Bài giảng Chương 4: Phân tích tín hiệu liên tục theo thời gian biến đổi Fourier

CHƢƠNG 4: PHÂN TÍCH TÍN HIỆU LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN
BIẾN ĐỔI FOURIER
Nội dung
4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier
4.2 Một số dạng biến đổi
4.3 Một số đặc tính của biến đổi Fourier
4.4 Truyền tín hiệu qua hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến (LT-TT-BB)
4.5 Mạch lọc lý tưởng và mach lọc thực tế
4.6 Năng lượng tín hiệu
4.7 Ứng dụng trong thông tin: Điều chế biên độ
4.8 Điều chế góc
4.9 Giới hạn dữ liệu: Hàm cửa sổ
4.10 Tóm tắt
Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998
Trong chương 3, ta đã biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thành dạng tổng các thành phần sin hay
dạng mũ (không dừng). Chương này biểu diễn dạng phổ cho các tín hiệu không tuần hoàn.
4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier
Phép tính giới hạn chứng tõ tín hiệu không tuần hoàn biểu diễn được thành tổng liên tục (tích
phân) của các hàm mũ không dừng. Để biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn f (t ) trong hình 4.1
dùng các hàm mũ không dừng, ta tạo một tín hiệu tuần hoàn f T0 (t ) bằng cách lặp lại nhiều lần tín
hiệu f (t ) tại các thời khoảng T0 giây như hình 4.1b. Chu kỳ T0 cần đủ lớn để tránh trùng lắp các
tín hiệu. Tín hiệu tuần hoàn f T0 (t ) biểu diễn được bằng chuỗi Fourier mũ. Khi cho T0   , các
xung trong tín hiệu tuần hoàn lặp lại sau một thời khoảng vô hạn, do đó:
lim f T0 (t )  f (t )
T0 

Vậy, chuỗi Fourier biểu diễn f T0 (t ) cũng biểu diễn f(t) trong giới hạn T0   . Chuỗi hàm
mũ Fourier của f T0 (t ) được cho bởi:
f T0 (t ) 

Với
Và



D

n  

n

e jn0t

1 T0 / 2
f T (t )e  jn0t dt
T0 T0 / 2 0
2
0 
T0
Dn 

(4.1)
(4.2a)
(4.2b)


 T T 
Ta thấy tích phân f T0 (t ) trong khoảng   0 , 0  giống tích phân của f(t) trong khoảng
 2 2
(, ) . Viết lại phương trình (4.2a)

1 
(4.2c)
Dn   f (t )e  jn0t dt
T0 
Xét bản chất thay đổi của phổ khi tăng giá trị T0 , định nghĩa F ( ) là hàm liên tục theo  :


F ( )   f (t )e  jt


Các phương trình (4.2c) và (4.3) cho:
1
Dn  F (n0 )
T0

(4.3)

(4.4)

Điều này có nghĩa là các hệ số Dn là tích của (1/ T0 ) với các mẩu của F ( ) , phân bố đều tại
các khoảng  0 , vẽ ở hình 4.2a. Như thế, (1/ T0 ) F ( ) là đường biên của các hệ số Dn . Khi cho
T0   bằng cách bước lặp đôi T0 . Khi tăng hai lần T0 thì tần số cơ bản  0 giảm còn 1/2
[phương trình (4.2b)], nên không nhân đôi như một số thành phần (các mẫu) trong phổ. Tuy nhiên,
khi nhân đôi T0 , thì đường bao (1/ T0 ) F ( ) giảm nửa, vẽ ở hình 4.2b. Nếu ta tiếp tục lần lượt tăng
đôi T0 nhiều lần, phổ càng dày hơn, và biên độ giảm nhỏ đi. Tuy nhiên, cần chú ý là hình dạng
tương đối của đường bao vẫn giữ như củ [tăng tỉ lệ với F ( ) theo phương trình (4.3)]. Trong giới
hạn T0   , 0  0 và Dn  0 . Kết quả này có nghĩa là phổ rất đặc nên có thành phần phổ chỉ
cách nhau khoảng zêrô (vô cùng bé). Trong thời gian này, biên độ của các thành phần là zêrô (vô
cùng bé).

Thay phương trình (4.4) vào phương trình (4.1)

F (n0 ) jn0t
f T0 (t )  
e
(4.5)
T0
n  
Khi T0   ,  0 trở thành vô cùng bé ( 0  0 ). Nên ta sẽ thay  0 bằng một ý niệm thích hợp,
. Từ đó, viết lại phương trình (4.2b)
2
và phương trình (4.5) viết lại thành:
 
T0
f T0 (t ) 

 F (n )  ( jn )t
e
2
n 


 

(4.6a)

Phương trình (4.6a) cho thấy f T0 (t ) viết được thành tổng của các hàm mũ không dừng có tần số
0,,2,3,, (chuỗi Fourier). Số lượng các thành phần tần số n là F (n ) / 2 .
Khi T0   ,   0 và f T0 (t )  f (t ) . Do đó:

1 
(4.6b)
F (n )e ( jn )t 

T0 0 2
n 
Tổng bên vế phải của phương trình (4.6b) có thể được xem là vùng diện tích của hàm F ( )e jt ,
trong hình 4.3. Vậy
1 
(4.7)
f (t ) 
F ( )e jt d



2
Tích phân bên vế phải được gọi là tích phân Fourier. Về cơ bản thì tích phân này là chuỗi Fourier
(trong giới hạn) với tần số cơ bản   0 , như trong phương trình (4.6). Số lượng các hàm mũ
e jnt là F (n ) / 2 . Nên hàm F ( ) trong phương trình (4.3) hoạt động như hàm phổ.
f (t )  lim


Ta gọi F ( ) là biến đổi Fourier trực tiếp của f (t ) và f (t ) là biến đổi Fourier nghịch của
F ( ) . Ta còn gọi f (t ) và F ( ) là cặp biến đổi Fourier và được viết theo:
F ( )  F[f(t)] và f(t) = F-1[F()]
f (t )  F ()
Tóm lại



F ( )   f (t )e  jt dt


f (t ) 

1
2







F ( )e jt d

(4.8a)
(4.8b)

Cần nhớ là tích phân Fourier trong phương trình (4.8b) là bản chất của chuỗi Fourier với
tần số cơ bản   0 (phương trình (4.6b). Do đó, hầu hết các tính chất của chuỗi Fourier đều
dùng được cho biến đổi Fourier. Có thể vẽ phổ F ( ) theo  . Do F ( ) là phức, ta có phổ biên độ
và phổ pha theo
F ( )  F ( ) e jF ( )
(4.9)
Trong đó F ( ) là phổ biên độ và F ( ) là góc (hay pha) của F ( ) . Từ phương trình (4.8a), ta
có:


F ( )   f (t )e jt dt


Vậy khi f (t ) là hàm thực theo t, thì F ( ) và F ( ) là liên hợp. Do đó:
F ( )  F ( )

 F ( )   F ( )

(4.10a)
(4.10b)

Do đó, với hàm thực f (t ) , thì phổ biên độ F ( ) là hàm chẵn, và phổ pha F ( ) là hàm lẻ theo
. Đặc tính này (đặc tính đối xứng liên hợp) chỉ đúng cho hàm thực f (t ) . Các kết quả này đã tìm
được trong phần phổ Fourier của tín hiệu tuần hoàn (phương trình 3.77), vậy biến đổi F ( ) là đặc
tính tần số của f (t ) .


■ Thí dụ 4.1:
Tìm biến đổi Fourier của e  atu (t ) ?
Từ định nghĩa [phương trình (4.8a)]


F ( )   e u (t )e
at

 jt



Do e

 jt



dt   e


 1 , nên khi t   , e

F ( ) 

( at j ) t

1
a  j

 ( a j ) t

 1 ( at j )t
dt 
e
a  j
 at  jt

e e

a0



0

 0 nếu a  0 , do đó:

(4.11a)

Dạng cực

F ( ) 



1
a2   2

e

 j tan 1 ( )
a

(4.11b)

Vậy:
 
và F ( )   tan 1  
(4.12)
a
a2   2
Phổ biên độ và phổ pha được vẽ trong hình 4.4b. Ta thấy phổ biên độ là hàm chẵn và phổ pha

là hàm lẻ theo tần số  . ■

F ( ) 

1

Tồn tại của biến đổi Fourier.
Trong thí dụ 4.1, ta thấy là khi a < 0, biến đổi Fourier của e  atu (t ) không hội tụ. Do đó, biến
đổi Fourier của e  atu (t ) không hội tụ nếu a < 0 (hàm mũ tăng). Tức là không phải mọi tín hiệu đều
có biến đổi Fourier. Tồn tại của biến đổi Fourier cho hàm f (t ) được bảo đãm nhờ điều kiện
Dirichlet. Điều kiện đầu tiên là







f (t ) dt  

(4.13)

Do e  jt  1 , từ phương trình (4.8a) ta có

F ( )  





f (t ) dt

Bất đẳng thức này cho thấy biến đổi Fourier tồn tại nếu thỏa điều kiện (4.13). Ngược lại thì không
bảo đãm. Thí dụ 4.1 cho thấy biến đổi Fourier không tồn tại với tín hiệu hàm mũ tăng (đã vi phạm
điều kiện này). Mặc dù đây là điều kiện đủ, chứ không là điều kiện cần cho tồn tại biến đổi Fourier
của tín hiệu. Thí dụ, tín hiệu sin(at ) / t vi phạm điều kiện (3.13), nhưng có biến đổi Fourier. Các


tín hiệu thực tế thường thỏa điều kiện Dirichlet nên có biến đổi Fourier. Như thế, tồn tại thực tế
của tín hiệu là điều kiện đủ để tồn tại biến đổi Fourier.
Tính tuyến tính của biến đổi Fourier.
Biến đổi Fourier là biến đổi tuyến tính, tức là nếu
f1 (t )  F1 () và f 2 (t )  F2 () thì
(4.14)
a1 f1 (t )  a2 f 2 (t )  a1F1 ()  a2 F2 ()
Chứng minh đơn giản và lấy từ phương trình (4.8a). Kết quả mở rộng được khi có nhiều thừa số
hơn nũa.
4.1-1 Đánh giá thực tế về biến đổi Fourier.
Để hiểu được các nét của biến đổi Fourier, ta cần nhớ là biểu diễn Fourier là phương thức
biểu diễn tín hiệu thành các tín hiệu sin (hay mũ) không dừng. Phổ Fourier của tín hiệu chỉ ra các
biên độ và pha tương đối của các sóng sin cần thiết để tổng hợp tín hiệu này. Phổ Fourier của tín
hiệu tuần hoàn có các biên độ hữu hạn và tồn tại các tần số rời rạc (0 và các bội tần), phổ dạng
này dễ nhận thấy, nhưng phổ tín hiệu không tuần hoàn không dễ nhìn thấy do có dạng phổ liên tục.
Ý niệm phổ liên tục có thể hiễu được qua xem xét một hiện tượng tương đồng, hữu hình. Một
thí dụ về phân phối liên tục là tải của xà ngang. Xét một xà ngang với tải là các đơn vị trọng lượng
D1 , D2 , D3 ,..., Dn , tại các điểm cách đều nhau x1 , x2 , x3 ,..., xn , vẽ trong hình 4.5a. Tải chung WT đặt
vào xà ngang là tổng của từng tải tại n điểm:
n

WT   Di

i 1

Xét trường hợp tải liên tục trên xà ngang, vẽ trong hình 4.5b. Trường hợp này, dù có vẻ là tải
xuất hiện tại các điểm, nhưng tải tại từng điểm lại là zêrô. Điều này không có nghĩa là không có tải
trên xà. Trường hợp này thì đo lường thích hợp nhất là không là tải tại từng điểm, mà nên là mật
độ tải trên đơn vị dài của xà ngang. Gọi F (x) là mật độ tải trên đơn vị dài của xà. Theo đó thì tải
trên chiều dài xà ngang là x (x 0) tại một điểm x là F ( x)x . Để tìm tải trên xà ngang, ta chia
xà ngang thành các khoảng cách nhau x (x 0). Tải của n đoạn có chiều dài x là F (nx)x .
Tải chung WT là:
xn

WT  lim  F (nx)x   F ( x)dx
x0

x1

xn

x1

Trường hợp tải rời rạc trong hình 4.5a, tải chỉ tồn tại ở n điểm rời rạc. Các điểm khác không
có tải. Nói cách khác, trong trường hợp tải liên tục, tải có tại mỗi điểm nhưng tại một điểm cụ thể
x, thì tải là zêrô. Tuy nhiên, tải tại môt đoạn nhỏ x là F (nx)x (hình 4.5b). Do đó, dù tải tại một
điểm x là zêrô thì tải tương đối tại đó là F(x).


Lập luận tương tự cho trường hợp phổ tín hiệu. Khi f (t ) tuần hoàn thì phổ là rời rạc, và có
thể viết f (t ) thành tổng các hàm mũ rời rạc có biên độ hữu hạn:
f (t )   Dn e jn0t
n

Khi tín hiệu không tuần hoàn, phổ trở thành liên tục; tức là phổ tồn tại cho từng giá trị của ,
nhưng biên độ của mỗi thành phần trong phổ là zêrô. Đo lường có nghĩa trong trường hợp này
không phải là biên độ của thành phần tại một số tần số mà là mật độ phổ trên đơn vị băng thông.
Phương trình (4.6b) cho thấy là f (t ) được tổng hợp bằng cách cộng các hàm mũ dạng e jnt , theo
đó đóng góp của một thành phần mũ là zêrô. Nhưng đóng góp của hàm mũ trong dải tần vô cùng
bé  tại vị trí   n là (1 / 2 ) F (n) , và việc lấy tổng mọi thành phần cho f (t ) có
dạng:
1 
1 
f (t )  lim
F (n )e( jn )t  
F ( )d (4.15)

 0 2
2 
n
1
Đóng góp của thành phần trong dải tần d là
F ( )d  F ( )dF , với dF là băng thông
2
tính theo Hertz. Rõ ràng, F() là mật độ phổ trên đơn vị băng thông (Hertz). Cũng cần thấy là cho
dù biên độ của một thành phần nào đó là zêrô, thì lượng tương đối của thành phần tại tần số  là
F(). Mặc dù F() là mật độ phổ, nhưng trong thực tế lại thường đươc gọi là phổ của f (t ) thay vì
là mật độ phổ của f (t ) . Do đó, gọi F() là phổ Fourier (hay biến đổi Fourier) của f (t ) .

Sự hài hòa kỳ diệu
Điểm quan trọng cần nhớ ở đây là f (t ) được biểu diễn (hay tổng hợp) dùng các hàm mũ (hay
sin) là hàm không dừng (hay không nhân quả). Xét việc tổng hợp tín hiệu xung f (t ) tồn tại trong
thời gian giới hạn (hình 4.6) bằng các thành phần sóng sin trong phổ Fourier. Tín hiệu f (t ) chỉ tồn

tại trong khoảng (a,b) và là zêrô ở ngoài khoảng này. Phổ của f (t ) chứa vô hạn các hàm mũ (hay
sin) bắt đầu tại t   và tiếp tục mãi mãi. Biên độ và pha của các thành phần này phải hợp lại
thành đúng f (t ) trong khoảng giới hạn, và là zêrô ngoài khoảng này. Sắp xếp biên độ và pha của
vô số thành phần này đòi hỏi sự hài hòa và trí tưởng tưởng tinh tế của con người, nhưng biến đổi
Fourier lại thực hiện được việc này theo trình tự , không phải suy nghĩ gì.

Một vài ý niệm
Trong chương 2, ta định nghĩa hàm truyền H(s) là




Cho s = j

H ( s)   h(t )e st dt

(4.16)





H ( j )   h(t )e  jt dt

(4.17)



Vế phải là biến đổi Fourier của h(t ) , và theo ý niệm từ phương trình (4.3) thì đó là H ( ) ,
trong khi có ý niệm tương tự là H ( j ) trong chương 2. Do đó, trung thành với ý niệm trước, ta

gọi biến đổi Fourier là F ( j ) thay vì F ( ) trong phương trình (4.3). Thực ra, ý niệm F ( j ) cho
biến đổi Fourier thường dùng trong nhiều tài liệu. Do đó, ta tiếp tục dùng hai ý niệm, với ghi nhớ
là F ( ) và F ( j ) biểu diễn cùng đặc tính.
Điều này chỉ quan trọng khi ta bàn về biến đổi Laplace và tính lọc trong các chương kế, như
thế cần nhớ là H ( ) và H ( j ) biểu diễn cùng đặc tính.
4.1-2 Khảo sát đáp ứng của hệ LT – TT – BB dùng biến đổi Fourier.
Để biểu diễn tín hiệu f (t ) thành tổng các hàm mũ (không dừng) nhằm tìm đáp ứng hệ thống
f (t ) là tổng của các đáp ứng thành phần mũ của f (t ) . Xét hệ LT – TT – BB ổn định tiệm cận có
hàm truyền H(s). Đáp ứng của hệ thống này với hàm mũ không dừng e jt là H ( )e jt . Cặp vào–
ra này được biểu diễn như sau:
e jt  H ( )e jt
Vậy
e j ( n )t  H (n )e j ( n )t
Và
 F n   j ( n )t
 F (n ) H (n )  j ( n )t
e



e
2
2


Do tính tuyến tính


 F n   j ( n )t
 F n H n   j ( n )t

lim  
e

lim



e
 0



0
2
2

n
n

Ngõ vào f (t )
Ngõ ra y(t )
Vế phải là ngõ vào f (t ) [xem phương trình (4.6a) và (4.6b)], và vế phải là đáp ứng y(t ) . Nên:

1
1
lim  F (n ) H (n )e j ( n )t  



0

2
2
n
1 
y(t ) 
Y ( )e jt d
2 
Với Y ( ) là biến đổi Fourier của y(t ) , cho bởi
Y ()  F () H ()

y(t ) 







F ( ) H ( )e jt d

(4.18)
(4.19)

Gút lại, khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền là H(s) có ngõ vào là f (t ) , và ngõ ra là y(t ) thì
nếu

f (t )  F () thì y(t )  Y ()


Các bước trong phương pháp miền tần số giống hệt trường hợp trong miền thời gian. Trong

miền thời gian ta biểu diễn f (t ) thành tổng các thành phần xung; còn trong miền tần số, ngõ vào
được viết thành tổng các hàm mũ (hay sin) không dừng. Trong trường hợp đầu, đáp ứng y(t ) là
tổng của các đáp ứng thành phần xung từ phép tích phân chập; còn trong miền tần số thì đáp ứng là
tổng các đáp ứng hệ thống thành phần của hàm không dừng dạng mũ lấy từ tích phân Fourier. Ý
tưởng này được diễn đạt một cách toán học như sau:
1. Trong miền thời gian
 (t )  h(t )

đáp ứng xung của hệ thống là h(t )



f (t )   f ( x) (t  x)dx biểu diễn f (t ) thành tổng các thành phần xung, và



y(t )   f ( x)h(t  x)dx


biểu diễn y(t ) thành tổng các đáp ứng thành phần xung

2. Trong miền tần số
đáp ứng hệ thống của e jt là H ( )e jt
e  H ( )e jt
1 
f (t ) 
F ( )e jt d ; f (t ) thành tổng các thành phần hàm mũ không dừng, và




2
1 
y(t ) 
F ( ) H ( )e jt d ; y(t ) là tổng đáp ứng các thành phần hàm mũ



2
jt

Quan điểm miền tần số nhìn nhận hệ thống theo đáp ứng tần số (đáp ứng hệ thống với nhiều dạng
thành phần sóng sin). Khi xem tín hiệu là tổng của nhiều thành phần sóng sin. Truyền tín hiệu qua
hệ (tuyến tính) được xem là truyền nhiều thành phần sóng sín của tín hiệu qua hệ thống.

4.2 Biến đổi Fourier của một số hàm hữu ích
Để tiện, ta giới thiệu các ý niệm cô đọng về một số hàm hữu ích như xung vuông góc, xung
tam giác, và các hàm nội suy.
Xung vuông góc đơn vị
Được định nghĩa là hàm rect(x) là xung vuông góc có chiều cao đơn vị và độ rộng đơn vị,
nằm cách đều gốc, vẽ ở hình 4.7a;


 0

rect  1 / 2
 1


x  1/ 2
x  1/ 2

x  1/ 2

(4.20)

Xung cổng trong hình 4.7b là xung cổng đơn vị rect (x) mở rộng theo thừa số  và có thể viết
thành rect (x/) (xem phần 1.3-2). Ta thấy là , mẫu số của (x/), cho thấy độ rộng của xung.
Xung tam giác đơn vị
Xung tam giác đơn vị (x) là xung tam giác có độ cao đơn vị và độ rộng đơn vị, nằm cách
đều gốc, vẽ ở hình 4.8a
 0
( x)  
1  2 x

x  1/ 2
x  1/ 2

(4.21)

Xung hình 4.8b là ( x /  ) . Ta thấy là trường hợp này giống trường hợp xung cổng, mẫu số  của
( x /  ) chỉ độ rộng xung.
Hàm nội suy sinc(x)
Hàm sinx/x còn gọi là sinc(x), là hàm có vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu, còn gọi là
hàm lọc hay hàm nội suy. Định nghĩa:
sin x
(4.22)
sin c( x) 
x
Xét phương trình (4.22) ta thấy:
1. sinc(x) là hàm chẵn theo x.
2. sin(x) = 0 khi sin x = 0 trừ giá trị x = 0 (xuất hiện dạng vô định), tức là sin x = 0 khi

x   ,2 ,3 ,...
3. Dùng định L’Hopital, ta có sin (0) =1.
4. sin(x) là tích của sóng dao động sin x (có chu kỳ 2) và hàm đơn điệu giảm 1/x. Như thế,
hàm sinc (x) là dao động sin với chu kỳ 2, có biên đô giảm liên tục theo 1/x.
Hình 4.9a vẽ tín hiệu sinc (x). Ta thấy sinc (x) = 0 tại các giá trị x dương và âm với bội số
của . Hình 4.9b vẽ sinc (3/7). Đối số (3/7) =  khi  = 7/3. Do đó, zêrô đầu tiên của hàm
xuất hiện tại  = 7/3.


 Bài tập E 4.1


 
 3 
 t 
Vẽ (a) rect ( ) (b)   (c) sin c
 (d) sin c(t )rect 
. 
8
 10 
 2 
 4 
■ Thí dụ 4.2:
t
Tìm biến đổi Fourier của f (t )  rect   (hình 4.10a)
 

t
F ( )   rect  e  jt dt


 


t
Do hàm rect    1 khi t  và là 0 khi t 
2
2
 
  
  
2 sin
sin


 /2
1  j  / 2
   
     sin c  
F ( )   e  jt dt  
(e
 e j  / 2 ) 


 / 2
j

  
 2 



 
Do đó
t
  
(4.23)
rect     sin c

 
 2 



  
Nhắc lại là sinc (x) = 0 khi x =  n. Do đó, sin c
  n ; tức là khi
  0 khi
2
 2 
2n
, ( n = 1, 2, 3, …) vẽ trong hình 4.10b. Biến đổi Fourier F() vẽ trong hình 4.10b cho




thấy các giá trị dương và âm. Các biên độ âm có thể xem là giá trị dương với pha là –  hay .

  
Dùng quan sát này để vẽ phổ biên độ F ( )  sin c
 trong hình 4.10c và phổ pha F ( )
 2 

trong hình 4.10d. Phổ pha phải là hàm lẻ theo , có thể vẽ theo nhiều cách khác nhau do giá trị âm
có thể được tính bằng góc pha  n, với n là số dương lẻ bất kỳ. Các biểu diễn này đều tương
đương nhau.

t
Băng thông của rect ( )



t
Phổ F() trong hình 4.10 có đỉnh tại   0 và giảm theo tần số cao. Do đó, hàm rect ( ) là



hàm thông thấp tín hiệu với hầu hết năng lượng tín hiệu nằm trong thành phần tần số thấp hơn. Nói
một cách nghiêm ngặt hơn, do phổ mở rộng từ 0 đến  , nên băng thông là . Hơn nữa, nhiều phổ
2
tập trung trong búp thứ nhất (từ   0 đến  
). Do đó, có thể tính gần đúng băng thông của
xung vuông với độ rộng  giây là

2





rad/s, hay

xung và băng thông, ta sẽ xem xét kết quả này.

1
Hz. Chú ý vể quan hệ tương hỗ giữa độ rộng



■ Thí dụ 4.3:
Tìm biến đổi Fourier của xung đơn vị  (t )
Từ đặc tính lấy mẩu của xung [phương trình (1.24)], ta có
F  (t )    (t )e  jt dt  1




Hay

 (t )  1

Hình 4.11 vẽ  (t ) và phổ

(4.24a)
(4.24b)
■

■ Thí dụ 4.4:

Tìm biến đổi nghịch của  ( )
Dùng phương trình (4.8b) và đặc tính lấy mẩu của hàm xung
1 
1

F- -1  ( ) 
 ( )e jt d 



2
2
1
Vậy
  ( )
2
Hay
1  2 ()

(4.25a)
(4.25b)

Kết quả này cho thấy phổ của tín hiệu hằng f (t )  1 là xung 2 ( ) , vẽ trong hình 4.12.
Nhắc lại biến đổi Fourier của f (t ) là biểu diễn phổ của f (t ) theo thành phần hàm mủ
không dừng dạng e jt . Để biểu diễn một tín hiệu hằng f (t )  1, ta chỉ cần hàm không dừng e jt
với  = 0. Một cách khác để quan sát tình huống này là f (t )  1 là tín hiệu f (t )  1 là tín hiệu dc
chỉ có một tần số  = 0 (dc).
■
Nếu xung tại  = 0 là phổ của tín hiệu dc, thì xung tại   0 biểu diễn gì? Thí dụ sau sẽ trả
lời câu hỏi này.
■ Thí dụ 4.5:
Tìm biến đổi nghịch của  (  0 )
Dùng đặc tính lấy mẩu của hàm xung
1 
1 j0t

 (  0 )e jt d 
e
F- -1  (  0 ) 



2
2
1 j0t
Vậy
e   (  0 )
2
e j0t  2 (  0 )
Hay

(4.26a)


Kết quả này cho thấy phổ của tín hiệu không dừng e j0t là một xung tại   0 . Để biểu
diễn tín hiệu mủ không dừng e j0t , ta chỉ cần một hàm mủ không dùng e j0t với   0 , đo đó,
phổ chỉ gồm một thành phần tần số tại   0 .
Từ phương trình (4.26a), ta có
e  j0t  2 (  0 )

(4.26b) ■

■ Thí dụ 4.6:

Tìm biến đổi biến đổi Fourier của tín hiệu sin không dừng cos 0t .
Từ công thức Euler

1
cos 0t  ( e j0t  e  j0t )
2
Dùng hai phương trình (4.26a) và (4.26b), ta có
(4.27)
cos 0t   [ (  0 )   (  0 )]
Phổ của cos 0t gồm hai xung tại 0 và  0 , vẽ trong hình 4.13. Kết quả cho thấy tín hiệu không
dừng cos 0t có thể được tổng hợp từ hai hàm mủ không dừng e j0t và e  j0t . Do đó, phổ Fourier
chỉ gồm hai thành phần tại tần số 0 và  0 . ■
■ Thí dụ 4.7:

Tìm biến đổi Fourier của hàm bước đơn vị u (t ) .
Thử tìm biến đổi Fourier của u (t ) bằng phương pháp tích phân trực tếp sẽ dẫn đến kết quả
không xác định, do:


U ( )   u (t )e


 jt



dt   e
0

 jt

 1  jt
dt 

e
j



0


Ta thấy cận trên của e  jt khi t   là không xác định, do đó, ta nên xem u (t ) là hàm mủ giảm
e  atu (t ) với giới hạn a  0 (hình 4.14a). Vậy
u (t )  lim e  at u (t ) , và
a0

1
(4.28a)
a0
a0 a  j
Viết lại theo các thành phần thực và ảo
 
 a
 a  1
(4.28b)
U ( )  lim  2
j 2
 lim  2

2
2

a0 a  

a    a0  a   2  j

Hàm a /( a 2   2 ) có đặc tính rất thú vị. Thứ nhất, hàm có diện tích (hình 4.14b) là  bất chấp giá
trị của a.

a
1 
 a 2   2 d  tan a  
Thứ hai, khi a  0 , hàm tiến về zêrô với mọi   0 , và tất cả phần diện tích (  ) sẽ tập trung tại
một điểm   0 . Rõ ràng, khi a  0 , hàm trở thành xem có cường độ là , vậy:
1
(4.29)
U ( )   ( ) 
j
U ( )  lim F {e atu (t )}  lim

Chú ý là u (t ) không phải là tín hiệu dc (thực) do không là hằng số trong suốt khoảng từ - 
đến . Để tổng hợp tín hiệu dc (thực) ta chỉ cần một hàm mủ không dừng với   0 (xung tại
  0 ). Tín hiệu u (t ) có bước nhảy gián đoạn tại t  0 , nên không thể tổng hợp tín hiệu dạng này
chỉ dùng một hàm mủ không dừng e jt . Để tổng hợp tín hiệu này dùng hàm mủ không dừng, ta
cần có thểm xung tại   0 , các thành phần tần số, do 1 / j trong phương trình (4.29).
■
 Bài tập E 4.2
Chứng minh biến đổi Fourier của tín hiệu hàm dấu sgn(t ) vẽ trong hình 4.15a là 2 / j .
Hướng dẫn: chú ý là hàm sgn(t ) dời đi giá trị 1 là 2u (t ) . 
 Bài tập E 4.3

Chứng minh biến đổi Fourier nghịch của F ( ) vẽ trong hình 4.15b là f (t ) 
Vẽ f (t ) . 

 Bài tập E 4.4
Chứng minh: cos(0t   )   [ (  0 )e j   (  0 )e j ]
1
Hướng dẫn: . cos(0t   )  [e j (0t  )  e  j (0t  ) ] 
2

0
sin c(0t ) .



4.3 Một số đặc tính của biến đổi Fourier.
Ta nghiên cứu một số đặc tính quan trọng của biến đổi Fourier với các hàm ý và ứng dụng.
Trước hết, ta cần giải thích một số dáng vẽ quan trọng và nổi tiếng của biến đổi Fourier: tính đối
ngẫu thời gian – tần số:

f (t ) f

1

e  atu (t )

2

e  atu(t )

3

e

4

te  atu (t )

5

t n e  atu (t )

6
7
8

 (t )

9

a t

1

e 0t
cos 0t

11

sin 0t
u (t )

12

sgn(t )

13

cos 0tu (t )

10

14

sin 0tu (t )

Bảng 4.1 Bảng biến đổi Fourier
F ( )
1
a0
a  j
1
a0
a  j
2a
a0
2
a  2
1
a0
( a  j ) 2
n!
a0
(a  j ) n1

1
2 ( )
2 (  0 )

 [ (  0 )   (  0 )]
j [ (  0 )   (  0 )]
 ( ) 
2
j

 [ (  0 )   (  0 )] 


2j

15

e  at sin 0tu (t )

1
j

j
+
  2

[ (  0 )   (  0 )] 

0
(a  j ) 2  02

2
0

0
  2
2
0

a0


16

e  at cos 0tu (t )

a  j
(a  j ) 2  02

17

rect ( t )

 sin c

18

W



19
20
21

sin c(Wt )

t
 
 
W
  
sin 2 

2
 2W 


  (t  nT )

n 

22

e

 t 2 / 2 2

a0

  


 2 
  
rect 

 2W 

  
sin c 2 

2
 4 
  


 2W 


0   (  n0 )
n

 2 e  
2

2

0 

2
T

/2

4.3-1 Tính đối xứng giữa toán tử thuận và nghịch: Đối ngẫu thời gian - tần số
Phương trình (4.8) cho thấy một vấn đề rất thú vị: các toán tử thuận và nghịch đều rất giống
nhau. Các toán tử này cần thiết để biến f (t ) thành F ( ) , được vẽ trong hình 4.16. Chỉ có hai
khác biệt nhỏ: thừa số 2 chỉ xuất hiện trong toán tử nghịch, và chỉ số mủ trong hai toán tử có dấu
đối nhau. Nói cách khác, hai toán tử này đối xứng. Quan sát này có ảnh hưởng lớn đến nghiên cứu
về biến đổi Fourier. Đây là cơ sở của cái gọi là tính đối ngẫu thời gian – tần số.
Với các quan hệ giữa f (t ) và F ( ) , ta có kết quả đối ngẫu nhau, từ cách thay đổi vai trò
của f (t ) và F ( ) trong kết quả gốc (đôi khi cần có thay đổi nhỏ do yếu tố có thừa số 2 hay đảo
dấu). Thí dụ, trong tính dời theo thời gian, nếu ta có f (t )  F () , thì
(4.30a)
f (t  t0 )  F ( )e  jt0
Đối ngẫu của tính chất này (tính dời theo tần số) cho rằng
f (t )e j0t  F (  0 )
(4.30b)
Quan sát tính hoán vị giữa thời gian và tần số trong hai phương trình (với thay đổi nhỏ là sự đảo
dấu trong chỉ số mủ). Giá trị của nguyên lý này dựa trên sự kiện là bao giờ ta tìm ra một kết quả,
thì luôn tồn tại kết quả đối ngẫu. Khả năng này cho ta nhìn thấy trước được một số đặc tính và kết
quả khi xử lý tín hiệu.
Các đặc tính của biến đổi Fourier không chỉ hữu ích để tìm biến đồi thuận và nghịch của
các hàm, mà còn giúp tìm nhiều kết quả có giá trị khi xử lý tín hiệu. Ta bắt đầu với đặc tính đối
xứng, là một trong những hệ quả của nguyên lý đối ngẫu vừa nói trên.


4.3-2 Tính đối xứng,
nếu f (t )  F () , thì
F (t )  2f ()
Chứng minh: theo phương trình (4.8b)


1 
jxt
2

f
(

t
)

F ( x)e  jxt dx
,
do
đó
f (t ) 
F
(
x
)
e
dx






2
Thay đổi t thành  , có lại phương trình (4.31).

(4.31)

■ Thí dụ 4.8:
Thí dụ này dùng tính đối xứng [phương trình (4.31)] với cặp biến đồi trong hình 4.17a. Từ
phương trình (4.23), ta có:
t
  
rect     sin c
(4.32)


2








f (t )

F ( )

Ngoài ra, F (t ) giống F ( ) khi thay  bằng t, và f ( ) là f (t ) khi thay t bằng   . Dùng tính
đối xứng (4.31), ta có:
 t 
  
 

 sin c   2rect 
(4.33)
 = 2rect  
2










 

F (t )

2f (  )

Trong phương trình (4.33) ta cho rect ( x)  rect ( x) do rect là hàm chẵn. Hình 4.17b vẽ cặp biến
đổi này. Quan sát việc hoán vị giữa t và  (với thay đổi nhỏ là thừa số 2). Kết quả này xuất hiện
trong cặp biến đổi thứ 18 trong bảng 4.1 (với /2 = W)
Độc giả nên tạo tính đối ngẫu của các cặp trong bảng 4.1 dùng tính đối xứng. ■


4.3-3 Tính tỉ lệ
Nếu f (t )  F () thì với số thực a bất kỳ f (at ) 

1  

F 
a a

Chứng minh
Với số thực dương a,

1 
1  
f ( x)e(  j / a ) x dx  F  


a 
a a
Tương tự, có thể chứng tõ là nếu a < 0,
1   
f (at ) 
F 
a a
là phương trình (3.34).
F  f (at )   f (at )e  jt dt 


(4.34)


Ý nghĩa vủa tính tỉ lệ
Hàm f (at ) biểu diễn hai hàm f (t ) nén theo thời gian với tỉ lệ a (xem phần 1.3-2). Tương
 
tự, hàm F   biểu diễn hàm F ( ) giãn theo tần số với thừa số a. Theo tính tỉ lệ thì nén tín hiệu
a

theo thời gian làm giãn phổ tín hiệu, và giãn theo thời gian tức là nén theo phổ. Một cách trực giác
thì nén theo thời gian với thừa số a tức là tín hiệu thay đổi nhanh hơn với cùng thừa số này. Để
tổng hợp tín hiệu dạng này, tần số của sóng sin phải tăng với thừa số a, và phổ tần số phải giãn với
thừa số a. Tương tự, tín hiệu giãn theo thời gian thay đổi chậm hơn, nên tần số các thành phần tần
số thấp xuống; do đó, phổ tần số bị nén lại. Thí dụ, tín hiệu cos 20t là tín hiệu cos 0t nén theo
thời gian với tỉ lệ 2. Rõ ràng thì, phổ của tín hiệu đầu (xung tại  20 ). Ảnh hưởng của tỉ lệ này
được mô tả trong hình 4.18.

Tính tƣơng hỗ giữa độ rộng tín hiệu và băng thông.
Theo tính tỉ lệ, nếu f (t ) càng rộng, thì phổ hẹp lại, và ngược lại. Độ rộng tín hiệu tăng hai
lần làm băng thông giảm nửa. Tức là băng thông tín hiệu tăng tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu
(tình bằng giây). Ta kiểm nghiệm lại là trong trường hợp xung cổng, khi băng thông với độ rộng 
giây là (1/) Hz.
Khi cho a  1 trong phương trình (4.34), ta có đặc tính nghịch chuyển giữa thời gian và tần
số.

f (t )  F ()

(4.35)

■ Thí dụ 4.9
at
Tìm biến đổi Fourier của e atu (t ) và e
Dùng phương trình (4.35) vào cặp biến đổi 1 (bảng 4.1), ta có:
1
at
, và e  e  atu(t )  e atu(t ) , do đó
e atu (t ) 
a  j
1

1
2a
at
e 

 2
a  j a  j a   2
Tín hiệu e

a t

và phổ được vẽ ở hình 4.19.

(4.36)
■


4.3-4 Tính dời theo thời gian
Nếu f (t )  F () thì f (t  t0 )  F ( )e  jt0

(4.37a)

Từ định nghĩa
F  f (t  t0 )   f (t  t0 )e  jt dt . Đặt t  t0  x , ta có











F  f (t  t0 )   f ( x)e  j ( xt0 ) dx e  jt0  f ( x)e  jx dx  F ( )e  jt0

(3.47b)

Kết quả này cho thấy là khi dời tín hiệu đi t 0 giây thì không làm thay đổi phổ biên độ. Tuy
nhiên, phổ pha bị thay đổi  t0 .
Giải thích thực tế về pha tuyến tính

Trễ theo thời gian trong tín hiệu là nguyên nhân tạo dời pha tuyến tính trong phổ. Kết quả
này còn được tìm ra từ luận chứng thực tế. Tưởng tượng là f (t ) được tổng hợp từ các thành phần
Fourier, là các sóng sin với biên độ và pha nào đó. Tín hiệu f (t  t0 ) có thể được tổng hợp với các
thành phần sóng sin này mỗi thành phần được dời đi t 0 giây. Biên độ các thành phần vẫn giữ
không đổi. Do đó, phổ biên độ của f (t  t0 ) giống hệt f (t ) . Mỗi thành phần sóng sin được dời
theo t 0 , điều này làm thay đổi pha của mỗi thành phần.
Xét sóng cos t được dời đi t 0 được cho bởi
cos  (t  t0 )  cos(t  t0 )
Do đó, khi dời sóng sin có tần số  đi t 0 theo thời gian tạo ra độ dời pha t0 . Đây là hàm tuyến
tính theo , tức là các thành phần tần số cao hơn phải có độ dời pha cao hơn nhằm có được cùng
thời gian trễ.
Hiện tượng này được vẽ trong hình 4.20 với hai sóng sin, tần số sóng vẽ bên dưới có tần số
gấp đôi sóng vẽ phía trên. Với cùng thời gian trễ t 0 tạo độ dời pha là /2 cho sóng phía trên và dời


pha  cho sóng phía dưới. Điều này cho thấy một thực tế là để đạt được cùng thời gian trễ, các
sóng sin tần số cao phải có độ dời pha cao hơn. Nguyên tắc về dời pha tuyến tính rất quan trọng và

ta sẽ khảo sát lại trong ứng dụng truyền tín hiệu không méo và lọc.
■ Thí dụ 4.10
 a t t0
Tìm biến đổi Fourier của e
.
a t
Hàm được vẽ trong hình 4.21a, là dạng dời theo thời gian của e
(vẽ trong hình 4.19a). Từ
phương trình (4.36) và (4.37), ta có
2a
a t t0
(4.38)
e
 2
e  jt0
a  2
 a t t0
Phổ của e
(hình 4.19b), trừ việc có thêm độ dời pha  t0 .
Quan sát thấy thời gian trễ tạo phổ pha tuyến tính  t0 . Thí dụ này làm rõ thêm ảnh hưởng
của dời theo thời gian. ■
■ Thí dụ 4.10
 a t t0
Tìm biến đổi Fourier của e
.

a t

Hàm vẽ trong hình 4.21a, là dạng dời theo thời gian của e
(vẽ trong hình 4.19a). Từ

phương trình (4.36) và (4.37), ta có
2a
a t t0
(4.38)
e
 2
e  jt0
a  2
 a t t0
Phổ của e
(hình 4.19b), trừ việc có thêm độ dời pha  t0 .
Quan sát thấy thời gian trễ tạo phổ pha tuyến tính  t0 . Thí dụ này làm rõ thêm ảnh hưởng
của dời theo thời gian. ■
■ Thí dụ 4.11
Tìm biến đổi Fourier của xung cổng f (t ) vẽ trong hình 4.22a
t
Xung f (t ) là xung cổng rect   trong hình 4.10a được làm trễ /2 giây. Vậy, theo phương
 

 j
t
trình (4.37a) có biến đổi là biến đổi Fourier của rect   nhân với e 2 , nên:
 




    j 2
F ( )   sin c
e

 2 
Phổ biên độ F ( ) (vẽ trong hình 4.22b) của xung giống với trường hợp vẽ ở hình 4.10c. Nhưng
phổ pha có thêm thừa số /2. Do đó, phổ pha của f (t ) giống trường hợp trong hình 4.10b cộng
thêm thừa số tuyến tính   / 2 , và vẽ ở hình 4.22c. ■

 Bài tập E 4.6
Dùng đặc tính dời theo thời gian vào các cặp 18, chứng minh là biến đổi Fourier của
    jT

e
rect 
. Vẽ phổ biên độ và phổ pha của biến đổi Fourier. 
sin c[0 (t  T )] là
0
 20 

4.3-5 Tính dời theo tần số.
Nếu f (t )  F () thì f (t )e j0t  F (  0 )
Chứng minh: từ định nghĩa













(4.39)

F f (t )e j0t   f (t )e j0t e  jt dt   f (t )e  j ( 0 )t dt  F (  0 )
Từ đặc tính này, phép nhân tín hiệu với thừa số e j0t dời phổ tín hiệu lên   0 . Chú ý tính
đối ngẫu giữa dời theo thời gian và dời theo tần số.
Thay đổi  thành  0 , ta có
f (t )e  j0t  F (  0 )

(4.40)

Do e j0t là hàm không dễ tạo ra trong thực tế, nên thường ta nhân f (t ) với sóng sin để tại
dời tần số. Do
1
f (t ) cos 0t  f (t )e j0t  f (t )e  j0t
2
Từ hai phương trình (4.39) và (4.40), ta có
1
f (t ) cos 0t  F (  0 )  F (  0 )
(4.41)
2






Điều này cho thấy là phép nhân tín hiệu f (t ) với sóng sin có tần số 0 , dời phổ F ( ) giá
trị  0 , như vẽ trong hình 4.23.

Nhân hàm cos 0t với f (t ) tạo điều chế biên độ, và dạng điều chế này được gọi là điều chế
biên độ. Hàm cos 0t gọi là sóng mang, tín hiệu f (t ) được gọi là tín hiệu điều chế và
f (t ) cos 0t gọi là tín hiệu đƣợc điều chế. Phần 4.7 và 4.8 sẽ thảo luận sâu hơn về vấn đề này.
Để vẽ tín hiệu f (t ) cos 0t , ta nhận thấy:

 f (t ) khi cos 0t  1
f (t ) cos 0t  
 f (t ) khi cos 0t  1
Do đó, f (t ) cos 0t dính với f (t ) khi cos 0t ở vị trí đỉnh dương và là  f (t ) khi cos 0t ở
vị trí định âm. Tức là f (t ) và  f (t ) hoạt động như đường bao của tín hiệu f (t ) cos 0t (xem
hình 4.23). Tín hiệu  f (t ) là ảnh của f (t ) qua trục ngang. Hình 4.23 vẽ các tín hiệu f (t ) ,
f (t ) cos 0t và phổ tương ứng.
■ Thí dụ 4.12
Tìm và vẽ biến đổi Fourier của tín hiệu được điều chế f (t ) cos 10t với f (t ) là xung cổng
 
rect   vẽ trong hình 4.24a
4
t
Dùng cặp biến sđổi 17 (bảng 4.1), ta có rect    3 sin c(2 ) , vẽ ở trong hình 4.24b.
4
Phương trình (4.41) cho
1
f (t ) cos 10t  F (  10)  F (  10)
2
Trường hợp này, F ()  4 sin c(2) , do đó:


f (t ) cos 10t  2 sin c[2(  10)]  2 sin c[2(  10)]
Phổ của tín hiệu f (t ) cos 10t có được bằng cách dời F ( ) trong hình 4.24b sang trái 10 và đồng
thời dời sang phải là 10, rồi nhân với (1/2), như vẽ trong hình 4.24d. ■

 Bài tập E 4.7
t
Vẽ tín hiệu e cos 10t. Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu này và vẽ phổ tín hiệu.
1
1
Đáp số: F ( ) 
. Phổ có dạng hình 4.19b (với a =1), dời đi

2
(  10)  1 (  10) 2  1
10 và nhân với (1/2). 
Ứng dụng vào điều chế
Điều chế được dùng để dời phổ tín hiệu. Một số trường hợp cần dời phổ tín hiệu là:
1. Khi có nhiều tín hiệu, mỗi tín hiệu chiếm cùng dải tần số, được truyền đồng thời trong cùng
môi trường, chúng sẽ gây nhiễu lên nhau. Tại máy thu, ta không thể tách hay khôi phục lại tín
hiệu. Thí dụ, nếu tất cả các đài phát thanh quyết định phát đồng thời các tín hiệu âm tần, thì các
máy thu không thể nào tách chúng ra được. Vấn đề này được giải quyết dùng phương pháp
điều chế, theo đó, mỗi đài phát thanh dùng tần số mang riêng biệt. Mỗi trạm phát tín hiệu được
điều chế. Phương pháp này dời phổ tín hiệu đến các dải tần số của đài mình, không vi phạm
đến các đài khác. Máy thu chỉ việc giải điều chế (làm ngược lại quá trình điều chế). Giải điều
chế bao gồm các phổ dời khác cần thiết để khôi phục lại tín hiệu của băng tần gốc. Chú ý là cả
quá trình điều chế và giải điều chế đều thực hiện dời tần số; do đó, quá trình giải điều chế là
tương tư quá trình điều chế (xem phần 4.7).
Phương pháp truyền đồng thời nhiều tín hiệu trong một kênh truyền bằng cách chia sẻ dải
tần số được gọi là FDM (ghép kênh bằng cách phân chia theo tần số: frequency-division
multiplexing)
2. Để có công suất phát sóng hiệu quả, thì kích thước anten phải ở bước sóng của tín hiệu được
phát. Tín hiệu âm tần rất thấp (bước sóng rất dài) nên không thề thiết lập anten phát sóng trong
thực tế. Do đó, khi dời phổ tín hiệu đến tần số cao hơn (bước sóng ngắn hơn) bằng cách điều

chế giải quyết được vấn đề này.