 4
C = lim
x →0
x
Câu 88. Tìm giới hạn
A. +∞.

B. −∞.
(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3 x) − 1
D = lim
x →0
x
Câu 89. Tìm giới hạn
A. +∞.

B. −∞.

2 x2 − 5x + 2
A = lim 3
x →2 x − 3 x − 2
Câu 90. Tìm giới hạn
A. +∞.

B. −∞.
x 4 − 3x + 2
B = lim 3
x →1 x + 2 x − 3
Câu 91. Tìm giới hạn
A. +∞.

B. −∞.
2x + 3 − x
C = lim 2
x →3 x − 4 x + 3
Câu 92. Tìm giới hạn
A. +∞.

D. +∞.

3
.
C. 2

D. 1.

1
− .

C. 6

D. 1.

1
− .
C. 6

D. 25.

1
− .
C. 6

D. 6.

1
.
C. 3

D. 1.

1
.
C. 5

D. 1.

Trang 11

Chương 4: Giới hạn – ĐS>11

STBSAQ
1
− .
C. 3

D. 1.

1
.
C. 6

D. 0.

A. +∞.

1
.
C. 3

D. 0.

A. +∞.

4
.
C. 3

2
.
D. 5

B. −∞.
2x + 3 − 3
C = lim 2
x →3 x − 4 x + 3
Câu 93. Tìm giới hạn
A. +∞.

B. −∞.
3
x +1 −1
D = lim
x →0
2x + 1 −1
Câu 94. Tìm giới hạn
A. +∞.

B. −∞.
4x + 5 − 3
B = lim 3
x →1
5x + 3 − 2
Câu 95. Tìm giới hạn
B. −∞.

∞
∞

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
Phương pháp:
P( x)
∞
L = lim
x →±∞ Q ( x )
P
(
x
),
Q
(
x
)
→
∞
trong đó
, dạng này ta còn gọi là dạng vô định ∞ .
với P ( x) , Q ( x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P ( x ) , Q( x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x .
– Nếu P ( x) , Q( x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân
lượng liên hợp.
Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:
lim x 2 k = +∞
lim x 2 k +1 = +∞
lim x 2 k +1 = −∞
x →+∞
+ x →±∞
;

; x →−∞
k
lim
= 0 (n > 0; k ≠ 0)
x →±∞ x n
+
.
k
lim f ( x) = ±∞ ⇔ lim
= 0 (k ≠ 0)
x → x0
x → x0 f ( x )
+
.
Câu 96.

lim

x →∞

5
3 x + 2 bằng

A. 0.

B. 1.
x4 + 7
lim 4
Câu 97. Giá trị đúng của x →+∞ x + 1 là
A. −1.

B. 1.

C = lim
Câu 98. Tìm giới hạn

x →+∞

5
.
C. 3

D. +∞.

C. 7.

D. +∞.

2 x − 3x2 + 2
5x + x2 + 1

Trang 12


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
A. +∞.

STBSAQ

B. −∞.

2− 3
.
C. 6

D. 0.

1
− .
B. 3

1
.
C. 3

D. 2.

2 x2 −1
2
Câu 99. x→∞ 3 − x bằng
lim

A. −2.
Câu 100. Cho hàm số
1
.
A. 2
lim

Câu 101.
A.

−

x →−∞

1 + 3x

f ( x) =

x2 + 1
lim f ( x)
2 x 4 + x 2 − 3 . Chọn kết quả đúng của x →+∞

2
.
B. 2

D. +∞.

C. 0.

2 x 2 + 3 bằng

3 2
.
2

2
.
B. 2

3

D = lim
Câu 102. Tìm giới hạn
A. +∞.
Câu 103. Tìm giới hạn
A. +∞.
Câu 104. Tìm giới hạn
A. +∞.

1+ x + x
4

3 2
.
C. 2

D.

4
.
C. 3

D. 1.

1
− .
C. 2

D. 0.

1 + x3 + x 4

x →−∞

B. −∞.

E = lim ( x 2 − x + 1 − x)
x →+∞

B. −∞.

F = lim x( 4 x 2 + 1 − x)
x →−∞

4
.
C. 3
lim ( 4 x 5 − 3 x 3 + x + 1)

B. −∞.

lim

Câu 106. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
A. −∞.
B. 0.
C. 1.
x →+∞

(

B = lim x − x 2 + x + 1
x →−∞

Câu 109. Tìm giới hạn

B. −∞.
C = lim

x →+∞

(

x 4 − x3 + x 2 − x

4
.
C. 3

B. −∞.
(2 x + 1)3 ( x + 2) 4
A = lim
x →+∞
(3 − 2 x) 7
Câu 108. Tìm giới hạn

4 x2 + x + 1 − 2 x

)

C.

−

D. 0.
là
D. +∞.

)

A. +∞.

A. +∞.

2
.
2

6

Câu 105. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của x →−∞
A. −∞.
B. 0.
C. 4.

Câu 107. Tìm giới hạn

−

1
.
16

là
D. +∞.

D. 0.

D. 0.

Trang 13


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11

STBSAQ
1
.
C. 2

B. −∞.

A. +∞.
Câu 110. Tìm giới hạn

D = lim

x →−∞

(

3

x3 + x 2 + 1 + x 2 + x + 1

1
− .
C. 6

B. −∞.

A. +∞.

)

D. 0.

D. 0.

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘT BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC
Phương pháp:
1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương.
2. Dạng ∞ – ∞ : Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. Sau đó tìm cách biến đổi đưa
∞
về dạng ∞ .
3. Dạng 0.∞ :
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
 1 2

lim−  2 − 3 ÷
x →0  x
x 
Câu 111. Chọn kết quả đúng của
A. −∞.

B. 0.

C. +∞.

D. Không tồn tại.

C. 1.

D. +∞.

C. 1.

D. +∞.

1
− .
C. 2

D. 0.

1
.
C. 4

D. 0.

x − x +1
x 2 − 1 bằng
2

lim+

Câu 112. x →1
A. −∞.

B. –1.
x−3
lim
x →3 x − 3
Câu 113. Giá tri đúng của
A. Không tồn tại.
B. 0.
Câu 114. Tìm giới hạn
A. +∞.
Câu 115. Tìm giới hạn

A = lim

x →+∞

(

x2 − x + 1 − x

)

B. −∞.

(

B = lim 2 x + 4 x 2 − x + 1
x →−∞

)

B. −∞.
1
1
f ( x) = 3
−
lim f ( x )
x − 1 x − 1 . Chọn kết quả đúng của x →1+
Câu 116. Cho hàm số
2
2
− .
.
A. −∞.
B. 3
C. 3
A. +∞.

Câu 117. Tìm giới hạn
A. +∞.

Câu 118. Tìm giới hạn

D. +∞.

A = lim ( x 2 − x + 1 − x)
x →+∞

B. −∞.

1
− .
C. 2

D. 0.

D = lim ( 3 8x 3 + 2x − 2x)
x →+∞

Trang 14


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11

STBSAQ
1
.
C. 4

B. −∞.

A. +∞.

D. 0.

HÀM SỐ LIÊN TỤC
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
lim f ( x) = f ( x0 )
x
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f ( x ) liên tục tại 0 ⇔ x → x0
• Để xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính

f ( x0 )

.
lim f ( x)

lim+ f ( x) lim− f ( x )
(trong nhiều trường hợp ta cần tính x→ x0
, x→ x0
)
lim f ( x)
f ( x0 )
B3: So sánh x →x0
với
và rút ra kết luận.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f ( x ) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

B2: Tính

x → x0

( a; b ) và
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f ( x) liên tục trên
lim f ( x) = f (a), lim− f ( x) = f (b)

x →a +

x →b

• Hàm số đa thức liên tục trên ¡ .
• Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
x
Giả sử y = f ( x) , y = g ( x ) liên tục tại điểm 0 . Khi đó:
• Các hàm số y = f ( x) + g ( x) , y = f ( x) − g ( x) , y = f ( x).g ( x) liên tục tại x0 .
f ( x)
y=
g ( x) liên tục tại x0 nếu g ( x0 ) ≠ 0 .
• Hàm số

[ a; b] và f (a). f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ ( a; b ) sao cho
4. Nếu y = f ( x ) liên tục trên
f ( c ) = 0.
[ a; b ] và f (a). f (b) < 0 thì phương trình f ( x) = 0 có ít
Nói cách khác: Nếu y = f ( x) liên tục trên
c ∈ ( a; b )
nhất một nghiệm
.
B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Phương pháp:

• Tìm giới hạn của hàm số y = f ( x) khi x → x0 và tính f ( x0 )
lim f ( x )
lim f ( x)
• Nếu tồn tại x → x0
thì ta so sánh x →x0
với f ( x0 ) .

Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
2.

lim f ( x) = l ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = l

x → x0

x → x0

x → x0

.

Trang 15


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11

STBSAQ

 f ( x ) khi x ≠ x0
y=
x = x0 ⇔ lim f ( x) = k
khi x = x0
x → x0
k
3. Hàm số
liên tục tại
.
 f ( x ) khi x ≥ x0
y=
 g ( x) khi x < x0 liên tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi
4. Hàm số
lim+ f ( x ) = lim− g ( x ) = f ( x0 )

x → x0

x → x0

.

Chú ý:
 f ( x ) khi x > x0
y=
 g ( x) khi x ≤ x0 liên tục tại x = x0 khi và chỉ khi
5. Hàm số
lim+ f ( x ) = lim− g ( x ) = g ( x0 )
x → x0

Câu 119. Cho hàm số
tại x = 2 là
A.

.

x → x0

3.

Câu 120. Cho hàm số
A. 1.

f ( x) =

x2 −1
2
x + 1 và f ( 2 ) = m − 2 với x ≠ 2 . Giá trị của m để f ( x ) liên tục

B. − 3.
 sin 5 x

f ( x ) =  5x
a + 2

C. ± 3.

D. ±3.

x≠0

x=0

f x
. Tìm a để ( ) liên tục tại x = 0.

B. −1.
C. −2.
D. 2.
( x + 1) 2 , x > 1

f ( x ) = x2 + 3 , x < 1
k 2
, x =1
f x

Câu 121. Cho hàm số
. Tìm k để ( ) gián đoạn tại x = 1 .
A. k ≠ ±2.
B. k ≠ 2.
C. k ≠ −2.
D. k ≠ ±1.
Câu 122. Chọn giá trị f (0) để các hàm số
A. 1.
B. 2.

f ( x) =

2x +1 −1
x( x + 1) liên tục tại điểm x = 0 .
C. 3.

D. 4.

2x + 8 − 2
3 x + 4 − 2 liên tục tại điểm x = 0 .
Câu 123. Chọn giá trị f (0) để các hàm số
2
1
.
.
A. 1.
B. 2.
C. 9
D. 9
 x + 2a khi x < 0
f ( x) =  2
 x + x + 1 khi x ≥ 0 liên tục tại x = 0
Câu 124. Tìm a để các hàm số
f ( x) =

1
.
A. 2

1
.
B. 4

3

C. 0.

D. 1.

Trang 16


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11

STBSAQ

 3x + 1 − 2
khi x > 1

2
x
−
1
f ( x) = 
2
 a( x − 2) khi x ≤ 1
 x − 3
Câu 125. Tìm a để các hàm số
liên tục tại x = 1
1
1
3
.
.
.
A. 2

B. 4
C. 4
D. 1.

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH
Phương pháp:
+ Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
+ Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia
và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Câu 126. Cho hàm số

f ( x) =

x2 +1
x 2 + 5 x + 6 . Khi đó hàm số y = f ( x ) liên tục trên các khoảng nào

sau đây?
A.

( −3; 2 ) .

B.

( −2; +∞ ) .

C.

( −∞;3) .

D.

( 2;3) .

 a 2 x 2
, x ≤ 2, a ∈ ¡
f ( x) = 
2
f x
( 2 − a ) x , x > 2
Câu 127. Cho hàm số
. Giá trị của a để ( ) liên tục trên ¡

là
A. 1 và 2 .

B. 1 và –1 .

C. –1 và 2 .

D. 1 và –2 .

 x3 − 3 x 2 + 2 x
khi x ( x − 2) ≠ 0
 x( x − 2)

f ( x) = a
khi x = 2
b
khi x = 0



Câu 128. Xác định a, b để các hàm số
liên tục trên ¡
a = 10
a = 11
a = 1
a = 12




A. b = −1
B. b = −1
C. b = −1
D. b = −1
 3 x − 2 + 2x −1
khi x ≠ 1

f ( x) = 
x −1
3m − 2
khi x = 1

Câu 129. Tìm m để các hàm số
liên tục trên ¡
4
m= .
3
A. m = 1.

B.
C. m = 2.
D. m = 0.

 x +1 −1
khi x > 0

f ( x) = 
x
2 x 2 + 3m + 1 khi x ≤ 0

Câu 130. Tìm m để các hàm số
liên tục trên ¡
1
m=− .
6
A. m = 1.
B.
C. m = 2.
D. m = 0.
Trang 17


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11

STBSAQ

Trang 18

Chương 4: Giới hạn – ĐS>11

STBSAQ

PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIỚI HẠN HỮU HẠN
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1
lim = 0 lim k = 0 ( k ∈ ¢ + )
n →+∞ n
n →+∞ n
;

lim q n = 0 ( q < 1)

n →+∞

;

lim C = C

n →+∞

2. Định lí :
lim un = a, lim vn = b
a) Nếu
thì

lim ( un + vn ) = a + b
•
lim ( un – vn ) = a – b
•
lim ( un .vn ) = a.b
•
u
a
lim n =
vn b (nếu b ≠ 0)
•

b) Nếu un ≥ 0 , ∀n và lim un = a
lim un = a
thì a ≥ 0 và
u ≤ vn ∀n
c) Nếu n
,
và lim vn = 0
lim un = 0
thì
lim un = a
d) Nếu lim un = a thì
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u
S = u1 + u1q + u1q 2 + … = 1
1 − q ( q < 1)

GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt:

lim n k = +∞ ( k ∈ ¢ + )
lim n = +∞

lim q n = +∞
2. Định lí:
a) Nếu

(q > 1)

lim un = +∞

lim

thì

1
=0
un
lim

b) Nếu lim un = a , lim vn = ±∞ thì
lim un = a ≠ 0 lim vn = 0
c) Nếu
,
neá
u a.vn > 0
u +∞

lim n = 
vn  −∞ neá

u a.vn < 0
thì
lim un = +∞ lim vn = a ≠ 0
d) Nếu
,
+∞ neá
u a> 0
lim(un.vn ) = 
u a< 0
 −∞ neá
thì

un
=0
vn

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
0 ∞
định: 0 , ∞ , ∞ – ∞ , 0.∞ thì phải tìm cách khử
dạng vô định.

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp:

• Để chứng minh lim un = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao
u < a ∀n > na
cho n
.
• Để chứng minh lim un = l ta chứng minh lim(un − l ) = 0 .

• Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên
nM
u > M ∀n > nM
sao cho n
.
• Để chứng minh lim un = −∞ ta chứng minh lim(−un ) = +∞ .
• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Câu 1. Giá trị của

lim

1
n + 1 bằng

Trang 19


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
STBSAQ
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
1
1
1

<
< a ∀n > na
na > − 1
lim
=0
a
n +1
Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
ta có n + 1 na + 1
nên có
.
Câu 2. Giá trị của
A. 0.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

lim

1
n k ( k ∈ ¥ *) bằng
B. 2.

Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

na >

k

C. 4.

D. 5.

1
1
1
1
< k < a ∀n > na
lim k = 0
k
n
n
a ta có
a
n
nên có
.

Câu 3. Giá trị của lim(2n + 1) bằng
A. +∞.
B. −∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

C. 0.

nM >

D. 1.

M −1

2

Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn
2n + 1 > 2nM + 1 > M ∀n > nM ⇒ lim(2n + 1) = +∞
Ta có:
.

1 − n2
lim
n bằng
Câu 4. Giá trị của
A. +∞.
B. −∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn
M + M2 +4
⇔ nM >
2
.

C. 0.

nM

D. 1.

nM2 − 1
>M
n

M
thỏa

n2 − 1
n2 − 1
> M ∀n > nM ⇒ lim
= +∞
n
Ta có: n
1 − n2
lim
= −∞
n
Vậy
.
Câu 5. Giá trị của
A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

lim

2
n + 1 bằng
B. −∞.

C. 0.

D. 1.

2 
na =  − 1 + 1
a 
Với mọi a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
2
2
< a ∀n > na ⇒ lim
=0
n +1
Suy ra n + 1
.

Trang 20


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
Câu 6. Giá trị của
A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

lim

STBSAQ

n +1
n + 2 bằng
B. −∞.

C. 0.

D. 1.

1

na =  2 − 1 + 1
a


Với mọi số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
n +1
1
n +1
<
< a ∀n > na ⇒ lim
=0
n+2
n +1
Ta có: n + 2
.

Câu 7. Giá trị của
A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

lim

3n3 + n
n2

bằng
B. −∞.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 1.

M 
nM =   + 1
3
Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn
3
3n + n
1
= 3n + > M ∀n > nM
2
n
Ta có: n

3n3 + n
lim
= +∞
n2
Vậy
.
lim

Câu 8. Giá trị của
A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

2−n
n + 1 bằng
B. −∞.
2

1

nM >  + 3 ÷ − 1
a

Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn
n−2
3
= n +1 −
> 1 + n − 3 > M ∀n > nM
1
+
n
n
+
1
Ta có:
2−n
lim
= −∞

n
+
1
Suy ra
.
Câu 9. Giá trị của
A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

A = lim

2n + 1
n − 2 bằng
B. −∞.

na >

C. 0.

D. 1.

5
+2>2
a

Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
2n + 1
5
5

−2 =
<
< a ∀n > na
n−2
n − 2 na − 2
Ta có:

Trang 21


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
Vậy A = 2 .
Câu 10. Giá trị của
A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

B = lim

STBSAQ

2n + 3
n 2 + 1 bằng
B. −∞.

C. 0.

D. 1.

2na + 3

2
na
n
+
1
a
>
0
a
Với số thực
nhỏ tùy ý, ta chọn
thỏa

1 + a 2 − 4a + 13
a
2n + 3
< a ∀n > na ⇒ B = 0
2
Ta có: n + 1
.
⇔ na >

Câu 11. Giá trị của
A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

C = lim

n2 + 1
n + 1 bằng
B. −∞.

C. 0.

D. 1.

1
.
C. 2

D. 1.

n sin n − 3n 2
n2
bằng
B. −∞.

C. −3.

D. 1.

1
n + 2 n + 7 bằng
B. −∞.

C. 0.

D. 1.

C. 0.

D. 4.

Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

na >

1
−1
a

n2 + 1
n+2
1
−1 <
−1 <
< a ∀n > na
n +1
n +1
na + 1

Ta có:
Vậy C = 1 .

Câu 12. Giá trị của

A = lim

B. −∞.

A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 13. Giá trị của
A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 14. Giá trị của
A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

B = lim

C = lim

D = lim

Câu 15. Giá trị của
A. +∞.

n−2 n
2n
bằng

2

4n + 1

n + 3n + 2 bằng
B. −∞.
2

Trang 22


Chương 4: Giới hạn – ĐS>11
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

STBSAQ

n
Câu 16. Giá trị của lim a với a > 0 bằng
A. +∞.
B. −∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Nếu a = 1 thì ta có đpcm

(

)

n

a = 1 + n a − 1  > n



• Giả sử a > 1 . Khi đó:
a
0 < n a −1 < → 0
n
n
Suy ra:
nên lim a = 1

C. 0.

(

n

D. 1.

)

a −1

1
1
> 1 ⇒ lim n = 1 ⇒ lim n a = 1
a
• Với 0 < a < 1 thì a
.
n
Tóm lại ta luôn có: lim a = 1 với a > 0 .

Trang 23

Chương 4: Giới hạn – ĐS>11

STBSAQ

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC
GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:
• Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
f (n)
lim
g (n) ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và
• Khi tìm
mẫu.
lim  k f (n) − m g (n) 
• Khi tìm
trong đó lim f (n) = lim g ( n) = +∞ ta thường tách và sử dụng
phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:

( 3 a − 3 b ) ( 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2 ) = a − b
a − b ) ( a + b ) = a − b;
• Dùng định lí kẹp: Nếu un ≤ vn , ∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
• Nếu bậc của tử < bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
• Nếu bậc của từ = bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa
cao nhất của tử và của mẫu.
• Nếu bậc của tử > bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của tử và
mẫu cùng dấu và kết quả là −∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.

(

n cos 2n 

lim  5 − 2
÷
n + 1  là

Câu 17. Kết quả đúng của

A. 4.
B. 5.
C. –4.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
n
n cos 2 n
n
− 2
≤ 2
≤ 2
n +1
n +1
n +1
n
1
1
n
lim − 2
= lim − .

= 0 lim − 2
=0
2
⇒
n +1
n 1+1/ n
n +1
Ta có
;
n cos 2n 
 n cos 2n 

⇒ lim  2
÷ = 0 ⇒ lim  5 − 2
÷= 5
n +1 
 n +1 

.
Câu 18. Giá trị của

A = lim

Câu 19. Giá trị của
A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

2n + 1
1 − 3n bằng

B. −∞.

A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
B = lim

1
.
D. 4

2
− .
C. 3

D. 1.

4
.
C. 9

D. 1.

4n 2 + 3n + 1
(3n − 1) 2 bằng
B. −∞.

Trang 24

Chương 4: Giới hạn – ĐS>11

− n 2 + 2n + 1

lim

3n 4 + 2

Câu 20. Kết quả đúng của
3
.
3
A.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
lim

3n + 2
4

là

2
− .
B. 3

−

− n 2 + 2n + 1

STBSAQ

1
− .
C. 2

( −1 + 2 / n + 1/ n ) = −1 + 0 + 0 = −
= lim
2

3+2/ n

Câu 21. Giới hạn dãy số

( un )

với

3+0

2

un =

1
.
D. 2

3

3 .

3n − n 4
4n − 5 là
3
.
C. 4

A. −∞.
B. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
3
3n − n 4
3 3 / n −1
lim un = lim
= lim n
= −∞
4n − 5
4−5/ n
.

D. 0.

3 / n3 − 1
1
lim n = +∞;lim
=−
4−5 / n
4.

Vì
3

Câu 22. Chọn kết quả đúng của

2
.
B. 5

A. 5.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

( 1− 2 / n

n3 − 2 n + 5
lim
= lim n .
3 + 5n

Vì

lim n = +∞; lim

Câu 23. Giá trị của
A. +∞.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

n3 − 2n + 5

3 + 5n

lim

C. −∞.

2

+ 5 / n3 )

3/ n +5

( 1− 2 / n

2

+5/ n

3/ n+5

A = lim

3

)

=

= +∞

D. +∞.

.

1
5.

2n 2 + 3n + 1
3n 2 − n + 2 bằng
B. −∞.

2
.
C. 3

D. 1.

3 1
+ 2
n
n =2
A = lim
1 2 3
3− + 2
n n
Ta có:
.
2+

Trang 25