Mô hình hóa và điều khiển tay máy đơn có khâu đàn hồi tịnh tiến

Nghiên cứu khoa học công nghệ

MÔ HÌNH HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY ĐƠN
CÓ KHÂU ĐÀN HỒI TỊNH TIẾN
Nguyễn Quang Hoàng1,*, Nguyễn Văn Quyền1, Vũ Đức Vương2
Tóm tắt: Máy nâng hạ được sử dụng nhiều trong việc bốc dỡ hay xếp hàng trong
kho. Việc nâng cao tốc độ vận hành của máy hay giảm vật liệu của khâu thao tác sẽ
làm cho hiệu ứng dao động do tính đàn hồi của khâu trở nên không thể bỏ qua
được. Bài báo này trình bày việc mô hình hóa và điều khiển tay máy đơn với khâu
đàn hồi chuyển động tịnh tiến. Trước hết, bài toán dao động của dầm một đầu ngàm
và đầu kia có khối lượng tập trung được khảo sát. Dựa trên các dạng riêng của
dầm, các phương trình mô tả tay máy có khâu đàn hồi được thiết lập. Trên cơ sở mô
hình này cùng với bộ điều khiển PD, ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu đến
chuyển động của điểm tác động cuối được khảo sát. Nhờ công cụ phần mềm Matlab
các kết quả mô phỏng được đưa ra.
Từ khóa: Tay máy đàn hồi, Dầm Euler – Bernoulli tịnh tiến, Phương pháp Ritz – Galerkin bộ điều khiển PD,
Điều khiển dựa trên năng lượng.

1. MỞ ĐẦU
Tay máy robot được sử dụng trong nhiều
ĐC một chiều
lĩnh vực công nghiệp. Tay máy robot truyền
thống được thiết kế có độ cứng cao, do đó,
Khớp nối
có thể được mô hình như hệ các vật rắn
tuyệt đối được liên kết bởi các khớp quay
hoặc khớp tịnh tiến để thuận tiện cho việc
L
điều khiển hệ thống này. Độ cứng cao đạt
mt
được bằng cách tăng kích thước và khối

E,I,L,
lượng của khâu và do đó làm tăng kích m0
w(x,t)
x
thước của các cơ cấu dẫn truyền động, cùng
z
với đó mức tiêu thụ năng lượng cho robot
cũng tăng lên. Ngược lại, một tay máy robot u
Hệ truyền động
nhẹ mảnh có chi phí vật liệu và năng lượng
trục vít
thấp hơn. Tuy nhiên, việc giảm khối lượng
khâu sẽ dẫn đến việc giảm độ cứng của
khâu. Các tay máy trở nên mềm hơn và khó
Hình 1. Mô hình tay máy đàn hồi.
khăn hơn để điều khiển chính xác. Do đó,
tính chất đàn hồi của khâu không thể bỏ qua trong việc điều khiển robot nhẹ mảnh hoặc
các thiết bị chuyển động với tốc độ cao.
Báo cáo này trình bày việc mô hình hóa và mô phỏng tay máy đơn với khâu đàn hồi
chuyển động tịnh tiến. Trước hết, bài toán dao động của dầm Euler – Bernoulli dầm một
đầu ngàm và đầu kia có khối lượng tập trung được khảo sát. Dựa trên các dạng dao động
riêng, các phương trình mô tả tay máy có khâu đàn hồi được thiết lập.
2. MÔ HÌNH HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY ĐƠN
CÓ KHÂU ĐÀN HỒI TỊNH TIẾN
2.1. Mô hình động lực
Khảo sát mô hình tay máy như trong hình 1, bao gồm: cơ cấu chấp hành tịnh tiến ở bên
trái; dầm Euler – Bernoulli đồng chất, thiết diện không đổi, có chiều dài L, khối lượng
riêng ρ; và tải trọng được mô hình như chất điểm có khối lượng mt. Gọi z(t) là dịch chuyển

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017

111


Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông

dọc trục z của con trượt khối lượng m0 và w(x , t ) là độ võng của trục dầm tại mặt cắt cách
con trượt một khoảng x. Áp dụng nguyên lý Hamilton hoặc nguyên lý d’Alembert, phương
trình vi phân chuyển động của dầm Euler – Bernoulli [1-3] được đưa ra như sau:

  4w
 2w
 5w 
    w  z   0
EI




I



A

z



i

e
 x 4
 t 2
 t
t x 4 





(1)

trong đó, E là môđun đàn hồi của vật liệu, I và A lần lượt là mômen quán tính mặt và
diện tích của thiết diện dầm, e là hệ số cản ngoài và i là hệ số cản trong. Trong phương

 , và lực cản trong
trình trên, lực cản ngoài với tỷ lệ bậc nhất với vận tốc, Fd  e Awdx
được suy ra từ mô hình cản Kelvin–Voigt   (E   i ) [10].
Các điều kiện biên tại hai đầu dầm được đưa ra như sau:
x  0 : w(0, t )  0,
x  L : EI

 2w
x 2

w
(0, t )  0
x

(2)

(L, t )  0

Và:


x

2
 2w


 3w 
z   w (L, t )   z  w (L, t )
EI

I

(
L
,
t
)

m


i
t 
e ,tip

 x 2


t
t x 2 
t 2




(3)

Phương trình chuyển động của con trượt dẫn động nhận được nhờ nguyên lý
d’Alembert như sau:




L
L
 2w
w
m 0z   Adx z  2 (x , t )   e z 
(x , t ) dx


0
0

t

t



2





w
w
mt z  2 (L, t )  e,tip z 
(L, t )  u



t
t





(4)

trong đó, m 0 là khối lượng của con trượt, uc và dz z lần lượt là lực điều khiển và lực cản
nhớt tác dụng lên con trượt, ffric là lực ma sát Coulomb tác dụng lên con trượt.
Nếu bỏ qua cản trong và cản ngoài phương trình mô tả hệ trở thành
EI

  2w

 A  2  z  0 , khi 0  x  L
 t
x


 4w
4

(5)

với điều kiện biên tại hai đầu dầm:
x  0 : w(0, t )  0,
x  L : EI

 2w
x 2

(L, t )  0 và EI

w
(0, t )  0
x

  2w





(
L
,
t
)

m
(
L
,
t
)

z
t 
2
x 3
 t


 3w

(6)
(7)

cùng với phương trình chuyển động của khâu dẫn





L
 2w
 2w
m 0z   Adx z  2 (x , t )  mt z  2 (L, t )  uc  dz z  ffric

0
t
t





(8)

112 N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển… đàn hồi tịnh tiến.”


Nghiên cứu khoa học công nghệ

2.2. Biến đổi bài toán về dạng phương trình vi phân thường
Phương trình dao động tự do không cản của dầm với khối lượng tập trung ở đầu dầm
Trong mục này, phương trình đặc trưng và dạng dao động riêng ứng với các tần số dao
động riêng được đưa ra để biến đổi phương trình đạo hàm riêng về dạng phương trình vi
phân thường, dùng cho bài toán mô phỏng và điều khiển. Trong trường hợp này, với
z  0 các phương trình (5) trở thành [4-6]:
EI

 4w

x

4

 A

 2w
t 2

 0 , khi 0  x  L

(9)

với các điều kiện biên một đầu ngàm chặt và một đầu mang khối lượng tập trung
w(0, t )  0,

 2w
 3w
 2w
w
(
L
,
t
)

0,
EI
(
L

,
t
)

m
(L, t )
(0, t )  0 và EI
t
x
x 2
x 3
t 2

(10)

Áp dụng phương pháp tách biến Bernoulli, nghiệm của phương trình (9) được tìm ở dạng:
w(x , t )  X (x )T (t )

(11)

Thế (11) vào phương trình (9), ta được:
T(t )   2T (t )  0
d 4 X (x )
dx

4

 2

(12)

A
X (x )  0
EI

(13)

Nghiệm của phương trình (13) có dạng:
X (x )  C 1 sin( L x )  C 2 cos( L x )  C 3 sinh( L x )  C 4 cosh( L x )

trong đó,  4   2

(14)

AL4
và C 1,C 2 ,C 3 ,C 4 là các hằng số. Từ các điều kiện biên (10) ta nhận
EI

được
C 3  C 1 ,C 4  C 2 ,C 2  C 1

Và:

(sin   sinh )
(cos   cosh )

(15)

C 1 1  cos  cosh   (cos  sinh   sin  cosh )  0

trong đó,  

mt
AL



mt
mbeam

(16)

. Từ điều kiện hệ số C 1 phải không triệt tiêu, ta nhận được

phương trình đặc trưng hay phương trình tần số của dầm như sau:

1  cos  cosh    cos  sinh   sin  cosh    0

(17)

Giải phương trình phi tuyến (17), ta nhận được các trị riêng k ,(k  1, 2,...) , sau đó thế
vào (14), ta thu được các hàm riêng:


(sin k  sinh k )
X k (x )  C 1,k  sin(k Lx )  sinh(k Lx ) 
cos(k Lx )  cosh(k Lx ) : k (x )

(cos k  cosh k )



 C 1,k k (x )

(18)

Các hàm riêng thỏa mãn điều kiện trực giao sau đây:
ik 



L
0


0,
Ai (x )k (x )dx  i (L)mt k (L)  


0,



Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017

i k
i k

(19)

113

Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông

Hằng số C 1,k trong (18) được xác định từ điều kiện chuẩn hóa ik  1 hoặc để đơn
giản, ta lấy C 1,k  1 .
Biến đổi phương trình đạo hàm riêng về hệ phương trình vi phân thường
Để biến đổi hệ phương trình mô tả hệ (1)-(4) về dạng phương trình vi phân thường –
dạng đơn giản để mô phỏng và thiết kế bộ điều khiển - ta tìm nghiệm w(x , t ) của hệ bằng
phương pháp khai triển theo các hàm riêng dạng:
w(x , t ) 

p

  (x )q (t ) với
k 1

k

k

p  1, 2, 3,...

(20)

Thế biểu thức (20) vào phương trình (1) ta nhận được:


3
p


 L

 q (t ) 
  (x ) "" (x )dx   (L) d k (L) q (t )
(
L
)
I


i  0
j
k
j
 k
 k
dx 3
dx 3
k 1
k 1
 0



p
p
L
L





  e  j (x )k (x )dx  e,tipj (L)k (L) qk (t )   A  j (x )k (x )dx  mt j (L)k (L) qk (t )
0
0






k 1 
k 1 
L
L




 A j (x )dx  mt j (L) z  e  j (x )dx  e,tipj (L) z  0,
j  1,2,..., p
0
0




p

 EI  

L

j (x )k"" (x )dx  j (L)

d 3k

(21)

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:
2
 L

L d  (x )
d 3k
d 2k (x )
j
""


EI   j (x )k (x )dx  j (L) 3 (L)  
EI
dx
0
dx
dx 2
dx 2
 0


 L

EI
  2j   j (x )Ak (x )dx  j (L)mt k (L)   2j m jk  j4
m jk ,
0
AL4



với m jk 



L
0

(22)

j (x )Ak (x )dx  j (L)mt k (L).

Dựa vào tính chất trực giao của các hàm riêng (19), cùng với (22), phương trình (21)
được viết lại dưới dạng thu gọn như sau:
p

m
k 1

p

p

k 1

k 1

q (t )  m j , p 1z   (d ji,k  d ej ,k )qk (t )  d ej , p 1z   k j ,k qk (t )  0,
j ,k k

j  1, 2,..., p

(23)

trong đó
 L

k jk
d 3
d ji,k  I i   j (x )k"" (x )dx  j (L) 3k (L)  I i
 i
0
EI
dx


L


d ej ,k  e  j (x )k (x )dx  e,tip j (L)k (L) ,
d ej , p 1 

0



k jk
E

 i j4

I
AL4

m jk

L


e  j (x )dx  e,tip j (L)
0



(24)
(25)

Thế (20) vào (4), ta nhận được:
p



 A
k 1

L
0

p

 L

k (x )dx  mt k (L) qk (t )     e k (x )dx  e,tip k (L) qk (t )
0



k 1 
(e L  e,tip )z  (m 0  AL  mt )z  uc  dz z  ffric
p

m
k 1

(26)

p

q (t )   d pe 1,k qk (t )  m p 1, p 1z  d pe 1, p 1z  uc  ffric

p 1,k k

k 1

trong đó, các phần tử khối lượng và cản được xác định như sau:
L

m p 1,k  A k (x )dx  mt k (L),
d pe 1,k 



L
0

0

e k (x )dx  e,tip k (L),

m p 1, p 1  (m 0  AL  mt )
d pe 1, p 1  dz  e L  e,tip

(27)

114 N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển… đàn hồi tịnh tiến.”


Nghiên cứu khoa học công nghệ

Các phương trình (23) và (26) viết lại dưới dạng ma trận:
Ms  Ds  Ks  Bou,

u  uc  ffric

(28)

T

T

trong đó, s  [q1, q2 ,..., q p , z ] , Bo(p 1)1  [0, 0,..., 0,1] .
Để phân biệt giữa dịch chuyển của con trượt dẫn z và các tọa độ suy rộng q của dầm
đàn hồi, phương trình chuyển động trên được viết lại ở dạng sau
M
  
  
 11 m12  q   D11 d12   q    K11
 mT m   z  dT d   z   kT
 21
 21
 21
22   
22   

k12   q  0
 u
k22   z  1
   

(29)

Hạ bậc (29) ta nhận được phương trình trạng thái của hệ dạng:

x  Ax  Bu , với x  [sT , sT ]T




, B 

M K M D

và A  

0

1

I

1

 0 


 M1B 

o 

(30)

Phương trình đầu ra của hệ
Theo sơ đồ hình 1, ta xác định được dịch chuyển của điểm đầu dầm nơi có khối lượng

tập trung:
z tip 



p
k 1

q 
k (L)qk  z  (L) 1   với (L) 

 z 
 

 (L)  (L) ...  (L)
2
p
 1


(31)

đo được bằng các sensor, khi đó, phương trình đầu ra của hệ thống được thể hiện bởi
phương trình:
 w  (L)
 tip  
z   0
y   base   
 w tip   0
  

zbase   0

0  q 
0  z 
 Cx
0 (L) 0  q 
 
0
0
1  z 
 

0
1

0
0

(32)

Trong trường hợp chỉ có thể đo được vị trí và vận tốc của con trượt dẫn, phương trình
đo của hệ trở thành:
q 
 
z   0 1 0 0  z 
base

    Cx
y  
 

 
zbase   0 0 0 1  q 
 
 z 

(33)

2.3. Thiết kế bộ điều khiển
Xem xét hàm trữ năng E  21 sT Ms  21 sT Ks , đạo hàm theo thời gian của hàm trữ năng
và chú ý đến phương trình (28) ta thu được:
  zu
 .
E  sT Ms  sT Ks  sT (Bou  Ds  Ks  Ks)  sT Ds  zu

(34)

 biểu thị năng lượng cung cấp bởi các động cơ dẫn động cho hệ. Bất đẳng
Số hạng zu
thức trong phương trình (34) cho thấy rằng hệ thống là thụ động. Trong trường hợp đầu
vào bằng 0, u  0, hệ thống có một sự cân bằng ổn định z  zd , z  0, q  0, q  0 , tại đó,
năng lượng đạt giá trị cực tiểu và bằng 0.
Từ tính chất thụ động của hệ thống, để thiết kế bộ điều khiển hàm Lyapunov đề xuất
được chọn như sau:

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017

115


Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông

1
1
V  E  kv z 2  k p (z  zd )2 , với kv  0, k p  0
2
2

(35)

Đạo hàm V theo thời gian ta nhận được:
V  sT Ds  z u  kv z  k p (z  zd )



(36)

Từ phương trình (36) một luật điều khiển u sẽ được chọn thỏa mãn:
u  k p (z  zd )  kv z  kd z

(37)

Lưu ý rằng, từ (29) ta tính được z , sau đó, thay vào (37) để xác định luật điều khiển.
Tuy nhiên, để cho đơn giản ta chọn kv  0 , và nhận được bộ điều khiển PD như sau:
u  kd z  k p (z  zd )

(38)

Khi đó, ta có V  sT Ds  kd z 2  0 .
3. MÔ PHỎNG SỐ
Các mô phỏng số được thực hiện để minh họa ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu đến

chuyển động của điểm tác động cuối và hiệu quả của bộ điều khiển đề xuất. Trong mô
phỏng này, bộ số liệu sau đây được sử dụng [8, 9]:
I  4.1667  1012 m 4 ,

E  69  109 N/m2 ,

A  5  105 m2 ,

  7850 kg/m 3 ,

L  0.3 m , mt  0.01 kg , m 0  0.455 kg .

Vị trí cần đạt tới zd = 0.3 m. Bộ điều khiển PD sử dụng các tham số: k p  100 , kd  50.
Số các dạng riêng đầu tiên được sử dụng trong các mô phỏng lần lượt là p  1, p  2 và
p  6 . Các kết quả mô phỏng được thể hiện trên các hình 2 đến 5.

z, z tip [m]

0.3
z
z tip

0.2
0.1
0
-0.1

0

1

2

3

4

5

t [s]

Hình 2. Chuyển động của khâu dẫn và đầu dầm, khi p = 1, hệ 2 DOF.

z, z tip [m]

0.3
z
z tip

0.2
0.1
0
-0.1

0

1

2

3

4

5

t [s]

Hình 3. Chuyển động của khâu dẫn và đầu dầm, khi p = 2, hệ 3 DOF.

116 N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển… đàn hồi tịnh tiến.”


Nghiên cứu khoa học công nghệ

z, z tip [m]

0.3
z
z tip

0.2
0.1
0
-0.1

0

1

2

3

4

5

t [s]

Hình 4. Chuyển động của khâu dẫn và đầu dầm, khi p = 6, hệ 7 DOF.
4

u [N]

2
0
-2
0

1

2

3

4

5

t [s]

Hình 5. Lực điều khiển con trượt, khi p = 1.
Các đồ thị trên cho thấy con trượt đạt đến vị trí mong muốn của nó trong khoảng 2,5
giây. Ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu đến chuyển động của điểm tác động cuối được
thể hiện trong các hình 2, 3 và 4. Các kết quả trên cũng cho thấy không có sự khác biệt
nhiều khi số lượng dạng riêng p  2 và p  6 sử dụng trong mô phỏng.
4. KẾT LUẬN
Bài báo này đã trình bày việc mô hình hóa tay máy đơn chuyển động tịnh tiến có khâu
đàn hồi. Dựa trên các dạng riêng của dầm một đầu ngàm và đầu kia có khối lượng tập
trung, hệ phương trình đạo hàm riêng đã được biến đổi về phương trình vi phân thường.
Trên cơ sở mô hình này, cùng với bộ điều khiển PD, ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu
đến chuyển động của điểm tác động cuối được khảo sát.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Meirovitch, L. (2001), “Fundamentals of Vibrations’’, McGraw-Hill, New York.
[2] Thomson W. T., M. D. Dahleh (2005), “Theory of Vibration with Applications (Fifth
Edition)”, Prentice-Hall, Inc., NJ.
[3] Erturk A., D. J. Inman (2011), “Piezoelectric Energy Harvesting”, John Wiley &
Sons, Ltd., United Kingdom.
[4] Nguyễn Văn Khang (2004), “Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4)”, NXB Khoa học và
Kỹ thuật, Hà Nội.
[5] Zhi-Cheng Qiu (2012), “Adaptive nonlinear vibration control of a Cartesian flexible
manipulator driven by a ballscrew mechanism”, Mechanical Systems and Signal
Processing, 30, pp. 248–266.

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017

117

Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông

[6] Pratiher, B., S. K. Dwivedy (2009), “Nonlinear response of a flexible Cartesian
manipulator with payload and pulsating axial force”, Nonlinear Dynamics, 57, pp.
177–195.
[7] Pratiher, B., S. K. Dwivedy (2007), “Non-linear dynamics of a flexible single link
Cartesian manipulator”, International Journal of Non-Linear Mechanics, 42, pp.
1062–1073.
[8] Dadfarnia, M., N. Jalili, B. Xian, D. M. Dawson (2004), “Lyapunov-Based Vibration
Control of Translational Euler-Bernoulli Beams Using the Stabilizing Effect of Beam
Damping Mechanisms”, Journal of Vibration and Control, 10, pp. 933–961.
[9] Dadfarnia, M., N. Jalili, B. Xian, D. M. Dawson (2003), “Lyapunov-based
Piezoelectric Control of Flexible Cartesian Robot Manipulators”, Proceedings of the
American Control Conference Denver, Colorado, pp. 5227–5232.
[10] Banks, H. T. and D. J. Inman (1991), “On Damping Mechanisms in Beams”,
Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics, 58 (3), pp. 716–723.
ABSTRACT
MODELING AND CONTROLLING A DEGREE OF FREEDOM MANIPULATOR
WITH TRANSLATIONAL ELASTIC LINK
Lifting equipment are widely used in the loading or unloading in warehouses.
Increasing the equipment's operating speed or reducing the dimensions of the link
will cause the vibration effect of the elasticity of the suture to be inevitable. In this
paper, the modeling and controlling of a degree of freedom with translational
elastic link are presented. First of all, the vibration problem of a single beam and
the other end of the beam is investigated. Based on the types of beams, equations
describing translational elastic link are established. Based on this model together
with the PD controller, the influence of the elasticity of the suture to the motion of
the last impact point was investigated. Thanks to the Matlab software tools the
simulation results are given.
Keywords: Mechatronic system, PD controller, Ritz-Galerkin method, Flexible manipulator.

Nhận bài ngày 02 tháng 5 năm 2017
Hoàn thiện ngày 10 tháng 6 năm 2017
Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 7 năm 2017
Địa chỉ:

1

Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;
Bộ môn Cơ điện tử, Khoa Điện tử, Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên.
*
Email:
2

118 N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển… đàn hồi tịnh tiến.”