Nghiên cứu Didactic về khái niệm hình và hình vẽ biểu diễn trong hình học

Số 33 (58) - Tháng 10/2017

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

Nghiên cứu Didactic về khái niệm hình và
hình vẽ biểu diễn trong hình học
Didactic research on concepts of figure and drawing in geometry
TS. Nguyễn Ái Quốc,
Trường Đại học Sài Gòn
Nguyen Ai Quoc, Ph.D.,
Saigon University
Tóm tắt
Bài báo này trình bày một số quan điểm của các nhà Didactic Tốn trên hai đối tượng của Hình học là
"hình vẽ biểu diễn" và "hình", trong tiếng Anh là "drawing" và "figure", hay trong tiếng Pháp là
"dessin" và "figure". Hơn nữa, bài báo cũng đề cập đến một số đối tượng khác liên quan đến hai đối
tượng trên như "mơ thức hình học" và "hình vẽ hình học".
Từ khóa: hình vẽ biểu diễn, hình, mơ thức, hình hình học.
Abstract
- the two
objects in geometry which are called "dessin" and "figure" respectively in French. Moreover, the paper
refers to some miscellaneous objects in association with two previous objects called "paradigm" and
"geometric drawing".
Keywords: drawing, figure, paradigm, geometric drawing.

phân biệt các thực thể cấu thành của mơ
thức tổng thể. Điều này đề cập đến thực
hành của các cá thể của trường mơn học
này." [11]
1.2. Mơ thức hình học của
Houdement – Kuzniak
"Tốt hơn hết là xem sự tiến triển của

hình học là một chuỗi đứt gãy khơng thể
hòa hợp được, chúng ta chấp nhận một tầm
nhìn thống nhất của hình học nhờ vào ý
tưởng tổng hợp biện chứng tiến hóa giữa
các cực khác nhau…" [9, tr.11]
 "Hình học tự nhiên hay sự lẫn lộn
giữa hình học và thực tế (GI):
Hình học tự nhiên là nguồn đánh giá
thế giới thực, cảm nhận được. Nó bao gồm

1. Mơ thức hình học
1.1. Mơ thức của Kuhn
"Từ mơ thức, theo phương diện tổng
thể, chỉ tập hợp các niềm tin, kỹ thuật và
các giá trị mà một nhóm nhà khoa học chia
sẽ với nhau. Nó cố định cách thức đúng
đắn để đặt ra và thực hiện việc giải quyết
một vấn đề. Theo nghĩa này, Kuhn cũng
nói đến ma trận mơn học, cái mà cho phép
nhóm các lý thuyết, và tổng qt hơn, các
kiến thức của một nhóm làm việc trên cùng
một chủ đề.
Theo nghĩa thứ hai, khá thú vị trong
quan điểm didactic Tốn, mơ thức nêu lên
đặc trưng các ví dụ có ý nghĩa cho sinh
viên để dạy cho họ nhận biết, tách riêng và
29


NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC

Đối với Houdement và Kuzniak, đối
tượng hình học của GII không có nghĩa
trong lý thuyết vì nó là mô hình của một
đối tượng thực. Theo quan điểm này, rõ
ràng là đối tượng thứ nhất là đối tượng
thực, đối tượng lý thuyết của GII là một
mô hình của thực tế. Vai trò của hình vẽ
biểu diễn trong GII rất phức tạp vì nó là
biểu diễn của một đối tượng hình học lý
thuyết mà bản thân nó chính là mô hình
của một đối tượng thực.
1.3. Mô thức hình học của Parzysz
Nhận xét về mô thức hình học của
Houdement và Kuzniak, Parzysz cho rằng:
"Sự nối khớp giữa GI và GII – về mặt
bản chất khoa học luận – cơ bản hơn sự nối
khớp tách đôi GII và GIII… Thực vậy,
trong GI, các đối tượng vẫn còn là đối
tượng vật lý lý tưởng nhiều hơn hay ít hơn
các tình huống của "thực tế" (mô hình ngôi
nhà, hình vẽ một cánh đồng…) và việc
đánh giá vẫn còn theo bậc nhận thức (dụng
cụ hóa hay không). Ngược lại, trong GII
cũng như GIII, các đối tượng liên quan là
các yếu tố nằm ngoài thực tế (nhưng được
biểu diễn bởi các đối tượng vật lý), việc
đánh giá các khẳng định theo bậc suy diễn:
"học sinh được gợi ý từ bỏ một kiểm tra
mang tính kinh nghiệm chủ nghĩa các

tuyên bố của họ vì lợi ích của một kiểm tra
bằng phương thức suy luận." [3, tr.32].
Như vậy, theo Parzysz, sự phân biệt
của GII với GI và GIII chủ yếu dựa trên hai
phương diện:
1/ GII là một mô hình hóa của không
gian "vật lý" (nghĩa là GI), trong khi GIII
không còn tham chiếu đến "thực tế" nào
khác;
2/ GII có thể gọi là một GIII tiên đề
hóa không hoàn toàn, hay tốt hơn là một
hình học trong đó các "tiên đề" (có tính
kinh điển hay không) ngầm ẩn theo từng

ba phương diện trực quan, kinh nghiệm,
suy diễn, nhưng suy diễn được thực hiện
chủ yếu trên các đối tượng vật chất nhờ
trực quan và thao tác các dụng cụ. Điều
này sẽ đặt ra vấn đề về tính hợp thức…
Đây là một bằng chứng rõ ràng trên
giác quan, không phải trên suy diễn logic
và trừu tượng thuần túy. Theo nghĩa này, ta
có thể nói đến một "hình học thực
nghiệm"…
Việc xây dựng và nhận thức là trái tim
của hình học tự nhiên kiểu thực nghiệm."
[10, tr.97-98]
 "Hình học tiên đề tự nhiên hay hình
học như một sơ đồ của thực tế (GII):
Trong tổng hợp tiên đề Eulide, các

phương diện "không chặt chẽ" và các yêu
cầu trực quan nhường chỗ cho suy diễn
logic và chứng minh nằm trong một hệ
thống tiên đề chính xác nhất có thể…
Hình học này không đòi hỏi như hình
học tự nhiên là một thực tế, nhưng nó khao
khát là một sơ đồ thực tế." [9, tr.12-13]
"Các tiên đề của nó tương ứng với một
mô hình không gian thực mang tính địa
phương." [10, tr.98]
 "Hình học tiên đề hình thức chủ
nghĩa hay sự độc lập của Hình học với thực
tế (GIII):
Lần này… dây chằng buộc hình học và
thực tế bị chặt đứt. Các tiên đề không còn
được dựa trên tri giác và tính ưu việt của
suy luận logic là cần thiết." [9, tr.11-13]
Như vậy, trong GI, học sinh làm việc
trên các đối tượng vật chất nhờ vào nhận
thức và thao tác các dụng cụ. Các đối
tượng vật chất này là các đối tượng hình vẽ
hình học trong trường hợp hình học phẳng.
Trong GII, hình vẽ biểu diễn chỉ là một
biểu diễn của đối tượng hình học lý thuyết
và chúng ta làm việc trên chính các đối
tượng hình học lý thuyết này.
30


NGUYỄN ÁI QUỐC

được trình bày ở trên, chúng tôi đề xuất
một phép thử tổng hợp các mô hình trước
đó, đặc biệt bao gồm một sự nối khớp khác
một ít với sự nối khớp được đề xuất của
Houdement – Kuzniak vì những lý do nêu
trên. Các yếu tố mà mô hình này dựa trên,
một mặt là bản chất của các đối tượng liên
quan (vật lý với lý thuyết), mặt khác là các
phương thức đánh giá (nhận thức với suy
diễn logic). Bắt đầu từ "hiện thực", hay "cụ
thể" (G0) mà không phải là hình học,
chúng tôi gây tương phản, một mặt với một
hình học không tiên đề, dựa trên các tình
huống cụ thể được lý tưởng hóa để tạo
thành "không gian – đồ họa" (GI) và mặt
khác với một hình học tiên đề, sự tiên đề
hóa có thể tường minh hoàn toàn (GIII)
hay không (GII), và tham chiếu "thực" là
tùy chọn cho cái thứ nhất (nhưng không
cho cái thứ hai); trong trường hợp thứ hai,
chúng ta sẽ nói về hình học tiền tiên đề.
Tình huống có thể được sơ đồ hóa bằng
biểu đồ 1 sau:

phần (có ý thức hay không). Nói chính xác
hơn, GII dựa trên các lập luận suy diễn có
hiệu lực xuất phát từ một số thực tế được
xem xét như "hiển nhiên"; với điều này nó
tương tự với GIII (phiên bản Euclide). Nói

chung, ở một vài chỗ, nơi mà GIII bao hàm
một tiên đề và có thể cả các định nghĩa và
các định lý bắt nguồn từ nó thì GII đành
chấp nhận "ta thấy rằng" (thậm chí có thể
ngầm ẩn). Nhận thức vẫn còn hiện diện,
nhưng nó coi như chỉ phục vụ xây dựng
một lý thuyết của không gian nhận thức
được, và không còn – ít nhất là về nguyên
tắc – để hỗ trợ một luận chứng (ngay cả khi
"chúng ta thấy rằng" mâu thuẫn với nhận
xét này)." [16, tr.100-101]
Như vậy, không giống như Houdement
– Kuzniak làm nổi bật sự liên tục giữa các
mô thức khác nhau, Parzysz nhấn mạnh
trên sự đứt gãy giữa GI và GII.
Parzysz định nghĩa các mô thức hình
học của riêng mình như sau:
"Bằng cách làm theo các phân biệt

Các Hình học không tiên đề
Kiểu
hình học

Các Hình học tiên đề

"Hình học"
Hình học
Hình học
cụ thể (G0) Không gian – đồ họa (GI) tiền tiên đề (GII)

Hình học
tiên đề (GIII)

Đối tượng

Vật lý

Lý thuyết

Đánh giá

Nhận thức

Suy diễn
Biểu đồ 1

Như vậy, nếu xét theo quan điểm
didactic, sự phân biệt giữa các hình học
này xuất hiện trong các đứt gãy của hợp
đồng xảy ra giữa cái này với cái khác, hay
cụ thể hơn:
- Chuyển từ G0 sang GI: tính vật
chất của các đối tượng liên quan (gỗ, bìa
cứng, rơm…)
- Chuyển từ GI sang GII: độ dày của
nét vẽ, của điểm; kiểm chứng bằng nhận thức

- Chuyển từ GII sang GIII: các thuộc
tính được coi là "hiển nhiên". [16, tr.101]
Rõ ràng có một vài đặc trưng của các

mô thức hình học khác nhau có thể được
làm rõ bằng cách so sánh với định nghĩa
của Houdement – Kuzniak. Trước hết, kinh
nghiệm nuôi dưỡng sự duy diễn trong GI
của Houdement – Kuzniak, nhưng trong
định nghĩa của Parzysz đó là các đánh giá
kiểu nhận thức. Trong cả hai trường hợp,
31


NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC

vấn đề là tác động mang tính vật chất trên
các đối tượng thực của GI. Hành động này,
chúng ta gọi là kinh nghiệm hay đánh giá
kiểu nhận thức, có thể thay đổi: đo đạc, vẽ,
cắt, lật ngược,… Mặt khác, trong GI,
chúng ta có thể đánh giá bằng sự nhận thức
với hay không với dụng cụ. Sau cùng, hai
định nghĩa dựa trên các yếu tố khác nhau:
trực giác, kinh nghiệm và suy diễn của
Houdement – Kuzniak, và bản chất của đối
tượng và kiểu đánh giá vận hành ở Parzysz.
2. Hình vẽ biểu diễn – đối tượng
hình học
2.1. Hình vẽ biểu diễn – đối tượng
hình học
Parzysr (1988) phân biệt hình vẽ biểu
diễn với hình trong các biểu diễn đồ họa
trong hình học: hình vẽ biểu diễn là vết vật

chất trên một tờ giấy trong khi hình đề cập
đến đối tượng lý thuyết được biểu diễn.
Hay nói cách khác, hình vẽ biểu diễn thể
hiện cho một hình và hình bao gồm các đối
tượng hình học trong một mối quan hệ.
Parzysr nhấn mạnh hai quan điểm về
hình bằng cách đề cập tính đa nghĩa của từ
hình qua việc sử dụng hai từ phân biệt:
hình vẽ biểu diễn và đối tượng hình học:
"Trong thực tế, từ này chỉ hoặc là đối
tượng hình học (lý tưởng, theo nghĩa của
Plato) mà các nghiên cứu thực hiện trên đó,
hoặc là một hình vẽ biểu diễn của đối
tượng này." [15, tr.13]
Một giải thích khác về hình cũng được
trình bày trong [14, tr. 80]:
“Hình hình học là đối tượng hình học
được mô tả bằng văn bản định nghĩa, một ý
tưởng, một sự sáng tạo của trí tuệ trong khi
hình vẽ biểu diễn là một sự biểu diễn cho
đối tượng hình học đó.”
Ngoài ra, chúng tôi cũng tìm thấy sự
phân biệt hình vẽ biểu diễn và hình trong

một số bài báo của Arsac:
"Theo truyền thống từ thời Plato đã
phân biệt hình được vẽ trên giấy, thường
để chỉ một hình vẽ biểu diễn, với đối tượng
hình học mà trên đó thực hiện các chứng
minh." [3]

“Về sau, chúng ta phân biệt hình vẽ
biểu diễn với hình, hình vẽ biểu diễn để chỉ
hình vẽ được vẽ cụ thể trên trang giấy (hay
trên cát của Archimede) và hình để chỉ đối
tượng toán học mà trong đó hình vẽ chỉ là
một sự biểu diễn…Vì thế, hình là một phần
tử của "thế giới toán học" và không phải là
phần tử của thế giới cảm tính…” [1, tr.86]
Trong một bài báo, Laborde và
Capponi nêu rõ:
"Người ta phân biệt các đối tượng hình
học và các quan hệ hình học có tính chất lý
thuyết với sự thể hiện ra bên ngoài của
chúng trong các hệ thống biểu đạt khác
nhau. Người ta quan tâm đặc biệt đến các
thực tế đồ họa không gian (các hình vẽ
biểu diễn được tạo ra bằng vết vẽ của chì
trên trang giấy, của một que gỗ trên cát,
của các hạt điện tử trên màn hình máy tính)
biểu diễn các đối tượng lý thuyết này." [13]
Như vậy, hình vẽ biểu diễn được xem
là các vết vẽ vật chất trên trang giấy, trên
bảng, trên cát, trên màn hình máy tính, biểu
diễn cho một đối tượng hình học lý thuyết
trong thế giới cảm tính, và đối tượng hình
học lý thuyết này được gọi là hình (xem
biểu đồ 2). Đối tượng hình học lý thuyết
được xem xét dưới hai quan điểm, như
Parzysz đã đề cập: một đối tượng được
định nghĩa bởi một lý thuyết, chẳng hạn

hình học Euclide, từ các định nghĩa, các
tiên đề,… và do đó hoàn toàn thuộc thế
giới toán học hay nói đúng hơn là một đối
tượng lý tưởng theo nghĩa của Plato, như
Arsac đã nhắc lại:

32


NGUYỄN ÁI QUỐC

Đối tượng hình học lý thuyết
 Đối tượng được định nghĩa
bởi một lý thuyết hình học.
 Đối tượng lý tưởng.

Hình vẽ biểu diễn
 Vết vẽ vật chất
trên một giá vẽ,
thực tế đồ họa.
không gian

Biểu đồ 2
“Các thành phần của hình (điểm, đoạn)
có thể được xem như có một trạng thái của
các đối tượng lý tưởng (theo quan điểm Hy
lạp) hay được định nghĩa đơn giản bằng
các tiên đề (theo quan điểm hiện đại)…”
[1, tr.86]
2.2. Hình vẽ hình học

Hình vẽ hình học được Parzysz nói
đến trong việc mô tả GI:
"GI là một hình học trong đó các đối
tượng vật lý đã trải qua sự khởi đầu của
việc lý tưởng hóa, theo nghĩa chỉ có một số
đặc tính của đối tượng vật chất được giữ lại
thỏa đáng (ví dụ màu của các nét vẽ trên
một trang giấy hay một màn hình máy tính,
vật liệu mà một mô hình được thực hiện
trên đó sẽ không được tính đến). Nghĩa là
cái nhìn trên các đối tượng đã có một ít
trừu tượng và được đơn giản hóa so với
hiện thực (mô hình, vết vẽ trên trang giấy,
trên màn hình máy tính)." [17]
Như vậy, hình vẽ hình học không còn
là một đối tượng vật lý "thô" nữa, mà là
một đối tượng đã trải qua quá trình chuyển
đổi trí tuệ và diễn giải để tạo ra một hình
vẽ hình học. Thực tế, người đọc có thể
hoặc không thể xem hình vẽ như một đối
tượng hình học.
Tùy thuộc vào ngữ cảnh, hình vẽ biểu
diễn trở thành hình vẽ hình học kể từ lúc
người đọc quyết định nó, chẳng hạn hình
vẽ biểu diễn này nằm trên bảng của lớp học
toán hay trên một trang sách giáo khoa
toán. Hành động duy nhất của chủ thể được

xem xét ở cấp độ này là xem hình vẽ biểu
diễn như hình vẽ hình học trước bất kỳ sự

diễn giải, suy luận và suy diễn nào. Chúng
ta có thể bổ sung quan điểm này bằng sự
phân loại việc xử lý hình vẽ của Duval:
"Sự lĩnh hội nhận thức… cho phép
ngay lập tức nhận dạng hay nhận biết một
hình dạng, hay một đối tượng, hoặc trong
mặt phẳng, hoặc trong không gian. Quá
trình nhận dạng một hình dạng 2D hay 3D
được thực hiện theo các quy tắc được gọi là
"những nhà tổng hình học" của tổ chức hay
theo các thông số cấu hình… ví dụ sự khác
biệt về kích thước hay định hướng."
[6, tr.123]
Mặc dù Duval nói đến hình (ông
không phân biệt hình và hình vẽ biểu diễn)
ở đây nhưng chúng ta vẫn xem hình vẽ
biểu diễn theo nghĩa sự lĩnh hội nhận thức
xảy ra trên đối tượng vật lý, vết vẽ trên
giấy,…, được xem xét như một hình vẽ
hình học.
2.3. Hình vẽ biểu diễn của đối tượng
hình học lý thuyết
Thực tế cho thấy, mối quan hệ giữa
đối tượng hình học lý thuyết và biểu diễn
của nó rất phức tạp. Labord và Capponi
[13] đặc biệt xem xét một số khía cạnh của
tính phức tạp này.
2.3.1. Đa diễn giải
Việc biểu diễn một đối tượng hình học
lý thuyết dễ dẫn đến nhiều diễn giải khác

nhau. Mặc dù cùng một việc đọc hình học,
nhưng diễn giải lại phụ thuộc vào tri thức
33


NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC

của người đọc. Chẳng hạn, hình vẽ biểu
diễn (hình 1) trong hệ trục tọa độ vuông
góc Oxy, có thể được diễn giải như một
đường tròn hay một hình tròn tâm O(0; 0),
bán kính bằng 1 ở học sinh lớp 10, hay tập
hợp các điểm M(x; y) biểu diễn cho số
phức z = x+iy trong mặt phẳng phức thỏa
ở học sinh lớp 12,
mãn hệ thức

hình thoi, hay hình vuông hay có thể là một
mặt phẳng.

Hình 3
Hay nói cách khác, cùng một hình vẽ
có thể đề cập đến các đối tượng hình học lý
thuyết khác nhau.
2.3.2. Miền hoạt động bị giới hạn
Miền hoạt động của một đối tượng
hình học lý thuyết được định nghĩa như
sau:
"Như là biểu đạt của một đối tượng
hình học lý thuyết, hình vẽ biểu diễn trình

bày các tính chất của đối tượng này nhưng
chỉ thực hiện được từng phần. Người ta có
thể gắn liền một miền hoạt động với hình
vẽ biểu diễn (là tập hợp các tính chất hình
học được biểu diễn bởi một số tính chất
không gian của hình vẽ biểu diễn)." [13,
tr.171]
Đối tượng hình học lý thuyết có một
số tính chất có thể không thấy được trên
hình vẽ biểu diễn. Miền hoạt động là miền
trong đó hình vẽ biểu diễn có khả năng
cung cấp các thông tin thỏa đáng. Bởi vì
hình vẽ biểu diễn không nói được hết tất cả
mọi thứ của đối tượng hình học lý thuyết,
do đó cần thiết phải có văn bản mô tả.
Chẳng hạn, trong hình 4, làm thế nào biết
hình vẽ biểu diễn một đoạn thẳng hay một
đường thẳng? Chúng ta có thể lưu ý rằng,
từ một văn bản mô tả, có thể thực hiện một
hình vẽ biểu diễn, thậm chí là nhiều hơn, vì
đối tượng hình học lý thuyết hoàn toàn
được xác định bởi một văn bản mô tả,
nhưng từ một hình vẽ biểu diễn, không thể
tái tạo lại văn bản mô tả và do đó không
thể xác định được đối tượng hình học lý
thuyết một cách chắc chắn.

hay như một quả cầu đóng tâm O(0; 0) và
bán kính 1 ở sinh viên toán năm 2 của
trường đại học.

Hình 1
Diễn giải này cũng phụ thuộc vào ngữ
cảnh. Cùng một học sinh cấp trung học cơ
sở sẽ xem hình vẽ biểu diễn (hình 2) như
một đường tròn hay một hình tròn tùy theo
học sinh đó đang quan tâm đến chu vi hay
là diện tích hình.

Hình 2
Diễn giải này cũng phụ thuộc vào các
ràng buộc của thể chế dạy học. Chẳng hạn,
trong hình biểu diễn ở hình 3, một học sinh
trung học cơ sở có thể xem là hình bình
hành, nhưng một học sinh trung học phổ
thông có thể xem là một hình chữ nhật, hay

Hình 4
34


NGUYỄN ÁI QUỐC

diễn và tập hợp các đối tượng hình học lý
thuyết bởi vì cùng một hình vẽ biểu diễn có
thể tương ứng với nhiều đối tượng hình
học lý thuyết, chẳng hạn trường hợp hình
vuông và quả cầu trong mục 2.2.1., và
ngược lại nhiều hình vẽ biểu diễn có thể
tương ứng với cùng một đối tượng hình

học lý tưởng, chẳng hạn nhiều hình vẽ biểu
diễn thể hiện cho một tam giác bất kỳ. Từ
đó, không thể xác định đối tượng hình học
lý thuyết bằng một hình vẽ và cần thiết
phải có một mô tả suy lý logic để:
 tháo gỡ các nhập nhằng gắn kết với
hình vẽ biểu diễn
"Một mô tả suy lý logic nêu đặc trưng
đối tượng hình học lý thuyết là cần thiết để
tháo gỡ các nhập nhằng gắn kết với hình vẽ
biểu diễn." [13, tr.171]
 lựa chọn đối tượng được biểu diễn:
"Một hình chỉ có thể biểu diễn một
tình huống hình học trong một phạm vi mà
ý nghĩa của một số đơn vị biểu trưng và
một số quan hệ của chúng được cố định
tường minh ngay từ đầu… cùng một hình
vẽ có thể biểu diễn nhiều tình huống toán
học rất khác nhau và như vậy phục vụ hỗ
trợ trực quan cho các suy luận khác nhau.
Do đó cần phải có một sự chỉ dẫn bằng lời
nói để cố định hình vẽ như sự biểu diễn
cho đối tượng toán học nào đó." [7, tr.188]
 hay chỉ đơn giản định nghĩa đối
tượng này:
"Hình là đối tượng hình học được mô
tả bằng văn bản định nghĩa cho nó."
[14, tr.80]
2.4. Hình vẽ biểu diễn – đối tượng
của hình học

Đối với học sinh tiểu học và trung học
cơ sở, trong giai đoạn đầu khi học hình
học, đối tượng hình học lý thuyết là một
đối tượng tư duy không thể tiếp cận được.
Khi đó, hình vẽ biểu diễn là đối tượng hình
học mà học sinh làm việc trên đó. Học sinh

2.3.3. Miền diễn giải bị giới hạn
"Tất cả các tính chất của hình vẽ biểu
diễn không thể được diễn giải như đề cập
đến các thuộc tính của đối tượng, do đó có
một miền diễn giải gắn liền với hình vẽ
biểu diễn. Chẳng hạn, vị trí của hình vẽ
biểu diễn trong trang giấy nằm ngoài miền
diễn giải của các hình vẽ như các biểu đạt
của các đối tượng của hình học Euclide.
Một số vấn đề học sinh gặp phải cho thấy
chính xác rằng họ hoạt động với một miền
diễn giải khác với miền diễn giải của hình
học Euclide." [13, tr.172]
Thực tế cho thấy học sinh cấp trung
học phổ thông dễ dàng sử dụng các biểu
thức kiểu "ở phía trên", "ở trên", "bên
phải", "ngang", "thẳng đứng",… mà không
phải là một phần của "miền diễn giải các
hình vẽ biểu diễn như biểu đạt của các đối
tượng của hình học Euclide."
Chẳng hạn, trong hình 5, một điểm
thuộc miền 3 có thể được học sinh diễn giải
nằm phía dưới mặt phẳng và một điểm

thuộc miền 4 có thể được học sinh diễn giải
nằm phía trên mặt phẳng. Các diễn giải này
bắt nguồn từ xu hướng của học sinh mở
rộng mặt phẳng theo phương nằm ngang
nhiều hơn so với phương thẳng đứng.

Hình 5
2.3.4. Vắng bóng đẳng cấu và mô tả
suy lý logic
Tính phức tạp của diễn giải hình vẽ
biểu diễn cho thấy rõ sự vắng bóng của
"đẳng cấu" giữa tập hợp các hình vẽ biểu
35


NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC

tâm đến đối tượng hình học lý thuyết.
Chẳng hạn, trong một bài tập được trích ra
từ Sách giáo khoa Toán của Pháp Maths
CM1 [5, tr.79], tương đương lớp 4 của Việt
Nam, học sinh được yêu cầu dựng lại một
hình với các số đo thực trên giấy kẻ ô lưới
1cmx1cm với các dụng cụ hình học từ một
sơ đồ vẽ bằng tay cho trước trên đó có ghi
số đo của các cạnh (Hình 7).

trước hết trích ra các tính chất bằng tri
giác, sau đó dẫn đến việc sử dụng các dụng
cụ hình học để kiểm chứng các giả thuyết

được phát biểu. Do đó, các hoạt động hình
học được thực hiện trực tiếp trên các hình
vẽ hình học mà không tham chiếu đến một
đối tượng hình học lý thuyết. Mục đích
chính của các hoạt động này là cho phép
học sinh làm quen với các đối tượng của
mặt phẳng và của không gian và chuyển
dần dần từ một hình học trong đó các đối
tượng và các tính chất của chúng được
kiểm tra bằng tri giác sang một hình học
trong đó họ nhờ đến các công cụ và kiến
thức về một số tính chất của đối tượng hình
học lý thuyết. Chẳng hạn, ở bài tập 13,
trang 79, Sách giáo khoa Toán 6, tập hai
[18], học sinh được yêu cầu đo các góc
,
,
ở hình 6:

Hình 7
Sơ sồ trong hình 7 có thể được diễn
giải như một biểu diễn của một đối tượng
vật lý hay một đối tượng lý thuyết, nhưng
nó không được quan tâm trong bài tập này.
Hoạt động của học sinh trong trường hợp
này là giải mã sơ đồ trong 7 để thực hiện
dựng hình. Việc dựng hình ở đây được
xem xét đơn giản là tạo ra một hình vẽ hình
học tương ứng với mô tả bằng mã hóa. Do
đó, đối tượng làm việc ở đây là hình vẽ mà

trên đó học sinh cần đo độ dài các cạnh, sử
dụng thước êke,…
3. Hình
3.1. Hình là hình vẽ biểu diễn
Duval định nghĩa hình theo nghĩa vết
vẽ vật chất trên trang giấy, hay nói cách
khác, Duval sử dụng từ hình cho cái mà
chúng ta gọi là hình vẽ biểu diễn hay hình
vẽ hình học, đối tượng hình học hay biểu
diễn của một đối tượng hình học lý thuyết.
3.2. Hình là đối tượng hình học lý
thuyết
Theo quan điểm cổ điển của Arsac và
Parzysz, từ hình để chỉ một số đối tượng
hình học lý thuyết.
"…chúng tôi dành riêng (là một quy
ước, có thể tranh luận như mọi quy ước

Hình 6
Việc xác định số đo của ba góc trong
tam giác IKL được học sinh thực hiện bằng
cách sử dụng thước đo độ thao tác trực tiếp
trên hình vẽ biểu diễn để đo các góc. Trong
trường hợp này, đối với học sinh, hình vẽ
biểu diễn tam giác IKL được xem là đối
tượng hình học và không được xem là hình
vẽ biểu diễn cho đối tượng hình học lý
thuyết.
Trong tất cả các trường hợp như trên,
đối tượng làm việc là hình vẽ, không có bất

cứ sự mã hóa cũng như mô tả suy lý logic
nào cho phép xem xét một đối tượng hình
học lý thuyết. Tuy nhiên, việc đưa vào mã
hóa không có nghĩa là người ta cần quan
36


NGUYỄN ÁI QUỐC

đường tròn ngoại tiếp của nó.
Labord và Capponi phát triển khái
niệm lớp tương đương theo cách phức tạp
hơn: đưa khái niệm hình vào trong tam
giác cái biểu đạt – cái được biểu đạt – cái
quy chiếu. Hình vẽ biểu diễn là cái biểu
đạt, sự biểu diễn; đối tượng hình học lý
thuyết là quy chiếu, đối tượng được biểu
diễn.
"Hình hình học bao gồm sự ghép cặp
một quy chiếu cho trước với tất cả các hình
vẽ biểu diễn, do đó nó được định nghĩa như
tập hợp các cặp được hình thành từ hai từ,
từ thứ nhất là quy chiếu, từ thứ hai là một
trong các hình vẽ biểu diễn; từ thứ hai
được lấy từ trong không gian tất cả các
hình vẽ biểu diễn có thể của quy chiếu.
Trong sự chấp nhận này, từ hình hình học
phản chiếu việc thiết lập một quan hệ giữa
một đối tượng hình học và các biểu diễn có
thể có của nó. Trong cách tiếp cận này, các

mối liên quan giữa hình vẽ biểu diễn và
quy chiếu của nó được xây dựng bởi một
chủ thể, người đọc hay người tạo ra hình vẽ
biểu diễn, bao gồm cái được biểu đạt của
hình hình học liên kết với chủ thể này. Cái
được biểu đạt này tương ứng với cái mà
Fischbein (1993) gọi là khái niệm hình."
[12, tr.168]
4. Kết luận
Việc làm rõ các quan điểm về hình và
hình vẽ biểu diễn cũng như mối quan hệ
giữa chúng là điều cần được quan tâm
trong công tác đào tạo giáo viên Toán bậc
phổ thông từ tiểu học đến trung học phổ
thông.
Sự phân biệt giữa hai đối tượng hình
và hình vẽ biểu diễn mở ra một miền rộng
lớn cho các nghiên cứu liên quan đến
chúng. Các đặc trưng của mối quan hệ giữa
hai đối tượng này trong hình học phẳng đã
được nhiều nhà didactic toán làm rõ trong
các công trình nghiên cứu của họ.

khác) từ HÌNH cho bản thể hình học, trong
khi chúng tôi sử dụng từ HÌNH VẼ BIỂU
DIỄN cho một biểu diễn đồ họa (mặt
phẳng) của hình này." [15, tr.14]
Tuy nhiên, trong thực tế, từ hình được
sử dụng để chỉ một đối tượng phức tạp hơn
các đối tượng của hình vẽ biểu diễn hay

của đối tượng hình học lý thuyết.
3.3. Hình là lớp tương đương các
hình vẽ biểu diễn
Arsac, trong một số trường hợp, xem
xét hình như một lớp tương đương các hình
vẽ biểu diễn cùng một đối tượng hình học
lý thuyết. Chính là cái mà Arsac gọi là
quan điểm toán học trên hình.
"Một hình xuất hiện như một lớp tương
đương: cụ thể, hai hình vẽ biểu diễn cùng
một hình khi chúng đồng dạng và đẳng cự
(tùy theo loại thuộc tính mà chúng ta muốn
nghiên cứu) hay thậm chí chúng tương ứng
trong một phép biến đổi affine." [2, tr.174]
Trong trường hợp của hai hình vẽ biểu
diễn trong hình 8, không tồn tại một phép
biến đổi affine biến hình vẽ biểu diễn này
thành hình vẽ biểu diễn kia.

Hình 8
Tuy nhiên, nếu xét từ một quan điểm
khác, chúng biểu diễn cùng một đối tượng
hình học : một tứ giác bất kỳ và đường tròn
ngoại tiếp của nó. Vậy chúng ta có thể mở
rộng định nghĩa ở trên của Arsac và xem
xét hình như tập hợp tất cả các hình vẽ biểu
diễn của một đối tượng hình học được định
nghĩa bằng một phát biểu mô tả các đối
tượng, các thuộc tính, các mối quan hệ:
một tứ giác bất kỳ, nghĩa là không có góc

vuông, không có hai cạnh song song và
37


NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC
10. Houdement, C., & Kuzniak, A. (2000):
Formation des maitres et paradigmes
géométriques. Recherches en Didactique des
Mathematiques. Vol. 20. n01. P 89-116. Ed.
La Pensée Sauvage. Grenoble.

Thực tế dạy học cho thấy trong hình
học không gian, mối quan hệ giữa hình và
hình vẽ biểu diễn rất phức tạp vì vấn đề
biểu diễn một đối tượng hình học lý thuyết
của không gian 3D trong không gian 2D
được thực hiện qua phép chiếu song song
và việc chọn lựa một môi trường làm việc
trên đó, môi trường giấy-bút chì hay máy
tính, sẽ ít nhiều ảnh hưởng đến mối quan
hệ này.

11. Kuhn, T. (1977). The Essential Tension: Selected
Studies in Scientific Tradition and Change.
Chicago: University of Chicago Press.
12. Labord, C., & Capponi, B. (1994): CabriGéometre constituant d’un milieu pour
l’apprentissage de la notion de figure
géometrique. Recherches en Didactique des
mathematiques. Vol. 14. n01.2. p165-210. Ed.
La Pensée Sauvage. Grenoble.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Arsac, G., (1989): La construction du concept
de figure chez des éleves de 12 ans. Actes de
la 13ème conference PME. Paris. P85-92.
Artigue M., Rogalski J. et Vergnaud G.

13. Labord, C., & Capponi, B. (1995):
Modelisation à double sens. Actes de la 8ème
Ecole d’éte de Didactique des mathematiques.
Saint Sauves d’Auvergne. Aout 1995. Ed.
IREM de Clemont-Ferrand.

2. Arsac, G., & al. (1992): Initiation au
raisonnement déductif au college. Ed. Presses
Universitaires de Lyon.

14. Parzysz, B. (1988): "Knowing" vs "seeing".
Problems of the plane representation of space
geometry figures. Educational Studies in
Mathematics. n019. P79-92. Ed. Kluwer
Academic Publishers.

3. Arsac, G., (2004): Bases élementaires de
l’étude de la démonstration mathematique.
Séminaire de Didactique, Histoire et
Épistemologie des Mathematiques, des
Sciences et des Techniques du PREMST.
IUFM de Lyon. 28 janvier 2004.

15. Parzysz, B. (1989): Représentations planes et
enseignement de la géométrie de l’espace au
lycée. Contribution à l’étude de la relation
voir/savoir. Thèse de doctorat. Université
Paris-7. Ed. IREM Paris-7.

4. Berthelot, R., & Salin, M. (1992): Espace et
géométrie dans la scolarite obligatoire. Thèse
de doctorat. Université de Bordeaux 1.

16. Parzysz, B. (2002): Articulation entre
perception et déduction dans une démarche
géometrique en PÉ. Actes du 28ème colloque
Inter-IREM des formateurs et professeurs
chargés de la formation des maitres. Tours.
Mai
2001.
P.99-110.
Ed.
Presses
Universitaires d’Orléans.

5. Charney, R., & Combier, G., & Dussuc M. P.
(2003): Cap Maths. CM1. Ed. Hatier.
6. Duval,
R.
(1994):
Les
differents
fonctionnements d’une figure dans une

démarche géometrique. Reperes IREM. n017.
P121-138. Ed. IREM de Grenoble.
7. Duval, R. (1995): Sémiosis
humaine. Ed. Springer. Berne.

et

pensée

17. Parzysz, B. (2004): Preuve perceptive ou
démonstration? Le rapport des PE1 à la
géometrie, étudie à travers leur discours
"méta". Actes du 31ème colloque Inter-IREM
des formateur et professeurs charges de la
formation des maitres. Foix. Mai 2004. Ed.
IREM de Toulouse.

8. Fischbein, E. (1993): The theory of figural
concepts.
Educational
Studies
in
Mathematics. Vol. 24. n02. P139-162. Ed.
Kluwer Academic Publishers.
9. Houdement, C., & Kuzniak, A. (1999.3):
Géométrie et paradigmes géométriques. Petit
x. n0 51. P5-21. Ed. IREM de Grenoble.

Ngày nhận bài: 02/9/2017

18. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Phạm Gia Đức (2012),
Toán 6 – tập hai, Nxb Giáo Dục Việt Nam.

Biên tập xong: 15/10/2017

38

Duyệt đăng: 20/10/2017