Bài giảng Lý thuyết thông tin: Chương 4.1 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 4: Mã sửa sai
4.1 Khoảng cách Hamming và chận
Hamming


2
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Giới thiệu
• Ở chương này ta chỉ xét kênh nhị phân đối xứng
• Các input của kênh được chọn từ một tập các từ
mã nhị phân chiều dài n, nghĩa là tập các dãy n
ký tự 0 và 1
• Giả sử các từ mã xuất hiện với xác suất bằng nhau
• Do lỗi có thể xảy ra ở bất cứ vị trí nào của chuỗi
input nên output là tập 2n dãy nhị phân độ dài n
• Bài toán đầu tiên là tìm phương án giải mã tối ưu
cho bộ mã nói trên


3
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Giới thiệu
• Ký hiệu các từ mã và các chuỗi output lần lượt là
w1, w2, …., ws và v1, v2, …
• Phương án giải mã tối ưu là phương án làm cực

tiểu xác suất sai
• Khi nhận được v, như ta đã biết, phương án giải
mã tối ưu là chọn w sao cho p(w|v) cực đại
• Nhưng do các từ mã có cùng xác suất nên cực đại
p(w|v) tương đương với việc cực đại p(v|w)


4
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Khoảng cách Hamming
• Ta định nghĩa khoảng cách d(v1, v2) giữa hai dãy
nhị phân n ký tự v1, v2 là số vị trí mà ở đó ký tự
mã của v1, v2 khác nhau
• Ví dụ:
v1 = 011011,
v2 = 110001
Thì d(v1, v2) = 3
• Nếu input là w và output là v thì khi đó kênh đã
truyền sai đúng d(w, v) ký tự. Do đó nếu xác suất
truyền sai của kênh là β, thì


5
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Cực ñại p(v|w)
• Ta sẽ so sánh p(v|w1) và p(v|w2)
• Đặt d1 = d(w1,v), d2 = d(w2,v), ta có

• Chú ý, đối với kênh nhị phân đối xứng ta luôn giả
sử 0< β < ½, và do đó (1 - β)/β >1. Vậy
p(v|w1) > p(v|w2) khi và chỉ khi d1 < d2
• Vậy p(v|w) cực đại khi d(v,w) cực tiểu


6
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

ðịnh lý 4.1
Giả sử bộ mã cho kênh nhị phân đối xứng gồm s từ
mã độ dài n có xác suất như nhau. Phương án giải
mã tối ưu là phương án làm cực tiểu khoảng
cách. Nghĩa là với mỗi dãy v nhận được, bộ giải
mã sẽ chọn từ mã w sao cho khoảng cách d(w,v)
là nhỏ nhất
Nếu có nhiều hơn một cực tiểu thì chọn từ mã nào
trong số đó cũng không ảnh hưởng đến xác suất
sai


7
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Ví dụ
• Cho bộ mã
w1 = 00000
w2 = 10011
w3 = 11100
w4 = 01111
• Tìm phương án giải mã tối ưu khi nhận được v =
01011, v’ = 00110?


8
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Tính chất của khoảng cách
Ta có thể kiểm chứng rằng khoảng cách Hamming
là một metric, nghĩa là thỏa các tính chất sau
a. d(v1, v2) ≥ 0, d(v1, v2) = 0 khi và chỉ khi v1 = v2
b. d(v1, v2) = d(v2, v1)
c. d(v1, v3) ≤ d(v1, v2) + d(v2, v3)
Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức tam giác
• Do ta giải mã dãy v thành từ mã gần với v nhất
nên xuất hiện khái niệm bộ mã “tốt” là bộ mã
có các từ mã “ở xa” nhau


9

Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Bổ ñề 4.2
Gọi w1, w2, …, ws là các từ mã nhị phân chiều dài
n, và e là một số nguyên dương. Giả sử
d(wi, wj) ≥ 2e + 1, với mọi i ≠ j
Thì khi đó, mọi sự truyền sai không quá e bit đều
có thể sửa được.
Nếu d(wi, wj) ≥ 2e, với mọi i ≠ j, thì mọi sự truyền
sai không quá e-1 bit đều có thể sửa được và mọi
sự truyền sai e bit đều có thể phát hiện được,
nhưng chưa chắc sửa được


10
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Bổ ñề 4.2
Ngược lại, bộ mã có tính chất mọi sự truyền sai
không quá e bit đều sửa được thì phải thỏa mãn
d(wi, wj) ≥ 2e + 1, với mọi i ≠ j
Một bộ mã có tính chất mọi sự truyền sai không
quá e-1 bit đều sửa được, và mọi sự truyền sai
không quá e bit đều phát hiện được thì phải thỏa
mãn d(wi, wj) ≥ 2e , với mọi i ≠ j

11
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Chứng minh bổ ñề 4.2
wi
d(wi, wj) = 2e+1

wj

wi

wj
d(wi, wj) = 2e

• Giả sử w được truyền và chuỗi nhận được là v.
Xét w’ là từ mã khác w
• Đầu tiên giả sử khoảng cách cực tiểu của hai từ
mã ít nhất là 2e+1, ta có
d(w,v) + d(w’,v) ≥ d(w,w’) ≥ 2e+1


12
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Chứng minh bổ ñề 4.2

• Để bộ giãi mã v thành w’ thì d(w,v) ≥ e + 1.
Nghĩa là để giải mã sai thì phải truyền sai ít nhất
e + 1 ký tự
• Nếu khoảng cách giữa hai từ mã ít nhất là 2e thì
d(w,v) + d(w’,v) ≥ d(w,w’) ≥ 2e
• Nếu sai đúng e ký tự và d(w’,v) = e thì giải mã
thành w hay w’ đều được, nghĩa là có thể sai
• Nếu sai ít hơn e ký tự thì d(w,v) là nhỏ nhất và sẽ
giải mã đúng.
• Chiều ngược lại tương tự


13
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Chận Hamming
Khi e lớn thì khoảng cách giữa các từ mã cũng lớn
hơn và dẫn tới số từ mã ít đi. Câu hỏi đặt ra là có
nhiều nhất bao nhiêu từ mã trong một bộ mã có
thể sửa được mọi sự truyền sai không quá e ký tự
Định lý 4.3:
Nếu bộ mã chứa s dãy nhị phân chiều dài n có thể
sửa sai mọi sự truyền sai không quá e ký tự, thì:


14
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Chứng minh ñịnh lý 4.3
• Gọi các từ mã là w1, w2, …, ws. Vẽ các “mặt cầu”
“tâm” wi “bán kính” e. Mỗi “mặt cầu” như vậy
chứa tất cả dãy nhị phân v thỏa d(wi,v) ≤ e
• Do bộ mã sửa được mọi sự truyền sai e ký tự nên
các “mặt cầu” là rời nhau
• Số dãy nhị phân trong mỗi mặt cầu là

• Do đó


15
Huỳnh Văn Kha

9/30/2010

Chú ý
• Cố định e, n và gọi s là số nguyên lớn nhất thỏa
điều kiện định lý 4.3 thì chưa chắc tồn tại bộ mã
sửa sai được e ký tự chứa s từ mã chiều dài n
• Ví dụ, nếu e = 1, n = 4 ta có 2n/(1+n) = 16/5 và số
nguyên lớn nhất thỏa là s = 3
• Tuy nhiên không có bộ mã nào sửa sai được 1 ký
tự mà có số từ mã nhiều hơn 2 (kiểm tra)
• Vậy chận Hamming là điều kiện cần nhưng chưa
đủ cho sự tồn tại của của bộ mã sửa sai e ký tự